第1頁/共1頁2024~2025學(xué)年上學(xué)期佛山市普通高中教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)高二數(shù)學(xué)本試卷共4頁，19小題.滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.2025年1月注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必要填涂答題卷上的有關(guān)項(xiàng)目.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答案涂在答題卷相應(yīng)的位置上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無效.4.請(qǐng)考生保持答題卷的整潔，考試結(jié)束后，將答題卷交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知點(diǎn)，在斜率為的直線l上，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)求概率即可求參；【詳解】點(diǎn)，在斜率為的直線l上，則.故選：D.2.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】B【解析】【分析】先把拋物線轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)而得出焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線，最后求出距離.【詳解】拋物線轉(zhuǎn)化為，則焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.故選：B3.已知雙曲線的一條漸近線方程是，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可得.【詳解】由題意可設(shè)雙曲線的方程為，由題意，，故，故雙曲線的方程為，故選：A4.下列方程表示的橢圓中，形狀最接近于圓的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)離心率越小，越接近于圓，寫出各項(xiàng)橢圓的離心率并比較大小，即可得答案.【詳解】由橢圓性質(zhì)知，離心率越小，越接近于圓，對(duì)于，，對(duì)于，，對(duì)于，，對(duì)于，，顯然的離心率最小.故選：D5.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)遞增數(shù)列的性質(zhì).然后通過已知的數(shù)列通項(xiàng)公式求出的表達(dá)式，再根據(jù)該表達(dá)式大于對(duì)恒成立這一條件，求出的取值范圍.【詳解】已知，那么.所以.化簡(jiǎn)后得到.因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立.這意味著對(duì)恒成立.對(duì)于函數(shù)，，越大，的值越小.當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以.故選：C.6.甲乙兩名同學(xué)參加羽毛球單打比賽，比賽規(guī)則是3局2勝制.現(xiàn)通過設(shè)計(jì)模擬實(shí)驗(yàn)估算概率，用1，3，5表示一局比賽甲獲勝，用2，4表示一局比賽乙獲勝.利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù)：423123423344114453525332152342534443512541125432334151314254由此估計(jì)甲贏得比賽的概率為（）A.0.6 B.0.65 C.0.7 D.0.75【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)題中數(shù)據(jù)得甲獲勝的場(chǎng)數(shù)為13場(chǎng)，進(jìn)而可得甲贏得比賽的概率為.【詳解】由題中數(shù)據(jù)可知甲獲勝的場(chǎng)數(shù)為13場(chǎng)，故甲贏得比賽的概率為，故選：B7.已知圓和圓都和x軸正半軸相切，且圓心都在直線上，半徑之差為4，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先明確圓與軸正半軸相切以及圓心在直線上這兩個(gè)條件的含義，通過這兩個(gè)條件確定圓心坐標(biāo)的特點(diǎn)，再利用半徑之差以及兩點(diǎn)間距離公式求出的值.【詳解】因?yàn)閳A和圓的圓心都在直線上，所以可設(shè)圓心，.又因?yàn)閮蓤A都和軸正半軸相切，所以圓的半徑（），圓的半徑（）.已知兩圓半徑之差為，不妨設(shè)，即.根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，.把代入上式可得：.故選：A.8.在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架的邊長都是3，且它們所在的平面互相垂直.活動(dòng)彈子M，N分別在正方形對(duì)角線AC和BF上移動(dòng)，則MN的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，證明兩兩垂直，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到平面距離的向量求法求出最小值.【詳解】由正方形，得，而平面平面，平面，得平面，又四邊形是正方形，則直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)與都垂直向量，則，令，得，所以的最小值為.故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求兩條異面直線上兩點(diǎn)間距離最小值，可以利用空間向量求出兩條異面直線的公共法向量，再求投影長即可.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，設(shè)事件“第一次正面朝上”，事件“第二次反面朝上”，則（）A.A與B互斥 B.A與B相互獨(dú)立 C.A與B相等 D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件、相互獨(dú)立事件以及事件相等的概念，再根據(jù)拋擲硬幣的實(shí)際情況來判斷各選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，互斥事件是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，第一次正面朝上（事件A發(fā)生）時(shí)，第二次仍有可能反面朝上（事件B發(fā)生），即A與B是可以同時(shí)發(fā)生的.所以A與B不是互斥事件，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B，相互獨(dú)立事件是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響.第一次拋擲硬幣的結(jié)果不會(huì)影響第二次拋擲硬幣的結(jié)果.事件A發(fā)生的概率，，即.所以A與B相互獨(dú)立，B選項(xiàng)正確.對(duì)于C，事件A是“第一次正面朝上”，事件B是“第二次反面朝上”，它們所包含的具體情況明顯不同.所以A與B不相等，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，每次正面朝上和反面朝上的概率都是.事件A“第一次正面朝上”的概率，事件B“第二次反面朝上”的概率.所以，D選項(xiàng)正確.故選：BD.10.如圖，為的直徑，為上異于、的動(dòng)點(diǎn)，平面，為的中點(diǎn)，且，，則（）A.的長等于點(diǎn)到直線的距離B.為二面角的平面角C.當(dāng)時(shí)，與平面所成角為D.過作平面平面，則平面與交點(diǎn)的軌跡為橢圓【答案】AC【解析】【分析】利用線面垂直的性質(zhì)證明出，可判斷A選項(xiàng)；利用二面角的定義可判斷B選項(xiàng)；利用線面角的定義可判斷C選項(xiàng)；找出平面與的交點(diǎn)，并求其軌跡，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，為的直徑，為上異于、的動(dòng)點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫妫矫?，則，因?yàn)椋?、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫妫?，，故的長等于點(diǎn)到直線的距離，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，為二面角的平面角，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由于，則，因?yàn)槠矫?，平面，則，所以，，因?yàn)槠矫?，則直線與平面所成角為，因?yàn)椋瑒t，則，故當(dāng)時(shí)，與平面所成角為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，分別取、的中點(diǎn)、，連接、、，取線段的中點(diǎn)，連接，如下圖所示：因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以，平面，同理可證平面，且，因?yàn)?，、平面，所以，平面平面，所以，平面即為平面，所以，平面與的交點(diǎn)為，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，因?yàn)?，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，又因?yàn)辄c(diǎn)為上異于、的動(dòng)點(diǎn)，故點(diǎn)不與點(diǎn)、重合，所以，過作平面平面，則平面與交點(diǎn)的軌跡為圓（除去點(diǎn)和點(diǎn)），D錯(cuò).故選：AC.11.已知拋物線和橢圓有相同的焦點(diǎn)F，且交于M，N兩點(diǎn)，C的準(zhǔn)線與交于P，Q兩點(diǎn)，則（）A.存在，使為等邊三角形B.存在，使四邊形PQNM為正方形C.任意，點(diǎn)M總在圓外D.任意，橢圓上任一點(diǎn)總在圓外【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意,焦點(diǎn)F1,0，則拋物線，準(zhǔn)線方程為，若為等邊三角形，即，可求出，判斷A；根據(jù)橢圓、拋物線的對(duì)稱性，則，發(fā)生矛盾，可判斷B；利用拋物線定義判斷C；利用橢圓定義和性質(zhì)判斷D.【詳解】根據(jù)題意，橢圓，，所以焦點(diǎn)F1,0，則拋物線，準(zhǔn)線方程為，設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為F1?1,0，準(zhǔn)線過點(diǎn)若為等邊三角形，即，即，解得，故A正確；根據(jù)橢圓、拋物線的對(duì)稱性，若四邊形PQNM為正方形，則，所以直線方程為，代入拋物線方程，得，此時(shí)，矛盾，B錯(cuò)誤；根據(jù)題意，又由拋物線定義，，所以任意，點(diǎn)M總在圓外，C正確；設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)，根據(jù)橢圓定義，則，而，所以，所以點(diǎn)在圓外，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：選項(xiàng)C、D中，分別利用拋物線和橢圓定義進(jìn)行判斷是解題關(guān)鍵.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，平面的法向量，點(diǎn)在內(nèi)，則原點(diǎn)O到的距離為______.【答案】7【解析】【分析】先求出向量，再利用點(diǎn)到平面距離公式來計(jì)算原點(diǎn)到平面的距離.【詳解】已知點(diǎn)，點(diǎn)，那么向量.已知，，則.對(duì)于向量，根據(jù)向量模長公式.計(jì)算原點(diǎn)到平面的距離：根據(jù)點(diǎn)到平面距離公式，把，代入可得，.故答案為：7.13.已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過作斜率為的直線與C的右支交于點(diǎn)P，若是以為底邊的等腰三角形，則雙曲線的離心率為______.【答案】3【解析】【分析】首先通過構(gòu)建輔助線，利用垂直關(guān)系和三角函數(shù)的定義來確定線段長度，進(jìn)而根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求出離心率【詳解】如圖，取的中點(diǎn)Q，，連接，則.已知，不妨設(shè)根據(jù)正切值的定義，當(dāng)時(shí)，.在中，由勾股定理.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，且，所以.又因?yàn)椋?離心率.故答案為：3.14.已知點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在圓上，則______.【答案】##【解析】【分析】分析出點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，從而聯(lián)立與，求出，根據(jù)的中點(diǎn)在上得到方程，求出答案.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，顯然在上，由對(duì)稱性可知，，故點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，即，聯(lián)立與得，故點(diǎn)，顯然的中點(diǎn)在上，即，解得.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，，是圓上的三點(diǎn)，.（1）判斷四點(diǎn)否共圓，并說明理由；（2）過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長為8，求直線的方程.【答案】（1）四點(diǎn)共圓，理由見解析（2）或.【解析】【分析】（1）先根據(jù)三點(diǎn)解得圓的方程為，代入可判斷；（2）直線斜率不存在時(shí)，與圓的方程聯(lián)立可得，直線斜率存在時(shí)，根據(jù)垂徑定理可得.【小問1詳解】四點(diǎn)共圓.法一：依題意，，，則，故，所以是圓的直徑.于是圓心，即；半徑為，故圓P的方程為.代入，則有，因此點(diǎn)在圓上，即四點(diǎn)共圓.法二：設(shè)圓的方程為.則，解得，，.所以，圓的方程為，代入圓的方程，.故點(diǎn)在圓P上，即四點(diǎn)共圓.【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，對(duì)于，令，得或.此時(shí)弦長，符合題意，故直線的直線方程為.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，即.于是圓心到直線的距離為.設(shè)弦長為，則，即，解得.故直線的方程為.綜上所述，直線l的方程為或.16.如圖，在多面體中，四邊形是邊長為2的菱形，，，平面，，.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）60°.【解析】【分析】（1）先分別在梯形和三角形中通過邊長計(jì)算判斷直線垂直，然后根據(jù)直線與平面垂直判定定理得出最終結(jié)論.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)和平面法向量坐標(biāo)，借助向量夾角余弦值公式計(jì)算即可.【小問1詳解】四邊形是邊長為2的菱形，，則為等邊三角形，,.由于平面，平面，則,，根據(jù)勾股定理求得，同理.在梯形中，，所以，則，在中，，，，所以，則，因?yàn)?，平面，所以平?【小問2詳解】以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz如圖所示，，，，，，,，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，得，從而可得，同理設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，得可得平面的一個(gè)法向量為，所以，故平面與平面的夾角的余弦值為，其大小為60°.17.甲同學(xué)參加立定投籃訓(xùn)練活動(dòng).規(guī)則如下：每投中一球得1分，投不進(jìn)得分.已知甲每次的投籃命中率為，前6次投籃全部命中，各次投籃結(jié)果相互獨(dú)立.（1）求甲投完第8次球后得分依舊為6分的概率.（2）若甲最多有10次投籃機(jī)會(huì)，得分不少于7分則為優(yōu)秀.為了使獲得優(yōu)秀的概率最大，甲選擇的投籃次數(shù)應(yīng)該是多少次？【答案】（1）（2）投籃7次或9次.【解析】【分析】（1）運(yùn)用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，結(jié)合對(duì)立事件的概率加法公式計(jì)算即可.（2）運(yùn)用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，結(jié)合互斥事件的概率加法公式計(jì)算即可.【小問1詳解】依題意，記“接下來第i次投中”，，2，3，4“甲投完第8次球后甲得分為6分”則，且與互斥，根據(jù)概率加法公式和事件獨(dú)立性定義，得.【小問2詳解】記“甲再投一次優(yōu)秀”，則，故，記“甲再投兩次優(yōu)秀”，則，故記“甲再投三次優(yōu)秀”，則，則記“甲再投四次優(yōu)秀”，則，故，因此應(yīng)該選擇投籃7次或9次.18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的焦點(diǎn)為F，直線，其中，直線l與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，直線PF交C于另一個(gè)點(diǎn)Q.（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）求面積的取值范圍.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）通過聯(lián)立方程組得到一個(gè)關(guān)于的方程，利用判別式求出與的關(guān)系，進(jìn)而確定、的值，得到相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)的位置關(guān)系求出弦長.（2）法一：通過聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理得到相關(guān)量的關(guān)系，再結(jié)合已知條件推導(dǎo)三角形面積的表達(dá)式，由函數(shù)單調(diào)性可求面積范圍；法二：聯(lián)立直線與拋物線方程，求出點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立，求出點(diǎn)坐標(biāo)，即得三角形面積公式，由函數(shù)單調(diào)性可求面積范圍.【小問1詳解】由，得，由，得，所以，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為，注意到點(diǎn)F坐標(biāo)為，有軸，由拋物線對(duì)稱性，點(diǎn)Q坐標(biāo)為，故弦長；【小問2詳解】方法一：直線PF過點(diǎn)，且斜率不為0，不妨設(shè)直線PF方程為，聯(lián)立，消去得：，設(shè)，，由，知且，且，則的面積為，由（1）中，得，所以，可求得點(diǎn)P坐標(biāo)為，點(diǎn)在直線PF上，可得，即，而所以，由，且，知，則，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)單調(diào)遞增，其值域?yàn)?，所以，則，所以，故面積的取值范圍是.法二：聯(lián)立，可得，依題意可得，則.且，得，故，即點(diǎn).設(shè)直線，聯(lián)立，得，則，結(jié)合，得，于是，即點(diǎn).從而，因?yàn)?，且，故，根?jù)對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性，可得.因此面積的取值范圍是.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了拋物線方程的求解以及直線和拋物線位置關(guān)系中的范圍問題，綜合性較強(qiáng)，解答時(shí)要注意設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系式化簡(jiǎn)，難點(diǎn)在于計(jì)算過程較為復(fù)雜，計(jì)算量大，要十