第5章離散時間系統(tǒng)的時域分析5.1離散時間信號5.2離散時間系統(tǒng)5.3卷積和求零狀態(tài)響應(yīng)

5.1離散時間信號

5.1.1連續(xù)信號的取樣

1.離散時間信號

離散時間系統(tǒng)的激勵和響應(yīng)也都是離散時間信號,表示這種信號的函數(shù)只在一系列互相分離的時間點上才有定義,而在其他點上則無定義,所以它們是離散變量tk的函數(shù)(或稱序列)。

離散的函數(shù)值通常畫成一條條的垂直線,如圖5-1(a)所示,其中每條直線的端點才是實際的函數(shù)值。在數(shù)字技術(shù)中,函數(shù)的取樣值并不是任意取值的,而必須將幅度加以量化,也就是幅度的數(shù)值只能在一組預定的數(shù)據(jù)中取值,如圖5-1(b)所示。x(n)中的()表示變量n取整數(shù)。圖5-1離散時間信號

2.信號的取樣

對連續(xù)時間信號進行數(shù)字處理,必須首先對信號進行取樣。進行取樣的取樣器一般由電子開關(guān)組成,其工作原理如圖5-2和圖5-3所示。圖5-2取樣原理圖圖5-3信號的取樣上面實際取樣所得出的取樣信號在τ趨于零的極限情況下,將成為一沖激函數(shù)序列。這些沖激函數(shù)準確地出現(xiàn)在取樣瞬間,它們的強度等于在取樣瞬間的幅度,如圖5-4所示,這就是理想取樣信號。圖5-4理想沖激取樣信號波形理想取樣同樣可以看做是連續(xù)時間信號對脈沖載波的調(diào)幅過程,因而理想沖激取樣信號y*(t)可以表示為(5-1)δ(t－nT)只有在t=nT時非零,因此,式(5-1)中x(t)值只有當t=nT時才有意義,故有(5-2)

3.取樣定理

是不是所有時間間隔的理想取樣都能反映原連續(xù)信號的基本特征呢？答案是否定的。例如,有一個連續(xù)信號y(t)=sint,如圖5-5(a)所示,當取樣間隔T=π秒時,所得的理想取樣序列為y(nT)=sinnπ=0,其信號圖如圖5-5(b)所示;當取樣間隔T=π/2秒時,所得的理想取樣序列y(nT)=

,其信號圖如圖

5-5(c)所示;當取樣間隔T=π/6秒時,所得的理想取樣序列y(nT)=

,其信號圖如圖5-5(d)所示。圖5-5y(t)=sint的信號圖把連續(xù)的模擬信號經(jīng)過取樣、量化、編碼、轉(zhuǎn)變成離散的數(shù)字信號的過程稱為模擬-數(shù)字轉(zhuǎn)換(A/D轉(zhuǎn)換);相反,把數(shù)字信號轉(zhuǎn)變成模擬信號的過程稱為數(shù)字-模擬轉(zhuǎn)換(D/A轉(zhuǎn)換)。利用這樣的轉(zhuǎn)換,可以把模擬信號轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號,如圖5-6所示。圖5-6模擬信號數(shù)據(jù)處理過程5.1.2離散時間信號的表示

序列x以x(n)表示第n個數(shù)值,n表示x(n)在序列x前后變量的序號,則x可以用公式表示為

x={x(n)}n∈(－∞,∞)

(5-3)

或表示為

x(n)n∈(－∞,∞)

離散時間信號也常用圖形描述,如圖5-7所示,用有限長線段表示數(shù)值大小。雖然橫坐標畫成一條連續(xù)的直線,但x(n)僅對于整數(shù)值n才有定義,而對于非整數(shù)值n沒有定義,此時認為x(n)為零是不正確的。圖5-7離散信號圖形5.1.3序列間的運算

1.序列運算定義

1)相加

z(n)=x(n)+y(n)

(5-4)

式(5-4)中,z(n)是兩個序列x(n)、y(n)對應(yīng)項相加形成的新的序列。

2)相乘

z(n)=x(n)·y(n)

(5-5)

式(5-5)中,z(n)是兩個序列x(n)、y(n)對應(yīng)項相乘形成的新的序列。

3)標量相乘

z(n)=ax(n)

(5-6)

式(5-6)中,z(n)是x(n)每項乘以常數(shù)a形成的新的序列。

4)時移(時延、移序、移位、位移)

z(n)=x(n－m)m>0

(5-7)

式(5-7)中,z(n)是原序列x(n)每項右移m位形成的新的序列。

z(n)=x(n+m)m>0

(5-8)

式(5-8)中,z(n)是原序列x(n)每項左移m位形成的新的序列。

序列x(n－1)如圖5-8所示。圖5-8序列的右移序序列x(n+1)如圖5-9所示。圖5-9序列的左移序

5)折疊序列

z(n)=x(－n)

(5-9)

式(5-9)中,z(n)是原序列x(n)以縱軸為對稱軸翻轉(zhuǎn)180°形成的新的序列。

折疊位移序列

z(n)=x(－n±m(xù))

(5-10)

式(5-10)中,z(n)是由x(－n)向右或向左移m位形成的新的序列。

折疊序列與折疊位移序列如圖5-10所示。圖5-10序列的折疊位移

6)尺度變換

y(n)=x(mn)

(5-11)

式(5-11)是x(n)序列每隔m點取一點形成的,即時間軸n壓縮至原來的1/m。例如當m=2時,序列如圖5-11所示。圖5-11序列的壓縮圖5-12序列的擴展(5-12)式(5-12)是x(n)序列每一點加m－1個零值點形成的,即時間軸n擴展了原來的m倍。例如當m=2時,序列如圖5-12所示。

2.序列運算符號表示

1)序列相乘

w(n)=x(n)·y(n)

表示兩序列同一時刻的取值逐個對應(yīng)相乘所形成的新序列,其運算符號如圖5-13(a)所示。

2)序列相加減

w(n)=x(n)±y(n)

表示兩序列對應(yīng)的同一時刻取值逐一相加(或相減)所形成的新序列,其運算符號如圖5-13(b)所示。

3)序列標乘

w(n)=ax(n)=y(n)

表示序列x的每個取樣值同乘以常數(shù)a所形成的新序列,其運算符號如圖5-13(c)所示。

4)序列延時

若序列y(n)滿足取值y(n)=x(n－n0),則稱序列y(n)是序列x(n)延時n0個取樣間隔的結(jié)果,式中n0為整數(shù)。當n0=1時,稱為單位延時。其運算符號如圖5-13(d)所示。

5)序列分支

一個序列加到系統(tǒng)中兩點或更多點的過程稱為分支運算,其運算表示符號如圖5-13(e)所示。圖5-13離散時間序列的運算5.1.4常用的典型序列

1.單位序列的表達式

單位序列的表達式為(5-13)

2.單位階躍序列的表達式單位階躍序列的表達式為(5-14)當n<0時,其序列的值為0,而當n≥0時,序列的值都為1,其波形圖如圖5-14(a)所示,而u(－n)的波形圖如圖5-14(b)所示。圖5-14u(n)、u(－n)波形圖

【例5-1】

試用單位階躍序列表示單位序列。

解由可知

【例5-2】

試用單位序列表示單位階躍序列。

解因為顯然可以把u(n)看作是由無窮多個單位取樣序列疊加而成的,故(5-16)

【例5-3】

試用單位序列表示矩形序列解由圖5-15所示的矩形序列圖,明顯可見圖5-15矩形序列圖一般情況下,序列x(n)可表示為(5-17)

5.2離散時間系統(tǒng)

5.2.1離散時間系統(tǒng)的差分方程

離散時間系統(tǒng)的基本運算有延時、乘法和加法,基本運算可以由基本運算單元實現(xiàn)。

1.離散時間系統(tǒng)基本運算單元的表示方法

離散時間系統(tǒng)基本運算單元可以用框圖及流圖表示。

(1)延時器框圖及流圖如圖5-16所示。圖5-16延時器框圖及流圖

(2)加法器框圖及流圖如圖5-17所示。圖5-17延時器框圖及流圖

(3)乘法器框圖及流圖如圖5-18所示。圖5-18乘法器框圖及流圖

2.離散時間系統(tǒng)的差分方程

線性時不變連續(xù)系統(tǒng)是由常系數(shù)微分方程描述的,而線性時不變離散系統(tǒng)是由常系數(shù)差分方程描述的。在差分方程中,包含有未知離散變量的y(n)、y(n+1)、

y(n+2)…y(n－1)、y(n－2)、…下面舉例說明系統(tǒng)差分方程的建立方法。

【例5-4】

系統(tǒng)框圖如圖5-19所示,寫出其差分方程。

解其差分方程為

(yn)=ay(n－1)+x(n)

或

y(n)－ay(n－1)=x(n)

(5-18)圖5-19離散時間系統(tǒng)

【例5-5】

系統(tǒng)框圖如圖5-20所示,寫出其差分方程。圖5-20離散時間系統(tǒng)解差分方程為

y(n+1)=ay(n)+x(n)

或(5-19)這是一階前向差分方程,與后向差分方程形式相比較,僅是輸出信號的輸出端不同。前者是從延時器的輸入端取出,后者是從延時器的輸出端取出。當系統(tǒng)的階數(shù)不高,并且激勵不復雜時,用迭代(遞推)法可以求解差分方程。

【例5-6】

已知y(n)=ay(n－1)+x(n),且y(n)=0,n<0,x(n)=δ(n),求y(n)。

解

y(0)=ay(－1)+x(0)=δ(n)=1

y(1)=ay(0)+x(1)=a

y(2)=ay(1)+x(2)=a2

y(n)=anu(n)5.2.2零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)

在離散系統(tǒng)分析中,完全響應(yīng)通常是零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和,即

y(n)=yzi(n)+yzs(n)

(5-20)

其中,零輸入響應(yīng)yzi(n)是由系統(tǒng)的初始狀態(tài)引起的;零狀態(tài)響應(yīng)yzs(n)是當初始狀態(tài)為零時,僅由系統(tǒng)的外加輸入f(n)引起的。

1.一階線性時不變離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)

一階線性時不變離散系統(tǒng)的齊次差分方程的一般形式為將差分方程改寫為

y(n)－ay(n－1)=0

(5-21)

用遞推迭代法,y(n)僅與前一時刻y(n－1)有關(guān),以y(0)為起點

y(1)=ay(0)

y(2)=ay(1)=a2y(0)

y(3)=ay(2)=a3y(0)

…

當n≥0時,齊次方程解為

y(n)=y(0)an=Can

(5-22)

利用遞推迭代法的結(jié)果,可以直接寫出一階差分方程解的一般形式,因為一階差分方程的特征方程為

α－a=0

(5-23)由特征方程解出其特征根

α=a

與齊次微分方程相似,得到特征根a后,就得到一階差分方程齊次解的一般模式為Can,其中C由初始條件y(0)決定。

2.N階線性時不變離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)

有了一階齊次差分方程解的一般方法,將其推廣至N階齊次差分方程,有(5-24)N階齊次差分方程的特征方程為(5-25)(1)當特征根均為單根時,特征方程可以分解為利用一階齊次差分方程解的一般形式,可類推得N階線性齊次差分方程的解是這N個線性無關(guān)解的線性組合,即(5-26)式中,C1、C2、…、CN由y(0)、y(1)、…、y(N－1)等N個邊界條件確定。(5-27)矩陣形式為(5-28)即

[Y]=[V][C]

(5-29)其系數(shù)解為

[C]=[V]－1[Y]

(5-30)

(2)當特征方程中α1是m階重根時,其特征方程為

(α－α1)m(α－αm+1)…(α－αN)=0

(5-31)

式(5-31)中,(α－α1)m對應(yīng)的解為(C1+C2n+…Cmnm－1)αn1,此時零輸入解的模式為

y(n)=(C1+C2n+…+Cmnm－1)αn1+Cm+1αnm+1+…+CNαnN(5-32)

式(5-32)中,C1、C2、…、CN由y(0)、y(1)、…、y(N－1)等N個邊界條件確定。5.2.3離散信號卷積和

1.卷積和定義

已知定義在區(qū)間(－∞,∞)上的兩個函數(shù)f1(n)和f2(n),則定義(5-33)為f1(n)與f2(n)的卷積和,簡稱卷積和,記為(5-34)

2.卷積和求解

(5-35)求卷積和的過程可分解為4步:

(1)換元:n換為k→f1(k),f2(k);

(2)翻轉(zhuǎn)平移:由f2(k)翻轉(zhuǎn)→f2(－k),右移n→f2(n－k);

(3)乘積:f1(k)·f2(n－k);

(4)求和:k從－∞到∞對乘積項求和。注意:n為參變量。

3.卷積和性質(zhì)

(1)滿足乘法的三大定律:交換律、分配律和結(jié)合律;

(2)f(n)*δ(n)=f(n),f(n)*δ(n－k0)=f(n－k0);

(3)f(n)*ε(n)=

;

(4)f1(n－k1)*f2(n－k2)=f1(n－k1－k2)*f2(n);

(5)

[f1(n)*f2(n)]=

f1(n)*f2(n)=f1(n)*

f2(n)。

4.求卷積和舉例

【例5-7】

如圖5-21復合系統(tǒng)由三個子系統(tǒng)組成,其中

h1(k)=ε(k),h2(k)=ε(k－5),求復合系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(k)。圖5-21復合系統(tǒng)組成解根據(jù)h(k)的定義,有h(k)=[δ(k)*h1(k)－δ(k)*h2(k)]*h1(k)

=[h1(k)－h(huán)2(k)]*h1(k)

=h1(k)*h1(k)－h(huán)2(k)*h1(k)

=ε(k)*ε(k)－ε(k－5)*ε(k)

=(k+1)ε(k)－(k+1－5)ε(k－5)

=(k+1)ε(k)－(k－4)ε(k－5)5.2.4單位響應(yīng)

由單位序列δ(n)所引起的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位響應(yīng),記為h(n)。

【例5-8】

已知某系統(tǒng)的差分方程為y