高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊第八章8.58.5.3第1課時(shí)平面與平面平行的判定定理含答案8.5.3平面與平面平行第1課時(shí)平面與平面平行的判定定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解平面與平面平行的定義,掌握平面與平面平行的判定定理.2.會(huì)用平面與平面平行的判定定理證明空間面面位置關(guān)系.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象直觀想象、邏輯推理平面與平面平行的判定定理1.判定定理:如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行,那么這兩個(gè)平面平行.2.符號表示:a?β,b?β,a∩b=P,a∥α,b∥α?α∥β.【教材挖掘】(P139探究)把一個(gè)三角板的兩條邊所在直線分別與桌面平行,這個(gè)三角板所在平面與桌面有怎樣的位置關(guān)系?提示:平行.【版本交融】(人BP106想一想)如果一個(gè)平面內(nèi)存在無數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面一定平行嗎?提示:不一定.【版本交融】(北師大版P234思考交流)“平面α內(nèi)存在著不共線的三點(diǎn)到平面β的距離相等”是“α∥β”的什么條件?提示:必要不充分條件.【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條平行直線與另一個(gè)平面平行,那么這兩個(gè)平面平行.(×)提示:這兩個(gè)平面平行或相交.(2)若一個(gè)平面與另一個(gè)平面沒有公共點(diǎn),則這兩個(gè)平面平行.(√)(3)若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線,則這兩個(gè)平面平行.(√)(4)直線a?α,直線b?β,且a∥β,b∥α,則α∥β.(×)提示:這兩個(gè)平面平行或相交.類型一面面平行定義的理解(數(shù)學(xué)抽象)【典例1】(多選)下列命題中正確的是()A.若一個(gè)平面內(nèi)有一條直線與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行B.若一個(gè)平面內(nèi)有兩條直線都與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行C.若一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面,則這兩個(gè)平面平行D.若兩個(gè)平面不相交,則這兩個(gè)平面平行【解析】選CD.對于A:一個(gè)平面內(nèi)有一條直線與另外一個(gè)平面平行,那么這兩個(gè)平面相交、平行都有可能,錯(cuò)誤;對于B:一個(gè)平面內(nèi)有兩條直線都與另外一個(gè)平面平行,如果這兩條直線不相交,而是平行,那么這兩個(gè)平面相交也能夠找得到這樣的直線存在,錯(cuò)誤;對于C:一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都與另外一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行.這是兩個(gè)平面平行的定義,正確;對于D:因?yàn)閮蓚€(gè)平面的位置關(guān)系只有相交與平行兩種,如果兩個(gè)平面不相交,那么這兩個(gè)平面一定平行,正確.【總結(jié)升華】理解面面平行定義的關(guān)注點(diǎn)1.面面平行的定義給出了兩個(gè)平面平行的充要條件.2.常用方法:借助于常見模型(如正方體),舉反例否定結(jié)論.【即學(xué)即練】下列命題中,錯(cuò)誤的是()A.平行于同一直線的兩個(gè)平面平行B.平行于同一平面的兩個(gè)平面平行C.平行于同一平面的兩直線關(guān)系不確定D.兩平面平行,一平面內(nèi)的直線必平行于另一平面【解析】選A.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,BB1∥平面ADD1A1,BB1∥平面DCC1D1,而平面ADD1A1∩平面DCC1D1=DD1.類型二面面平行的判定(邏輯推理)【典例2】如圖,兩個(gè)共底面的正四棱錐組成一個(gè)八面體EABCDF,且該八面體的各棱長均相等,求證:平面ABF∥平面CDE.【證明】連接AC交BD于點(diǎn)O,則點(diǎn)O為正方形ABCD的中心,由對稱性可知OE=OF,OA=OC,所以四邊形AFCE為平行四邊形,所以AF∥CE,又AF?平面CDE,CE?平面CDE,所以AF∥平面CDE,同理BF∥平面CDE,又AF∩BF=F,AF,BF?平面ABF,所以平面ABF∥平面CDE.【總結(jié)升華】平面與平面平行的判定方法(1)定義法:兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn).(2)判定定理:一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面.(3)利用線線平行:平面α內(nèi)的兩條相交直線與平面β內(nèi)的兩條相交直線分別平行,則α∥β.【即學(xué)即練】如圖,在四棱錐P-ABCD中,E,F,G分別是PC,PD,BC的中點(diǎn),CD∥AB,求證:平面PAB∥平面EFG.【證明】因?yàn)镋,G分別是PC,BC的中點(diǎn),所以EG∥PB,又因?yàn)镋G?平面PAB,PB?平面PAB,所以EG∥平面PAB,因?yàn)镋,F分別是PC,PD的中點(diǎn),所以EF∥CD,又因?yàn)锳B∥CD,所以EF∥AB,因?yàn)镋F?平面PAB,AB?平面PAB,所以EF∥平面PAB,又EF∩EG=E,EF,EG?平面EFG,所以平面PAB∥平面EFG.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖所示,在直角梯形ABCP中,BC∥AP,AB⊥BC,CD⊥AP,AD=DC=PD.E,F,G分別為線段PC,PD,BC的中點(diǎn),現(xiàn)將△PDC折起,使點(diǎn)P?平面ABCD.求證:平面PAB∥平面EFG.【證明】因?yàn)镻E=EC,PF=FD,所以EF∥CD,又因?yàn)镃D∥AB,所以EF∥AB.又EF?平面PAB,AB?平面PAB,所以EF∥平面PAB.同理可證EG∥平面PAB.又因?yàn)镋F∩EG=E,所以平面PAB∥平面EFG.第2課時(shí)平面與平面平行的性質(zhì)定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解并能證明平面與平面平行的性質(zhì)定理.2.能利用平面與平面平行的性質(zhì)定理解決有關(guān)的平行問題.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象、直觀想象直觀想象、邏輯推理平面與平面平行的性質(zhì)定理1.性質(zhì)定理:兩個(gè)平面平行,如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交,那么兩條交線平行.2.符號表示:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b.【教材挖掘】(P141)如果α∥β,a?α,那么如何在平面β內(nèi)作出與a平行的直線?提示:利用面面平行的性質(zhì)定理,可在平面β內(nèi)任取一點(diǎn)A,然后作出A和直線a所確定的平面γ,確定平面β和γ的交線b,則a∥b.【版本交融】(人BP106嘗試與發(fā)現(xiàn))當(dāng)α∥β時(shí),α與β沒有公共點(diǎn),此時(shí),若l?α,m?β,則l∩m=__________.這就是說,l與m的位置關(guān)系是__________.那么,什么情況下,l與m平行呢?

提示:l∩m=?.l與m平行或異面.當(dāng)l與m共面時(shí),l與m平行.【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)如果兩個(gè)平面平行,那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線一定與另一個(gè)平面平行.(√)(2)如果兩個(gè)平面平行,那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面內(nèi)的直線異面.(×)提示:平行或異面.(3)若平面α,β都與平面γ相交,且交線平行,則α∥β.(×)提示:這兩個(gè)平面平行或相交.(4)夾在兩個(gè)平行平面之間的線段一定相等.(×)提示:夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段一定相等.類型一面面平行性質(zhì)定理的理解(數(shù)學(xué)抽象)【典例1】給出三種說法:①若平面α∥平面β,平面β∥平面γ,則平面α∥平面γ;②若平面α∥平面β,直線a與α相交,則a與β相交;③若平面α∥平面β,P∈α,PQ∥β,則PQ?α.其中正確說法的序號是________.

答案:①②③【解析】①正確.證明如下:如圖(1),在平面α內(nèi)取兩條相交直線a,b,分別過a,b作平面φ,δ,使它們分別與平面β交于兩相交直線a',b',因?yàn)棣痢桅?所以a∥a',b∥b'.又因?yàn)棣隆桅?同理在平面γ內(nèi)存在兩相交直線a″,b″,使得a'∥a″,b'∥b″,所以a∥a″,b∥b″,所以α∥γ.②正確.若直線a與平面β平行或直線a?β,則由平面α∥平面β知a與α無公共點(diǎn)或a?α,這與直線a與α相交矛盾,所以a與β相交.③正確.如圖(2),過直線PQ作平面γ,γ∩α=a,γ∩β=b,由α∥β得a∥b.因?yàn)镻Q∥β,PQ?γ,所以PQ∥b.因?yàn)檫^直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行,所以直線a與直線PQ重合.因?yàn)閍?α,所以PQ?α.【總結(jié)升華】面面平行的性質(zhì)定理的關(guān)注點(diǎn)(1)一種思路:由面面平行證明線線平行.(2)兩條交線:把要證明的直線看作是平面的交線.(3)三個(gè)平面:即兩個(gè)平行平面,一個(gè)經(jīng)過兩直線的平面,有時(shí)需要添加輔助面.【即學(xué)即練】與兩個(gè)相交平面的交線平行的直線和這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是()A.都平行B.在這兩個(gè)平面內(nèi)C.都相交D.至少與其中一個(gè)平面平行【解析】選D.當(dāng)直線在其中一個(gè)平面內(nèi)時(shí),直線與另一平面平行,當(dāng)直線不屬于任一平面內(nèi)時(shí),直線與兩個(gè)平面都平行.類型二面面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用(邏輯推理)角度1證明問題【典例2】如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為梯形,AD∥BC,平面A1DCE與B1B交于點(diǎn)E.求證:EC∥A1D.【證明】因?yàn)锽E∥AA1,AA1?平面AA1D,BE?平面AA1D,所以BE∥平面AA1D.因?yàn)锽C∥AD,AD?平面AA1D,BC?平面AA1D,所以BC∥平面AA1D.因?yàn)锽E∩BC=B,BE?平面BCE,BC?平面BCE,所以平面BCE∥平面AA1D.又因?yàn)槠矫鍭1DCE∩平面BCE=EC,平面A1DCE∩平面AA1D=A1D,所以EC∥A1D.【總結(jié)升華】應(yīng)用面面平行的性質(zhì)定理證明問題的步驟【即學(xué)即練】如圖是長方體被一平面所截得的幾何體,四邊形EFGH為截面,則四邊形EFGH的形狀為____________.

答案:平行四邊形【解析】因?yàn)槠矫鍭BFE∥平面DCGH,平面EFGH∩平面ABFE=EF,平面EFGH∩平面DCGH=HG,所以EF∥HG.同理,EH∥FG.所以四邊形EFGH是平行四邊形.角度2求值問題【典例3】(易錯(cuò)·對對碰)已知平面α∥β,P?α且P?β,過點(diǎn)P的直線m與α,β分別交于A,C,過點(diǎn)P的直線n與α,β分別交于B,D,且PA=6,AC=9,PD=8.(1)若點(diǎn)P在平面α,β之間(如圖),則BD的長為__________;

(2)若點(diǎn)P不在平面α,β之間(如圖),則BD的長為__________.

答案:(1)24(2)24【解析】因?yàn)锳C∩BD=P,所以經(jīng)過直線AC與BD可確定平面PCD,因?yàn)棣痢桅?α∩平面PAB=AB,β∩平面PCD=CD,所以AB∥CD.(1)所以PAPC=PBPD,即63=BD-(2)所以PAAC=PBBD,即69=8-BDBD【總結(jié)升華】面面平行性質(zhì)定理求值問題的步驟(1)利用面面平行的性質(zhì)定理證明線線平行;(2)利用平行線分線段成比例定理求值.【即學(xué)即練】如圖所示,P是△ABC所在平面外一點(diǎn),平面α∥平面ABC,α分別交線段PA,PB,PC于A',B',C'.若PA'A'A=2【解析】因?yàn)槠矫姒痢纹矫鍭BC,平面PAB∩平面α=A'B',平面PAB∩平面ABC=AB,所以A'B'∥AB.同理可證B'C'∥BC,A'C'∥AC.所以∠B'A'C'=∠BAC,∠A'B'C'=∠ABC,∠A'C'B'=∠ACB.所以△A'B'C'∽△ABC.又因?yàn)镻A'∶A'A=2∶3,所以PA'∶PA=2∶5.所以A'B'∶AB=2∶5.所以S△A'類型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用(邏輯推理)【典例4】如圖所示,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,點(diǎn)D,點(diǎn)D1分別為AC,A1C1上的點(diǎn).(1)當(dāng)A1D1D1C1等于何值時(shí),BC1(2)若平面BC1D∥平面AB1D1,求ADDC的值【解析】(1)當(dāng)A1D1D1C1=1時(shí),BC1∥平面AB1D1.證明如下:連接A1B,交AB由棱柱的性質(zhì)可知,四邊形A1ABB1為平行四邊形.所以點(diǎn)O為A1B的中點(diǎn),在△A1BC1中,點(diǎn)O,點(diǎn)D1分別為A1B,A1C1的中點(diǎn),所以O(shè)D1∥BC1.又因?yàn)镺D1?平面AB1D1,BC1?平面AB1D1,所以BC1∥平面AB1D1.(2)由平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O,得BC1∥D1O,所以A1D1=D1C1.因?yàn)锳1C1∥AC,平面BC1D∥平面AB1D1,所以D1C1=AD,所以AD=DC,即ADDC=1【總結(jié)升華】空間中各種平行關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的示意圖【即學(xué)即練】已知M,N分別是底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD的棱AB,PC的中點(diǎn),平面CMN與平面PAD交于PE.求證:(1)MN∥平面PAD;(2)MN∥PE.【證明】(1)如圖,取DC的中點(diǎn)Q,連接MQ,NQ.因?yàn)镹Q是△PDC的中位線,所以NQ∥PD.因?yàn)镹Q?平面PAD,PD?平面PAD,所以NQ∥平面PAD.因?yàn)镸是AB的中點(diǎn),四邊形ABCD是平行四邊形,所以MQ∥AD.因?yàn)镸Q?平面PAD,AD?平面PAD,所以MQ∥平面PAD.因?yàn)镸Q∩NQ=Q,MQ,NQ?平面MNQ,所以平面MNQ∥平面PAD.因?yàn)镸N?平面MNQ,所以MN∥平面PAD.(2)因?yàn)槠矫鍹NQ∥平面PAD,平面PEC∩平面MNQ=MN,平面PEC∩平面PAD=PE,所以MN∥PE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在如圖所示的幾何體中,D是AC的中點(diǎn),EF∥DB,G,H分別是EC和FB的中點(diǎn).求證:GH∥平面ABC.【證明】如圖,取FC的中點(diǎn)I,連接GI,HI,則有GI∥EF,HI∥BC.因?yàn)镋F∥DB,所以GI∥BD.因?yàn)镚I∩HI=I,BD∩BC=B,GI,HI?平面GHI,BD,BC?平面ABC,所以平面GHI∥平面ABC.因?yàn)镚H?平面GHI,所以GH∥平面ABC.教材深一度平行平面分線段成比例(源于教材P144T13)一組平行平面