專題14直角三角形中的分類討論模型模型1、直角三角形中的分類討論模型【知識儲備】凡是涉及直角三角形問題，優(yōu)先考慮直角頂點（或斜邊）分類討論，再利用直角三角形的性質(zhì)或勾股定理解題即可。1）無圖需分類討論：①已知邊長度無法確定是直角邊還是斜邊時要分類討論；②已知無法確定是哪個角是直角時要分類討論（常見與折疊、旋轉(zhuǎn)中出現(xiàn)的直角三角形）。2）“兩定一動”直角三角形存在性問題：（常見于與坐標(biāo)系綜合出題，后續(xù)會專題進行講解）即：如圖：已知，兩點是定點，找一點構(gòu)成方法：兩線一圓具體圖解：①當(dāng)時，過點作的垂線，點在該垂線上（除外）②當(dāng)時，過點作的垂線，點在該垂線上（除外）。③當(dāng)時，以為直徑作圓，點在該圓上（，除外）。例1．（2023秋·重慶·八年級統(tǒng)考期末）已知三角形的兩邊分別為6和8，當(dāng)?shù)谌厼闀r，此三角形是直角三角形．例2．（2023秋·浙江八年級課時練習(xí)）如圖，在中，于點D，平分．若，F(xiàn)為線段上的任意一點，則當(dāng)為直角三角形時，則的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或例3．（2022秋·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在的小正方形網(wǎng)格中，點A，B為格點，另取一格點C，使為直角三角形，則點C的個數(shù)為（

）A．4 B．6 C．8 D．10例4．（2023·河南新鄉(xiāng)·八年級校考期中）平面直角坐標(biāo)系中有點、，連接AB，以AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形，則點C的坐標(biāo)是．例5．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝BC＝8，AO＝BO，點M是射線CO上的一個動點，∠AOC＝60°，則當(dāng)△ABM為直角三角形時，AM的長為．例6.（2023·河南·三模）如圖，長方形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=8，AB=CD=17．點E為射線DC上的一個動點，△ADE與△AD′E關(guān)于直線AE對稱，當(dāng)△AD′B為直角三角形時，DE的長為．例7.（2023秋·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，點D是邊上的點，將沿折疊得到，線段與邊交于點F．若為直角，則的長是．例8．（2023秋·廣西百色·八年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，AB＝20cm，BC＝16cm，點D為線段AB的中點，動點P以2cm/s的速度從B點出發(fā)在射線BC上運動，同時點Q以αcm/s（α＞0且α≠2）的速度從C點出發(fā)在線段CA上運動，設(shè)運動時間為秒．(1)若AB＝AC，P在線段BC上，求當(dāng)α為何值時，能夠使△BPD和△CQP全等？(2)若∠B＝60°，求出發(fā)幾秒后，△BDP為直角三角形？(3)若∠B＝60°，求出發(fā)幾秒后，△BDP為等邊三角形？例9．（2023秋·浙江杭州·八年級校聯(lián)考期末）在中，，，點在上（不與點B，C重合）．(1)如圖1，點E在上（不與點A，B重合），且．若，求證：；(2)若是直角三角形，求的長．例10．（2023秋·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，，C為y軸上的一個動點，連接，把線段分別繞著點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接．(1)求證：．(2)當(dāng)時，求的面積．(3)在點C的運動過程中，是否存在為直角三角形，若存在，求出點D的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

例11．（2023秋·遼寧錦州·八年級統(tǒng)考期末）【模型構(gòu)建】如圖，將含有的三角板的直角頂點放在直線l上，過兩個銳角頂點分別向直線l作垂線，這樣就得到了兩個全等的直角三角形．由于三個直角的頂點都在同一條直線上，因此我們將其稱為“一線三直角”，這模型在數(shù)學(xué)解題中被廣泛使用．【模型應(yīng)用】(1)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，①則_________；②C，D是正比例函數(shù)圖像上的兩個動點，連接AD，BC，若，則AD的最小值是_______；(2)如圖2，一次函數(shù)的圖像與y軸，x軸分別交于A，B兩點．將直線繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到直線l，求直線l對應(yīng)的函數(shù)表達式；【模型拓展】(3)如圖3，點A在x軸負半軸上，，過點A作軸交直線于點B，P是直線上的動點，Q是y軸上的動點，若是以其中一個動點為直角頂點的等腰直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)．

課后專項訓(xùn)練1．（2023秋·山東棗莊·八年級統(tǒng)考期中）在直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，已知點，在坐標(biāo)軸上確定點，使得為直角三角形，則符合條件的點的個數(shù)共有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個2．（2023春·廣東廣州·八年級校考期末）如圖，點M是直線y=2x+3上的動點，過點M作MN垂直于x軸于點N，y軸上是否存在點P，使得△MNP為等腰直角三角形，則符合條件的點P有（提示：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個3．（2023秋·廣東佛山·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，．點E為射線上的一個動點，與關(guān)于直線對稱，當(dāng)為直角三角形時，則的長為（

）A．2或18 B．3或18 C．3或2 D．2或84．（2023秋·重慶·八年級課堂例題）已知點A和點，以點A和點為兩個頂點作等腰直角三角形，一共可以作出個．5．（2022·浙江·諸暨市八年級期中）如圖∠MAN＝60°，若△ABC的頂點B在射線AM上，且AB＝6，動點C從點A出發(fā)，以每秒1個單位沿射線AN運動，當(dāng)運動時間t是_______秒時，△ABC是直角三角形．6．（2022·上海普陀·八年級期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，點D為邊BC上一點，將△ACD沿直線AD翻折得到△AED，點C的對應(yīng)點為點E，聯(lián)結(jié)BE，如果△BDE是以BD為直角邊的等腰直角三角形，那么BC的長等于______．7．（2022·河南南陽·二模）如圖，在的紙片中，，，．點在邊上，以為折痕將折疊得到，與邊交于點．若為直角三角形，則的長是_______．8．（2022·江西萍鄉(xiāng)·二模）如圖，在△ABC中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P是射線CO上的一個動點，∠AOC＝60°，則當(dāng)△PAB為直角三角形時，AP的長為____．9．（2022·廣東·九年級課時練習(xí)）如圖，點E是矩形ABCD的邊AB的中點，點P是邊AD上的動點，沿直線PE將△APE對折，點A落在點F處.已知AB=6，AD=4，連結(jié)CF、CE，當(dāng)△CEF恰為直角三角形時，AP的長度等于___________.10．（2023·山東·八年級課時練習(xí)）如圖，在中，，，，．是邊上的一個動點，點與點關(guān)于直線對稱，當(dāng)為直角三角形時，的長為________．11.（2023·廣東廣州·八年級階段練習(xí)）在中，若過頂點的一條直線把這個三角形分割成兩個三角形，其中一個為等腰三角形，另一個為直角三角形，則稱這條直線為的關(guān)于點的二分割線．例如：如圖，在中，，，若過頂點的一條直線交于點，且，則直線是的關(guān)于點的二分割線．如圖，已知，同時滿足：①為最小角；②存在關(guān)于點的二分割線，則的度數(shù)為______．12．（2022秋·浙江寧波·八年級校考期中）如圖，在中，，，D是邊上的一個動點，點E與點A關(guān)于直線對稱，

（1）的面積=．（2）當(dāng)為直角三角形時，則的長為

．13．（2023春·廣東·八年級階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=4，點D是AB的中點，點E是邊BC上一動點，沿DE所在直線把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交邊BC于點F，若△CB′F為直角三角形，則CB′的長為．14．（2022秋·四川成都·八年級統(tǒng)考期中）如圖，長方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點E是BC邊上任一點，連接AE，把∠B沿AE折疊，使點B落在點B′處，當(dāng)CE的長為時，△CEB′恰好為直角三角形．15．（2023春·江西鷹潭·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，已知，，．，在直線上．現(xiàn)將在直線上進行平移，當(dāng)為直角三角形時，的長為．16．（2023春·河北張家口·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，動點P，Q同時從A，B兩點出發(fā)，分別在邊上勻速運動，它們的速度分別為，，當(dāng)點P到達點B時，P，Q兩點同時停止運動，設(shè)點P的運動時間為．（1）當(dāng)時，為等腰三角形；（2）當(dāng)時，為直角三角形．

17．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，已知，點是射線上一動點，當(dāng)為直角三角形時，．18．（2023春·江蘇南京·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在中，，，，分別是高和角平分線，點E為邊上一個點，當(dāng)為直角三角形時，則度．19．（2023春·吉林長春·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1個單位長度，存在線段，端點A，B均落在格點上，構(gòu)建如圖所示平面直角坐標(biāo)系．(1)直接寫出點A，B的坐標(biāo)：A（______，______），

B（______，______）；(2)請在網(wǎng)格中找到點C，連接，，使為等腰直角三角形，此時點C的坐標(biāo)為______；(3)如圖