專題二方程與不等式思維導圖1.2一元二次方程1.2.1相關知識點1、定義：一般地，把只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程稱為一元二次方程。一般形式：依次稱為二次項系數、一次項系數、常數項。能使方程左右兩邊相等的未知數的值稱為方程的解；求方程的過程稱為解方程。2、一元二次方程的解題思路：（1）配方法：具體步驟如下，（一元二次方程一般形式----二次三項式），（將二次項系數化簡為1），（將常數項移動到等號右邊），（配方：方程兩邊同時加一次項系數一半的平方），（整理結果為方程左邊為完全平方式）當時，方程有兩個相同或不同的實數解，即：；當時，方程無實數解。公式法一元二次方程的求根公式為：；（由配方法解得）因式分解法（十字相乘法）一元二次方程根的判別式：。無實數根一個實數根（兩個相等實數根）兩個不相等實數根韋達定理設方程的兩個根為，則：。1.2.2基礎知識測試1、已知關于有兩個相等的實數根，則m的值為（C）A.2B.10C.2或10D.-2或-10〖解析〗一元二次方程有2個相等的實數根，即，；，解得m1=2，m2=10。2、已知關于的解是非負數，那么滿足的條件是（C）A.B.C.D.〖解析〗將方程移項化簡得，解得。3、把配方成的形式，則m、n的值分別為（B）A.1，-2B.-1,2C.2，-1D.-2,1〖解析〗具體配方過程為，所以m=-1，n=2。若方程的兩個根分別是2,4，則的值為（A）A.-2B.-1C.2D.無法確定〖解析〗由韋達定理可知，，所以。解下列方程（1）的解為。（2）的解為。1.2.3職教高考考點直擊一元二次方程在職教高考中為常見考點，考頻較高，常以選擇題出現，其中韋達定理常結合圓錐曲線、不等式等知識點出現在解答題中。本部分考點理解較易，但其延伸意義及綜合運用難度較高，高考中失分率相對較高?？忌杓訌婍f達定理的應用學習。1.2.4經典例題剖析例1把二次三項式的形式?！冀馕觥?，，?！键c評〗對二次三項式配方，二次項和一次項都提取公因式3，并注意保持恒等變形。變式1把二次三項式，請求出各參數的值?！冀馕觥奖绢}考查二次三項式配方的方法，需要將二次三項式配方后的代數式去除括號展開，將與二次項系數、一次項系數、常數項依次對應即可。具體步驟如下：所以?！键c評〗注意在二次三項式配方過程中保持代數式的恒等變形。例2〖解析〗原式可配方變形為：解得。所以?！键c評〗二次三項式的配方過程常結合平方和、平方差公式應用于考題中。例3已知方程的一個根是3，則它的另一個根是，實數k的值為（A）A.-2，-1B.1,2C.-1,2D.2,3〖解析〗設為方程的兩個根，則，解得；故答案為A?！键c評〗韋達定理應用：。變式2已知方程的一個根是為m,求滿足條件的m的值？〖解析〗設方程另一個根為，則根據韋達定理可知：，解得；或?！键c評〗解答此題時，需要注意當m在等于0時，方程依然成立。變式3已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的負實數根，試求m的取值范圍?！冀馕觥揭罁}意可設為方程的兩個根，則解得綜上所述，m的取值范圍為。1.3不等式1.3.1主要性質1、實數大小的基本性質設是兩個任意實數，則他們具有如下基本性質：不等式的性質：對稱性：傳遞性：；運算法則：；；；移項法則：。不等式解集與區(qū)間定義：一般地，在含有未知數的不等式（組）中，能使不等式（組）成立的未知數值的全體所組成的集合，稱為不等式（組）的解集。特別地，如果各個不等式的解集的交集是空集，則此不等式（組）的解集為空集。不等式解法含絕對值不等式：；。一元二次不等式當，形式；當m＞0時，可化簡為含絕對值不等式形式，方法如（1）；當m≤0時，其解集可總結如下表所示：表2-1一元二次不等式的解集RRR表2-2一元二次方程根的正負性根的情況兩個正根兩個負根兩根異號一個零根存在條件C=01.3.2基礎知識測試1、已知為實數，則下列命題正確的是（D）A.B.C.D.〖解析〗不等式兩邊同時乘上一個實數或代數式時，需要確定其正負性。當c=0時，選項A不成立；當時，選項A不成立；選項C結論應為；因此答案為D。2、已知A.2B.3C.5D.6〖解析〗原不等式可化簡為；與題設中給定的解集（-1,0）等價，即解得，答案為C。3、不等式的解集是（D）B.C.D.〖解析〗原不等式可化簡為；即；所以的解集（-1,2）等價，答案為D。4、不等式的解集為（A）B.C.D.〖解析〗原不等式可分解因式為；解得，根據不等式口訣：不等式小于0取兩根之間區(qū)域，不等式大于0取兩個兩邊區(qū)域可知，答案為A。5、方程有實數根，則實數m的取值范圍為（B）A.B.C.D.R〖解析〗原方程有實數解可將其等價為成立；即即可滿足題設要求，故答案為B。6、不等式組的解集為?！冀馕觥綄τ诓坏仁浇M解集為各不等式解集的交集，原式可化簡為，即不等式組解集為。7、已知，則m,n的大小關系為m＞n。〖解析〗對于比較兩實數大小的比較，可以采用作差法解答，，，所以m＞n。8、解不等式?！冀馕觥綄⒃揭祈椡ǚ值?，可等價為，因為方程的兩根為-1,3（右圖），所以原不等式解集為（-1,3）。1.3.3職教高考考點直擊不等式部分在職教高考中為常以選擇題形式考查，在解答題中也常有涉及，主要考查不等式性質，其中一元二次不等式、韋達定理經常與函數部分結合出現，難度中等，掌握其主要解題方法，可在考試中得分率較高。1.3.4高考經典例題剖析例1、（2017年山東春季高考）若均為實數，且，則下列不等式成立的是（A）A.B.C.D.〖解析〗故答案A正確；c為實數，當c=0或c＜0時，B選項均錯誤；，相當于在原不等式兩邊同時乘了兩個負數，所以運算后的兩數的大小不確定，對于本題來講；，故C錯誤；選項D運算方法同選項C，結果為，D錯誤；故答案為D?！键c評〗考查不等式運算性質及法則，另可通過帶數法進行解答。變式4均為實數，，則下列不等式成立的是（A）A.B.C.D.〖解析〗故答案A正確；c為實數，當c=0或c＜0時，B選項均錯誤；當兩實數為異號時，的大小無法判斷，故選項C錯誤；當時，運算無意義，D錯誤。例2、（2019年山東春季高考）下列選項正確的是（A）A.B.C.D.〖解析〗即為；故答案為A?！键c評〗考查兩個實數的求和及乘積的運算性質，其中乘積遵從“同號為正，異號為負”。變式5比較代數式的大小〖解析〗兩代數作差得所以?！键c評〗考查兩個實數大小的比較，其中作差法為常用方法，過程中變形常用配方、因式分解、有理化等方法將代數式化成為乘積或完全平方式形式。例3、（2018年山東春季高考）函數的定義域是（D）A.B.C.D.〖解析〗由題意可知，使函數有意義，則，解得，故答案為D?！键c評〗求函數定義域與解不等式密切相關，解題關鍵為列出滿足條件的不等式組，并取各不等式的解集的交集。變式6已知集合A.B.C.D.〖解析〗集合A是關于不等式的解集，即不等式可等價為；注：此處需要將3-x轉化為-(x-3)形式；解得方程的兩根為-2,3，根據不等式性質得出，化簡得x的取值范圍為[-1,3),故答案為C。變式7解不等式?！冀馕觥讲坏仁接薪鈩t需根式有意義，原式可等價為，即不等式組解集為。〖點評〗解無理不等式組主要是將其變形為有理不等式組。例4已知二次函數的圖形經過原點，求使的x的取值范圍?！冀馕觥接深}意知，將原點（0,0）代入二次函數中，解得m=1；即二次函數可化簡為，其圖像為開口向上的拋物線，與x軸兩交點為（0，0）、（-2,0），使即，所以不等式解集為。變式8已知關于x的不等式的解集為R，求實數的取值范圍。〖解析〗討論：當二次項系數時，即，原不等式變?yōu)楹愠闪?，所以符合要求；當二次項系數時，，解得，故此題解集為。（注：當時，二次函數代表的拋物線開口向上，其取值集合不可能為R）1.2.5考點鞏固練習1、（）4B.2C.-2D.-4〖解析〗A。由題意變形為，將兩代數式相加得出：，所以在此區(qū)間內的數為2，故答案為B。下列結論正確的是（）A.B.C.D.〖解析〗D。運用代數法，，A錯誤；，B項錯誤；，C項錯誤；故答案為D。3、不等式的解集為（）A.B.C.D.〖解析〗A。不等式兩邊同時乘以或除以一個負數時，需要改變不等號的方向。4、不等式的解集為（）A.B.C.D.〖解析〗C。原不等式因式分解為，解得兩根為-3,2，根據不等式小于0取值范圍為兩根之間的其解集為，故答案為C。5、下列不等式中解集為空集的是（）A.B.C.D.〖解析〗C。，A項錯誤；選項B其解集為，故B正確；，即，C項錯誤；D項，故答案為C。6、已知關于x的一元二次方程的兩個根分別為-1,3，則不等式的解集為（）A.B.C.D.〖解析〗B。由題意知一元二次方程為開口向下的拋物線，且與x軸交點為-1,3，即在兩根之間為不等式大于0（y軸正半軸）部分，所以原不等式解集為；答案為B。7、已知關于x的不等式的解集為實數R，則的取值范圍為（）A.B.C.D.〖解析〗A。由題意知方程為開口向上的拋物線，所以原不等式解集為，所以的取值范圍為，故答案為A。8、不等式的解集是（）。A.B.C.D.〖解析〗C。原不等式可等價為且，即，故原不等式解集為，答案為C。9、已知是一元二次方程的兩實數根，則代數式的值為（）。A.7B.1C.5D.-6〖解析〗A。根據韋達定理得出：，故答案為A。若關于x的一元二次不等式?！冀馕觥?。原一元二次不等式只有一個解集2，說明原一元二次方程與X軸只有一個交點，即。若不等式?！冀馕觥?。由題意知，不等式解集的取值范圍與原不等式相反，則說明不等式中的一個因式中未知數系數為