高中物理《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊(cè)導(dǎo)學(xué)案專題進(jìn)階課四萬有引力定律的應(yīng)用含答案專題進(jìn)階課四萬有引力定律的應(yīng)用學(xué)習(xí)任務(wù)一衛(wèi)星的變軌問題【核心歸納】1.變軌過程(1)為了節(jié)省能量,在赤道上順著地球自轉(zhuǎn)方向發(fā)射衛(wèi)星到圓軌道Ⅰ上,如圖所示。(2)在A點(diǎn)(近地點(diǎn))點(diǎn)火加速,由于速度變大,萬有引力不足以提供衛(wèi)星在軌道Ⅰ上做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力,衛(wèi)星做離心運(yùn)動(dòng)進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ。(3)在B點(diǎn)(遠(yuǎn)地點(diǎn))再次點(diǎn)火加速進(jìn)入圓軌道Ⅲ。2.變軌過程各物理量分析(1)兩個(gè)不同軌道的“切點(diǎn)”處線速度v不相等,圖中vⅢ>vⅡB,vⅡA(2)同一個(gè)橢圓軌道上近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)線速度大小不相等,從遠(yuǎn)地點(diǎn)到近地點(diǎn)線速度逐漸增大。(3)兩個(gè)不同軌道上的線速度v不相等,軌道半徑越大,v越小,圖中vⅠ>vⅢ。(4)不同軌道上運(yùn)行周期T不相等。根據(jù)開普勒第三定律a3T2=k知,內(nèi)側(cè)軌道的周期小于外側(cè)軌道的周期,圖中TⅠ<TⅡ<(5)兩個(gè)不同軌道的“切點(diǎn)”處加速度a相同,圖中aⅢ=aⅡB,aⅡA【典題例析】【典例1】(2024·溫州高一檢測(cè))如圖為飛船運(yùn)動(dòng)過程的示意圖。飛船先進(jìn)入圓軌道1做勻速圓周運(yùn)動(dòng),再經(jīng)橢圓軌道2,最終進(jìn)入圓軌道3完成對(duì)接任務(wù)。橢圓軌道2分別與軌道1、軌道3相切于A點(diǎn)、B點(diǎn)。則飛船()A.在軌道1的運(yùn)行周期大于在軌道3的運(yùn)行周期B.在軌道2運(yùn)動(dòng)過程中,經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)的速率比B點(diǎn)大C.在軌道2運(yùn)動(dòng)過程中,經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)的加速度比B點(diǎn)小D.從軌道2進(jìn)入軌道3時(shí)需要在B點(diǎn)減速【解析】選B。根據(jù)GMmr2=m4π2T2r得T=4π2r3GM,在軌道1的運(yùn)動(dòng)半徑小于在軌道3的運(yùn)動(dòng)半徑,則在軌道1的運(yùn)行周期小于在軌道3的運(yùn)行周期,A錯(cuò)誤;在軌道2運(yùn)動(dòng)過程中,A點(diǎn)為近地點(diǎn),速度最大,B點(diǎn)為遠(yuǎn)地點(diǎn),速度最小,B正確;根據(jù)GMmr2=【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】在高空運(yùn)行的同步衛(wèi)星功能失效后,往往會(huì)被送到同步軌道上空幾百千米處的“墓地軌道”,以免影響其他在軌衛(wèi)星并節(jié)省軌道資源。如圖所示,2022年1月22日,我國實(shí)踐21號(hào)衛(wèi)星在地球同步軌道“捕獲”已失效的北斗二號(hào)導(dǎo)航衛(wèi)星后,成功將其送入“墓地軌道”。已知同步軌道和“墓地軌道”的軌道半徑分別為R1、R2,轉(zhuǎn)移軌道與同步軌道、“墓地軌道”分別相切于P、Q兩點(diǎn),地球自轉(zhuǎn)周期為T0,則北斗二號(hào)導(dǎo)航衛(wèi)星()A.在“墓地軌道”運(yùn)行時(shí)的速度大于其在同步軌道運(yùn)行時(shí)的速度B.在轉(zhuǎn)移軌道上經(jīng)過P點(diǎn)的加速度大于在同步軌道上經(jīng)過P點(diǎn)的加速度C.在轉(zhuǎn)移軌道上P點(diǎn)的速度小于轉(zhuǎn)移軌道上Q點(diǎn)的速度D.沿轉(zhuǎn)移軌道從P點(diǎn)運(yùn)行到Q點(diǎn)所用最短時(shí)間為T【解析】選D。設(shè)地球質(zhì)量為M、北斗二號(hào)在轉(zhuǎn)移軌道運(yùn)行的周期為T1,根據(jù)GMmr2=mv2r,可得v=GMr,可知在“墓地軌道”運(yùn)行時(shí)的速度小于其在同步軌道運(yùn)行的速度,故A錯(cuò)誤;在轉(zhuǎn)移軌道上經(jīng)過P點(diǎn)和在同步軌道上經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)受到的萬有引力相同,由GMmr2=ma可知B錯(cuò)誤;由開普勒第二定律可知,C錯(cuò)誤;由開普勒第三定律R13T02學(xué)習(xí)任務(wù)二“雙星”和“多星”模型【核心歸納】1.“雙星”模型(1)如圖所示,宇宙中有相距較近、質(zhì)量相差不大的兩個(gè)星球,它們離其他星球都較遠(yuǎn),其他星球?qū)λ鼈兊娜f有引力可以忽略不計(jì)。在這種情況下,它們將圍繞連線上的某一固定點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng),通常,我們把這樣的兩個(gè)星球稱為“雙星”。(2)處理方法:“雙星”間的萬有引力提供了它們做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力,即Gm1m2L2=m1ω2r1,Gm1m(3)特點(diǎn)①“雙星”圍繞它們之間連線上的某一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),“雙星”的運(yùn)行周期、角速度相同。②“雙星”所需的向心力大小相等,由它們間的萬有引力提供。③“雙星”的軌道半徑之和等于兩星之間的距離,即r1+r2=L,軌道半徑與“雙星”質(zhì)量成反比。2.“多星”模型三星模型四星模型(1)運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)方向、周期、角速度、線速度大小均相同。(2)受力特點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)半徑都相等,各星所受萬有引力的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力?！镜漕}例析】角度1“雙星”模型【典例2】(2024·濰坊高一檢測(cè))“雙星系統(tǒng)”是由相距較近的兩顆恒星組成,每個(gè)恒星的半徑遠(yuǎn)小于兩個(gè)恒星之間的距離,而且雙星系統(tǒng)一般遠(yuǎn)離其他天體,它們?cè)谙嗷ラg的萬有引力作用下,繞某一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。如圖所示為某一雙星系統(tǒng),A星球的質(zhì)量為m1,B星球的質(zhì)量為m2,它們中心之間的距離為L(zhǎng),引力常量為G。則下列說法正確的是()A.A、B兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑之比為m1∶m2B.A、B兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度之比為m1∶m2C.A星球的軌道半徑r1=m1D.雙星運(yùn)行的周期T=2πLL【解析】選D。雙星靠它們之間的萬有引力提供向心力,設(shè)A星球的軌道半徑為r1,B星球的軌道半徑為r2,根據(jù)萬有引力提供向心力有Gm1m2L2=m1ω2r1=m2ω2r2,解得A、B兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑之比為r1∶r2=m2∶m1,由r1+r2=L解得r1=m2m1+m2L,故A、C錯(cuò)誤;A、B兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期相同,角速度之比為1角度2“多星”模型【典例3】(2024·景德鎮(zhèn)高一檢測(cè))太空中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng),通?？珊雎云渌求w對(duì)它們的引力作用。已觀測(cè)到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式:一種是三顆星位于同一直線上,兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行;另一種形式是三顆星位于邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上,并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行。設(shè)這三個(gè)星體的質(zhì)量均為M,兩種系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期相同,并設(shè)直線三星系統(tǒng)中中央星為乙,其余兩星為甲、丙,引力常量為G,則()A.直線三星系統(tǒng)中甲星和丙星的線速度相同B.直線三星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期為4πRRC.三角形三星系統(tǒng)中星體間的距離為L(zhǎng)=3RD.三角形三星系統(tǒng)的線速度大小為1【解析】選B。直線三星系統(tǒng)中甲星和丙星角速度相同,運(yùn)動(dòng)半徑相同,由v=ωR可知甲星和丙星的線速度大小相等,方向不同,故A錯(cuò)誤;直線三星系統(tǒng)中萬有引力提供向心力,由GM2R2+GM2(2R)2=M4π2T2R得T=4πRR5GM,故B正確;兩種系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期相同,根據(jù)題意可得,三角形三星系統(tǒng)中任意星體所受合力為F=2GM2L2cos30°=3GM2L2,且F=M4π2T2r【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】在太空中,兩顆靠得很近的星球可以組成雙星系統(tǒng),它們只在彼此間的萬有引力作用下,繞球心連線上的某點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。則下列說法錯(cuò)誤的是()A.兩顆星有相同的角速度B.兩顆星的運(yùn)動(dòng)半徑與質(zhì)量成反比C.兩顆星的向心加速度大小與質(zhì)量成反比D.兩顆星的線速度大小與質(zhì)量成正比【解析】選D。雙星彼此間的萬有引力提供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力,令雙星的質(zhì)量分別為m和M,圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為r和R,兩星間的距離為R+r。雙星繞連線上某點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng),故雙星的周期和角速度相同,故A正確;運(yùn)動(dòng)半徑滿足mrω2=MRω2,可見兩顆星的運(yùn)動(dòng)半徑與質(zhì)量成反比,故B正確;兩顆星的向心力大小相等,則滿足mam=MaM,兩顆星的向心加速度大小與質(zhì)量成反比,故C正確;線速度v=Rω,兩星的角速度相等,而半徑與質(zhì)量成反比,故線速度大小與質(zhì)量成反比,故D錯(cuò)誤。【補(bǔ)償訓(xùn)練】(多選)(2024·成都高一檢測(cè))中國科幻電影《流浪地球2》講述了地球逃離太陽系的故事。假設(shè)人們?cè)谔与x過程中發(fā)現(xiàn)一種三星組成的孤立系統(tǒng),三星的質(zhì)量相等、半徑均為R,穩(wěn)定分布在等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上,三角形的邊長(zhǎng)為d,三星繞O點(diǎn)做周期為T的勻速圓周運(yùn)動(dòng),已知引力常量為G,忽略星體的自轉(zhuǎn),下列說法正確的是()A.勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為33B.每個(gè)星球的質(zhì)量為4C.每個(gè)星球表面的重力加速度大小為πD.每個(gè)星球的第一宇宙速度大小為2π【解析】選A、D。三星均圍繞邊長(zhǎng)為d的等邊三角形的中心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng),由幾何關(guān)系可得勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r=d2cos30°=33d,A正確;設(shè)星球質(zhì)量為M,則有2GMMd2cos30°=M4π2T2r,可得M=4π2d33GT2,B錯(cuò)誤;星球表面的重力近似等于萬有引力,由mg=學(xué)習(xí)任務(wù)三衛(wèi)星的追及與相遇【核心歸納】對(duì)于衛(wèi)星的追及、相遇問題一般存在下列兩種情況:(1)衛(wèi)星對(duì)接:最常見的是由低軌道向高軌道運(yùn)行的衛(wèi)星對(duì)接。(2)繞行方向相同的兩衛(wèi)星和天體的連線在同一直線上,處于內(nèi)軌道的衛(wèi)星周期T1小,處于外軌道的衛(wèi)星周期T2大。①當(dāng)兩衛(wèi)星在天體同側(cè)時(shí),那么當(dāng)t滿足下列關(guān)系時(shí)兩衛(wèi)星相距最近:2πT1t-2πT2t=2②當(dāng)兩衛(wèi)星在天體異側(cè)時(shí),那么當(dāng)t滿足下列關(guān)系時(shí)兩衛(wèi)星相距最近:2πT1t-2πT2t=π+2【典題例析】【典例4】設(shè)地球的自轉(zhuǎn)角速度為ω0,地球半徑為R,地球表面重力加速度為g,某人造地球衛(wèi)星在赤道上空做勻速圓周運(yùn)動(dòng),軌道半徑為r,且r<5R,飛行方向與地球的自轉(zhuǎn)方向相同。在某時(shí)刻,該人造地球衛(wèi)星通過赤道上某建筑物的正上方,則到它下一次通過該建筑物正上方所需要的時(shí)間為(地球同步衛(wèi)星軌道半徑約為6R)()A.2π(gR2r3-ω0)C.2πr3gR2 【解析】選D。設(shè)地球質(zhì)量為M,根據(jù)GMmr2=mω2r知ω=GMr3,軌道半徑越大,衛(wèi)星運(yùn)行角速度越小,而同步衛(wèi)星運(yùn)行的角速度與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同,且同步衛(wèi)星的軌道半徑約為6R,人造地球衛(wèi)星的軌道半徑r<5R,故該人造地球衛(wèi)星運(yùn)行的角速度比地球上建筑物隨地球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大,因此再次出現(xiàn)在該建筑物正上方時(shí),說明衛(wèi)星已經(jīng)比建筑物多轉(zhuǎn)動(dòng)了一圈,故θ衛(wèi)-θ地=2π,θ衛(wèi)=ω1t,θ地=ω0t,根據(jù)“黃金代換”GM=gR2,聯(lián)立得t=【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】隨著科技的發(fā)展,人類的腳步已經(jīng)踏入太空,并不斷地向太空發(fā)射人造衛(wèi)星以探索地球和太空的奧秘。如圖所示,1、2、3分別為繞地球逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的三顆人造地球衛(wèi)星,它們繞地球旋轉(zhuǎn)的周期分別為T1、T2、T3,線速度大小分別為v1、v2、v3。關(guān)于它們的運(yùn)動(dòng),下列說法正確的是()A.T1>T2=T3B.v1<v2=v3C.衛(wèi)星3點(diǎn)火加速,就可以追上同軌道上的衛(wèi)星2D.若某一時(shí)刻衛(wèi)星1、2以及地心處在同一直線上(如圖),從此時(shí)開始計(jì)時(shí),兩衛(wèi)星要再次達(dá)到距離最近,需要的最短時(shí)間為T【解析】選D。衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng),萬有引力提供向心力,設(shè)地球質(zhì)量為M,由牛頓第二定律得GMmr2=m(2πT)2r=mv2r,解得T=2πr3GM,v=GMr,由于r1<r2=r3,則T1<T2=T3,v1>v2=v3,故A、B錯(cuò)誤;衛(wèi)星3點(diǎn)火加速,則其做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力大于地球的萬有引力,故衛(wèi)星3將做離心運(yùn)動(dòng),軌道半徑變大,不能追上同軌道上的衛(wèi)星2,故C錯(cuò)誤;若某一時(shí)刻衛(wèi)星1、2以及地心處在同一直線上,此時(shí)兩顆衛(wèi)星距離最近,從此時(shí)開始計(jì)時(shí),兩衛(wèi)星要再次達(dá)到距離最近時(shí)有(ω1-ω2)t=2π,即(2πT專題進(jìn)階課三豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)模型及臨界問題學(xué)習(xí)任務(wù)一豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的輕繩模型【核心歸納】1.如圖所示,甲圖中小球僅受繩拉力和重力作用,乙圖中小球僅受圓軌道的彈力和重力作用,在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng),小球在繩、圓軌道的限制下不能遠(yuǎn)離圓心且在最高點(diǎn)無支撐,我們稱這類運(yùn)動(dòng)為“輕繩模型”。輕繩模型彈力特征在最高點(diǎn)彈力可能向下,也可能等于零受力示意圖動(dòng)力學(xué)方程mg+F=mv臨界特征F=0,即mg=mv2r,得v=2.小球通過最高點(diǎn)時(shí)繩上拉力與速度的關(guān)系(1)v=gr時(shí),mg=mv2(2)v<gr時(shí),mg>mv2(3)v>gr時(shí),mg<mv2r,即重力小于小球所需要的向心力,小球還要受到向下的拉力(或軌道的支持力),重力和拉力(或軌道的支持力)的合力充當(dāng)向心力,mg+F=m【典題例析】【典例1】(2024·濟(jì)南高一檢測(cè))雜技演員表演“水流星”,在長(zhǎng)為0.8m的細(xì)繩的一端,系一個(gè)與水的總質(zhì)量為m=0.5kg的盛水容器,以繩的另一端為圓心,在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng),如圖所示,若“水流星”通過最高點(diǎn)時(shí)的速率為4m/s,則下列說法正確的是(g取10m/s2)()A.“水流星”通過最高點(diǎn)時(shí),有水從容器中流出B.“水流星”通過最高點(diǎn)時(shí),繩的拉力及容器底部受到的壓力均為零C.“水流星”通過最高點(diǎn)時(shí),處于完全失重狀態(tài),不受力的作用D.“水流星”通過最高點(diǎn)時(shí),繩子的拉力大小為5N【解析】選D。當(dāng)水對(duì)容器底壓力為零時(shí)有mg=mv2r,解得v=gr=22m/s,“水流星”通過最高點(diǎn)的速度為22m/s時(shí),水對(duì)容器底壓力為零,不會(huì)從容器中流出,4m/s>22m/s,“水流星”以4m/s的速度通過最高點(diǎn)時(shí),水不會(huì)從容器中流出。對(duì)水和容器分析,有T+mg=mv2【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】(2024·湖州高一檢測(cè))如圖所示,用長(zhǎng)為l的細(xì)繩拴著質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。下列說法正確的是()A.小球經(jīng)過圓周最高點(diǎn)時(shí)速度可以為零B.小球經(jīng)過圓周最高點(diǎn)的最大速度為glC.小球經(jīng)過圓周最低點(diǎn)時(shí)繩的拉力可以小于重力D.小球經(jīng)過圓周最低點(diǎn)時(shí)繩的拉力一定大于經(jīng)過最高點(diǎn)時(shí)的拉力【解析】選D。在最高點(diǎn),由重力和繩子的拉力的合力提供向心力,當(dāng)小球通過最高點(diǎn)時(shí),繩子的拉力恰好為零,此時(shí)有mg=mv最小2l,解得最小速度v最小=gl,拉力不為零時(shí),速度大于gl,故A、B錯(cuò)誤;在最低點(diǎn),有F-mg=mv2l,則繩子的拉力F=mg+mv2l>mg,在最高點(diǎn)時(shí)F'+mg=mv'【補(bǔ)償訓(xùn)練】一細(xì)繩與水桶相連,水桶中裝有水,水桶與細(xì)繩一起在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng),如圖所示,水的質(zhì)量m=0.5kg,水的重心到轉(zhuǎn)軸的距離l=50cm。(g取10m/s2)(1)若在最高點(diǎn)水不流出來,求水桶的最小速率(小數(shù)點(diǎn)后保留兩位小數(shù));答案:(1)2.24m/s【解析】(1)以水桶中的水為研究對(duì)象,在最高點(diǎn)恰好不流出來,說明水的重力恰好提供其做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力,此時(shí)桶的速率最小,有mg=mv02l,則水桶的最小速率為v0=gl(2)若在最高點(diǎn)時(shí)水桶的速率v=3m/s,求水對(duì)桶底的壓力大小。答案:(2)4N【解析】(2)此時(shí)桶底對(duì)水有一向下的壓力,設(shè)為N,則由牛頓第二定律有N+mg=mv2代入數(shù)據(jù)可得N=4N。由牛頓第三定律得,水對(duì)桶底的壓力N'=4N。學(xué)習(xí)任務(wù)二豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的輕桿(管)模型【核心歸納】1.如圖所示,細(xì)桿上固定的小球和在光滑管道內(nèi)運(yùn)動(dòng)的小球僅在重力和桿(管道)的彈力作用下在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng),這類運(yùn)動(dòng)稱為“輕桿模型”。輕桿模型彈力特征彈力可能向下,可能向上,也可能等于零受力示意圖動(dòng)力學(xué)方程mg±F=mv臨界特征v=0,即F向=0,此時(shí)FN=mgv=gr的意義F表現(xiàn)為拉力(或壓力)還是支持力的臨界點(diǎn)2.小球在最高點(diǎn)時(shí)桿上的力(或管道的彈力)隨速度的變化。(1)v=gr時(shí),mg=mv2(2)v<gr時(shí),mg>mv2r,即重力大于小球所需要的向心力,小球受到向上的支持力F,mg-F=mv2r,即F=mg-mv2(3)v>gr時(shí),mg<mv2r,即重力小于小球所需要的向心力,小球還要受到向下的拉力(或壓力)F。重力和拉力(或壓力)的合力充當(dāng)向心力,mg+F=mv2r,即F=mv2r-【典題例析】【典例2】(2024·蘭州高一檢測(cè))如圖甲所示,小球穿在豎直平面內(nèi)光滑的固定圓環(huán)上,繞圓心O點(diǎn)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng),當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí),圓環(huán)與小球間彈力的大小為F,小球在最高點(diǎn)的速度大小為v,其F-v2圖像如圖乙所示g取10m/s2,則()A.小球的質(zhì)量為4kgB.固定圓環(huán)的半徑R為0.2mC.小球在最高點(diǎn)的速度為4m/s時(shí),小球受到圓環(huán)的彈力大小為20N,方向向下D.小球在最高點(diǎn)的速度為4m/s時(shí),小球受到圓環(huán)的彈力大小為10N,方向向上【解析】選C。對(duì)小球在最高點(diǎn)受力分析,當(dāng)速度為0時(shí),F=mg,結(jié)合圖像可知m=Fg=2010kg=2kg,故A錯(cuò)誤;當(dāng)在最高點(diǎn)F1=0時(shí),重力提供向心力mg=mv2R,結(jié)合圖像可知R=v2g=810m=0.8m,故B錯(cuò)誤;小球在最高點(diǎn)的速度為4m/s時(shí),由于v12=16m2/s2>8m2/s2,可知小球所受圓環(huán)的彈力方向向下,根據(jù)牛頓第二定律得F2+mg=mv12【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】(2024·上饒高一檢測(cè))如圖所示,半徑為1m的圓管軌道(圓管內(nèi)徑遠(yuǎn)小于軌道半徑)豎直放置,管內(nèi)壁光滑,管內(nèi)有一個(gè)質(zhì)量為0.5kg的小球(小球直徑略小于管內(nèi)徑)做圓周運(yùn)動(dòng)。小球經(jīng)過圓管最高點(diǎn)P時(shí)的速度大小為3m/s,重力加速度g取10m/s2,則小球在P點(diǎn)時(shí)()A.受到外軌道0.5N的壓力B.受到內(nèi)軌道0.5N的支持力C.受到外軌道9.5N的壓力D.受到內(nèi)軌道5.0N的支持力【解析】選B。小球在P點(diǎn)時(shí),根據(jù)牛頓第二定律F+mg=mv2r,其中r=1m、m=0.5kg、v=3m/s,代入解得F=-0.學(xué)習(xí)任務(wù)三水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題【核心歸納】1.常見的三種情況(1)不滑動(dòng)的臨界問題:質(zhì)量為m的物體在水平面上做圓周運(yùn)動(dòng)或隨圓盤一起轉(zhuǎn)動(dòng)(如圖所示)時(shí),靜摩擦力提供向心力。當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大值Ffm時(shí),物體運(yùn)動(dòng)的速度也達(dá)到最大,即Ffm=mvm2r,解得vm(2)與支持面或桿的彈力有關(guān)的臨界問題:此問題要分析出恰好無支持力這一臨界狀態(tài)下的角速度(或線速度)等。(3)繩子被拉斷的臨界問題:質(zhì)量為m的物體被長(zhǎng)為l的輕繩拴著(如圖所示),且繞繩的另一端O在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),當(dāng)繩子的拉力達(dá)到最大值Fm時(shí),物體的速度最大,即Fm=mvm2l,解得vm=2.常用解題方法(1)極限法:把物理問題(或過程)推向極端,從而使臨界現(xiàn)象顯露,達(dá)到盡快求解的目的。(2)假設(shè)法:有些物理過程轉(zhuǎn)化沒有明顯出現(xiàn)臨界問題的線索,但在變化過程中可能出現(xiàn)臨界問題。因此分析時(shí)先假設(shè)出臨界狀態(tài),然后再分析判定。(3)數(shù)學(xué)方法:將物理過程轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)公式,根據(jù)數(shù)學(xué)表達(dá)式,求得臨界條件。具體步驟如下:①對(duì)物體進(jìn)行受力分析。②找到其中變化的力以及它的臨界值。③求出向心力(合力或沿半徑方向的合力)的臨界值。④用向心力公式求出運(yùn)動(dòng)學(xué)量(線速度、角速度、周期、半徑等)的臨界值。【典題例析】【典例3】(2024·南通高一檢測(cè))如圖所示,水平轉(zhuǎn)盤上放有質(zhì)量為m的物塊,物塊到轉(zhuǎn)軸的距離為r。一段繩的一端與物塊相連,另一端系在圓盤中心上方43r處,繩恰好伸直,物塊和轉(zhuǎn)盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,設(shè)物塊受到的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力,已知重力加速度為g(1)當(dāng)水平轉(zhuǎn)盤以角速度ω1勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),繩上恰好有張力,求ω1的值;答案:(1)μgr【解析】(1)當(dāng)水平轉(zhuǎn)盤以角速度ω1勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),繩上恰好有張力,靜摩擦力達(dá)到最大值,則此時(shí)物塊所需向心力恰好完全由最大靜摩擦力提供,則μmg=mrω12,解得:ω1=(2)當(dāng)水平轉(zhuǎn)盤以角速度ω2勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),物塊恰好離開轉(zhuǎn)盤,求ω2的值。答案:(2)3【解析】(2)物塊恰好離開轉(zhuǎn)盤,則FN=0,物塊只受重力和繩的拉力,如圖所示,mgtanθ=mω2tanθ=3聯(lián)立解得:ω2=3g【補(bǔ)償訓(xùn)練】(多選)(2024·濟(jì)南高一檢測(cè))如圖所示,水平轉(zhuǎn)盤上放有質(zhì)量為m的物塊(可視為質(zhì)點(diǎn)),當(dāng)物塊到轉(zhuǎn)軸OO'的距離為r時(shí),連接物塊和轉(zhuǎn)軸的繩剛好被拉直(繩上張力為0)。物塊和轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力是物塊對(duì)轉(zhuǎn)盤壓力的μ倍。已知重力加速度為g,最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力相等。下列說法正確的是()A.當(dāng)轉(zhuǎn)盤以角速度μg2r勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),物塊所受的摩擦力大小為B.當(dāng)轉(zhuǎn)盤以角速度μg2r勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),細(xì)繩的拉力大小為C.當(dāng)轉(zhuǎn)盤以角速度3μg2D.當(dāng)轉(zhuǎn)盤以角速度3μg2r【解析】選A、C、D。物塊和轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力是Ffm=μmg。當(dāng)轉(zhuǎn)盤以角速度μg2r勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),所需向心力為F1=mrω12=12μmg<Ffm,則細(xì)繩對(duì)物塊的拉力為零,物塊所受的摩擦力大小為12μmg,故A正確,B錯(cuò)誤;當(dāng)轉(zhuǎn)盤以角速度ω2=3μg2r勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),所需向心力F2=mrω22=32μmg>Ffm,摩擦力不足以提供向心力,繩子也要提供部分向心力,則F2=FT+Ffm課時(shí)鞏固訓(xùn)練,請(qǐng)使用“專題進(jìn)階練(三)”專題進(jìn)階課七機(jī)械能守恒定律和功能關(guān)系的應(yīng)用學(xué)習(xí)任務(wù)一機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用【核心歸納】1.速率相等的連接體模型(1)如圖所示的兩物體組成的系統(tǒng),當(dāng)釋放B后,在A、B運(yùn)動(dòng)的過程中,二者的速度均沿繩子方向,因A、B在相等時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程相等,則A、B的速率相等。(2)判斷系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒不從做功角度判斷,而從能量轉(zhuǎn)化的角度判斷,即如果系統(tǒng)中只有動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化,系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。這類題目的典型特點(diǎn)是系統(tǒng)不受摩擦力作用。2.角速度相等的連接體模型(1)如圖所示的兩物體組成的系統(tǒng),當(dāng)釋放后A、B在豎直平面內(nèi)繞過O點(diǎn)的軸轉(zhuǎn)動(dòng),在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中,相等時(shí)間內(nèi)A、B轉(zhuǎn)過的角度相等,則A、B轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相等。(2)系統(tǒng)機(jī)械能守恒的特點(diǎn)①一個(gè)物體的機(jī)械能增加,另一個(gè)物體的機(jī)械能必然減少,系統(tǒng)通過內(nèi)力做功實(shí)現(xiàn)機(jī)械能在物體間的轉(zhuǎn)移;②內(nèi)力對(duì)一個(gè)物體做正功,必然對(duì)另外一個(gè)物體做負(fù)功,且二者的代數(shù)和為零。3.分速度大小相等的連接體模型(1)如圖所示的兩物體組成的系統(tǒng),當(dāng)釋放后A、B運(yùn)動(dòng)的過程中,A、B的速度并非均沿繩子方向,在相等時(shí)間內(nèi)A、B運(yùn)動(dòng)的位移大小不相等,則A、B的速度大小不相等,但二者在沿著繩子方向的分速度大小相等。(2)列系統(tǒng)機(jī)械能守恒表達(dá)式的兩種思路①系統(tǒng)動(dòng)能的減少(或增加)量等于重力勢(shì)能的增加(或減少)量;②一個(gè)物體機(jī)械能的減少量等于另一個(gè)物體機(jī)械能的增加量?！镜漕}例析】【典例1】(2024·宜賓高一檢測(cè))如圖所示,水平光滑長(zhǎng)桿上套有一個(gè)質(zhì)量為mA的小物塊A,細(xì)線一端跨過輕小光滑定滑輪的O點(diǎn)連接A,另一端懸掛質(zhì)量為mB的小物塊B,C點(diǎn)為O點(diǎn)正下方桿上一點(diǎn),滑輪到桿的距離OC=h。開始時(shí)A位于P點(diǎn),PO與水平方向的夾角為30°?，F(xiàn)將A、B同時(shí)由靜止釋放,則下列分析正確的是()A.物塊B從釋放到最低點(diǎn)的過程中,物塊A的動(dòng)能不斷增大B.物塊A由P點(diǎn)出發(fā)第一次到達(dá)C點(diǎn)的過程中,物塊B的機(jī)械能先增大后減小C.PO與水平方向的夾角為45°時(shí),物塊A、B速度大小關(guān)系是vA=22vBD.物塊A在運(yùn)動(dòng)過程中最大速度為m【解析】選A。物塊B從釋放到最低點(diǎn)的過程中,繩的拉力一直對(duì)A做正功,根據(jù)動(dòng)能定理,物塊A的動(dòng)能不斷增大,選項(xiàng)A正確;根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律,A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒,物塊B的機(jī)械能減小,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;PO與水平方向的夾角為45°時(shí),物塊A、B速度大小關(guān)系是vB=vAcos45°=22vA,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;根據(jù)速度的合成與分解,當(dāng)B下落位移最大時(shí),B的速度為0,此時(shí)A的速度最大,有mBg(hsin30°-h)=12mAvA2[思維升華]本題為繩連接的兩物體,解題時(shí)要分析出小物塊A的速度是實(shí)際物體的速度,為合速度,將該速度分解為沿繩和垂直于繩的速度,根據(jù)沿繩速度相等,利用系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律解決問題?！緦?duì)點(diǎn)訓(xùn)練】如圖所示,半徑為R的光滑圓環(huán)豎直放置,直徑MN為豎直方向,環(huán)上套有兩個(gè)小球A和B,A、B之間用一長(zhǎng)為3R的輕桿相連,小球可以沿環(huán)自由滑動(dòng),開始時(shí)桿處于水平狀態(tài)。已知A的質(zhì)量為m,重力加速度為g。(1)若B的質(zhì)量也為m,求此時(shí)桿對(duì)B球的彈力大小;答案:(1)3mg【解析】(1)小球B平衡,受力分析如圖1所示,根據(jù)幾何關(guān)系得θ=30°根據(jù)二力平衡,FN=mgtan30°=(2)若B的質(zhì)量為3m,由靜止釋放輕桿,求B球由初始位置到達(dá)N點(diǎn)的過程中,輕桿對(duì)B球所做的功。答案:(2)-98【解析】(2)若B的質(zhì)量為3m,由靜止釋放輕桿,B球由初始位置到達(dá)N點(diǎn)的過程中,由系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律得:3mg×12R-mgR=12×3mvB2如圖2所示由幾何關(guān)系可得α=β=60°,根據(jù)沿桿方向速度相等,vAcosβ=vBcosα故vA=vB對(duì)B運(yùn)用動(dòng)能定理:3mg×12R+W=12×3聯(lián)立以上各式得:W=-98學(xué)習(xí)任務(wù)二功能關(guān)系的應(yīng)用【核心歸納】1.功是能量轉(zhuǎn)化的量度,力學(xué)中幾種常見的功能關(guān)系如下:2.涉及做功與能量轉(zhuǎn)化問題的解題方法:分清是什么力做功,并且分析該力做正功還是做負(fù)功;根據(jù)功能之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,確定能量之間的轉(zhuǎn)化情況。(1)若只涉及動(dòng)能的變化則用動(dòng)能定理分析。(2)若只涉及重力勢(shì)能的變化則用重力做功與重力勢(shì)能變化的關(guān)系分析。(3)當(dāng)涉及滑動(dòng)摩擦力做功時(shí),機(jī)械能不守恒,一般應(yīng)用能量守恒定律,特別注意摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能Q=Ffl相,l相為相