第12章證明

熱考題型

知識點1：命題的概念

知識點4：互逆命題的概念

知識點2：真、假命題的概念與判斷

證明

知識點5：逆命題的真假

知識點3：證明

考查題型一命題的概念

例1.下列語句中是命題的是（）

A.作N/O3的平分線。CB.美麗的大自然

C.同位角相等D.你吃飯了嗎

【詳解】解：/、作N/O8的平分線。C,不是命題；

8、美麗的大自然，不是命題；

C、同位角相等，故C符合題意

D＞你吃飯了嗎，不是命題.

故本題選：C.

練1.下列四個句子中是命題的是（

A.正方形的四條邊相等B.用三角板畫60。的角

C.生活在水里的動物是魚嗎D.直線、射線、線段

【詳解】解：/、正方形的四條邊相等，是命題;

B、用三角板畫60。的角，不是命題；

C、生活在水里的動物是魚嗎，不是命題；

。、直線、射線、線段，不是命題.

故本題選：A.

例2.將下列命題改寫成“如果……那么……”的形式，并指出命題的題設(shè)和結(jié)論.

（1）等角的補角相等；

（2）有兩個角為60。的三角形是等邊三角形.

（3）兩數(shù)相乘，同號得正.

【詳解】解：（1）等角的補角相等改寫成“如果兩個角相等，那么它們的補角也相等“，題設(shè)是兩個角相等,

結(jié)論是它們的補角也相等；

（2）有兩個角為60。的三角形是等邊三角形改寫成“如果三角形有兩個角等于60。，那么這個三角形是等邊

三角形”，題設(shè)是三角形有兩個角等于60。，結(jié)論是這個三角形是等邊三角形；

（3）兩數(shù)相乘，同號得正改寫成“如果同號的兩個數(shù)相乘，那么積為正數(shù)”，題設(shè)是同號的兩個數(shù)相乘，結(jié)

論是積為正數(shù).

練2.指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論，并將這些命題改寫成“如果……，那么……”的形式：

①平行于同一條直線的兩條直線平行；

②乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)；

③等角的補角相等；

④兩點確定一條直線.

【詳解】解：①題設(shè)為兩條直線都平行于同一條直線，結(jié)論為這兩條直線平行，命題可改寫為如果兩條直

線都平行于同一條直線，那么這兩條直線平行；

②題設(shè)為兩個數(shù)的乘積為1,結(jié)論為這兩個數(shù)互為倒數(shù)，命題可改寫為如果兩個數(shù)的乘積為1,那么這兩個

數(shù)互為倒數(shù)；

③題設(shè)為兩個角分別是相等的角的補角，結(jié)論為這兩個角相等，命題可改寫為如果兩個角分別是相等的角

的補角，那么這兩個角相等；

④題設(shè)為過已知兩點作直線，結(jié)論為這樣的直線有且只有一條，命題可改寫為如果過已知兩點作直線，那

么這樣的直線有且只有一條.

考查題型二真、假命題的概念與判斷

例1.下列選項中，能說明命題“若則。2（“是假命題的反例是（）

A.Q=2B.a=1C.a=—1D.a=—2

【詳解】解：選項z、B.C滿足命題的條件，也滿足命題的結(jié)論；

選項。滿足命題的條件，但不滿足命題的結(jié)論，是反例.

故本題選：D.

練1.能說明命題“如果Nl+N2w60。，那么wN2”為假命題的反例是（）

A.Z1=40°,Z2=20°B.Z1=20°,Z2=20°

C.Zl=30°,Z2=30°D.Z1<30°,Z2>30°

【詳解】解：A.Z1=40°,Z2=20°,貝!1N1+N2=60。，故不合題意；

B.Z1=20°,Z2=20°,則ZI+/2W60。，但/l=/2,可作為說明原命題是假命題的反例;

C.Zl=30°,Z2=30°,有Nl+N2=60。，故不合題意；

D.Z1<30°,Z2>30°,貝UN1+N2可能等于60。，故不合題意.

故本題選：B.

例2.下列圖形中，能說明“相等的角是對頂角”為假命題的是（）

【詳解】解：/中的圖形，滿足兩個角相等，但是不是對頂角，故/符合題意;

8中的圖形是對頂角，故8不合題意；

C中的圖形兩個角不相等，故C不合題意；

。中的圖形兩個角不相等，故。不合題意.

故本題選：A.

練2.下列圖形中，可以用來說明“同位角相等”是假命題的是（）

【詳解】解：/、圖中沒有同位角，不能說明“同位角相等''是假命題，不合題意;

8、兩直線平行，同位角相等，不能說明“同位角相等”是假命題，不合題意；

C、兩直線不平行，同位角不相等，能說明“同位角相等”是假命題，符合題意;

。、圖中是內(nèi)錯角，沒有同位角，不能說明“同位角相等”是假命題，不合題意.

故本題選：C.

例3.下列命題中，屬于假命題的是（）

A.同角的補角相等

B.等角的余角相等

C.三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和

D.兩個銳角的和仍是銳角

【詳解】解：/、同角的補角相等，是真命題；

等角的余角相等，是真命題；

C、三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，是真命題；

。、兩個銳角的和可能是銳角、直角或鈍角，因此“兩個銳角的和仍是銳角”是假命題.

故本題選：D.

練3.下列命題中是假命題的是（）

A.兩直線平行，同旁內(nèi)角的平分線互相垂直

B.兩直線平行，同位角的平分線也互相平行

C.在同一平面內(nèi)，若6_Lc,a±c,則6_La

D.在同一平面內(nèi)，若6//c,a11c,則6//a

【詳解】解：/、兩直線平行，同旁內(nèi)角的平分線互相垂直，是真命題；

B,兩直線平行，同位角的平分線也互相平行，是真命題；

C、在同一平面內(nèi)，若6_Lc,a±c,則6//a,故本選項命題是假命題；

D、在同一平面內(nèi)，若6//c,al1c,則b//a,是真命題.

故本題選：C.

例4.下列命題正確的是（）

A.若a>b,則a-3>b-3B.若a>6,貝!|ac>bc

C.若m2>左2,則D.a>b,貝"ac?〉心/

【詳解】解：；a>6,,a-3>6-3,故/不合題意；

.,.當c=0時，ac>6c不一定成立，故2不合題意；

ac2>be2,:.a>b,故C符合題意;

.,.當c=0時，*2>6片不成立，故。不合題意.

故本題選：C.

練4.下列四個命題中，真命題是()

A.直線外一點到這條直線的垂線段，叫做點到直線的距離

B.過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

C.兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等

D.平行于同一條直線的兩條直線平行

【詳解】解：/、直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離，故原命題是假命題；

2、同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故原命題是假命題；

C、兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等，故原命題是假命題；

。、平行于同一條直線的兩條直線平行，原命題是真命題.

故本題選：D.

例5.用三個不等式。>6,c<0,a(c-l)<b(c-l)中的兩個作為題設(shè)，余下的一個不等式作為結(jié)論，組成

一個命題，則可以組成真命題的個數(shù)為()

A.0個B.1個C.2個D.3個

【詳解】解：由題意可知：一共有三種命題組合方式：

①如果a>6,c<0,那么a(c-1)<6(c—1),是真命題；

②如果a>b,a(c-1)<b(c-1),那么c<0,是假命題；

③如果c<0,a(c-l)<6(c-l),那么a>6,是真命題.

故本題選：C.

練5.用三個不等式中>0,—,x+y>0中的一個不等式與x>y作為條件，余下的其中一個不等式作

xy

為結(jié)論組成一個命題，其中能組成真命題的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【詳解】解：由題意可知：一共有6種命題組合：

①若X",xy>0,貝！Jx+y>0,

取x=-1,y=—2,滿足孫>0,但x+y=—3<0,故該命題是假命題；

②若x>yfxy>0,則

xy

x>y9xy>0,

...--X->、-->--，

肛肛

即1<1，故該命題是真命題；

yxxy

③若x>y,—,則x+y〉O,

xy

取x=—1,y=—29滿足x>y,—,(0x+j^=—3<0,故該命題是假命題;

xy

④若x>y,,則孫>0,

xy

11

?.?一〈一,

xy

即匕N<0,

xyxy

x>y9

y-x<0,

.".xy<0,故該命題是真命題；

⑤若x+y>0,貝U孫>0,

取x=2,y=—l,滿足x>y,x+y>0,但中=一2<0,故該命題是彳發(fā)命題；

⑥若x>yfx+y>0,貝

xy

取x=2,y=-l,滿足x+y>0,{B—>—,故該命題是假命題；

xy

綜上，正確的命題有2個.

故本題選：B.

考查題型三證明

例.補全下面推理過程:

生活中常見一種折疊攔道閘，如圖1所示，若想求解某些特殊狀態(tài)下的角度，需將其抽象為幾何圖形，如

圖2所示，5/垂直于地面4￡于/,CD平行于地面4E,求N4gC+N3CD的度數(shù).

圖2

解：如圖，過點3作8斤///E,

,:CDHAE（）,

—）//CZ>（平行于同一條直線的兩條直線平行），

NBCD+（）=180°（）,

■：ABLAE,ZEAB=（）°（）,

VBF//AE（輔助線作法），

）+Z￡4B=180°,

，NN既=180°-90°=90。,

ZABC+NBCD=NABF+ZCBF+NBCD=（）°.

【詳解】解：如圖2,過點8作AF//NE,

■：CDI/AE（已知）,

:.BF//CD（平行于同一條直線的兩條直線平行），

:.ZBCD+ZCBF=1S0o（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），

???ABVAE,AEAB=90°（垂直的定義），

?：BFHAE（輔助線作法），

AABF+AEAB=\^°,

zL45F=180°-90o=90°,

ZABC+ZBCD=ZABF+ZCBF+ZBCD=270°.

練-1.完成下面的證明：已知，如圖，AB//CD//GH,EG平64BEF,FG平分NEFD.

求證：ZEGF=90°.

證明：?.?E/G///8（已知），

Z1=Z3,

又?：HGIICD（已知），

Z2=Z4,

AB/ICD（已知）,

NBEF+=180°,

又,；EG平分NBEF,FG平分NEFD（已知），

;./1=ZBEF,Z2=ZEFD,

Zl+Z2=（/BEF+ZEFD）=,

Z3+Z4=90°,即NEGF=90°,

【詳解】證明：?.?HG//N3（已知），

Z1=Z3（兩直線平行、內(nèi)錯角相等），

又?：HGIICD（已知），

Z2=Z4（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

AB//CD（已知）,

ABEF+AEFD=180°（兩直線平行、同旁內(nèi)角互補），

又一；EG平貨NBEF,FG平分NEFD（已知），

Z1=-ZBEF,Z2=-ZEFD（角平分線定義），

22

Zl+Z2=1（NBEF+ZEFD）=90°,

Z3+Z4=90°（等量代換）,即NEG尸=90。.

練-2.如圖，在三角形43c中，CDJ.4B于D,點E是4D上一點,FE工4B于E交4c于點、H,點G是

8c延長線上一點，連接FG,ZACD+ZF=180°.

（1）求證：AC//FG；（補全證明過程，并在括號內(nèi)填寫推理的依據(jù)）

（2）若44=40。，ZBCD:ZACD=2:3,求NBCD的度數(shù).

（1）證明：_L/B,FE1AB（已知），

ZAEH=ZADC=90°（①）,

.?.②—（同位角相等，兩直線平行），

ZACD+ACHE=180°（③）,

■.■ZACD+ZF=180°（已知），

④—（⑤—），

:.AC!!FG{?）.

【詳解】（1）證明：?.?（：￡>_L/8,FEVAB（已知），

ZAEH=ZADC=90°（垂直的定義），

:.CD//EF（同位角相等，兩直線平行），

;.NACD+NCHE=18Q。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），

ZACD+ZF=180°（己知），

ACHE=ZF（同角的補角相等），

:.ACHFG（同位角相等，兩直線平行）；

（2）解：CDLAB,

ZADC=90°,

ZA+ZACD=90°,

■：ZA=40°,

ZACD=50°,

/BCD:ZACD=2:3,

練-3.課題學習：平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能.

（1）閱讀理解：如圖1,已知點N是3c外一點，連接N8、AC,求NB+NB/C+NC的度數(shù).閱讀并補

充下面推理過程.

解：過點/作成>//3C,

;.NB=_NBAEZC=,

NEAB+ABAC+ADAC=180°,

Z5+Z5T1C+ZC=180°.

解題反思：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將/8/C、NB、ZC“湊”在一

起，得出角之間的關(guān)系，使問題得以解決.

(2)方法運用：如圖2,已知48//功>,求/S+NBCD+N。的度數(shù)；

請補全下面的推理過程：

解：過點C作C///48,

,+ZBCF=180°(),

CF//AB,ABIIDE,

???()，

ZD+ZDCF=180°(),

NB+NBCF+ZD+ZDCF=180°+l80°(),

即ZB+ZBCD+ZD=360°.

(3)深化拓展：已知48//C。，點C在點。的右側(cè)，ZADC=50°,BE平分NABC,DE平分/ADC,

BE,所在的直線交于點￡,點E在直線N8與CD之間.

①如圖3,點3在點力的左側(cè)，若//8C=36。，BOABED=°；

②如圖4,點8在點工的右側(cè)，^.AB<CD,AD<BC,若ZABC=n°,PJlJABED=°.(用含〃的代

數(shù)式表示)

【詳解】解：(1)?.?EO/ABC,

/B=NEAB,ZC=ZDAC,

故本題答案為：ZEAB,NDAC；

(2)如圖2,過點C作CF//48,

.-.ZB+ZBCF=180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補)，

-??CF//AB,ABIIDE,

:.CFUDE(平行于同一條直線的兩條直線平行)，

.-.ZD+ZDCF=180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補)，

ZS+Z5CF+ZD+ZDCF=180°+180°(等式的基本性質(zhì))，

即NB+NBCD+ND=360°；

(3)①如圖3,過E作EG///5,

?/AB//DC,

/.EG//CD,

/.AGED=/EDC,

?;DE平分/ADC,

z./EDC=-ZADC=25°,

2

/.AGED=25°,

BE平分/ABC,

/ABE=L/ABC=18。,

2

,:GE//AB,

/BEG=/ABE=18°,

/BED=AGED+/BEG=25。+18。=43。；

②如圖，過E作PE//4B,

???AB//CD,

:.PE//CD,

APED=/EDC=25°,

???8￡平分N45C,/ABC=n。,

ZABE=-ZABC=-n°,

22

???AB//PE,

ZABE+ZPEB=1SO0,

ZPEB=lSO°--n°,

2

ABED=ZPEB+ZPED=（205-1n）°.

考查題型四互逆命題的概念

例.命題“等角的補角相等”的條件是—,結(jié)論是—，這個命題的逆命題是—.

【詳解】解：“等角的補角相等”的條件是：兩個角相等，結(jié)論是：它們的補角也相等，

逆命題是：如果兩個角的補角相等，那么這兩個角相等，

故本題答案為：兩個角相等，它們的補角也相等，如果兩個角的補角相等，那么這兩個角相等.

練.等腰三角形兩底角的平分線相等，這個命題的逆命題是—.

【詳解】解：逆命題是：兩個內(nèi)角的平分線相等的三角形是等腰三角形.

故本題答案為：兩個內(nèi)角的平分線相等的三角形是等腰三角形.

考查題型五逆命題的真假

例1.下列命題的逆命題不成立的是（）

A.如果兩個數(shù)互為相反數(shù)，那么它們的和等于0

B.如果兩個角相等，那么這兩個角的補角也相等

C.如果兩個數(shù)相等，那么它們的平方相等

D.如果|0|=|切，那么a=b

【詳解】解：/、逆命題是：如果兩個數(shù)的和等于0