微重點(diǎn)02函數(shù)的公切線問(wèn)題（4大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）函數(shù)的公切線問(wèn)題，是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通過(guò)雙變量的處理，從而轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)問(wèn)題，主要利用消元與轉(zhuǎn)化，考查構(gòu)造函數(shù)、數(shù)形結(jié)合能力，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．【知識(shí)導(dǎo)圖】【考點(diǎn)分析】考點(diǎn)一：求兩函數(shù)的公切線規(guī)律方法求切線方程時(shí)，注意區(qū)分曲線在某點(diǎn)處的切線和曲線過(guò)某點(diǎn)的切線，曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線方程是y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)；求過(guò)某點(diǎn)的切線方程，需先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再依據(jù)已知點(diǎn)在切線上求解．【例1】已知拋物線和，如果直線l同時(shí)是和的切線，稱l是和的公切線，公切線上兩個(gè)切點(diǎn)之間的線段，稱為公切線段．(1)a取什么值時(shí)，和有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程；(2)若和有兩條公切線，證明相應(yīng)的兩條公切線段互相平分．【變式】（2023·云南保山·統(tǒng)考二模）若函數(shù)與函數(shù)的圖象存在公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．考點(diǎn)二：與公切線有關(guān)的求值問(wèn)題規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，關(guān)鍵是切點(diǎn)，要充分利用切點(diǎn)既在曲線上又在切線上構(gòu)造方程．【例2】（2024下·重慶·高三重慶一中校考開(kāi)學(xué)考試）已知，．(1)若在處的切線也與的圖象相切，求的值；(2)若在恒成立，求的取值集合．【變式】設(shè)，點(diǎn)是函數(shù)與的圖象的一個(gè)公共點(diǎn)，兩函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處有相同的切線．(1)用t表示a，b，c；(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求t的取值范圍．考點(diǎn)三：判斷公切線條數(shù)規(guī)律方法運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與斜率之間的關(guān)系可以將兩曲線公切線的切點(diǎn)表示出來(lái)，構(gòu)造新的函數(shù)，通過(guò)零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即方程解的情況．【例3】曲線C1：與曲線C2：y＝lnx公切線的條數(shù)是?！咀兪健壳€C1：與曲線C2：()A．0B．1C．2D．3考點(diǎn)四：求參數(shù)的取值范圍規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，構(gòu)造參數(shù)關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)或切線斜率k的函數(shù)，轉(zhuǎn)化成函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題或兩函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，利用函數(shù)的性質(zhì)或圖象求解．【例4】（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；(2)求a的取值范圍．【變式】若函數(shù)【強(qiáng)化訓(xùn)練】一、單選題1．若曲線上兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線重合，則稱這條切線為曲線的“自公切線”．下列方程：①；②；③；④對(duì)應(yīng)的曲線中存在“自公切線”的有A．①② B．①④ C．②③ D．③④2．已知直線是曲線：與曲線：的一條公切線，若直線與曲線的切點(diǎn)為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足（）A． B．C． D．3．已知直線是曲線與曲線的一條公切線，與曲線切于點(diǎn)，且是函數(shù)的零點(diǎn)，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．4．（2021上·四川成都·高三成都七中期中）如果直線與兩條曲線都相切，則稱為這兩條曲線的公切線，如果曲線和曲線有且僅有兩條公切線，那么常數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題5．（2024上·山西運(yùn)城·高二統(tǒng)考期末）若直線是曲線與曲線的公切線，則（

）A． B．C． D．三、填空題6．（2023下·遼寧沈陽(yáng)·高二校聯(lián)考期中）若直線是曲線與曲線的公切線，則．7．（2022·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測(cè)）曲線過(guò)點(diǎn)的切線也是曲線的切線，則；若此公切線恒在函數(shù)的圖象上方，則a的取值范圍是.8．（2024下·重慶·高二重慶一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，（，），若存在直線l，使得l是曲線與曲線的公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．四、解答題9．判斷曲線與曲線的公切線的條數(shù)，并說(shuō)明理由.10．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；(2)求a的取值范圍．11.已知函數(shù).（1）討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）設(shè)x0是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線y=lnx在點(diǎn)A(x0，lnx0)處的切線也是曲線的切線.微重點(diǎn)02函數(shù)的公切線問(wèn)題（4大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）函數(shù)的公切線問(wèn)題，是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通過(guò)雙變量的處理，從而轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)問(wèn)題，主要利用消元與轉(zhuǎn)化，考查構(gòu)造函數(shù)、數(shù)形結(jié)合能力，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．【知識(shí)導(dǎo)圖】【考點(diǎn)分析】考點(diǎn)一：求兩函數(shù)的公切線規(guī)律方法求切線方程時(shí)，注意區(qū)分曲線在某點(diǎn)處的切線和曲線過(guò)某點(diǎn)的切線，曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線方程是y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)；求過(guò)某點(diǎn)的切線方程，需先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再依據(jù)已知點(diǎn)在切線上求解．【例1】已知拋物線和，如果直線l同時(shí)是和的切線，稱l是和的公切線，公切線上兩個(gè)切點(diǎn)之間的線段，稱為公切線段．(1)a取什么值時(shí)，和有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程；(2)若和有兩條公切線，證明相應(yīng)的兩條公切線段互相平分．【答案】(1)；；(2)證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，曲線在點(diǎn)的切線方程是∶，即①，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程是，即②，如果直線l是過(guò)P和Q的公切線，則①式和②式都是l的方程，則，，消去得方程，判別式時(shí)，即時(shí)解得，此時(shí)點(diǎn)P與Q重合．即當(dāng)時(shí)，和有且僅有一條公切線，由①得公切線方程為；（2）證明：由（1）可知．當(dāng)時(shí)和有兩條公切線，設(shè)一條公切線上的切點(diǎn)為∶，其中P在上，Q在上，則有，，故線段的中點(diǎn)為，同理求得另一條公切線段的中點(diǎn)也是所以公切線段和互相平分,即若和有兩條公切線，相應(yīng)的兩條公切線段互相平分.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，即利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決曲線的公切線問(wèn)題，解答時(shí)要能熟練的求解曲線的切線方程和利用一元二次方程的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題.【變式】（2023·云南保山·統(tǒng)考二模）若函數(shù)與函數(shù)的圖象存在公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求得公切線方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合，得到，令，求得，令，求得和，得到函數(shù)的單調(diào)性和最小值，進(jìn)而得到，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，因?yàn)?，設(shè)切點(diǎn)為，則，則公切線方程為，即，與聯(lián)立可得，所以，整理可得，又由，可得，解得，令，其中，可得，令，可得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，且當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)椋郧?，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.【點(diǎn)睛】方法技巧：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．考點(diǎn)二：與公切線有關(guān)的求值問(wèn)題規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，關(guān)鍵是切點(diǎn)，要充分利用切點(diǎn)既在曲線上又在切線上構(gòu)造方程．【例2】（2024下·重慶·高三重慶一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知，．(1)若在處的切線也與的圖象相切，求的值；(2)若在恒成立，求的取值集合．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求得在處的切線方程，再根據(jù)直線與的圖象相切，設(shè)切點(diǎn)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切點(diǎn)既在曲線上又在切線上，求得的值；（2）根據(jù)必要性可求得，再代入數(shù)據(jù)計(jì)算函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，計(jì)算即可求解.【詳解】（1）由已知，則，又，所以切點(diǎn)為，切線的斜率為，所以切線方程為，又，設(shè)切點(diǎn)為，所以，所以，解得；（2）設(shè)，則，必要性：因?yàn)?，函?shù)在的左右均大于等于，所以是極值點(diǎn)，所以，所以；充分性：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，又，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，所以，故實(shí)數(shù)的取值集合為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率，利用點(diǎn)斜式表示切線方程，若無(wú)切點(diǎn)，要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，切點(diǎn)既在曲線上又在切線上，列出方程即可；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)恒成立問(wèn)題，由必要性求得參數(shù)的值，然后證明充分性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求得最小值.【變式】設(shè)，點(diǎn)是函數(shù)與的圖象的一個(gè)公共點(diǎn)，兩函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處有相同的切線．(1)用t表示a，b，c；(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求t的取值范圍．【答案】(1)，，；(2).【分析】（1）由題意得到，，結(jié)合求出，對(duì)兩函數(shù)求導(dǎo)，利用兩函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處有相同的切線，得到，結(jié)合表達(dá)出，；（2）在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，得到，，求導(dǎo)后因式分解，轉(zhuǎn)化為在上恒成立問(wèn)題，分與兩種情況，求出的解集，與比較端點(diǎn)，得到不等式組，求出t的取值范圍.【詳解】（1）由題意得：，，因?yàn)椋?，即，，，因?yàn)閮珊瘮?shù)的圖象點(diǎn)P處有相同的切線，所以，將代入上式，且，解得：，將代入中，，綜上：，，；（2），，則在上恒成立，當(dāng)時(shí)，的解集為，當(dāng)時(shí)，的解集為，由題意得：函數(shù)在上單調(diào)遞減，則或，所以或，解得：或，所以t的取值范圍是考點(diǎn)三：判斷公切線條數(shù)規(guī)律方法運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與斜率之間的關(guān)系可以將兩曲線公切線的切點(diǎn)表示出來(lái)，構(gòu)造新的函數(shù)，通過(guò)零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即方程解的情況．【例3】曲線C1：與曲線C2：y＝lnx公切線的條數(shù)是?！敬鸢浮?【詳解】根據(jù)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可知y＝ex?y′＝ex，y＝lnx?y′＝eq\f(1,x)，則兩函數(shù)在點(diǎn)(x1，y1)和(x2，y2)處的切線分別為y－y1＝(x－x1)，y－y2＝eq\f(1,x2)(x－x2)，化簡(jiǎn)得y＝x＋(1－x1)，y＝eq\f(1,x2)x＋lnx2－1，由題意可得化簡(jiǎn)得x1x2＋x2－x1＋1＝0?，，，曲線C1：與曲線C2：y＝lnx有2條公切線。【變式】曲線C1：與曲線C2：()A．0B．1C．2D．3【答案】D【詳解】設(shè)公切線為l，P(x1，y1)是l與f(x)的切點(diǎn)，由，得，設(shè)Q(x2，y2)是l與g(x)的切點(diǎn)，由g(x)＝ex，得g′(x)＝ex，所以l的方程為y－y1＝(x－x1)，因?yàn)?，整理得，同理y－y2＝(x－x2)，因?yàn)閥2＝，整理得y＝x＋(1－x2)，依題意，可得消去x1，得，令，則令h′(x)＝0，則x＝±1，當(dāng)x<－1或x>1時(shí)，h′(x).>0；當(dāng)－1<x<1時(shí)，h′(x)<0，所以h(x)有極大值為，h(x)有極小值為h(1)＝-1，因?yàn)楫?dāng)x趨近于－∞時(shí)，h(x)趨近于-1；當(dāng)x趨近于＋∞時(shí)，h(x)趨近于+∞，故h(x)的大致圖象如圖．根據(jù)函數(shù)h(x)零點(diǎn)存在定理可知函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，所以，曲線C1、與C2有3條公切線。考點(diǎn)四：求參數(shù)的取值范圍規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，構(gòu)造參數(shù)關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)或切線斜率k的函數(shù)，轉(zhuǎn)化成函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題或兩函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，利用函數(shù)的性質(zhì)或圖象求解．【例4】（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；(2)求a的取值范圍．【答案】(1)3(2)【分析】（1）先由上的切點(diǎn)求出切線方程，設(shè)出上的切點(diǎn)坐標(biāo)，由斜率求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再由函數(shù)值求出即可；（2）設(shè)出上的切點(diǎn)坐標(biāo)，分別由和及切點(diǎn)表示出切線方程，由切線重合表示出，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)求出函數(shù)值域，即可求得的取值范圍.【詳解】（1）由題意知，，，，則在點(diǎn)處的切線方程為，即，設(shè)該切線與切于點(diǎn)，，則，解得，則，解得；（2），則在點(diǎn)處的切線方程為，整理得，設(shè)該切線與切于點(diǎn)，，則，則切線方程為，整理得，則，整理得，令，則，令，解得或，令，解得或，則變化時(shí)，的變化情況如下表：01000則的值域?yàn)?，故的取值范圍?【變式】若函數(shù)【答案】【詳解】第一步：確定切點(diǎn)設(shè)公切線與的切點(diǎn)為第二步：求斜率；第三步：點(diǎn)斜式確定切線方程則它的切線方程是，；，第四步：公切線應(yīng)用（斜率相同，截距相等）；且每一組解（X1，x2）對(duì)應(yīng)一條公切線。由以上方程組消x2，整理得第五步：切線條數(shù)轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)函數(shù)f(x)和g(x)有兩條公切線，所以方程，,h(x)與x軸至多有1個(gè)交點(diǎn)，與題意不符；（2）當(dāng)k>0時(shí)，h(x)的定義域?yàn)椋?，+∞）令，h(x)與x軸至多有2個(gè)交點(diǎn)，所以h(x)=0要有兩根，還須滿足【強(qiáng)化訓(xùn)練】一、單選題1．若曲線上兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線重合，則稱這條切線為曲線的“自公切線”．下列方程：①；②；③；④對(duì)應(yīng)的曲線中存在“自公切線”的有A．①② B．①④ C．②③ D．③④【答案】C【詳解】①是一個(gè)等軸雙曲線，沒(méi)有自公切線；②在處的切線都是故②有自公切線．③，此函數(shù)是周期函數(shù)，過(guò)圖象的最高點(diǎn)的切線都重合或過(guò)圖象的最低點(diǎn)的切線都重合，故此函數(shù)有自公切線．④，即，結(jié)合圖象可得，此曲線沒(méi)有自公切線．故答案為C．2．已知直線是曲線：與曲線：的一條公切線，若直線與曲線的切點(diǎn)為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足（）A． B．C． D．【答案】D【分析】記直線與曲線的切點(diǎn)為，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)公切線的兩種表達(dá)方式列式可得，再構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)分析單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理求解即可【詳解】記直線與曲線的切點(diǎn)為,則直線的方程為,又直線的方程為,從而且,消去得,即,設(shè),則,令解得,則函數(shù)在上遞增，又，無(wú)零點(diǎn)，得在上單調(diào)遞減.又，所以故選：D.3．已知直線是曲線與曲線的一條公切線，與曲線切于點(diǎn)，且是函數(shù)的零點(diǎn)，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)公切線在曲線上的切點(diǎn)坐標(biāo)為，在曲線上的切點(diǎn)坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出，消去可得出關(guān)于的等式，即可得出函數(shù)可能的解析式.【詳解】由，可得.由，可得.設(shè)公切線在曲線上的切點(diǎn)坐標(biāo)為，在曲線上的切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，整理可得①.曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，所以，，即②，將①代入②中整理可得.因?yàn)槭呛瘮?shù)的零點(diǎn)，所以的解析式可能為.故選：B.4．（2021上·四川成都·高三成都七中期中）如果直線與兩條曲線都相切，則稱為這兩條曲線的公切線，如果曲線和曲線有且僅有兩條公切線，那么常數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把曲線和曲線有且僅有兩條公切線，轉(zhuǎn)化為有且僅有兩解.記，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性和極值，建立不等式，即可解得.【詳解】曲線上一點(diǎn)，，切線方程為：.曲線上一點(diǎn)，，切線方程為：.若直線與兩條曲線都相切，則有，消去得：.因?yàn)榍€和曲線有且僅有兩條公切線，所以有且僅有兩解.記，則.令，得，所以在上單增；，得，所以在上單增.所以.又有，解得：（舍）或.當(dāng)，則；當(dāng)，則；而，所以要使有且僅有兩解，只需，解得：.故選：B【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要有：（1）利用導(dǎo)函數(shù)幾何意義求切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性，求極值（最值）；（3）利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍.二、多選題5．（2024上·山西運(yùn)城·高二統(tǒng)考期末）若直線是曲線與曲線的公切線，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得.【詳解】令，則，令，有，則，即有，即，故，令，則，令，有，則，即有，即，故有，即.故選：BD.三、填空題6．（2023下·遼寧沈陽(yáng)·高二校聯(lián)考期中）若直線是曲線與曲線的公切線，則．【答案】5【分析】由直線是曲線的切線求解，可得切線方程，再設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)，由切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率，且切點(diǎn)處的函數(shù)值相等列式求解n，則答案可求．【詳解】由，得，由，解得，則直線與曲線相切于點(diǎn)，∴，得，∴直線是曲線的切線，由，得，設(shè)切點(diǎn)為，則，且，聯(lián)立可得，解得，所以．∴．故答案為：5．7．（2022·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預(yù)測(cè)）曲線過(guò)點(diǎn)的切線也是曲線的切線，則；若此公切線恒在函數(shù)的圖象上方，則a的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出；將此公切線恒在函數(shù)的圖象上方，轉(zhuǎn)化為恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值即可得解.【詳解】由得，設(shè)曲線過(guò)點(diǎn)的切線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，切線方程為，由于該切線過(guò)點(diǎn)，所以，設(shè)該切線與曲線切于，因?yàn)椋?，所以該切線的斜率為，所以切線方程為，將代入得，得，所以，所以，所以，所以.由以上可知該公切線方程為，即，若此公切線恒在函數(shù)的圖象上方，則，即恒成立，令，則，令，得，得，令，得，得或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)闀r(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解第二個(gè)空時(shí)，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求解是解題關(guān)鍵.8．（2024下·重慶·高二重慶一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，（，），若存在直線l，使得l是曲線與曲線的公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】分別設(shè)出直線與兩曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，根據(jù)題意得到，記，分類討論a與1的大小關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理分析求解.【詳解】設(shè)直線為曲線在點(diǎn)處的切線，，所以，即；設(shè)直線為曲線在點(diǎn)處的切線，，所以，即；由題意知，因?yàn)椋芍?，由可得，將其代入可得：，令，則在上有零點(diǎn)，令，則，令，解得；令，解得；在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，，故在上恒有零點(diǎn)，從而恒成立；當(dāng)時(shí)，，無(wú)零點(diǎn)，不成立；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，則，解得；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求曲線的切線問(wèn)題主要分兩大類：一類是切點(diǎn)已知，那么只需將切點(diǎn)橫坐標(biāo)代入到原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)中求出切點(diǎn)和斜率即可；另一類是切點(diǎn)未知，那么先要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)表示切線的斜率以及切線方程，根據(jù)所過(guò)的點(diǎn)求切點(diǎn)，得出切線方程.四、解答題9．判斷曲線與曲線的公切線的條數(shù)，并說(shuō)明理由.【答案】曲線與曲線有兩條公切線.【詳解】曲線與曲線有兩條公切線.理由如下：設(shè)兩曲線的公切線為l，與曲線切于點(diǎn)，與曲線切于點(diǎn)，則直線l的方程既可寫為，即，又可寫為，即.因?yàn)橹本€l為公切線，所以有消元整理得，所以方程根的個(gè)數(shù)即為兩曲線的公切線條數(shù).設(shè)，，.當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù).另外當(dāng)時(shí)，，，所以的根為.所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.而，，，，又函數(shù)在R上連續(xù)，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，分別位于區(qū)間和區(qū)間內(nèi).所以方程有兩個(gè)不同的根，即兩曲線有兩條公切線.10．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；(2)求a的取值范圍．【答案】(1)3(2)【分析】（1）先由上的切點(diǎn)求出切線方程，設(shè)出上的切點(diǎn)坐標(biāo)，由斜率求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再由函數(shù)值求出即可；（2）設(shè)出上的切點(diǎn)坐標(biāo)，分別由和及切點(diǎn)表示出切線方程，由切線重合表示出，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)求出函數(shù)值域，即可求得的取值范圍.【詳解】（1）由題意知，，，，則在點(diǎn)處的切線方程為，即，設(shè)該切線與切于點(diǎn)，，則，解得，則，解得；（2），則在點(diǎn)處的切線方程為，整理得，設(shè)該切線與切于點(diǎn)，，則，則切線方程為，整理得，則，整理得，令，則，令，解得或，令，解得或，則變化時(shí)，的變化情況如下表：01000則的值域?yàn)?，故的取值范圍?11.已知函數(shù).（1）討論f(x)的單調(diào)性，并證明f