高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊5.5.2簡單的三角恒等變換(二)含答案5.5.2簡單的三角恒等變換(二)【學(xué)習(xí)目標】1.能利用三角恒等變換解決幾何中的問題.2.能利用三角恒等變換解決生活中的實際問題.【素養(yǎng)達成】數(shù)學(xué)抽象、直觀想象數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算類型一三角恒等變換在幾何中的應(yīng)用(數(shù)學(xué)抽象)【典例1】(教材P227例10改編)某工人要從一塊圓心角為45°的扇形木板中割出一塊一邊在半徑上的內(nèi)接矩形桌面,若扇形的半徑長為1m,求割出的矩形桌面的最大面積(如圖).【解析】如圖,連接OC,設(shè)∠COB=θ,則0°<θ<45°,OC=1.因為AB=OB-OA=cosθ-AD=cosθ-sinθ,所以S矩形ABCD=AB·BC=(cosθ-sinθ)·sinθ=-sin2θ+sinθcosθ=-12(1-cos2θ)+12sin2θ=12(sin2θ+cos2θ)-12=22當2θ-45°=0°,即θ=22.5°時,(S矩形ABCD)max=2-12m2,所以割出的矩形桌面的最大面積為2【補償訓(xùn)練】如圖是由4個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.如果小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,直角三角形中較小的銳角為θ,那么cos2θ的值為 ()A.-725 B.725 C.-1225 【解析】選B.由題意可知小正方形的邊長為1,大正方形的邊長為5,直角三角形的面積為6.設(shè)直角三角形的直角邊分別為a,b且a<b,則b=a+1,所以直角三角形的面積為S=12ab聯(lián)立方程組可得a=3,b=4,所以sinθ=35,cos2θ=1-2sin2θ=7【總結(jié)升華】關(guān)于恒等變換在幾何中的應(yīng)用三角函數(shù)與平面幾何有著密切聯(lián)系,幾何中的角度、長度、面積等問題,常借助三角變換來解決,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的化歸思想.【即學(xué)即練】如圖所示,要把半徑為R的半圓形木料截成長方形,當α等于多少時,才能使△OAB的周長最長?【解析】設(shè)△OAB的周長為l,則AB=Rsinα,OB=Rcosα,所以l=OA+AB+OB=R+Rsinα+Rcosα=R(sinα+cosα)+R=2Rsin(α+π4)+因為0<α<π2,所以π4<α+π4所以當α+π4=π即α=π4時,l最大,最大值為2R+R=(2+1)R故當α=π4時,△OAB的周長最長類型二恒等變換在實際問題中的應(yīng)用(數(shù)學(xué)抽象)【典例2】如圖,有一塊以點O為圓心的半圓形空地,要在這塊空地上劃出一個內(nèi)接矩形ABCD開辟為綠地,使其一邊AD落在半圓的直徑上,另兩點B,C落在半圓的圓周上.已知半圓的半徑長為20m.(1)如何選擇關(guān)于點O對稱的點A,D的位置,可以使矩形ABCD的面積最大,最大值是多少?【解析】(1)連接OB(圖略),設(shè)∠AOB=θ,則AB=OBsinθ=20sinθ,OA=OBcosθ=20cosθ,且θ∈(0,π2)因為A,D關(guān)于點O對稱,所以AD=2OA=40cosθ.設(shè)矩形ABCD的面積為S,則S=AD·AB=40cosθ·20sinθ=400sin2θ.因為θ∈(0,π2所以當sin2θ=1,即θ=π4時,Smax=400m2.此時AO=DO=102m故當A,D距離圓心O為102m時,矩形ABCD的面積最大,其最大面積是400m2.(2)沿著AB,BC,CD修一條步行小路從A到D,如何選擇A,D位置,使步行小路的距離最遠?【解析】(2)由(1)知AB=20sinθ,AD=40cosθ,所以AB+BC+CD=40sinθ+40cosθ=402sin(θ+π4又θ∈(0,π2所以θ+π4∈(π4,3π4),當θ+π4=π2,即θ=π4時,(AB+BC+CD)max=402,此時AO=DO=102,即當A,D【總結(jié)升華】關(guān)于恒等變換在實際問題中的應(yīng)用(1)理解題意,作出實際問題涉及的圖形,或?qū)l件轉(zhuǎn)化為圖形中的條件;(2)合理引入輔助角α,確定各量之間的關(guān)系,將實際問題表示成關(guān)于角α的三角函數(shù)問題,最后利用恒等變換結(jié)合函數(shù)知識解題.【即學(xué)即練】如圖,OA,OB是兩條互相垂直的筆直公路,半徑OA=2km的扇形AOB是某地的一處名勝古跡區(qū)域.當?shù)卣疄榱司徑庠摴袍E周圍的交通壓力,欲在圓弧AB上新增一個入口P(點P不與A,B重合),并新建兩條都與圓弧AB相切的筆直公路MB,MN,切點分別是B,P.當新建的兩條公路總長最小時,投資費用最低.設(shè)∠POA=θ,公路MB,MN的總長為f(θ).求f(θ)關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式,并寫出函數(shù)的定義域.【解析】連接OM(圖略),在Rt△OPN中,OP=2,∠POA=θ,故NP=2tanθ.根據(jù)平面幾何知識可知,MB=MP,∠BOM=12∠BOP=12(π2-θ)=π在Rt△BOM中,OB=2,∠BOM=π4-θ故BM=2tan(π4-θ所以f(θ)=NP+2BM=2tanθ+4tan(π4-θ2顯然θ∈(0,π2),所以函數(shù)f(θ)的定義域為(0,π2教材深一度輔助角公式:一般地,對于y=asinx±bcosx,可以進行合并轉(zhuǎn)化為y=a2+b2sin(x±φ),tanφ操作步驟如下:第一步:提常數(shù),提出a2得到a2+b2(aa2+第二步:定角度,確定一個角φ滿足cosφ=aa2+b2得到a2+b2(cosφsinx±sin第三步:化簡、逆用公式得asinx±bcosx=a2+b2sin(x±φ),其中tan【典例3】(1)y=32sinx+12cosx的最小正周期為 (A.2π B.π C.π2 D.【解析】選A.y=32sinx+12cosx=sinxcosπ6+cosxsinπ6=sin(x(2)已知sin(π6+α)=14,則cosα+3sinα的值為1【解析】cosα+3sinα=2(sinα·32+cosα·12)=2(sinαcosπ6+cosαsinπ6)=2sin(α+π6【典例4】已知函數(shù)f(x)=cos2x+3sinxcosx,(1)若α是第二象限角,且sinα=63,求f(α【解析】(1)因為α是第二象限角,且sinα=63所以cosα=-1-sin2α所以f(α)=13-3×63×33(2)當x∈[0,π2]時,求函數(shù)f(x)的值域【解析】(2)f(x)=cos2x+3sinxcosx=1+cos2x32sin2x=sin(2x+π6)+由x∈[0,π2],可知2x+π6∈[π6,所以-12≤sin(2x+π6)≤1,所以f(x)∈[0,3【總結(jié)升華】輔助角公式y(tǒng)=a2+b2sin(研究三角函數(shù)的性質(zhì),如單調(diào)性和最值,通常是把復(fù)雜的三角函數(shù)通過恰當?shù)娜亲儞Q,轉(zhuǎn)化為簡單的三角函數(shù),再研究轉(zhuǎn)化后的函數(shù)的性質(zhì).在這個過程中通常利用輔助角公式,將y=asinx±bcosx轉(zhuǎn)化為y=a2+b2sin(x±φ)或y=a2+【即學(xué)即練】1.y=sinx-cosx的最小值為 ()A.-1 B.0 C.-2 D.-2【解析】選D.y=sinx-cosx=2(sinx·22-cosx·22)=2(sinxcosπ4-cosx=2sin(x-π4),所以最小值為-22.2(sin15°+cos15°)的值為3.

【解析】2(sin15°+cos15°)=2·2(sin15°·22+cos15°·22)=2(sin15°cos45°+cos15°sin45°)=2sin(15°+45°)=2sin60°=2×32【補償訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=sinx(2cosx-sinx)+cos2x.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;【解析】(1)因為f(x)=sinx(2cosx-sinx)+cos2x=sin2x-sin2x+cos2x=sin2x+cos2x=2sin(2x+π4),所以函數(shù)f(x)的最小正周期是π(2)若π4<α<π2,且f(α)=-5213【解析】(2)f(α)=-5213,即2sin(2α+π4則sin(2α+π4)=-5因為π4<α<π2,所以3π4<2α+π所以cos(2α+π4)=-12所以sin2α=sin[(2α+π4)-π=22sin(2α+π4)-22cos(2α=22×(-513)-22×(-125.5.2簡單的三角恒等變換(一)【學(xué)習(xí)目標】1.能運用二倍角的余弦公式推導(dǎo)半角的正弦、余弦、正切公式.2.能利用三角恒等變換對三角函數(shù)式進行化簡、求值及證明.【素養(yǎng)達成】數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算1.半角公式正弦sinα2=±余弦cosα2=±正切tanα2=±2.半角的有理公式tanα2=sinα1+cosα=1教材挖掘(P225思考)問題1α與α2提示:倍角關(guān)系.問題2用cosα如何表示sin2α2,cos2α2,tan2提示:cosα=1-2sin2α2=2cos2α1-【教材深化】(1)半角公式中的正弦、余弦公式實際上是由二倍角的余弦公式變形得到的.(2)半角公式給出了求α2的正弦、余弦、正切的另一種方式,即只需知道cosα的值及相應(yīng)的α的條件,便可求出sinα2,cosα2(3)對“半角”的理解應(yīng)是廣義的,不能僅限于α2是α的一半,其他如α是2α的一半,α4是α2的一半,3α(4)半角公式中的±不能去掉,若沒有給出決定符號的條件,則在根號前保留±兩個符號;若給出α的具體范圍時,則先求α2的所在范圍,然后根據(jù)α2【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)cosα2=1+cosα2提示:cosα2=±1+cos(2)存在α∈R,使得cosα2=12cosα.提示:如cosα2=1-(3)若α是第一象限角,則tanα2=1-cos提示:若α是第一象限角,則α2是第一、三象限角,tanα2類型一利用半角公式求值(數(shù)學(xué)抽象)【典例1】(教材提升·P225例7)已知sinα=-45,π<α<3π2,求sinα2,cosα2【解析】因為π<α<3π2,sinα=-4所以cosα=-35,且π2<α2所以sinα2=1-coscosα2=-1+cosα2tanα2=sinα【總結(jié)升華】利用半角公式求值的思路(1)觀察角:已知三角函數(shù)式中的角是待求三角函數(shù)式中角的兩倍;(2)明范圍:依據(jù)已知角的范圍,確定相應(yīng)半角的范圍;(3)選公式:涉及半角公式的正切值時,常用tanα2=sinα1+cosα=1-cosαsinα,其優(yōu)點是計算時可避免因開方帶來的求角的范圍問題;涉及半角公式的正、余弦值時,常先利用sin2α(4)下結(jié)論:結(jié)合(2)求值.【即學(xué)即練】1.求下列式子的值:(1)sin75°;(2)tan75°.【解析】(1)sin75°=1-cos150°2=1+cos30°2=【解析】(2)方法一:tan75°=1-cos150°1+cos方法二:tan75°=1-cos150°方法三:tan75°=sin150°1+cos2.已知|cosθ|=35,且5π2<θ<3π,求sinθ【解析】因為|cosθ|=35,5π2<所以cosθ=-35,5π4<θ2所以sinθ2=-1+35【補償訓(xùn)練】已知sinα=-45,則tanα2=-12【解析】因為sinα=-45,所以cosα=±3若cosα=35,則tanα2=1-若cosα=-35,則tanα2=1+類型二三角函數(shù)式的化簡問題(數(shù)學(xué)抽象)【典例2】化簡(1-sinα-cosα)【解析】原式=(2si=2sin=sinα2(si因為-π<α<0,所以-π2<α2<0,所以sin所以原式=-sinα【總結(jié)升華】化簡問題中的“三變”(1)變角:尋找式子中各角之間的聯(lián)系,通過拆、湊等手段消除角之間的差異,合理選擇聯(lián)系它們的公式;(2)變名:觀察三角函數(shù)種類的差異,盡量統(tǒng)一函數(shù)的名稱,如統(tǒng)一為弦或統(tǒng)一為切;(3)變式:分析式子的結(jié)構(gòu)形式的差異,選擇適當?shù)淖冃瓮緩?如升冪、降冪、配方、開方等.提醒:涉及開方運算時一定要注意角的范圍.【即學(xué)即練】已知π<α<3π2,化簡:1+sinα1+cos【解析】原式=sinsin因為π<α<3π2,所以π2<α2所以cosα2<0,sinα2>0原式=sinsinα2sinα2-cos【補償訓(xùn)練】化簡:cos(3π2-α【解析】因為tanα2=sin所以(1+cosα)tanα2=sin又因為cos(3π2-α)=-sinα且1-cosα=2sin2α2所以原式=-sinα=-22因為0<α<π,所以0<α2<π所以sinα2>0所以原式=-22cosα2類型三三角恒等式的證明問題(邏輯推理)【典例3】求證:1+sinθ-cosθ1+sin【證明】方法一:左邊=2sin2cos2θ2+2sinθ2cosθ22sin方法二:左邊=(=2(1+sinθ)2+2cos2【總結(jié)升華】三角恒等式證明的五種常用方法執(zhí)因索果法證明的形式一般化繁為簡左右歸一法證明左右兩邊都等于同一個式子拼湊法針對題設(shè)和結(jié)論之間的差異,有針對性地變形,以消除它們之間的差異,簡言之,即化異求同比較法設(shè)法證明“左邊-右邊=0”或“左邊/右邊=1”分析法從被證明的等式出發(fā),逐步探求使等式成立的條件,一直到已知條件或明顯的事實為止,就可以斷定原等式成立【即學(xué)即練】證明:2sinxcosx【證明】左邊=2sin=2sinxcosx4sin右邊=1+2cos2x所以左邊=右邊,即等式成立.【補償訓(xùn)練】求證:1+sinα1-【證明】左邊=1+sinα1=tan2=1+tanα教材深一度1.積化和差公式(1)sinαcosβ=12[sin(α+β)+sin(α-β(2)cosαsinβ=12[sin(α+β)-sin(α-β(3)cosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(α-β(4)sinαsinβ=-12[cos(α+β)-cos(α-β)]2.和差化積公式(1)sinθ+sinφ=2sinθ+φ2(2)sinθ-sinφ=2cosθ+φ2(3)cosθ+cosφ=2cosθ+φ2(4)cosθ-cosφ=-2sinθ+φ2積化和差、和差化積的轉(zhuǎn)換用到了換元的方法,如把α+β看作θ,α-β看作φ,從而把包含α,β的三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為θ,φ的三角函數(shù)式.或者把sinαcosβ看作x,cosαsinβ看作y,把等式看作關(guān)于x,y的方程,則原問題轉(zhuǎn)化為解方程(組)求x,它們都體現(xiàn)了化歸思想.【典例4】(1)求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值.【解析】方法一:sin220°+cos250°+sin20°cos50°=12(1-cos40°)+12(1+cos10