PAGE3數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透及應(yīng)用研究摘要數(shù)形結(jié)合思想方法，顧名思義，就是將數(shù)和形結(jié)合起來的一種思想方法，這種思想方法可以將很復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題形象化及簡單化，能讓學(xué)生更加容易接受和理解，以此來解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題.在中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合思想非常的重要，它不僅可以讓我們要研宄的數(shù)學(xué)問題變得簡單，還能讓中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣變得更加濃厚.本文中首先簡單的介紹數(shù)形結(jié)合思想的提出，然后通過數(shù)形結(jié)合的目標(biāo)性、反復(fù)性、反復(fù)滲透、學(xué)生參與和系統(tǒng)性等原則和概念理論教學(xué)中滲透、在案例講解介紹、在習(xí)題解決中鞏固、在實(shí)際問題解決中運(yùn)用、在反思總結(jié)中內(nèi)化等方法的途徑滲透數(shù)形結(jié)合的思想.之后講述了數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的等價(jià)性、雙向性、簡潔性和實(shí)踐性等應(yīng)用原則和應(yīng)用實(shí)例，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用從以下三個(gè)方面來展開：以數(shù)解形，以形化數(shù)，數(shù)形結(jié)合.以數(shù)解形有利用代數(shù)法、面積法、三角法、向量法解決幾何問題，以形解數(shù)有利用圖形解決不等式、函數(shù)類、概率類等問題，數(shù)形結(jié)合有數(shù)形結(jié)合思想方法在一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)中的應(yīng)用，最后做出了總結(jié).關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；思想；中學(xué)數(shù)學(xué)；教學(xué)；滲透目錄TOC\o"1-2"\h\u24944摘要 I17221目錄 III13279一、引言 111525二、數(shù)形結(jié)合思想概念的提出 116486三、數(shù)形結(jié)合思想的滲透 210937（一）中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的滲透原則 223438（二）教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想方法的途徑 28722四、數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用原則 42608（一）等價(jià)性原則 42759（二）雙向性原則 423134（三）簡潔性原則 417141（四）實(shí)踐性原則 424781五、數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用 510077（一）以數(shù)化形 516017（二）以形解數(shù) 85815（三）數(shù)形結(jié)合 1222961六、結(jié)語 15113參考文獻(xiàn) 16一、引言眾所周知，中學(xué)數(shù)學(xué)分為代數(shù)和幾何兩大部分.所謂的代數(shù)和幾何主要是針對數(shù)和圖形進(jìn)行分析和研究的過程，代數(shù)和幾何之間是不僅相對獨(dú)立的，而且他們之間的聯(lián)系是密切的.我們常常會面臨復(fù)雜的代數(shù)的復(fù)雜問題，如果我們直接進(jìn)行計(jì)算的話計(jì)算量會非常的大而且不好計(jì)算，如果我們把所要解決的為題轉(zhuǎn)化成直觀的圖形來看待問題的話我們能夠很直觀的從圖形中找到我們的答案.還有我們平時(shí)遇到一些圖形等因?yàn)槎喾N因素，比如沒有考慮到輔助線等問題而無法得到相應(yīng)的答案，但是如果我們換一個(gè)思路，換一種方法比如坐標(biāo)軸等工具的協(xié)助，往往能夠很容易就能得到答案.這一種圖形和數(shù)的相互轉(zhuǎn)換又相互協(xié)助的思想方法在數(shù)學(xué)上叫做數(shù)形結(jié)合思想.數(shù)形結(jié)合思想是能夠良好的聯(lián)系數(shù)和形的橋梁，對于我們能快手而準(zhǔn)確的解決數(shù)學(xué)問題起著非常重要的作用.數(shù)形結(jié)合教育思想教學(xué)方法的重要教學(xué)應(yīng)用價(jià)值及其教學(xué)解題指導(dǎo)功能，已被廣大高校數(shù)學(xué)學(xué)科教育研究工作者所廣泛認(rèn)識，其數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)研究與教學(xué)實(shí)踐也逐漸變得深入.然而，數(shù)形結(jié)合思想在我們的學(xué)校教育的實(shí)際教育教學(xué)工作中沒有能夠很好的落實(shí)到位，而它沒有落實(shí)到位的主要表現(xiàn)在教師在教學(xué)過程中沒有能夠明確數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)目標(biāo)，也沒有能夠在教學(xué)過程中做到合理的安排并帶領(lǐng)學(xué)生一步步的了解其含義和應(yīng)用，沒有做到由淺入深，有簡單到復(fù)雜的過程.在教學(xué)課堂中盲目性，隨意性較大，甚至有的教師在教學(xué)過程中把簡單的數(shù)形結(jié)合思想看成一種解題的手段，只是在教學(xué)過程中一帶而過.二、數(shù)形結(jié)合思想概念的提出恩格斯有句名言：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué).”REF_Ref26053\r\h[2]數(shù)形結(jié)合這種思想方法研究分析并揭示問題所包含的數(shù)學(xué)意義和幾何直觀，這樣就能夠?qū)?shù)學(xué)符號語言和圖形結(jié)合起來，從而能夠?qū)崿F(xiàn)形象思維和抽象思維的統(tǒng)一.著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”REF_Ref26157\r\h[3]這首小詞能夠揭示“數(shù)形結(jié)合”這種數(shù)學(xué)思想方法的本質(zhì)和其價(jià)值.數(shù)形結(jié)合的思想方法從字面的意思來看就是把我們所學(xué)的代數(shù)和幾何結(jié)合起來的思想方法。運(yùn)用這種方法的過程中，通過“以數(shù)助形”的這種數(shù)學(xué)思想方法可以使復(fù)雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，使抽象思維為變?yōu)樾蜗笏季S.REF_Ref9332\r\h[2]通過“以數(shù)輔形"的這種教學(xué)思想方，有利于充分發(fā)展培養(yǎng)學(xué)生的多種直覺數(shù)學(xué)思維，形象思維和抽象思維，有利于引導(dǎo)學(xué)生正確把握應(yīng)用數(shù)學(xué)研究問題的理論本質(zhì)，加深對應(yīng)用數(shù)學(xué)的整體認(rèn)識，實(shí)現(xiàn)應(yīng)用數(shù)學(xué)的理論靈活性與數(shù)學(xué)規(guī)律性的有機(jī)性相結(jié)合的整體思想教學(xué)方法.在我國中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育中可使教師靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)換數(shù)字和數(shù)學(xué)圖形，能夠十分注重運(yùn)用數(shù)形原理結(jié)合數(shù)學(xué)思想的轉(zhuǎn)化滲透，可以有效幫助引導(dǎo)學(xué)生簡單、快速的理解和解決復(fù)雜的問題.同時(shí)還認(rèn)為可以有效幫助廣大學(xué)生不斷擴(kuò)展自己的理論學(xué)習(xí)運(yùn)維思路，為學(xué)生研究和創(chuàng)新探索現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識體系開發(fā)了一條有效的教學(xué)方法.三、數(shù)形結(jié)合思想的滲透（一）中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的滲透原則1.目標(biāo)性原則數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中要求應(yīng)當(dāng)在教學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識時(shí)把數(shù)學(xué)的思想方法納入到其教學(xué)中，教師在進(jìn)行課堂教學(xué)和教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)該注意數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)目標(biāo)在課堂教學(xué)中的滲透。數(shù)學(xué)教師注意并掌握中學(xué)數(shù)學(xué)課程中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法，能夠有效地分解和細(xì)化在中學(xué)中某些重要的數(shù)學(xué)思想方法并能夠把數(shù)學(xué)思想方法恰到好處的運(yùn)用和分配到教學(xué)環(huán)節(jié)當(dāng)中，能夠在“三維”立體目標(biāo)中體現(xiàn)出來。所以在滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法時(shí)嚴(yán)格遵循目標(biāo)性的原則。2.反復(fù)滲透原則數(shù)學(xué)中的所運(yùn)用的數(shù)學(xué)方法是具有高度的概括性的，需要教師精心的設(shè)計(jì)并在教學(xué)過程中逐步的引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會其內(nèi)涵。因此教師在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中需要采用反復(fù)滲透的原則。首先，作為教師要深入了解并善于挖掘其課堂教育教學(xué)的內(nèi)容，明白教學(xué)過程需要的教學(xué)方法并能夠設(shè)計(jì)好教學(xué)過程和步驟，為逐步滲透數(shù)形結(jié)合思想做準(zhǔn)備。其次，教師要在課堂中有意識的運(yùn)用設(shè)計(jì)好的數(shù)學(xué)方法，讓學(xué)生在課堂中盡可能的多積累數(shù)學(xué)思想方法。為了達(dá)到這一要求教師需要在教學(xué)過程中反復(fù)滲透數(shù)學(xué)方法。3.學(xué)生參與原則在教學(xué)過程中學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的指引者和引導(dǎo)者。在中學(xué)的數(shù)學(xué)過程中不應(yīng)該以教師講為主，教師在教學(xué)過程中要引導(dǎo)學(xué)生參與到教學(xué)過程來，教師應(yīng)該給多一點(diǎn)空間和時(shí)間供學(xué)生思考。教師應(yīng)該善于制造良好的氛圍，使更多的學(xué)生主動地參與到教學(xué)活動中，能夠獨(dú)立、積極地思考。從而養(yǎng)成積極思考，愛動手的好習(xí)慣（二）教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想方法的途徑1.概念理論教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想方法教師在講授數(shù)學(xué)概念知識的過程中應(yīng)該要注意知識的運(yùn)用的的全過程.教師在數(shù)學(xué)教學(xué)的課堂中應(yīng)當(dāng)注意到每一位學(xué)生的學(xué)習(xí)，使學(xué)生養(yǎng)成在課堂上及時(shí)學(xué)習(xí)的好習(xí)慣，并且能夠明白自己所學(xué)習(xí)的只是是怎么來的、應(yīng)該在實(shí)際問題中怎么運(yùn)用.概念知識的學(xué)習(xí)是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識最直接的體現(xiàn)，學(xué)生只有自己親身經(jīng)歷并參與到學(xué)習(xí)的全部過程，才能夠真正理解概念的含義。利用數(shù)學(xué)思想方法系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)概念化的教學(xué)，可以更好地幫助突破教學(xué)難點(diǎn)，使中學(xué)生順利地正確理解數(shù)學(xué)概念.利用直觀的圖形給學(xué)生介紹概念從而幫助學(xué)生能夠更好地理解其含義，促進(jìn)了中學(xué)生對一個(gè)概念整體認(rèn)知的有結(jié)構(gòu)性的發(fā)展.因此在概念理論的教學(xué)過程中滲透數(shù)形結(jié)合的思想是學(xué)生學(xué)習(xí)好數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法的好時(shí)機(jī).2.在案例講解中介紹數(shù)形結(jié)合思想方法教師在講解典型的數(shù)學(xué)案例時(shí)一定首先要注意能夠特別善于用典型的教學(xué)例子和題對引導(dǎo)學(xué)生自己進(jìn)行案例解題和教學(xué)示范，要特別注意如何引導(dǎo)他們從中出發(fā)去深入思考，如何引導(dǎo)學(xué)生正確的思考。特別是面對幾何和代數(shù)的問題時(shí)要發(fā)散思維，從多個(gè)方面入手，題目中看到關(guān)于代數(shù)的問題有意識的想到它的圖形，如果在題目中遇到幾何問題要往代數(shù)方面思考。要有意識的考慮到利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。這種思考的過程不僅鍛煉的師生的邏輯思維，也培養(yǎng)了教師和學(xué)生對于空間的想像力，激發(fā)了他們的創(chuàng)造性意識.3.在習(xí)題解決中鞏固數(shù)形結(jié)合思想方法教師要在解決數(shù)學(xué)習(xí)題的過程中注重解題思路的數(shù)學(xué)思想方法分析，增強(qiáng)解題過程的數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)，提倡解題以后的數(shù)學(xué)思想方法的反思。通過在習(xí)題的解決中親身感受和運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法的技巧手段和方法，使學(xué)生加深對數(shù)形結(jié)合思想的理解和認(rèn)識并且能夠真正的學(xué)會這種數(shù)學(xué)思想方法，能夠獨(dú)立的解決問題.為學(xué)生能夠在實(shí)際操作中利用數(shù)形結(jié)合的思想方法提供了很大的幫助.學(xué)生在利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決分析實(shí)際問題的同時(shí)也能夠感受數(shù)形結(jié)合的思想方法帶來的便利.能夠讓學(xué)生在解題時(shí)把復(fù)雜的抽象問題化成簡單的具體的問題，對于學(xué)生能夠打開視野、突破思考定勢具有很好的意義。.4.在實(shí)際問題解決中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法數(shù)學(xué)來源于生活，利用數(shù)學(xué)也能解決生活中的很多問題。數(shù)學(xué)與我們的實(shí)際生活具有緊密的聯(lián)系。這些活動都是學(xué)生很樂意參與的一些與生活緊密聯(lián)系的活動。數(shù)形結(jié)合的思想方法早在幾千年前就已經(jīng)開始在實(shí)際生活中應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法我們的有些無法解決的問題就可以迎刃而解了。隨著數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展，數(shù)形結(jié)合的思想方法在實(shí)際生活中的應(yīng)用越來越廣泛了.5.在反思總結(jié)中內(nèi)化數(shù)形結(jié)合思想方法反思，它是數(shù)學(xué)課堂上不可或缺的一個(gè)重要組成部分.波利亞曾經(jīng)說，雖然我們在解決一個(gè)問題的時(shí)候并不能完全做到十分完美.但是，如果我們認(rèn)真地去探索和鉆研，我們便會得以有所改善，提高對其解答的認(rèn)識和理解.教師的自我反思行為能夠直接的激發(fā)學(xué)生的反思，所以教師不僅僅是在遇到問題時(shí)想到運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，更應(yīng)該去挖掘教科書中所包含的幾種數(shù)學(xué)的思想方法，并提前做好分析、整理、總結(jié)的工作以備課堂中運(yùn)用自如。同時(shí)，教師更應(yīng)該特別注意啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考反思的工作，養(yǎng)成一個(gè)積極反思、自我總結(jié)的好習(xí)慣。四、數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用原則（一）等價(jià)性原則在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決同一個(gè)問題時(shí)會用到數(shù)和形兩種方法，在這兩種方法相互轉(zhuǎn)換過程中就需要用到等價(jià)性原則。在實(shí)際操作中如果不能做到等價(jià)，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)換成幾何問題或把幾何問題轉(zhuǎn)換成幾何問題結(jié)果就會出現(xiàn)偏差.（二）雙向性原則在中學(xué)的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法是，我們要注意這兩種轉(zhuǎn)換的優(yōu)缺點(diǎn)和對應(yīng)的轉(zhuǎn)換規(guī)則。面對不同的題目采取不同的方法，有些題目只能用代數(shù)來解決、有些題目只能用幾何來解決、而有些題目需要用到兩者結(jié)合才能解決。所以我們在解決問題時(shí)充分發(fā)揮兩種方法的各自的優(yōu)勢，體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法的優(yōu)勢。.（三）簡潔性原則教師在講授數(shù)形結(jié)合的思想方法時(shí)要盡量保證做到準(zhǔn)確、簡潔，向?qū)W生倡導(dǎo)利用簡單的方法解決問題。在解決問題時(shí)要做到構(gòu)圖簡單、簡潔，代數(shù)計(jì)算時(shí)盡量避免復(fù)雜繁瑣的計(jì)算方法降低解題難度。在解題中如果不注意這兩點(diǎn)在會浪費(fèi)我們大量的時(shí)間和精力，甚至?xí)霈F(xiàn)解答錯(cuò)誤或解不出來等狀況（四）實(shí)踐性原則數(shù)形結(jié)合的實(shí)踐性原則就是指學(xué)生把這種數(shù)學(xué)思想運(yùn)用到實(shí)際的解題過程中來。能夠靈活的運(yùn)用老師在課堂上所講的方法及學(xué)生自己總結(jié)得來的思想方法。除此之外，學(xué)生需要不斷的進(jìn)行實(shí)際的練習(xí).五、數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用（一）以數(shù)化形1.利用代數(shù)法解決幾何問題例題1：如圖1，，則S?AGC=_________圖1例題1解析：延長AG，CG分別交AB，BC于點(diǎn)D，E，連接DE，所作圖如下圖2所示.在Rt?ABC中，因?yàn)椤螧AC=90o，AB=3，AC=2，所以因?yàn)镚是?ABC的重心，所以AG=2EG，CG=2DG又因?yàn)镈，E分別是AB，BC的重點(diǎn)，所以DE∥AC，且設(shè)S?DGE=m，則S?ADG=S?EGC=2m，S?AGC=4m，所以S?ADE=S?BDE=3m，則S?ABC=12m因?yàn)?2m=3，所以，所以S?AGC=1圖2例題1解析這個(gè)例題是關(guān)于求解三角形的面積問題，解決問題的過程，需要用到兩個(gè)相同高度的三角形的面積之比等于兩個(gè)底部的線段的長度.雖然題目中給出的已知條件很少，但是我們可以通過題干尋找到題目的隱藏條件，即重心的性質(zhì)，只要抓住這個(gè)重要的性質(zhì)就可以順利地利用代數(shù)的方法進(jìn)行解題，使得原本的幾何問題簡單化.這道例題如果直接求解?AGC的面積比較困難，解題步驟比較繁瑣，這時(shí)需要應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解題，嘗試選擇用代數(shù)的方法去解決問題，這樣就可以簡化書寫解題的過程.2.利用面積法解決幾何問題例題2：Rt?ABC中，∠ACB=90o，a，b為兩直角邊，斜邊AB上的高為h，求證：圖3例題2解析：在Rt?ABC中，∠ACB=90o，CD⊥AB，所以從而得到ab=AB·h，則a2b2=AB2·h2=(a2+b2)·h2等式的兩邊同時(shí)除以a2+b2，得：面積法的一大優(yōu)點(diǎn)是能夠具體化和可視化抽象問題.用面積法解決數(shù)學(xué)問題既可以發(fā)展圖形感，同時(shí)可以深入理解各種問題的共同點(diǎn).此外面積法還可以起到訓(xùn)練學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識的作用.這個(gè)例題要證明邊長與高之間的數(shù)量關(guān)系式，單純地從圖形上來判斷，很難知道他們之間的關(guān)系.運(yùn)用面積法可以輕松地通過面積表達(dá)式找出數(shù)量關(guān)系，從而順利地求解出結(jié)果.這道例題要求證明線段之積相等，而且題目所給的條件很少，因此解題時(shí)要有發(fā)散性的思維.運(yùn)用面積法進(jìn)行證明，只需要兩步就可以證明出來，大大提高了解題效率.應(yīng)用面積法解決幾何問題不僅可以鍛煉學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的意識，而且能夠豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)解題方法.3.利用三角法解決幾何問題例題3：在?ABC中，AB=8，∠C=60o，∠A＞∠B，則BC長的取值范圍是_________.圖4例題3解析：因?yàn)椤螩=60o，∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A+∠B=120°.因?yàn)椤螦＞∠B，所以∠A＞120°-∠A，所以∠A＞60°.因?yàn)椤螩=60°，所以∠A＞∠C，所以BC＞AB.因?yàn)锳B=8，所以BC＞8.過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D.因?yàn)椤螩=60°，.因?yàn)锽D⊥AC，所以BD≤AB，即，所以，所以圖5例題3解析這道例題需要求邊長BC的范圍，但是題目中只給出了一條邊AC的長度，直接求解BC的長度比較困難，再聯(lián)系題目中給出的角度關(guān)系，考慮運(yùn)用三角函數(shù)中的正弦或余弦來解題.題中已經(jīng)給出了∠C的度數(shù)以及∠A與∠B的大小關(guān)系，結(jié)合三角形中隱藏的三個(gè)角之間的關(guān)系：三角形的內(nèi)角和為180°即可知道∠A與∠C的大小關(guān)系.再利用“大角對大邊”，可以求出BC的范圍.題中的數(shù)據(jù)較少，不足以解決問題，這時(shí)需要改變思維方式，借助輔助線尋找更多的數(shù)量關(guān)系，應(yīng)用銳角的正弦函數(shù)求出BC的長度關(guān)系式，然后利用三角形中的邊角關(guān)系即可求出BC的范圍.在解題中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，可以拓寬數(shù)學(xué)思維方式，使得解題思路清晰，將復(fù)雜的幾何問題變得簡單，學(xué)生就可以輕松地求解出結(jié)果.4.利用向量法解決幾何問題例4，如圖，四棱錐S-ABCD的底面是一個(gè)直角梯形，其中AD∥BC，∠ABC=90°，SA?面ABCD，SA=1，AB=BC=2，AD=1，求側(cè)面SCD和面SAB所成的二面角的大小分析：由于不容易直接在圖形上作出二面角，利用幾何法求得二面角難度比較大，所以這道題目用向量法來求解更為簡單和簡潔解：由于∠ABC=90°，可以把點(diǎn)A作為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)來建立坐標(biāo)系，如下圖因此得到點(diǎn)的坐標(biāo)S(0，0，1)A(0，0，0)B(0，2，0)C(2，2，0)D(1，0，0)則SA=(0，0，-1）SB=(0，2，-1)SC=(2，2，-1）SD=(1，0，-1)平面SAB的法向量n1設(shè)平面SCD的法向量為n2=(x，y，z)，則n2n2?SDn2=(2，-1，2）n1cosθn1?n2n1圖6（二）以形解數(shù)1.利用圖形解決不等式問題例題5：解不等式組并寫出它的所有負(fù)整數(shù)解解析：解不等式，得；解不等式，得所以原不等式組的解集是，圖7不等式組解集這道例題不僅要求解不等式組的解集，而且要求寫出所有的負(fù)整數(shù)解.如果不利用數(shù)軸解決問題，那么很容易將負(fù)整數(shù)有所遺漏，造成解題結(jié)果不完整.這時(shí)利用數(shù)形結(jié)合思想，借助數(shù)軸解題，通過數(shù)軸來表示不等式組的解集會顯得簡單且清楚，可以清晰直接地看出所有的負(fù)整數(shù)解，不僅可以提高了解題的速度，而且可以提高了解題的正確率.不等式組的解集可以用口訣來幫助記憶，但是這個(gè)口訣里出現(xiàn)“大”和“小”的次數(shù)較多，學(xué)生在記憶的時(shí)候容易出現(xiàn)偏差，而且只是單純地背誦口訣，沒有真正理解其意義.數(shù)軸是建立在實(shí)數(shù)和函數(shù)之間各個(gè)點(diǎn)一一相互對應(yīng)的關(guān)系，是數(shù)與形之間交流溝通橋梁，使得這種抽象化的數(shù)量關(guān)系具有了一種直觀而又形象的幾何意義.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想求解不等式組的題，不僅可以加深對不等式解集概念的理解，還可以直觀地看出解集.2.利用圖形解決函數(shù)類問題例題6:已知一次函數(shù)(k為常數(shù)，k≠0)和（1）求x的取值范圍；（2）請結(jié)合圖像，直接寫出k的取值范圍.解析:（1）根據(jù)題意，得，解得（2）-4≤k≤1且k≠0如圖7所示，直線恒過點(diǎn)D（0，2），與直線x=1交于點(diǎn)C（1，k+2）直線經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），B（1，-2）過點(diǎn)D作DF∥AB，則直線DF的函數(shù)表達(dá)式為所以直線DF交直線x=1于點(diǎn)F（1，3）.由圖可知，當(dāng)點(diǎn)C在線段BF上時(shí)，所以-2≤k+2≤3，即-4≤k≤1.又因?yàn)閗≠0，所以-4≤k≤1且k≠0.圖8一次函數(shù)的圖像這道例題是有關(guān)一次函數(shù)的題，在解決函數(shù)類問題中，首先要想到繪制圖像，借助平面直角坐標(biāo)系畫出函數(shù)的圖形進(jìn)行研究分析.函數(shù)類的題目一般綜合性比較強(qiáng)，常常作為試卷中的壓軸題，難度較大，主要是針對學(xué)生綜合解題能力的考察.在分析和解決這個(gè)問題中，利用函數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想，可以建立函數(shù)關(guān)系式與平面圖形之間的對應(yīng)，更有利于分析題中所給出的條件.題目中給出了兩個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式，在解題過程中，將兩個(gè)函數(shù)的圖像在一個(gè)坐標(biāo)軸中畫出來，借助圖形研究函數(shù)y1與y2的大小關(guān)系.在研究和解決函數(shù)這一類問題時(shí)應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合的思想，通過所畫的函數(shù)圖像的直觀性，可以快速地求解出結(jié)果，從而能夠提高學(xué)生的解題能力.3.利用圖形解決概率類問題例題7：某個(gè)公司共有800名銷售人員，該公司經(jīng)理為了了解公司銷售人員春季季度商品銷售情況，隨機(jī)抽取部分銷售人員的銷售數(shù)量，并把所得數(shù)據(jù)整理后繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖表對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析.表1頻數(shù)分布表組別銷售數(shù)量/件頻數(shù)頻率A20≤x＜4030.06B40≤x＜6070.14C60≤x＜8013aD80≤x＜100m0.46E100≤x＜12040.08合計(jì)b1圖9頻數(shù)分布直方圖請根據(jù)以上信息，解決下列問題：（1）（2）（3），試估計(jì)該季度被評為“優(yōu)秀員工”的人數(shù).解析：（1）a=10.26b=50抽樣調(diào)查抽取的人數(shù)為，即b=50，所以（2）D組的頻數(shù)為m=0.46×50=23，補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如下圖所示（3）估計(jì)該季度被評為“優(yōu)秀員工”的人數(shù)為（0.46+0.08）×800=432圖10頻數(shù)分布直方圖解析《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出將“統(tǒng)計(jì)與概率”的知識加入我國義務(wù)教育的數(shù)學(xué)課堂中.REF_Ref31170\r\h[11]這道例題中給出了各等級學(xué)生人數(shù)分布扇形統(tǒng)計(jì)圖，在解題時(shí)要善于從圖中提取有效信息，再借助相關(guān)的數(shù)學(xué)公式進(jìn)行解題.在概率類問題中，經(jīng)常會給出表格或是圖形，要善于從題目所給的條件中提取有效信息，利用數(shù)形結(jié)合思想，可以建立起數(shù)與形之間聯(lián)系的紐帶，快速理清條件，從而順利地解出結(jié)果.這道例題給出的表格和圖形中都有未知的部分，在解題時(shí)，要從所給的已知信息中找出數(shù)量之間的關(guān)系，再利用相關(guān)的數(shù)學(xué)關(guān)系式求解出未知的數(shù)值.數(shù)形結(jié)合思想可以幫助尋找到數(shù)與形之間的聯(lián)系，理清題中的數(shù)量關(guān)系，提高解題的速度.（三）數(shù)形結(jié)合以初中數(shù)學(xué)為例，下面列出數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中幾種基本函數(shù)中的應(yīng)用.用幾個(gè)表格列出，更加有助于直觀的判斷和觀察圖像與函數(shù)的關(guān)系.1.數(shù)形結(jié)合方法在一次函數(shù)中的應(yīng)用表1一次函數(shù)(k≠0)“數(shù)”“形”kb數(shù)值的變化趨勢函數(shù)的圖像經(jīng)過的象限圖形的變化趨勢k>0b>0y隨x的增大而增大一、二、三從左往右呈上升趨勢b<0一、三、四k<0b>0y隨x的增大而減小一、二、四從左往右呈下降趨勢b<0二、三、四2.數(shù)形結(jié)合方法在反比例函數(shù)中的應(yīng)用表2反比例函數(shù)(k≠0)“數(shù)”“形”k數(shù)值的變化趨勢（在每一象限內(nèi)）函數(shù)的圖像經(jīng)過的象限圖形的變化趨勢k>0y隨x的增大而減小一、三從左往右呈上升趨勢k<0y隨x的增大而增大二、四從左往右呈下降趨勢3.數(shù)形結(jié)合方法在二次函數(shù)中的應(yīng)用表3二次函數(shù)(a≠0)“數(shù)”“形”ax數(shù)值的變化趨勢函數(shù)的圖像開口方向圖形的變化趨勢a>0x>0y隨x的增大而減小向上從左往右呈下降趨勢x<0y隨x的增大而增大從左往右呈上升趨勢a<0x>0y隨x的增大而增大向下從左往右呈上升趨勢x<0y隨x的增大而減小從左往右呈下降趨勢初中數(shù)學(xué)中的函數(shù)主要有三種，分別是一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù).螺旋式課程最早是由布魯納先生