2024-2025學(xué)年1月高考綜合改革適應(yīng)性演練數(shù)學(xué)模擬

檢測(cè)試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在

本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知集合/={-1,0,1},8={0,1,4},則NC8=()

A.{0}B.{1}C.{051}D.{-1,0,1,4)

2.函數(shù)/（x）=cos[x+：）的最小正周期是（）

7171_

A.—B.—C.兀D.2兀

42

3.|2-4i|=()

A.2B.4C.275D.6

4.已知向量可=（0,1）石=（1,0）,貝!）限。一句）=（）

A.2B.1C.0D.-1

5.雙曲線=1的漸近線方程為（）

A.V=±xB.>=±2xC.y=±3xD.y=±4x

6.底面直徑和母線長(zhǎng)均為2的圓錐的體積為（）

A.—7TB.兀C.2兀D.3兀

3

3

7.在V/BC中，BC=8,AC=10,cosZBAC=-f貝1JV/BC的面積為()

A.6B.8C.24D.48

8.已知函數(shù)/(x)=x|x—〃|—24,若當(dāng)x>2時(shí)，/(%)>0,則。的取值范圍是（）

A.(—8,1]B.[-2,1]C.[-1,2]D.[-1,+<?)

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知尸(2,0)是拋物線=2"的焦點(diǎn)，M是C上的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).貝(I()

A.p=4

B.|MF|>|OF|

C.以M為圓心且過(guò)下的圓與C的準(zhǔn)線相切

D.當(dāng)/OW=120。時(shí)，△(?取的面積為

10.在人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，單個(gè)神經(jīng)元輸入與輸出的函數(shù)關(guān)系可以稱為激勵(lì)函數(shù).雙曲正切函數(shù)

是一種激勵(lì)函數(shù).定義雙曲正弦函數(shù)sinhx=汨二，雙曲余弦函數(shù)coshx=W二，雙曲正切

函數(shù)tanhx=sinhx,貝］j()

coshx

A.雙曲正弦函數(shù)是增函數(shù)B.雙曲余弦函數(shù)是增函數(shù)

C.雙曲正切函數(shù)是增函數(shù)D.tanh(x+y)=tanhtanl^-v

1+tanhxtanhy

11.下面四個(gè)繩結(jié)中，不能無(wú)損傷地變?yōu)閳D中的繩結(jié)的有()

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知函/(無(wú)若/'(In2)/(ln4)=8,貝！|a=.

13.有8張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,現(xiàn)從這8張卡片中隨機(jī)抽出3張,

則抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等的概率為.

2

14.已知曲線C:y=Y——，兩條直線h4均過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。，乙和C交于〃、N兩點(diǎn)，4和。

交于P、。兩點(diǎn)，若三角形AOPM的面積為近，則三角形△的%的面積為.

四、解答題(本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)

15.為考察某種藥物A對(duì)預(yù)防疾病5的效果，進(jìn)行了動(dòng)物(單位：只)試驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表:

疾病

藥物合計(jì)

未患病患病

未服用10080S

服用15070220

合計(jì)250t400

⑴求s,t-

(2)記未服用藥物A的動(dòng)物患疾病5的概率為P,給出產(chǎn)的估計(jì)值；

(3)根據(jù)小概率值&=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為藥物A對(duì)預(yù)防疾病B有效?

附：八______碗-bcf______

(q+b)(c+d)(〃+c)(6+d)

P(X2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

16.已知數(shù)列｛%｝中，%=3,。用=用彳

(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；

(2)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(3)令％=2證明:，＜加＜1.

17.已知函數(shù)/(x)=olnx+2一%.

x

(1)設(shè)。=二—2,求曲線＞=/(x)的斜率為2的切線方程；

(2)若x=l是/(%)的極小值點(diǎn)，求b的取值范圍.

18.已知橢圓C的離心率為:，左、右焦點(diǎn)分別為％(—1,0),尸2(1，。)

(1)求。的方程；

(2)已知點(diǎn)M。(1,4),證明：線段片的垂直平分線與C恰有一個(gè)公共點(diǎn);

(3)設(shè)M是坐標(biāo)平面上的動(dòng)點(diǎn)，且線段片M的垂直平分線與。恰有一個(gè)公共點(diǎn)，證明M的軌

跡為圓，并求該圓的方程.

19.在平面四邊形48CZ)中，AB=AC=CD=\,^ADC=30°,ADAB=120°,將A/CD沿ZC

翻折至其中P為動(dòng)點(diǎn).

(1)設(shè)尸CL4B,三棱錐尸-/8C的各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上.

(i)證明：平面尸/C_L平面N8C；

(ii)求球O的半徑

(2)求二面角A-CP-B的余弦值的最小值.

1.c

【分析】由交集的運(yùn)算求解即可；

【詳解】由題意可得/口8={0,1}.

故選：C.

2.D

【分析】根據(jù)三角函數(shù)最小正周期的求法求得正確答案.

【詳解】依題意，/(X)的最小正周期7=彳=2無(wú).

故選：D

3.C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的概念直接求解.

【詳解】由題意.忖=療百=26

故選：C

4.B

【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

【詳解】Q、=(O,l),6^(1,0),

±±

二.q—6=(―1,1),

1/Ilx

二.Q?-=0X(-1)+1X1=1.

故選：B.

5.C

【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合漸近線方程，可得答案.

【詳解】由方程則“=11=3,所以漸近線＞=±2尤=3'.

9a

故選：C.

6.A

【分析】由勾股定理先求出圓錐的高，進(jìn)而利用圓錐體積公式求解即可.

【詳解】由題可知圓錐的底面半徑R=l,母線長(zhǎng)/=2,高〃=獷二記=在彳=道，

二?圓錐的體積為V=—nR2h=^-n.

33

故選：A.

7.C

【分析】先根據(jù)余弦定理求出邊的長(zhǎng)度，再利用三角形面積公式求出三角形面積即可.

【詳解】設(shè)/8=x,根據(jù)余弦定理8c2爐一2NC/HC0SN8NC,

A

K

BC

3

已知BC=8,/C=10,cosZBAC=-,代入可得：

3

82=102+X2-2X10XXXJ,即/-12x+36=0,解得x=6,

由于5c2+/笈=64+36=100=/C2,貝(IVN2C為直角三角形，

則S=]x6x8=24.

故選：C.

8.B

【分析】分類(lèi)討論，去掉絕對(duì)值，結(jié)合一元二次不等式的求解即可得解.

【詳解】當(dāng)a>2,x>2時(shí)，f(x)=x\x-a\-2a2=[X,

[-x+ax-2a',2<x<a

當(dāng)2<x<a時(shí)，f(x)=-x2+ax-?.a2,此時(shí)A=/-4x2/=-7/<o,

所以/(無(wú))<0,不滿足當(dāng)x>2時(shí)，/(%)>0,故。>2不符合題意；

當(dāng)0<aV2,x>2時(shí)，f(x)^x\x-a\-2a2^x1-ax-la1=(jc-2a)(jc+a)>0,解得x>2a,

由于x>2時(shí)，/(x)>0,故2aW2,解得0<aVl；

當(dāng)。=0,x>2時(shí)，/(x)=/>0恒成立，符合題意；

當(dāng)a<0,x>2時(shí)，/(x)=x\x-a\-2a2=x2-ax-2a2={x-1a)(x+a)>0,解得x>-a,

由于x>2時(shí)，/(x)>0,故一°42,解得-2Va<0.

綜上-24a41.

故選：B

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是對(duì)。分類(lèi)討論，結(jié)合因式分解方法有針對(duì)性求解x>2時(shí)的

f=x\x-a\-2a2=x2-ax-2a2=(X-2O)(X+Q)>0的解集，從而可求解.

9.ABC

【分析】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求出夕=4判斷A,根據(jù)拋物線定義判斷B,C,應(yīng)用已知聯(lián)立方程求

出點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算判斷三角形的面積判斷D.

【詳解】因?yàn)槭?2,0)是拋物線C:/=2px的焦點(diǎn)，所以￡=2,即得p=4,A選項(xiàng)正確；

設(shè)川值,%)在=詼上，所以升20,

所以村川=迎+^2々=|0司，B選項(xiàng)正確；

因?yàn)橐浴閳A心且過(guò)歹的圓半徑為|MF|=x°+2等于M與C的準(zhǔn)線的距離，所以以河為圓心

且過(guò)尸的圓與C的準(zhǔn)線相切，C選項(xiàng)正確；

當(dāng)/OFA/=120°時(shí)＞2,

-^4'=tan60°=百，且呼=8尤。，%>0,

所以?_8%_16石=0,%=4人或%=_孚舍

所以AOFM的面積為S..=Jo尸岡”|=46，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ABC.

10.ACD

【分析】對(duì)A、B：借助導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)后即可得；對(duì)C：借助雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)將雙曲

正切函數(shù)化簡(jiǎn)后，結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可得；對(duì)D：借助雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)，分別

將等式左右兩邊化簡(jiǎn)即可得.

【詳解】對(duì)A：令/(x)=sinhx=JJ

則尸(x)=>0恒成立，故雙曲正弦函數(shù)是增函數(shù)，故A正確;

對(duì)B：令g⑺=coshx=e+e

2

_pF/、p°_p°

則g'(x)=WJ，由A知，g'(x)為增函數(shù)，又g，⑼=3二±=o,

22

故當(dāng)xe(-oo,0)時(shí)，g,(x)<0,當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，g'(x)>0,

故g（x）在（一甩。）上單調(diào)遞減，在（0,+。）上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤;

e'-e-'

,1sinhx7ex-e-xe"—112

對(duì)C：tanhx=--------=——-——----------=--------=1----------

coshxex+e-xe-X+?e—-Xe2x+,1e^2x+1

2

由y=e2'+l在R上單調(diào)遞增，且

2

故tanhx=l--六二是增函數(shù)，故C正確；

e+1

2x_ie2x+2y_i

對(duì)D：由C矢口1@1111%=^-----,貝!Jtanh(x+y)=—^------，

e2x+l''e2x+2y+\

2x

e_ie4_]

2x+2y

tanhx+tanh_e+]e+1_(e"-1)(e"+1)+⑹-1*"'+1)

1+tanhxtanhye2x-1e2y-l(e2x+l)(e2>，+1)+(e2x-1)(e2v-1)

e2x+l'e2y+1

e2x+2-v+e2x-e2-v-1+e2x+2-v-e2x+e2y-1_2e2x+2y-2_e2x+2y-1

e2x+2y+e2x+e2y+1+e2x+2y-e2x-e2y+1~2e2x+2y+2~e2x+2y+1

,,1、tanhx+tanhy

故tanh(x+y)=------------------故D正確.

I+tanhxtanhy

故選：ACD.

11.ABD

【分析】對(duì)A,原圖中的圓環(huán)無(wú)法解開(kāi)，對(duì)BC轉(zhuǎn)化為三葉結(jié)問(wèn)題即可；對(duì)D通過(guò)繩數(shù)即可

判斷

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：原圖中的圓環(huán)不可解開(kāi)，則無(wú)法無(wú)損變?yōu)橐粋€(gè)圓，，無(wú)法得到A選項(xiàng)；

對(duì)于D選項(xiàng)：為三個(gè)圓，不是一根繩，，無(wú)法得到D選項(xiàng)；

對(duì)于B,C選項(xiàng)：根據(jù)左手三葉結(jié)和右手三葉結(jié)不能無(wú)損轉(zhuǎn)換，而B(niǎo)C情形為三葉結(jié)變體，則

BC至少有一個(gè)無(wú)法無(wú)損傷得到，

兩者為手性，即鏡像（即只能在鏡子中相互重疊），再通過(guò)考場(chǎng)身邊道具（如鞋帶，頭發(fā)）進(jìn)

行實(shí)驗(yàn)可知：可以得到C選項(xiàng)，無(wú)法得到B選項(xiàng).

左手三葉草右手三葉草

故選：ABD.

12.e

【分析】根據(jù)條件，利用指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算求得答案.

【詳解】由/（In2）〃ln4）=8,可得*.*=8,

即臚2+ln4=q3M2=8,也即（臚2丫=23,

?.?Q>0且QW1,「.〃ln2=2，

兩邊取對(duì)數(shù)得：ln21nQ=ln2,解得。=e.

故答案為.e

13.A

56

【分析】先寫(xiě)出基本事件總數(shù)C；,再求出所有卡片上的數(shù)字之和，得到抽出的3張卡片上的

數(shù)字之和應(yīng)為18,列舉出和為18的3張卡片即可求解.

【詳解】從8張卡片中隨機(jī)抽出3張，則樣本空間中總的樣本點(diǎn)數(shù)為?；=手字=56,

3x2

因?yàn)?+2+3+4+5+6+7+8=36,

所以要使抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等，

則抽出的3張卡片上的數(shù)字之和應(yīng)為18,

則抽出的3張卡片上的數(shù)字的組合有8,7,3或8,6,4或7,6,5共3種，

所以符合抽出的3張卡片上的數(shù)字之和為18的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)共3個(gè)，

所以抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等的概率為9.

56

故答案為.白3

56

14.2A/2

【分析】根據(jù)對(duì)稱性，結(jié)合圖象來(lái)求得正確答案.

【詳解】由于（％y）和（一招-刃都符合了=七-一，…,

X

所以曲線C的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)尤>0時(shí)，函數(shù)/-4單調(diào)遞增，

由此畫(huà)出曲線C的大致圖象如下圖所示,

兩條直線4、，2均過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。，所以“、N兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，尸、。兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)位置如圖，

可知\OP\^|Og|,\OM\=|ON|,ZPOM=ZQON,

所以△。尸所以=

而AOW和△OQN等底等高，面積相同，所以S△。跳=也，

所以^AMNQ=2A/2.

故2c

方法點(diǎn)睛：利用曲線對(duì)稱性：充分利用曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)，確定點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系，這是

解決本題的基礎(chǔ).通過(guò)對(duì)稱關(guān)系，能夠推導(dǎo)出相關(guān)線段和三角形之間的等量關(guān)系，為后續(xù)的面

積計(jì)算提供依據(jù).

15.（1）5=180,￡=150

⑵W

（3）能認(rèn)為藥物A對(duì)預(yù)防疾病B有效

【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表求和即可；

（2）用頻率估計(jì)概率，計(jì)算即可；

（3）根據(jù)公式計(jì)算22,然后根據(jù)臨界值表分析判斷即可.

【詳解】（1）由列聯(lián)表知$=100+80=180,f=80+70=150；

（2）由列聯(lián)表知，未服用藥物A的動(dòng)物有s=180（只），

未服用藥物A且患疾病3的動(dòng)物有80（只），

所以未服用藥物A的動(dòng)物患疾病B的頻率為黑=:，

1809

所以未服用藥物A的動(dòng)物患疾病3的概率的估計(jì)值為P=：4；

（3）零假設(shè)為耳：藥物A對(duì)預(yù)防疾病3無(wú)效,

2

400(100x70-150x80)2000

由列聯(lián)表得到％26.734>6,635，

180x220x250x150297~

根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷〃。不成立,

即認(rèn)為藥物A對(duì)預(yù)防疾病8有效，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01,

所以根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為藥物A對(duì)預(yù)防疾病B有效.

16.（1）證明見(jiàn)解析;

3"

⑵%

（3）證明見(jiàn)解析.

【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件化簡(jiǎn)，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明;

（2）由（1）求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再求為即得；

（3）將（2）中得到的｛%｝的通項(xiàng)代入2=也求得“，化簡(jiǎn)后利用數(shù)列的單調(diào)性即可得證.

an

,八.,1g+2211

【詳解】（1）由。前=-^得一—=T—+-,

+2a?+i3a?3a?3

所以數(shù)列I-'是首項(xiàng)為1-'=；,公比為］的等比數(shù)列.

I%33

(2)由(1)得1--L=2x(2

a.3(3

13“

解得「，工（2「37

3

-3

3〃+inn3(3〃-2〃)3

%+i3-22

(3)b,鞏〃〃〃

3+i_2+i3"3+i_2+i3

3-2

2

令/⑺=3?

因?yàn)?2在上單調(diào)遞增，則/(")2/(1)=3、：-2=3>0

所以數(shù)列一，在〃eN*上單調(diào)遞減，從而數(shù)列｛"｝在〃eN*上單調(diào)遞增，且，<1,

故得

17.(l)2x——5=0

(2)6>1

【分析】(1)由切線斜率為2,結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)可得切線過(guò)點(diǎn)(1,-3),然后可得切線方程；

(2)由x=l是/(幻的極小值點(diǎn)，可得1+1,然后據(jù)此討論/(x)的單調(diào)性,分析得/(%)在x=l

時(shí)的極值情況，從而得解.

2

【詳解】(1)當(dāng)〃=1,6=-2時(shí)，/(x)=lnx----x,其中工〉0,

x

rn.lr,(x12X—X2+2Ar,/、cX—X2+2

貝U/'(、)=—+J—1=——5—，令/'(x)=2n——2—=2，

XXXX

化簡(jiǎn)得3f—%—2=(x—l)(3x+2)=0,解得工=1(負(fù)值舍去)，

又此時(shí)/⑴=-3,則切線方程過(guò)點(diǎn)(1,-3),結(jié)合切線方程斜率為2,

則切線方程為>+3=2(-1),即2x-y-5=0.

(2)由題可得〃無(wú))定義域?yàn)?0,+。)，fd_J=x、axb,

XXX

因X=1是/(無(wú))的極小值點(diǎn)，貝Ij_f(l)=-l+a-b=o=>a=b+l,

貝""x)=-八9+1"J_(1)［一外,

x2x2

若640,令/(x)>0nxe(0,l),令/，(x)<0=>xe(l,+oo),

則/(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

得x=l是〃x)的極大值點(diǎn)，不滿足題意；

若0<6<1,令/'(尤)>0=>尤€伍,1),令/")<0=>9￡(0,62(1,+℃),

則/(無(wú))在(41)上單調(diào)遞增，在(0,6),(1,+8)上單調(diào)遞減，

得x=l是“X)的極大值點(diǎn)，不滿足題意;

若6=1，則r(x)=_U二上<0，〃X)在(0,+/)上單調(diào)遞減，無(wú)極值，不滿足題意；

X

若6>1,令/''(x)>0nxe(l,6),令/'(x)<Onxe(O,l)U(4+(?),

則/(x)在(1,6)上單調(diào)遞增，在(0,1),(6,+8)上單調(diào)遞減，

得x=l是〃x)的極小值點(diǎn)，滿足題意；

綜上，x=l是“X)的極小值點(diǎn)時(shí)，b>l.

22

18.(1)。匕=1

43

(2)證明見(jiàn)解析

(3)點(diǎn)M的軌跡是圓，該圓的方程為(x-1『+/=16

【分析】(1)根據(jù)橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)得C=l,離心率為得“=2,從而求出6,得出橢圓方程；

(2)寫(xiě)出中垂線方程，聯(lián)立橢圓方程，判別式等于零，即可證明恰一個(gè)公共點(diǎn)；

(3)解法一：利用設(shè)直線方程聯(lián)立橢圓方程的方法，根據(jù)判別式等于0,即可求解.

解法二：利用橢圓定義和線段垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合光學(xué)性質(zhì)，得到詞=4,從而得到點(diǎn)M

的軌跡和軌跡方程.

【詳解】(1)因?yàn)闄E圓左、右焦點(diǎn)分別為％(—1,0),4(1，。)，所以。=1，又因?yàn)闄E圓C的離

心率為;,

得。=2,.?方=3,所以橢圓方程為二+￡=1.

43

(2)由此(1,4),%(—1,0)得直線肌耳斜率為太=2,中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),

所以線段耳河。的垂直平分線方程為y=-;x+2,

聯(lián)立垂直平分線方程和橢圓方程

,4;得/一2%+1=0,%=1,

y=--x+2一

12

QA=4-4=0,所以直線與橢圓相切，

線段4的垂直平分線與C恰有一個(gè)公共點(diǎn)［,|］；

(3)解法一：設(shè)

當(dāng)為=0時(shí)，大M的垂直平分線方程為x=%U，

止匕時(shí)=±2,/=5或一3；

卬的垂直平分線方程為y+/個(gè)"T

當(dāng)為工。時(shí),

.="1Ix；+"一]

聯(lián)立'y02%

3尤2+4/=12

得3/+4(X：+>7)2(%+1)由+第-1)*伊。+1-

""4y：y；Jo=L,

即3+-12=0

y0

因?yàn)榫€段片M的垂直平分線與。恰有一個(gè)公共點(diǎn)，

：16(2+1『(片+"/J4&+1)2[(片1

%|_%」比

31:+心1)48&+1),

2"2一"

打比

貝IM+(234)尺+"8焉-32%-15=0,

2

即巾+(2x：-14)^+(x0+1)(%+3)(%—5)=0,

V；+(2x；—14)>；+(%；+2x0+1)(%；—2%—15)=0,

即(需+xo+2/+1)(/+x：-2/一15)=0,

*.*XQ+y；+2XQ+1—(x0+1)+y；〉0,XQ+y：—2%-15-0,

而(5,0),(-3,0)也滿足該式，

故點(diǎn)河的軌跡是圓，該圓的方程為X2+J?-2X-15=0,即(X-1)2+J?=16.

解法二：設(shè)線段片M的垂直平分線/與C恰有一個(gè)公共點(diǎn)為尸，

則當(dāng)點(diǎn)P不在長(zhǎng)軸時(shí)，線段片M的垂直平分線/即為點(diǎn)P處的切線,

也為/月尸M的角平分線,

作的角平分線，根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)得尸〃±

AFXPF2PHI,

“PE+NRPH=90°,則ZF2PH+ZEPM=90",

故ZF2PFt+ZFXPM=180°,

所以監(jiān)尸出三點(diǎn)共線,所以|嫡|=|〃?|+|尸用=|尸國(guó)+|尸￡|=4,

所以點(diǎn)"的軌跡是以巴為圓心，4為半徑的圓，

當(dāng)尸在橢圓長(zhǎng)軸上時(shí)，M點(diǎn)為(5,0)或(-3,0)也滿足|九闿=4,

故點(diǎn)河的軌跡是圓，該圓的方程為(x-l『+/=16.

方法點(diǎn)睛：判斷直線與橢圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題的方法是：

(1)首先根據(jù)題意得到直線和橢圓方程；

(2)聯(lián)立直線和橢圓方程，消元得到一元二次方程；

(3)計(jì)算△,根據(jù)A>0,A<0,A=0,判斷直線與橢圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).

19.(1)(i)證明見(jiàn)解析；(ii)球。的半徑為好；

2

⑵？

【分析】(1)(i)由題設(shè)求證431/C,即可由線面垂直的判定定理得平面尸NC,再由

面面垂直判定定理得證；(ii)建立以/為原點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系/一砂z,

設(shè)球心"c),半徑由/。=8。=C。=尸。=尺列方程組即可計(jì)算求解.

(2)過(guò)尸作尸G_L/C于G,在平面43c中，過(guò)G作GM_L/C,設(shè)ZPGM=9,Oe(0,180。)，

以G為原點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系G-盯z,求出平面尸NC和平面尸5C的一個(gè)法向量，即

可由向量夾角公式，通過(guò)換元，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得.

【詳解】(1)在A/CD中，由/C=C￡>=1,44。。=30。得/。。=/組兒:=30。，

所以AD=2ACcosZDAC=2x1xcos30°=6,且NBAC=ZDAB-ACAD=120°-30°=90°,

即ABIAC,

(i)證明：因?yàn)镻CLAB,PCc4C=C,PC、/Cu平面P/C,

所以48_L平面PNC,又/Bu平面NBC,

所以平面P/C_L平面/BC；

(ii)以"為原點(diǎn)，分別為x軸和y軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系/-孫z,

則/(O,O,O),3(l,O,O),C(O,LO),P(()d；設(shè)球心O(a,6,c),半徑五,

貝1JAO=BO=CO=PO=R,

所以4+62+c2=（.-1）2+〃+c2=02"6_。2+02=fc-亭）=R，

因GMC尸G=G,GM,PGu平面PGM，則AC_L平面PGM.

貝|J由（1）^G=V3cos30°=|,PG=V3sin300

設(shè)