冷泉17支鐵易圓小泉除合

十年考情-探規(guī)律

考點(diǎn)十年考情(2015-2024)命題趨勢(shì)

2024?北京卷、2022?全國(guó)甲卷、2022?全國(guó)乙卷

1.理解、掌握直線的傾斜角與斜

考點(diǎn)1直線方

2018?天津卷、2016?上海卷、2016?浙江卷率及其關(guān)系，熟練掌握直線方

程與圓的方程

2016?天津卷、2016?全國(guó)卷、2015?全國(guó)卷

程的5種形式及其應(yīng)用，熟練

（10年5考）

2016?北京卷、2015?北京卷掌握距離計(jì)算及其參數(shù)求解，

考點(diǎn)2直線與2023?全國(guó)新H卷、2022?北京卷、2022?天津卷該內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)

圓的位置關(guān)系2020?天津卷、2018?全國(guó)卷、2016?全國(guó)卷容，通常和圓結(jié)合在一起考查，

及其應(yīng)用2016?全國(guó)卷、2016?全國(guó)卷、2016?山東卷需重點(diǎn)練習(xí)

（年考）?湖北卷、?湖北卷、?全國(guó)卷

1062015201520152.理解、掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一

2024?全國(guó)新H卷、2023?全國(guó)新I卷、2023?天津卷般方程，并會(huì)基本量的相關(guān)計(jì)

考點(diǎn)3圓中的

2022?全國(guó)甲卷、2021?全國(guó)新H卷、2020?全國(guó)卷算，能正確處理點(diǎn)與圓、直線

切線問(wèn)題

2020?全國(guó)卷、2020?浙江卷、2019?浙江卷與圓及圓與圓的位置關(guān)系求

（10年7考）

2015?山東卷、2015?山東卷、2015?湖北卷解，能利用圓中關(guān)系進(jìn)行相關(guān)

考點(diǎn)4直線、2024?天津卷、2023?全國(guó)甲卷、2023?全國(guó)乙卷參數(shù)求解，會(huì)解決圓中的最值

圓與其他知識(shí)2022?全國(guó)新H卷、2022?全國(guó)甲卷、2021?全國(guó)新II卷問(wèn)題，該內(nèi)容是新高考卷的必

點(diǎn)綜合2021?全國(guó)乙卷、2021?全國(guó)甲卷、2020?山東卷2020?北考內(nèi)容，一般考查直線與圓和

（10年7考）京卷、、2018?全國(guó)卷、2015?全國(guó)卷圓與圓的幾何綜合，需強(qiáng)化練

習(xí)

2024?全國(guó)甲卷、2024?全國(guó)甲卷、2023?全國(guó)乙卷

3.熟練掌握?qǐng)A中切線問(wèn)題的

考點(diǎn)5直線與2022?全國(guó)新H卷、2021?北京卷、2021?全國(guó)新I卷

快速求解，該內(nèi)容是新高考卷

圓中的最值及2020?全國(guó)卷、2020?北京卷、2020?全國(guó)卷

的?？純?nèi)容，需要大家掌握二

范圍問(wèn)題2020?全國(guó)卷、2019?江蘇卷、2018?北京卷

級(jí)結(jié)論來(lái)快速解題，需強(qiáng)化練

（10年9考）2018?全國(guó)卷、2017?江蘇卷、2016?四川卷

習(xí)

2016?四川卷、2016?北京卷

4.強(qiáng)化解析幾何聯(lián)動(dòng)問(wèn)題

分考點(diǎn)二精準(zhǔn)練金

考點(diǎn)01直線方程與圓的方程

1.(2024?北京?高考真題)圓f+y2-2x+6y=0的圓心到直線尤-丁+2=0的距離為()

A.V2B.2C.3D.3亞

【答案】D

【分析】求出圓心坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線距離公式即可.

【詳解】由題意得Y+>2-2x+6y=。，即(無(wú)一I)?+(y+3)2=10,

”(-3)+2|

則其圓心坐標(biāo)為。,-3),則圓心到直線尤-y+2=0的距離為=3母

"+(-1)2

故選：D.

2.(2022?全國(guó)甲卷?高考真題)設(shè)點(diǎn)M在直線2無(wú)+丫-1=0上，點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在上，則M的方程

為.

【答案】(I)?+(y+l>=5

【分析】設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用(3,0)和(0,1)均在M上，求得圓心及半徑，即可得圓的方程.

【詳解】［方法一］:三點(diǎn)共圓

回點(diǎn)M在直線2x+y-1=0上，

團(tuán)設(shè)點(diǎn)M為5』-2幻，又因?yàn)辄c(diǎn)(3,0)和(0,1)均在，/上，

回點(diǎn)M到兩點(diǎn)的距離相等且為半徑R,

0-3)2+(1-24=業(yè)+(一20)2=R,

a1—6a+9+4a2-4<7+l=5a2,解得。=1,

R=5

M的方程為(x-1)，+(y+=5.

故答案為：。-1尸+(>+1)2=5

［方法二］:圓的幾何性質(zhì)

由題可知，M是以(3,0)和(0,1)為端點(diǎn)的線段垂直平分線y=3x-4與直線2x+y-1=。的交點(diǎn)q,-“R=君,

M的方程為0-1)2+(>+1)2=5.

故答案為：(x-l)2+(y+l)2=5

3.(2022?全國(guó)乙卷?高考真題)過(guò)四點(diǎn)(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為.

【答案】—(52=13或(>2—=5或W或,一|j+(y一1)2=等

【分析】方法一：設(shè)圓的方程為/+丫2+m+后丫+尸=0,根據(jù)所選點(diǎn)的坐標(biāo)，得到方程組，解得即可;

【詳解】［方法一］:圓的一般方程

依題意設(shè)圓的方程為-+V+DX+4+尸=0,

F=QF=0

(1)若過(guò)(0,0),(4,0),(-1,1),貝人16+4。+/=。

解得'D=-4,

1+1-D+E+F=0E=-6

所以圓的方程為尤2+y2-4x-6y=0,BP(x-2)2+(y-3)2=13；

F=0[尸=0

(2)若過(guò)(0,0),(4,0),(4,2),貝U16+4。+/=0,解得＜。=-4,

16+4+4D+2E+F=Q[E=-2

所以圓的方程為尤2+y2-4x-2y=0,BP(x-2)2+(y-l)2=5；

尸=0

F=Q

(3)若過(guò)(0,0),(4,2),(-1,1),貝卜l+l-D+E+F=0,角軍得＜

3

16+4+4D+2E+F=0

「14

E=-----

3

所以圓的方程為爐+/一|x-gy=0,QpL-1Y+L

l+l—D+E+F=05

()則

(4)若過(guò)(—1,1),(4,0),4,2,116+4D+F=0解得D=~,所以圓的方程為

16+4+4D+2E+F=0

E=-2

一”*3=0,即，.可ip二嗎

5-515)'，25

故答案為：(x_2Y+(y_3)2=13或(x_2y+(y_l)2=5或(尤一：+［一［=￡或

+(—=等

［方法二］：【最優(yōu)解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(三點(diǎn)中的兩條中垂線的交點(diǎn)為圓心)

設(shè)點(diǎn)A(0,0),B(4,0),C(-l,l),D(4,2)

(1)若圓過(guò)A、B、C三點(diǎn)，圓心在直線尤=2,設(shè)圓心坐標(biāo)為(2,。)，

則4+°2=9+(a—1)~na=3,/=,4+片，所以圓的方程為(x—2)。+(y—3)。=13；

(2)若圓過(guò)A、B、D三點(diǎn)、,設(shè)圓心坐標(biāo)為(2,a),則4+片=4+(。-2)2na=l,r="+/=石，所以圓

的方程為(x-2)2+(y-l)2=5；

(3)若圓過(guò)4a。三點(diǎn)，則線段AC的中垂線方程為y=x+l,線段AD的中垂線方程為y=-2x+5,

聯(lián)立得x===,所以圓的方程為(x-g>+(y-gf=募；

(4)若圓過(guò)AC、。三點(diǎn)，則線段8。的中垂線方程為y=l,線段BC中垂線方程為y=5x-7,聯(lián)立得

x=8=1=>r=J2,所以圓的方程為(“當(dāng)2+(,_1)2=黑.

JJD

故答案為:(x-2)2+(y_3)2=13或(x-2『+(丁一1)2=5或1無(wú)一］吟或

x-|?+1)2%

【整體點(diǎn)評(píng)】方法一；利用圓過(guò)三個(gè)點(diǎn)，設(shè)圓的一般方程，解三元一次方程組，思想簡(jiǎn)單，運(yùn)算稍繁;

方法二；利用圓的幾何性質(zhì)，先求出圓心再求半徑，運(yùn)算稍簡(jiǎn)潔，是該題的最優(yōu)解.

4.(2018?天津?高考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)(0,0),(1,1),(2,0)的圓的方程為

【答案】x2+y2-2x=0

【詳解】分析：由題意利用待定系數(shù)法求解圓的方程即可.

詳解：設(shè)圓的方程為Y+y2+Dx+Ey+歹=0,圓經(jīng)過(guò)三點(diǎn)(0,0),(1,1),(2,0),貝!］：

F=0D=-2

<l+1+D+f+F=O,解得：<E=0,則圓的方程為尤2+9-2x=0.

4+0+2D+F=0F=0

點(diǎn)睛：求圓的方程，主要有兩種方法：

(1)幾何法：具體過(guò)程中要用到初中有關(guān)圓的一些常用性質(zhì)和定理.如：①圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線垂直的直

線上；②圓心在任意弦的中垂線上；③兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線.

(2)待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關(guān)量.一般地，與圓心

和半徑有關(guān)，選擇標(biāo)準(zhǔn)式，否則，選擇一般式.不論是哪種形式，都要確定三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，所以應(yīng)該有三

個(gè)獨(dú)立等式.

5.(2016?上海?高考真題)已知平行直線；：1=?！付⒁灰弧?0,則4與4的距離是.

【答案】專

【詳解】試題分析：

利用兩平行線間的距離公式得d==琨』=攣.

^fa2F+b2V22+l25

【考點(diǎn)】?jī)善叫芯€間距離公式

【名師點(diǎn)睛】確定兩平行線間距離，關(guān)鍵是注意應(yīng)用公式的條件，即羽丫的系數(shù)必須相同，本題較為容易，

主要考查考生的基本運(yùn)算能力.

6.(2016?浙江?高考真題)已知aeR,方程+(。+2)/+4^+8〉+5。=0表示圓，則圓心坐標(biāo)是,

半徑是.

【答案】(-2T)；5.

【詳解】試題分析：由題意，知片=々+2,a=T或2,當(dāng)。=-1時(shí)，方程為X?+/+4x+8y-5=0,即

(x+2)2+(y+4『=25,圓心為(-2,T),半徑為5,當(dāng)4=2時(shí)，方程為4尤?+4/+4x+8y+10=0,

(x+$)2+(y+l)2=_:不表示圓.

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

由方程//+(0+2);/+4x+8y+5a=0表示圓可得。的方程，解得。的值，一定要注意檢驗(yàn)。的值是否符合

題意，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.

7.(2016?天津?高考真題)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點(diǎn)M(0,君)在圓C上，且圓心到直線2x-y=。

的距離為逑，則圓C的方程為.

5

【答案】(X-2)2+/=9.

【詳解】試題分析：設(shè)C(a,0)(a>0),則累=予na=2,r=，22+(追>=3,故圓C的方程為

(x-2)2+y2=9.

【考點(diǎn)】直線與圓位置關(guān)系

【名師點(diǎn)睛】求圓的方程有兩種方法：

(1)代數(shù)法：即用"待定系數(shù)法"求圓的方程.①若已知條件與圓的圓心和半徑有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,

列出關(guān)于a,b,r的方程組求解.②若已知條件沒(méi)有明確給出圓的圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，列

出關(guān)于D,E,F的方程組求解.

(2)幾何法：通過(guò)研究圓的性質(zhì)、直線和圓的位置關(guān)系等求出圓心、半徑，進(jìn)而寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

8.(2016?全國(guó)?高考真題)圓f+/一2x-8y+13=0的圓心到直線“x+y-l=。的距離為1,則。=

C.出D.2

【答案】A

【詳解】試題分析：由/+/-2工-h+13=0配方得(x-lf+O-4f=4,所以圓心為(1,4),因?yàn)閳A

|a+4-l|4

/+k一2了一8、+13=0的圓心到直線ox+y-1=0的距離為1,所以=1解得“=-［，故選A.

/a2+l2

【考點(diǎn)】圓的方程，點(diǎn)到直線的距離公式

【名師點(diǎn)睛】直線與圓的位置關(guān)系有三種情況：相交、相切和相離.已知直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，常用幾何

法將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系，以此來(lái)確定參數(shù)的值或取值范圍.

9.(2015?全國(guó)?高考真題)過(guò)三點(diǎn)41,3),8(4,2),C(l,-7)的圓交y軸于M,N兩點(diǎn)，則|“N卜

A.2癡B.8C.4.D.10

【答案】C

【詳解】由已知得左的二三二-彳，kCB==-=-3,所以幻/CB=T，所以M，CB,即AABC為直角三

1-434—1

AC

角形，其外接圓圓心為AC中點(diǎn)(1,-2),半徑為長(zhǎng)為分=5,所以外接圓方程為(x-l)2+(y+2)2=25,令x=0,

得、=±2后一2,所以|睦V|=4",故選C.

考點(diǎn)：圓的方程.

10.(2016?北京■高考真題)圓(x+l)2+y2=2的圓心到直線y=%+3的距離為()

A.1B.2

C.屈D.20

【答案】C

【詳解】試題分析：圓心坐標(biāo)為(-1,0),由點(diǎn)到直線的距離公式可知”=

【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系

,J,-kxr,-b

【名師點(diǎn)睛】點(diǎn)(七.》：)到直線j=H+b(即j-h-b=0)的距離公式d=-{-=記憶容易,

4+F

對(duì)于知d求女，b很方便.

11.(2015?北京?高考真題)圓心為。,1)且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程是

A.(%-iy+(^-i)2=i

B.(x+1)2+(_y+1)2=1

C.(x+l)2+(,+1)2=2

D.(1)2+"1)2=2

【答案】D

【詳解】試題分析：設(shè)圓的方程為+(y-l)2=皿機(jī)>0),且圓過(guò)原點(diǎn)，BP(0-l)~+(0-l)~=m(m>0),

得%=2,所以圓的方程為(x—爐+(y-1)?=2.故選D.

考點(diǎn)：圓的一般方程.

考點(diǎn)02直線與圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用

1.(2023?全國(guó)新H卷?高考真題)已知直線/：尤一根y+l=0與「C:(x—iy+y2=4交于A,8兩點(diǎn)，寫出滿足

O

“ABC面積為:'的根的一個(gè)值____.

【答案】2中任意一個(gè)皆可以)

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出弦長(zhǎng)|山?|,以及點(diǎn)C到直線43的距離，結(jié)合面積公式即可解出.

【詳解】設(shè)點(diǎn)C到直線A3的距離為d,由弦長(zhǎng)公式得|AB|=244-筋,

所以S/^c=Jxdx2j4-屋=_|,解得：“=拽或［=述，

2355

由d=11+11=2所以刀J2=竽4亞或”2^=鋁2x/5，解得：加=±2或加=±：1.

y/l+mvl+mJl+zn5yjl+m252

故答案為：2中任意一個(gè)皆可以）.

2.（2022?北京?高考真題）若直線2x+y-l=。是圓（x-a）2+V=i的一條對(duì)稱軸，則"=（）

11八

A.~B.----C.1D.—1

22

【答案】A

【分析】若直線是圓的對(duì)稱軸，則直線過(guò)圓心，將圓心代入直線計(jì)算求解.

【詳解】由題可知圓心為（。,0）,因?yàn)橹本€是圓的對(duì)稱軸，所以圓心在直線上，即2a+0-1=0,解得a=；.

故選：A.

3.（2022?天津?高考真題）若直線彳->+根=0（〃。0）與圓（尤-1）2+（、-1）2=3相交所得的弦長(zhǎng)為機(jī)，則

m=.

【答案】2

【分析】計(jì)算出圓心到直線的距離，利用勾股定理可得出關(guān)于優(yōu)的等式，即可解得機(jī)的值.

【詳解】圓（x-1），仃-1）2=3的圓心坐標(biāo)為。,1）,半徑為心,

m

圓心到直線根=（加>）的距離為

x-y+00~1T忑'

由勾股定理可得［卷］=3,因?yàn)闄C(jī)>0,解得機(jī)=2.

故答案為：2.

4.（2020?天津,高考真題）已知直線苫-括、+8=0和圓/+/=，&>0）相交于4,8兩點(diǎn).若|AB|=6,則r

的值為.

【答案】5

【分析】根據(jù)圓的方程得到圓心坐標(biāo)和半徑，由點(diǎn)到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離d,進(jìn)而利用

弦長(zhǎng)公式|4?|=2護(hù)彳，即可求得

Q

【詳解】因?yàn)閳A心（0,0）到直線x-6y+8=o的距離"=后1=4,

由|一/可得6=24/一4?，解得r=5.

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題，涉及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.

5.(2018?全國(guó)?高考真題)直線>=尤+1與圓彳2+/+2〉一3=0交于4，5兩點(diǎn)，貝.

【答案】272

【分析】方法一：先將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心，半徑，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式以及弦長(zhǎng)公

式即可求出.

【詳解】［方法一］:【通性通法】【最優(yōu)解】弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用

根據(jù)題意，圓的方程可化為Y+(y+iy=4,所以圓的圓心為(0,-1),且半徑是2,

|0+1+1|

弦心距d=近,所以|的=2"^=2夜.

/+(-1)2

故答案為：2a.

［方法二］:距離公式的應(yīng)用

fy=x+lfx=0fx=-2

由22Gd八解得：［或［，不妨設(shè)A(0,l)1(-2,-1),

［x+y+2y-3=0=l"=T

所以|二J(0++(1+1)2=2y/2.

故答案為：20.

［方法三］:參數(shù)方程的應(yīng)用

故答案為：20.

【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：利用圓的弦長(zhǎng)公式直接求解，是本題的通性通法，也是最優(yōu)解；

方法二：直接求出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出，是求解一般弦長(zhǎng)的通性通法，有時(shí)計(jì)算

偏麻煩；

方法三：直線參數(shù)方程中弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用.

6.(2016?全國(guó)?高考真題)已知直線/：x-Gy+6=0與圓/+/=12交于A,8兩點(diǎn)，過(guò)A,8分別作/的垂

線與x軸交于C,D兩點(diǎn).則|CE>|=.

【答案】4

【詳解】試題分析：由x-By+6=0,得x=7^y-6,代入圓的方程，整理得/一3有y+6=0,解得

%=26,%=6，所以％=。，3=-3,所以恒3|=)(占_%)2+(%_%)2=2』.又直線/的傾斜角為30。,

由平面幾何知識(shí)知在梯形ABDC中，|CZ>|=網(wǎng)=4.

11cos30°

【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系

【技巧點(diǎn)撥】解決直線與圓的綜合問(wèn)題時(shí)，一方面，要注意運(yùn)用解析幾何的基本思想方法（即幾何問(wèn)題代

數(shù)化），把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；另一方面，由于直線與圓和平面幾何聯(lián)系的非常緊密，因此，準(zhǔn)確地作出圖

形，并充分挖掘幾何圖形中所隱含的條件，利用幾何知識(shí)使問(wèn)題較為簡(jiǎn)捷地得到解決.

7.（2016?全國(guó)?高考真題）已知直線/：〃吠+了+3〃2-百=0與圓V+V=12交于A,B兩點(diǎn)，過(guò)A,8分別

作/的垂線與x軸交于C,。兩點(diǎn)，若|AB|=26,則|CD|=.

【答案】4

【分析】由題，根據(jù)垂徑定理求得圓心到直線的距離，可得m的值，既而求得CD的長(zhǎng)可得答案.

【詳解】因?yàn)閨AB|=2如，且圓的半徑為廠=2道，所以圓心（0,0）到直線如+y+36=0的距離為

產(chǎn)一（四］=3,則由曰”閩=3,解得"?=-3，代入直線/的方程，得y=^x+2通，所以直線/的

1I2J7^7133

傾斜角為30。，由平面幾何知識(shí)知在梯形ABDC中，|CD|=^L=4.

11cos30°

故答案為4

【點(diǎn)睛】解決直線與圓的綜合問(wèn)題時(shí)，一方面，要注意運(yùn)用解析幾何的基本思想方法（即幾何問(wèn)題代數(shù)化）,

把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；另一方面，由于直線與圓和平面幾何聯(lián)系得非常緊密，因此，準(zhǔn)確地作出圖形，并

充分挖掘幾何圖形中所隱含的條件，利用幾何知識(shí)使問(wèn)題較為簡(jiǎn)捷地得到解決.

8.（2016?全國(guó)?高考真題）設(shè)直線y=.x+2a與圓c：工2+*2鏟2=0相交于A,8兩點(diǎn)，若|陰=2百，則圓C

的面積為

【答案】4萬(wàn)

[20—a]同

【詳解】因?yàn)閳A心坐標(biāo)與半徑分別為。（0,4）/=而三，所以圓心到直線的距離〃=則

V2一立

+3="+2,解之得6=2,所以圓的面積S=萬(wàn)產(chǎn)=（2+2）乃=4萬(wàn)，應(yīng)填答案4萬(wàn).

9.（2016?山東?高考真題）已知圓2沖=。（°>0）截直線x+y=0所得線段的長(zhǎng)度是2a，則圓M

與圓N:（X-以+（y-I）?=1的位置關(guān)系是

A.內(nèi)切B.相交C.外切D.相離

【答案】B

【詳解】化簡(jiǎn)圓/：/+（丫-。）2="=>"（0,4）百=a=>M到直線無(wú)+y=。的距離d=&=>

2

+2=a2=a=2=M（0,2）,zj=2,

又弓=1。初V卜也n。-引卜+引=＞兩圓相交.選B

10.（2015?湖北?高考真題）如圖，已知圓C與X軸相切于點(diǎn)7（1.0）,與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A,B（B在A

的上方），且|明=2.

但）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

但）圓C在點(diǎn)B處的切線在x軸上的截距為.

【答案】（0）（x-l）2+（y-V2）2=2；（Gl）-1-V2.

【詳解】設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（％,%）,則由圓C與x軸相切于點(diǎn)7（1、0）知，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1,即%=1,半

徑/=%.又因?yàn)閨AB|=2,所以F+12=y：,即%=夜」，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（彳-1）2+0-拒）2=2,

令x=0得：8（0,夜+1）.設(shè)圓C在點(diǎn)B處的切線方程為y-（應(yīng)+1）=丘，則圓心C到其距離為：

a」"拒+0+1］應(yīng),解之得％=1.即圓C在點(diǎn)8處的切線方程為y=x+（0+l）,于是令y=?？傻?/p>

VF+1

X=f即圓C在點(diǎn)3處的切線在X軸上的截距為-1-&,故應(yīng)填（無(wú)-l）2+（y-0y=2和一1一忘.

考點(diǎn)：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的切線問(wèn)題，屬中高檔題.

11.（2015?湖北?高考真題）如圖，圓C與X軸相切于點(diǎn)7（1,0）,與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A,8（3在d的上

方），且|明=2.

（回）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（回）過(guò)點(diǎn)A任作一條直線與圓O:/+y2=i相交于兩點(diǎn)，下列三個(gè)結(jié)論:

網(wǎng)也NB\NBMA

①；②=2亞.

NB\~\MBNAIMAMB

其中正確結(jié)論的序號(hào)是.（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

【詳解】(回)依題意，設(shè)C(l,r)(r為圓的半徑)，因?yàn)閨AB|=2,所以「=爐方=0,

所以圓心C(l,虛)，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-l)2+(y-0『=2.

(回)因?yàn)镸,N在圓O：/+y2=]上，所以可設(shè)"90$。岡!1。)4900/7,5詁0,

所以|=7(cos-0)2+[sin-(>/2-1)]2=回近-1)陋-sin仍,|A?|=J(cos-0)2+[sin/5-(A/2+1)]2

=、2(應(yīng)+1)(應(yīng)-sin產(chǎn)),

NAlMA

所以訪=忘-1，同理可得說(shuō)=也r-1,

NAMAWBM4T-—"1)=2,NAa=2后,

所以--+-

NBMB\NA\\MB\質(zhì)-1NBMB\

故①②③都正確.

12.(2015?全國(guó)?高考真題)過(guò)三點(diǎn)A(l,3),B(4,2),C(L-7)的圓交y軸于M,N兩點(diǎn)，貝lj|跖V|=

A.2瓜B.8C.476D.10

【答案】C

【詳解】由已知得38=匕=-3，kCB==-=-3,所以3/CB=-1，所以M，CB,即AABC為直角三

1—434—1

角形，其外接圓圓心為AC中點(diǎn)(1,-2),半徑為長(zhǎng)為亨=5,所以外接圓方程為。-1)2+(>2)2=25,令％=0,

得y=±2娓-2,所以|ACV|=4A/^,故選C.

考點(diǎn)：圓的方程.

考點(diǎn)03圓中的切線問(wèn)題

1.(2024?全國(guó)新H卷?高考真題)(多選)拋物線C：V=4x的準(zhǔn)線為/,尸為C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作

OA:Y+(y-4)2=l的一條切線，。為切點(diǎn)，過(guò)尸作/的垂線，垂足為B,貝U()

A./與；A相切

B.當(dāng)P,A,8三點(diǎn)共線時(shí)，|PQ|=JI?

C.當(dāng)|P3|=2時(shí)，PA^AB

D.滿足l%l=IP3|的點(diǎn)尸有且僅有2個(gè)

【答案】ABD

【分析】A選項(xiàng)，拋物線準(zhǔn)線為尸-1,根據(jù)圓心到準(zhǔn)線的距離來(lái)判斷；B選項(xiàng)，P,48三點(diǎn)共線時(shí)，先求

出尸的坐標(biāo)，進(jìn)而得出切線長(zhǎng)；C選項(xiàng)，根據(jù)|國(guó)|=2先算出產(chǎn)的坐標(biāo)，然后驗(yàn)證七A?=-l是否成立；D選

項(xiàng)，根據(jù)拋物線的定義，|PB|=|PF|,于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化成|網(wǎng)=|依|的尸點(diǎn)的存在性問(wèn)題，此時(shí)考察"的中垂

線和拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，亦可直接設(shè)尸點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解.

【詳解】A選項(xiàng)，拋物線產(chǎn)=4尤的準(zhǔn)線為了=-1,

A的圓心(。,4)到直線尸-1的距離顯然是1,等于圓的半徑，

故準(zhǔn)線/和：A相切，A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)，尸,48三點(diǎn)共線時(shí)，即B4，/,則尸的縱坐標(biāo)為=4,

由蟾=44，得到琴=4,故尸(4,4),

此時(shí)切線長(zhǎng)|P0|=J|PA/一戶=’42-12=屈,B選項(xiàng)正確；

C選項(xiàng)，當(dāng)|尸理=2時(shí)，xp=1,此時(shí)y；=4琴=4,故尸(1,2)或尸(1,-2),

4—24—2

當(dāng)尸(1,2)時(shí)，A(0,4),B(-l,2),kpA=--=-2,月:=7r丁1=2,

(J—l0—(—1)

不滿足勺/AB=T；

4(2)

當(dāng)戶(1,一2)時(shí)，AQ4),3(-1,2),^a=~~=-6,篙8==3=6,

不滿足kPAkAB=-1；

于是上4,AB不成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，方法一：利用拋物線定義轉(zhuǎn)化

根據(jù)拋物線的定義，|冏=|尸尸|,這里尸(L0),

于是|必=|尸到時(shí)尸點(diǎn)的存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化成|斜=|尸石時(shí)P點(diǎn)的存在性問(wèn)題，

A(0,4),F(l,0),AF中點(diǎn)反中垂線的斜率為一，一=；,

于是AF的中垂線方程為：y=個(gè)亙，與拋物線>2=4x聯(lián)立可得y2-16y+30=0,

8

A=162-4X30=136>0,即■的中垂線和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),

即存在兩個(gè)尸點(diǎn)，使得|網(wǎng)=歸同，D選項(xiàng)正確.

方法二：(設(shè)點(diǎn)直接求解)

設(shè)尸，由尸3，/可得3(-M),又A(0,4),又|網(wǎng)=|冏，

根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，、匚+(-4)2==+1,整理得a-6+30=0,

V164

A=162-4x30=136>0,則關(guān)于t的方程有兩個(gè)解，

即存在兩個(gè)這樣的P點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.

故選:ABD

2.(2023?全國(guó)新1卷,高考真題)過(guò)點(diǎn)(0,-2)與圓/+尸-以-1=0相切的兩條直線的夾角為。，則5m&=()

A.1B.姮C.巫D.邁

444

【答案】B

【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長(zhǎng)，結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長(zhǎng)，

結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得/+8左+1=0,利用韋達(dá)定理結(jié)合

夾角公式運(yùn)算求解.

【詳解】方法一：因?yàn)闋t+、2_以-1=0,BP(X-2)2+/=5,可得圓心C(2,0),半徑r=6，

過(guò)點(diǎn)尸(0,-2)作圓C的切線，切點(diǎn)為A8,

因?yàn)閨PC|=代+(-2)=2四,貝111PAi='尸行_產(chǎn)=6,

可得sinZAPC=磊=粵,cosZAPC=金=爭(zhēng)

貝（IsinNAPB=sin2ZAPC=2sinNA尸CcosZAPC=2x巫x逅=姮，

444

cosZAPB=cos2ZAPC=cos2ZAPC-sin2ZAPC=<0,

即NAP3為鈍角,

所以sina=sin（兀一ZAPB）=sinZAPB=—

4

法二：圓%2+y2一4%-1=0的圓心C（2,。）,半徑/=百,

過(guò)點(diǎn)尸（0,-2）作圓。的切線，切點(diǎn)為A,5,連接AB,

可得IPC|={2?+（-2丫=2應(yīng)，則|PA|=|PB|=y/\PC\2-r2=,

22

因?yàn)殚l2+網(wǎng)2_21叫|即cosZAPB=|C4|+|CB|-2|C4|-|CB|COSZACB

且ZACB=Ti-ZAPB,貝ij3+3-6COSZAPB=5+5-10COS（7C-ZAPB）,

BP3-cosZAPB=5+5cosZAPB,解得cosNAPB=--<0,

4

即NAPB為鈍角，則cosa=cos（K-ZAPB）=-cosZAPB=-^,

且a為銳角，所以sina=Jl-cos。a=；

4

方法三：圓―=0的圓心C（2,0）,半徑「=石,

若切線斜率不存在，則切線方程為x=0,則圓心到切點(diǎn)的距離d=2>r,不合題意;

若切線斜率存在，設(shè)切線方程為了=履-2,即依-、-2=0,

則匕3=底整理得左2+8%+1=0,且A=64-4=60>。

y/k2+l

設(shè)兩切線斜率分別為匕,匕，則勺+&=-8,匕&=1,

可得上_q={（左+.）~-4、（=2A/15,

所以tana=}=岳,即2吧■=而，可得cosa=包修，

1cosaA/15

ryiii.22-2sina1

貝1Jsina+cosa=sma+--------=1,

15

且￡€（0,兀），則sin（z>0,解得sina=1^.

故選：B.

3.（2023?天津?高考真題）已知過(guò)原點(diǎn)。的一條直線/與圓C:（x+2y+y2=3相切，且/與拋物線

^=2°*5>0）交于點(diǎn)0,/3兩點(diǎn)，若|0日=8,則。=.

【答案】6

【分析】根據(jù)圓（*+2）2+/=3和曲線/=2px關(guān)于x軸對(duì)稱，不妨設(shè)切線方程為y=依，k>0,即可根據(jù)

直線與圓的位置關(guān)系，直線與拋物線的位置關(guān)系解出.

【詳解】易知圓（x+2y+;/=3和曲線V=2px關(guān)于x軸對(duì)稱，不妨設(shè)切線方程為y=履，k>0,

2P

X=

所以^^=如，解得：k=后,由x=03

解得:或4

y/1+k2y=026P

y

3

_4p

=8,解得：P=6.

I33

7

當(dāng)左=-若時(shí)，同理可得.

故答案為：6.

4.（2022?全國(guó)甲卷?高考真題）若雙曲線V—_=1（m>0）的漸近線與圓V+產(chǎn)——+3=。相切，貝|J

m

m=.

【答案】昱

3

【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，依題意圓

心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可.

【詳解】解：雙曲線丁一一=1（機(jī)>0）的漸近線為y=±\,即X土陽(yáng)=0,

不妨取尤+/町=0,圓尤2+y2-4y+3=0,BPx2+（y-2）2=1,所以圓心為（0,2）,半徑r=l,

依題意圓心（0,2）到漸近線1+機(jī)y=。的距離d=-j=d==1,

Vl+m

解得〃1=或〃Z=一^'（舍去）.

33

故答案為：顯.

3

5.（2021?全國(guó)新n卷?高考真題）（多選）已知直線"+力--=0與圓C:尤2+丫2=/，點(diǎn)A（a,6）,則下列

說(shuō)法正確的是（）

A.若點(diǎn)A在圓C上，則直線/與圓C相切B.若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線/與圓C相離

C.若點(diǎn)A在圓C外，則直線/與圓C相離D.若點(diǎn)A在直線/上，則直線/與圓C相切

【答案】ABD

【分析】轉(zhuǎn)化點(diǎn)與圓、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系為產(chǎn)的大小關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離及直線與圓的位

置關(guān)系即可得解.

【詳解】圓心C（0,0）到直線/的距離d

7a2+b2

若點(diǎn)A（〃,b）在圓C上，貝!）片+/=/所以公忑市第‘

則直線/與圓C相切，故A正確;

若點(diǎn)4（“力）在圓C內(nèi)，則所以4=M，

^la1+b2

則直線/與圓C相離，故B正確;

若點(diǎn)A（a㈤在圓C外,則所以d=,,<M，

yla2+b2

則直線/與圓C相交，故C錯(cuò)誤;

若點(diǎn)A{a,b）在直線/上，貝。2+人2一/=。即/+b2=r2,

所以d==|r|,直線/與圓C相切，故D正確.

Va2+b2

故選：ABD.

6.（2020?全國(guó)?高考真題）若直線/與曲線片&和*2+必=!都相切，貝IJ/的方程為（）

A.y=2x+lB.片2x+；C.y=1-x+lD-.y=-1x+1—

722

【答案】D

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)出直線/的方程，再由直線與圓相切的性質(zhì)，即可得出答案.

【詳解】設(shè)直線/在曲線y=6上的切點(diǎn)為（修，6）,則%>0,

函數(shù)y=4的導(dǎo)數(shù)為y=5力71

，則直線/的斜率％=不廠

設(shè)直線/的方程為>一后

_%）,BPx-2yjx^y+xo=0,

cc1%A1

由于直線/與圓X+y=y相切，則亦二百

兩邊平方并整理得5年-4尤。-1=0,解得%=1,%-1（舍）,

則直線/的方程為x-2y+l=0,即>=

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及直線與圓的位置的應(yīng)用，屬于中檔題.

7.（2020?全國(guó)?高考真題）若過(guò)點(diǎn)（2,1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線2x-y-3=0的距離為（）

.45275「3行n4非

A.-RD.---C.----U.-----

5555

【答案】B

【分析】由題意可知圓心在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為（a,a）M＞0,可得圓的半徑為。，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,

利用點(diǎn)（2,1）在圓上，求得實(shí)數(shù)。的值，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出圓心到直線2x-y-3=0的距離.

【詳解】由于圓上的點(diǎn)（2,1）在第一象限，若圓心不在第一象限，

則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，

設(shè)圓心的坐標(biāo)為（a,a）,則圓的半徑為a,

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）2+（y-a）2=〃.

由題意可得（2—a）?+（1—=a2,

可得儲(chǔ)一6a+5=0,解得a=l或。=5,

所以圓心的坐標(biāo)為。,1）或（5,5）,

|2X1-1-3|_2A/5

圓心（）到直線的距離均為

1.12x-F-3=04=-忑_一。

|2x5-5-3|_2V5

圓心（5.5）到直線2.1v