8.7拋物線(xiàn)【考點(diǎn)梳理】1．拋物線(xiàn)的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)l(F?l)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn)．點(diǎn)F叫做拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)l叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)．2．拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)圖形性質(zhì)焦點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線(xiàn)x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R對(duì)稱(chēng)軸x軸y軸頂點(diǎn)原點(diǎn)O(0，0)離心率e＝1開(kāi)口向右向左向上向下考點(diǎn)一拋物線(xiàn)的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程【例題】（1）到直線(xiàn)與到定點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡是（

）A．橢圓 B．圓 C．拋物線(xiàn) D．直線(xiàn)【答案】C【解析】動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線(xiàn)：的距離相等，所以的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，故選：C．（2）過(guò)點(diǎn)，且焦點(diǎn)在y軸上的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意設(shè)拋物線(xiàn)方程為，因?yàn)閽佄锞€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為，故選：C.（3）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．B．C． D．【答案】D【解析】由題意可知，拋物線(xiàn)的開(kāi)口向左，設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，所以，所以?huà)佄锞€(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：D．（4）焦點(diǎn)在軸的正半軸上，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由焦點(diǎn)在軸的正半軸上知拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，又焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，故拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是，故選：A.（5）若拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)重合，則拋物線(xiàn)方程為.【答案】【解析】的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得：，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為，故答案為：.【變式】（1）已知拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是，則拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是．【答案】【解析】由題意，設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線(xiàn)方程是，

拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，

，解得，即所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：（2）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的拋物線(xiàn)方程為（

）A．B．C． D．【答案】B【解析】依題意，設(shè)拋物線(xiàn)方程為，于是得，解得，所以所求拋物線(xiàn)方程是，故選：B.（3）以雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【解析】雙曲線(xiàn)，所以右頂點(diǎn)（4,0），拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)也為（4,0），所以，，拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故答案為：.（4）已知某拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是.【答案】或【解析】因?yàn)辄c(diǎn)位于第一象限，所以?huà)佄锞€(xiàn)的開(kāi)口向右或者開(kāi)口向上，所以不妨設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為或，將點(diǎn)分別代入上述方程均得到，所以?huà)佄锞€(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是或，故答案為：或.（5）拋物線(xiàn)上有一點(diǎn)M，它的橫坐標(biāo)是3，它到焦點(diǎn)的距離是5，則拋物線(xiàn)方程為（）A． B．x C． D．x【答案】A【解析】∵拋物線(xiàn)，∴其準(zhǔn)線(xiàn)方程為：，∴由題意知，35，∴，∴拋物線(xiàn)方程為，故選：A．考點(diǎn)二拋物線(xiàn)的性質(zhì)【例題】（1）拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】可化為，所以?huà)佄锞€(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，故選：B．（2）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離為（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【解析】拋物線(xiàn)，即，則，所以，所以?huà)佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離為.故選：C.（3）下列關(guān)于拋物線(xiàn)的說(shuō)法正確的是（

）．A．開(kāi)口向下，準(zhǔn)線(xiàn)方程為 B．開(kāi)口向左，準(zhǔn)線(xiàn)方程為C．開(kāi)口向下，準(zhǔn)線(xiàn)方程為 D．開(kāi)口向左，準(zhǔn)線(xiàn)方程為【答案】A【解析】拋物線(xiàn)的開(kāi)口朝下，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，故選：A．（4）已知拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A．6 B．5 C．4 D．2【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，，，，故選：C．（5）已知過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn)，且，則.【答案】10【解析】根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可得，所以，故答案為：10.（6）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，則拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)與F距離之和的最小值為.【答案】7【解析】記拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，到l的距離為，作于，則，當(dāng)且僅當(dāng)為與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立．故答案為：7【變式】（1）已知拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），則p=（

）A．2 B．3 C．5 D．7【答案】A【解析】由于拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，所以，故選：A.（2）已知拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為2，則該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離為（

）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】D【解析】由題可知，拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)，可得，解得，所以該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，故選：D.（3）在拋物線(xiàn)的方程中，p表示（

）A．焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離 B．焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離的一半C．焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離的2倍 D．焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離【答案】A【解析】易知：拋物線(xiàn)焦點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)，頂點(diǎn)，故p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，故選：A.（4）拋物線(xiàn)上有兩個(gè)點(diǎn)，焦點(diǎn)，已知，則線(xiàn)段的中點(diǎn)到軸的距離是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】由已知可得拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，由拋物線(xiàn)的定義得，即，線(xiàn)段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故線(xiàn)段的中點(diǎn)到軸的距離是，故選：.（5）在拋物線(xiàn)上，則到直線(xiàn)的距離與到直線(xiàn)的距離之和的最小值為（

）A．B．C． D．【答案】B【解析】由拋物線(xiàn)定義到直線(xiàn)的距離等于到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)距離，所以到直線(xiàn)的距離與到直線(xiàn)的距離之和的最小值，即焦點(diǎn)到直線(xiàn)的距離：，故選:B.（6）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，第一象限的點(diǎn)在上，且，則的坐標(biāo)是．【答案】【解析】由題意得：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，故，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，解得，又在第一象限，，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：.【方法總結(jié)】1．拋物線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)是解決有關(guān)拋物線(xiàn)問(wèn)題的基礎(chǔ)，應(yīng)當(dāng)熟練掌握．2．求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法或軌跡法．若拋物線(xiàn)的開(kāi)口不確定，為避免多種情況分類(lèi)求解的麻煩，可以設(shè)拋物線(xiàn)方程為y2＝mx或x2＝ny(m≠0，n≠0)．若m＞0，開(kāi)口向右；若m＜0，開(kāi)口向左．m有兩解時(shí)，則拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè)．對(duì)n＞0與n＜0，有類(lèi)似的討論．3．拋物線(xiàn)的離心率e＝1，體現(xiàn)了拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離．因此，涉及拋物線(xiàn)的焦半徑、焦點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí)，要看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線(xiàn)(看到準(zhǔn)線(xiàn)想焦點(diǎn))，優(yōu)先考慮利用拋物線(xiàn)的定義，將其轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，這樣往往可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化．4．有關(guān)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線(xiàn)是否過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式．5．拋物線(xiàn)的幾個(gè)常用結(jié)論(1)焦半徑：拋物線(xiàn)上的點(diǎn)P(x0，y0)與焦點(diǎn)F之間的線(xiàn)段叫做拋物線(xiàn)的焦半徑，記作r＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF)).①y2＝2px(p＞0)，r＝x0＋eq\f(p,2)；②y2＝－2px(p＞0)，r＝－x0＋eq\f(p,2)；③x2＝2py(p＞0)，r＝y(tǒng)0＋eq\f(p,2)；④x2＝－2py(p＞0)，r＝－y0＋eq\f(p,2).(2)焦點(diǎn)弦：若AB為拋物線(xiàn)y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)弦，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，弦中點(diǎn)M(