2024-2025學(xué)年廣東省深圳市高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)

檢測試題

一、單選題(本大題共8小題)

2+i

1.設(shè)l+r+F,貝I]z=()

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

=囪-1<x<

A,機仙）B.NU0M

C.0（”nN）D.MU0N

3.下列函數(shù)中最小值為4的是（）

?.?4

A.-x+4B.

y=\nx+—

C.k丁+2"D.Inx

sin2x

y一

4.函數(shù)1-cosx的部分圖像大致為

A.11B.1C.

sinftz+-Vsina=-cos[la+-[=

5.已知I3,貝g13>（）

51J_5

A.9B.9C.9D.9

（7兀、

f{x}=Asin（<yx+（p）4>0,刃>0,——一<夕<—

6.已知函數(shù)I：2J的部分圖象如圖所示，則下列說

法錯誤的是（）

-O\65叭n\,

A./(“)的最小正周期為兀

717l"|—YE百

B.當(dāng)［4'4」時，“X)的值域為122」

71

C.將函數(shù)/(X)的圖象向右平移診個單位長度可得函數(shù)g(x)=sin2x的圖象

D.將函數(shù)了(無)的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到的

函數(shù)圖象關(guān)于點I6J對稱

/(x)=—x2-x+a\wc

7.若函數(shù)2有兩個不同的極值點，則實數(shù)。的取值范圍為()

AgBgCTDIC

8.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x—4)=—f(x),且在區(qū)間［0,2］上是增函數(shù)，

若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間［-8,8］上有四個不同的根xPx2,x3,x4,則

X1+X2+X3+X4等于()

A.16B.6

C.-8D.8

二、多選題(本大題共3小題)

9.已知向量。，B不共線，向量。+9平分。與B的夾角，則下列結(jié)論一定正確的是

()

A.a%=0g_(a+b)±(a-b)

C.向量￡,3在￡+)上的投影向量相等D.一+汩”可

f(x)=sinCDx+—(<y>0)“、「n0］

10.設(shè)函數(shù)I5>，已知J(X)在“,加」有且僅有5個零點，則(

)

A.7(x)在(0,2兀)有且僅有3個極大值點

B./(*)在(°乂兀)有且僅有2個極小值點

C./(X)在單調(diào)遞增

「空空)

D.3的取值范圍是“’10)

11.已知函數(shù)〃X)=X3-3/,則下列說法正確的是()

A.x=2是函數(shù)/(x)的極小值點

B.7—)=一4

C當(dāng)0＜x＜］時，_4＜/(2x-1)＜-2

D.函數(shù)＞=/"(刈+2有5個零點

三、填空題(本大題共3小題)

C2

12.A/BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已知8s3,a=3,6=4,

貝Ucos5.

13.已知VN2C是邊長為4的等邊三角形，點D,E分別是邊N8,3C的中點，連接

DE并延長到點F.使得DE=2EF,則布?數(shù)=.

14.若直線＞=2x為曲線＞=的一條切線，則曲的最大值為.

四、解答題(本大題共5小題)

fV,m_V23-受,

15.已知橢圓C：?b2的離心率2,點卜zJ在橢圓C上.

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知點“(2,°),直線1過橢圓C的右焦點F且與C交于A,B兩點，證明：直線

叱與MB的斜率之和為定值.

16.如圖，在四棱錐P-N8CD中，AB//CD,且N8/P=/COP=90。.

P

/*,1sl

Ll__________

AH

(1)證明：平面尸48,平面P4D；

⑵若P4=PD=AB=DC=2,N4PD=90。，求二面角/-必-。的余弦值.

17.V48c的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

2c2=(a2+c2-b1)(tanA+tanB)

⑴求A；

（2）若V/8C為銳角三角形，且6=2,求V48C面積的取值范圍.

18.已知函數(shù)/（x）=xTnQ+a）的最小值為0,其中a>0.

（1）求a的值；

（2）若對任意的xe[0,+8）,有履2成立，求實數(shù)k的取值范圍.

19.若數(shù)列4：《，生，L,%（〃“）滿足瓦+「%」=1/=12…，"D,則稱4為E數(shù)

列.記$（""）=%+&+…+°“

（1）寫出一個滿足，且s（4）>°的E數(shù)列4；

（2）若《=12,〃=2000,證明：E數(shù)列4是遞增數(shù)列的充要條件是%=2011；

（3）對任意給定的整數(shù)雙〃22）,是否存在首項為0的E數(shù)列4,使得S（4）=°?如果

存在，寫出一個滿足條件的E數(shù)列4；如果不存在，說明理由.

答案

1.【正確答案】B

2+i2+ii（2+i）2i-l,、

z=----——-=-----=~=-----=1-21

【詳解】由題意可得1+i+『1-1+iiT，

則2=1+2.

故選：B.

2.【正確答案】A

【詳解】由題意可得MUN={X|X<2},則6（"UN）={X|XN2},選項人正確;

={x|x>1）則NUa“={x|x>-l},選項B錯誤；

MnN={x1-l<x<l},則。（McN）={x|xW-1或久n1},選項C錯誤；

?N={x1xW-1或X22},則"U6N={x|x<l或xN2},選項口錯誤；

故選：A.

3.【正確答案】C

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷A選項不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等

，即可得出瓦。不符合題意，c符合題意.

【詳解】

對于A,y=x2+2x+4=（x+iy+3N3,當(dāng)且僅當(dāng)x=-l時取等號,

所以其最小值為3,A不符合題意；

4f—

y=|sinx|+-i----r>2<4=4

對于B,因為°＜而也1,.11|sinx|

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，等

號取不到,

所以其最小值不為4,B不符合題意;

y=2A+22-X=2'+—＞2"=4

對于C,因為函數(shù)定義域為R,而2、＞0,2、，當(dāng)且僅當(dāng)

2、=2,即x=l時取等號，

所以其最小值為4,C符合題意；

,4

對于D,）一=lmnxi|nx,函數(shù)定義域為（°」）U（l，+°°）,而InxeR且InxwO,如當(dāng)

lnx=T,了=-5,D不符合題意.

故選：c.

本題解題關(guān)鍵是理解基本不等式的使用條件，明確"一正二定三相等"的意義，再結(jié)合有關(guān)函

數(shù)的性質(zhì)即可解出.

4.【正確答案】C

【詳解】

sin2x

y—

由題意知，函數(shù)1-COSX為奇函數(shù)，故排除B;當(dāng)X=7T時，y=0,故排除D；當(dāng)

sin2八

y=------->0

x=l時，-1-COS2,故排除A.故選C.

函數(shù)圖像問題首先關(guān)注定義域，從圖像的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性，根據(jù)函數(shù)的奇偶性排

除部分選擇項，從圖像的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值，利用特值檢驗，較難的

需要研究單調(diào)性、極值等，從圖像的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等.

5.【正確答案】B

【分析】利用兩角和差公式以及倍角公式化簡求值可得答案

-=sinfa+-Lsina=-sina+—cosa-sin?

【詳解】由題干得313)22

22I

cos2a+撲2湛a+/1=2七一」§

所以

故選B.

6.【正確答案】B

函數(shù)/(x)的最小正周期

【詳解】對于A,由圖可知，力=1

故A正確；

T271271c

由阿，。>。，知"—二？，

/但］=1sin(2x>/=l4+夕=4+2版

因為,所以I6J,所以32,keZ,

(p=—+2kji

即6，后eZ,

717171f(x)=sin12]+.

-<(p<—(P=~

又2*2,所以6,所以

717171271

xe“Z」時,2x+(

i5T

對于B,當(dāng)

sin2x+—G

所以“」，故B不正確;

兀

對于C,將函數(shù)/(X)的圖象向右平移五個單位長度,

=sin2x

的圖象，故C正確;

對于DD,將函數(shù)/(X)的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變,

=sin[x+今

y

得至！J的圖象,

5兀.(5兀兀).

x=——y=SH1-------F—=Sin71=0

因為當(dāng)6時，I66)

所以得到的函數(shù)圖象關(guān)于點16'J對稱，故D正確.

故選：B.

7.【正確答案】A

【詳解】函數(shù)的定義域為(°，+8),

f(x)=—x2—x+aliix

因為函數(shù)2有兩個不同的極值點,

x2-x+a

f'(x)=x-l+^==0

所以x有兩個不同正根,

即%2-X+。=。有兩個不同正根,

A=1->0

v玉+々=1>。]

丫丫_〃>00<a<：

所以dX2-a>U解得4,

故選:A.

8.【正確答案】C

由奇函數(shù)f(x)滿足f(x—4)=—f(x)可推出周期為8,對稱軸為x=2,畫出函數(shù)大致圖

象，由圖象分析f(x)=m的根的分布情況即可

【詳解】f(x)在R上是奇函數(shù)，所以f(x—4)=—f(x)=f(—x),令x=x-4得

/(x-8)=/(x)；故"x)周期為8,即/(x—4)=/(x+4)=—/(x)=/(r),即

“4-x)=/(x),函數(shù)對稱軸為x=2,畫出大致圖象，如圖：

V

由圖可知，兩個根關(guān)于》=-6對稱，兩個根關(guān)于x=2對稱，設(shè)再<%<%<%,

9.【正確答案】BC

［詳解］作向量。/=d08=刃，在口CMC8中，OC=a+b,BA=a-b,

由向量Z+B平分后與B的夾角，得口。4cB是菱形，即用日回，

對于A,&與］不一定垂直，A錯誤；

對于B,(1+」)0-3)=片-廬=0,即」+母工(2-垃,B正確；

晨0+3)/_入a2+a-b八

一］―2(〃+6)=__2(〃+6)

對于C,2在1+B上的投影向量\a+b|-\a+b\,

B?伍+B)/一八b2+a-b3a2+a-b八

——2(Q+6)=-------(Q+6)=-------(Q+6)

6在上的投影向量\a+b\\a+b\\a+b\,C正確;

對于D,由選項A知，a%不一定為0,則他+3與舊一~不一定相等，D錯誤.

故選：BC

10.【正確答案】ACD

/(x)=sina)x+—(<y>0)mo］

【詳解】因為I5>在W"勾有且僅有5個零點，如圖所示，

所以5，所以51。，所以D正確,

對于AB,由函數(shù)產(chǎn)sinx在行」上的圖象可知，/(")在(°"兀)有且僅有3個

極大值點，有3個或2個極小值點，所以A正確，B錯誤，

(八兀、?！肛?971兀、

XG0,---COXH---G-.------1---

對于C,當(dāng)I初時，515105人

12,29coiln49兀?！肛！Ｘ?兀，(八兀)

因為5-10,所以1051002,所以(5105)口I2人

所以/(x)在I單調(diào)遞增，所以c正確，

故選：ACD

11.【正確答案】ABD

【詳解】對于A,由/(X)=3X(X-2),

當(dāng)xe(-8,0)。(2,+功時，f\x)>0.

當(dāng)xw(0,2)時,f'(x)<0；

所以〃x)在(一叫°)上單調(diào)遞增，在(。，2)上單調(diào)遞減，在(2,+00)上單調(diào)遞增，

所以x=2是函數(shù)/(X)的極小值點，故A正確；

對于B,易知

/(%)+/(2-x)=丁-3/+(2-x)3-3(2-x)2=x3-3x2+(-x3+3x2-4)=-4

故B正確；

對于C,當(dāng)°<x<l時，-1<2X-1<1,

因為函數(shù)/(X)在(T，°)上單調(diào)遞增，在(。，1)上單調(diào)遞減，

又〃-1)=-4,/(0)=0；/(1)=-2；所以-4</(21)<0,所以c錯誤：

對于D中，令巾),,則/⑺=-2的根有三個，如圖所示，-1<^<O<Z2<Z3

所以方程/GA：有3個不同根，方程〃》)=,2和/。)=4均有1個根,

故>=7V(x)]+2有5個零點，故D正確.

故選:ABD.

12.【正確答案】9

a1+b2-c229+16-c2

cosC=

【詳解】由余弦定理lab可得32x3x4

解得c=3,

a2+c2-b29+9-161

cosB

2x3x3-3,

所以lac

故答案為.3

13.【正確答案】2

【詳解】如圖:

以也啊為基底，則前京=4x4x36。F，3=陽=16.

所以DE=-CBC-BA)\,DF=2-DE=-八(BC-BA)\,

一——.=--^A+-(BC-^A\=--~BA+-~BC

所以力尸=4。+。尸24、/44.

2

AF-BC=(--BA+^Bc]-BC=--BA.BC+-BC=-LX8+-X16=2

所以I44J4444

故2

2

14.【正確答案】e-

【分析】設(shè)切點為再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再結(jié)

合題意求出d'的關(guān)系，再構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即可.

【詳解】設(shè)/⑺=則/'(x)=

設(shè)切點為(修'*"),則/'(%)=起限,

7i,x+bm,1+ft

則切線方程為y_e"3"=ae"3"(x_Xo),整理可得J=ae°x+(1-ax0)e

(1一"o)e"%+〃=O1

“六+^_2X。=—,ae"%+"=ae'+h=2

ae

所以-2,解得a

272b

a=,,,ab=,,

所以小〃，所以e1+6

設(shè)g3=W,則g'(x)=T"

當(dāng)xe(—co,l)時，g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(l,+8)時,g<x)<O,g(x)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=l時，g(x)取得最大值g,)=/,

2

所以成的最大值為了.

2

故答案為.e2

—I-y—1

15.【正確答案】(1)2

(2)證明見解析

e_V2

【詳解】(1)解：因為,-2,所以設(shè)”=&加,°=加,(加>°),

222

所以Q2=2m,b=m,

又因為點IJ在橢圓C上，所以2/2m2,

x2_,

2222--------1~2_]

所以礦=2"=2/="=1,所以橢圓?的方程為2'.

(2)證明：因為右焦點尸(1，°),

當(dāng)直線1不為x軸時，設(shè)直線1的方程為》=利+1,

易知A=4n2+4(n2+2)>0

設(shè)直線1與橢圓C交于/區(qū)，％），/孫力）兩點，

—2〃—1

由韋達定理可知，弘+歹2=/~7+2,V3iVo2=~/9+2.

k+k_必1%_M1%_必（即2-1）+%（孫-1）

MB

所以玉-2X2-2一］ny2-\（nj,-l）（raj；2-1）

=2"「…）=——!——*⑶x（口）-（3）］=0

（陰-1）（即2-1）（陰-1）（佻-1）n-+2n-+2；

當(dāng)直線1為x軸時，交點4-收,0）,8（亞,。），

所以兒+%=。；

綜上所述，直線肱4與處的斜率之和為定值0.

16.【正確答案】（1）證明見解析

⑵3

【詳解】（1）因為/胡P=NCBP=90。，所以尸/，/8,PD1CD,

因為48//CD,所以

又PAp［PD=P,PA,PDu平面尸40,

所以48,平面P/。，因為/8u平面P/8,

所以平面尸平面P4。；

(2)

取的中點0,8C的中點E,連接尸0,OE,

因為尸月=尸。，所以P01/Z）,

由（1）知48,平面PN。，又尸。u平面尸

所以48_LP。，因為42c4D=Z,AB,/Du平面N8CD,

所以P。，平面ABCD,

以。為坐標原點，如圖建立空間直角坐標系，

因為&=尸。=2,ZAPD=90°,所以/。=2五，

^(72,0,0)P(0,0,忘)5(72,2,0)C(^V2,2,0)

麗=6,2,-行)^4=(72,0,-72)PC=(-42,2,-42^

設(shè)平面P砌的法向量為力=（XQ”zJ,

n-PA==0

<

所以H?尸3=JL：|+2%一任］=0,令再=一1,貝I」云=（T，°，T）,

設(shè)平面尸8c的法向量為身=（%,%,z?）,

m?PC=-V2X2+2y2—V2z2=0

所以［江麗=7^2+2%_&Z2=0,令%=1,則成=@比啦）,

n-m

COS（萬，玩）=

\n\\m\y/2-s/3

所以3

因為二面角Z-P5-C為鈍角,

所以面角力一心-C的余弦值為3.

A=—

17.【正確答案】（1）4

⑵。，2）

2accosS

【詳解】⑴因為2/=(a2+c2-〃Xtan/+tan5),所以-[cos^sin5

cos8

c2c八sinAcos5+sin5cosA?包￡

2c=2accosB-------------------------------=2ac

所以cosAcosBcosA,

所以。cos4=asinC,所以sinCcosA=sinAsinC,

因為sinC>0,所以tan/=l,

71

又“?0,兀),所以=7.

/-兀

（2）由（1）可知,

SABC=-bcsinA=-x2xcx—=—c

所以“BC2222

2_c

由正弦定理sinBsinC,

2sinC2s'nI+4I72cosB+6sinBV2

c——:--=--------=-----------=---

所以sin3sinBsinBtan8

因為VN8C為銳角三角形，

0<--5<--<B<-

所以142,所以42,

0<^—<1

所以tan8>l,即tan5,

v_>/2_V2(>/2川1

又22(tan8Jtan^

1<--------F1<2/i

所以tanS，所以V/8C面積的取值范圍為U",

18.【正確答案］（1）1；

l、

彳r什00)

(2)2

々'I,、/、fM—1--------

【詳解】（1）函數(shù)/（x）=%Tn（x+a）的定義域為（-凡+8）,求導(dǎo)得％+〃.

由/'（X）<0,得一Q<X<1-Q；由/'（X）>。,得、>1一4,

函數(shù)”X）在（-0,1-。）上單調(diào)遞減，在［1-。,+00）上單調(diào)遞增,

Ijllj/Wmin=f（l-a）=l-a=0所以a=i.

(2)設(shè)g(x)=&-x+ln(x+l),xNO,依題意，Vxe[0,+co),g(x)N0恒成立,

,2kx2k

而g(0)=0,g(l)=^-l+ln2>0；則后Nl-ln2,求導(dǎo)得g(#-"^(x+2k,

…l-ln2<A:<-，/、n0<x<^—

當(dāng)2左一1<0,即