廣東省惠州市博羅縣2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)5月期中試卷姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、單項(xiàng)選擇題：木題共8小題，每小題5分，共40分，在每個(gè)小題紿出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若復(fù)數(shù)z滿足（1﹣i）z＝2i，則z?zA．14 B．12 C．22．已知α，β，γ是三個(gè)不同的平面，α∩γ＝m，β∩γ＝n，則“m∥n”是“α∥β”的（）條件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充分必要 D．既非充分又非必要3．在△ABC中，a2=bA．30° B．45° C．120° D．150°4．設(shè)e1，e2是兩個(gè)單位向量，且A．π6 B．π3 C．2π35．在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，則BE=A．14BA+C．12BA+6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是函數(shù)y＝sinx圖象的最高點(diǎn)，Q是y＝sinx的圖象與x軸的交點(diǎn)，則OP+A．(π2,1) B．（π，0）7．已知軸截面為正方形的圓柱MM'的體積與球O的體積之比為32，則圓柱MM'的表面積與球OA．1 B．32 C．2 D．8．如圖，某市人民廣場(chǎng)正中央有一座鐵塔，為了測(cè)量塔高AB，某人先在塔的正西方點(diǎn)C處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?5°，然后從點(diǎn)C處沿南偏東30°方向前進(jìn)60m到達(dá)點(diǎn)D處，在D處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0°，則鐵塔AB的高度是（）A．50m B．30m C．25m D．15m二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選頂，每選對(duì)一個(gè)得3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)一個(gè)得2分9．設(shè)z＝1﹣i，則（）A．zz=2 C．|z|2=z10．已知直線l，m，平面α，β，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．m∥l，l∥α，則m∥αB．l∥β，m∥β，l?α，m?α，則α∥βC．l∥m，l?α，m?β，則α∥βD．l∥β，m∥β，l?α，m?α，l∩m＝M，則α∥β11．下列說法中錯(cuò)誤的是（）A．若a，b都是非零向量，則“a∣a∣+bB．若a，b都是非零向量，且∣a+C．若單位向量a，b，c滿足3a+4bD．若I為三角形ABC外心，且2BI=BA+BC三、填空題，本題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.12．若一個(gè)球的表面積與其體積在數(shù)值上相等，則此球的半徑為.13．已知平面向量a與b的夾角為π3，若∣a∣=1，b=(1,14．已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若△ABC的面積為a2+b2?c2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15．已知向量a=(2,3（1）若x=2，a=λ（2）若a⊥(c?b16．如圖所示，在正四棱錐S﹣ABCD中，SA＝SB＝SC＝SD＝2，AB=2（1）正四棱錐S﹣ABCD的表面積；（2）若M為SA的中點(diǎn)，求證：SC∥平面BMD．17．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知bsin（1）求A；（2）求2b+ca18．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝2DA，M為線段BC中點(diǎn)，AM與BD交于點(diǎn)N，P為線段CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）用AB和AD表示AM；（2）求ANNM（3）設(shè)AC=xDB+y19．設(shè)f（z）是一個(gè)關(guān)于復(fù)數(shù)z的表達(dá)式，若f（x+yi）＝x1+y1i（其中x，y，x1，y1∈R，i為虛數(shù)單位），就稱f將點(diǎn)P（x，y）“f對(duì)應(yīng)”到點(diǎn)Q（x1，y1）．例如：f(z)=1z將點(diǎn)（0，1）“（1）若f（z）＝z+1（z∈C），點(diǎn)P1（1，1）“f對(duì)應(yīng)”到點(diǎn)Q1，點(diǎn)P2“對(duì)應(yīng)”到點(diǎn)Q2（1，1），求點(diǎn)Q1、P2的坐標(biāo)．（2）設(shè)常數(shù)k，t∈R，若直線l：y＝kx+t，f（z）＝z2（z∈C），是否存在一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)（k，t），使得直線l上的任意一點(diǎn)P（x，y）“f對(duì)應(yīng)”到點(diǎn)Q（x1，y1）后，點(diǎn)Q仍在直線l上？若存在，試求出所有的有序?qū)崝?shù)對(duì)（k，t）；若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）設(shè)常數(shù)a，b∈R，集合D{z|z∈C且Rez＞0}和A＝{w|w∈C且|w|＜1}，若f(z)=az+bz+1滿足：①對(duì)于集合D中的任意一個(gè)元素z，都有f（z）∈A；②對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素w，都存在集合D中的元素z使得w＝f（z）．請(qǐng)寫出滿足條件的一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)（a，b），并論證此時(shí)的f（

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：由(1?i)z=2i整理得z=故答案為：C.

【分析】由復(fù)數(shù)除法得z=2i1?i=?1+i2．【答案】B【解析】【解答】解：由題意α∩γ=m,β∩γ=n，若α//β，由面面平行的性質(zhì)知：m//n，必要性成立；由α∩γ=m,β∩γ=n，若m//n，則故答案為：B.

【分析】根據(jù)面面平行的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得解.3．【答案】A【解析】【解答】解：有余弦定理cosA=b2+c故答案為：A.

【分析】利用余弦定理計(jì)算可得．4．【答案】C【解析】【解答】解：由題意e1,e2是兩個(gè)單位向量，模均為1，且|e由?e1,故答案為：C.

【分析】由向量的模的平方結(jié)合單位向量的定義可得e15．【答案】C【解析】【解答】解：由向量的線性運(yùn)算BE=故答案為：C.

【分析】由向量的線性運(yùn)算，即向量的加法減法和數(shù)乘求出結(jié)果6．【答案】B【解析】【解答】解：由圖可知Q(π,0),故答案為：B.

【分析】由正弦函數(shù)圖象得點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合向量加法首尾相接以及即可得解.7．【答案】B【解析】【解答】解：設(shè)圓柱MM'底面圓半徑為r，球O的半徑為R，則圓柱MM'的高為2r，由體積之比為πr2?2r4π故答案為：B.

【分析】由圓柱和球的體積比值，列式整理可得圓柱MM'底面圓半徑r和球O的半徑8．【答案】B【解析】【解答】解：設(shè)塔AB的高度為h，易知RT△ABC中BC=h；在RT△ABD中BD=3h；在△BCD中，∠BCD=60°，BC=h，BD=3即(3h)2=h故答案為：B.

【分析】由仰角找到塔高h(yuǎn)與地面邊長(zhǎng)關(guān)系，計(jì)算得到BC=h，BD=3h，在9．【答案】A,B【解析】【解答】解：A、由z=1?i可得z=1+i，所以zz=(1+i)(1?i)=1?i2C、|z|2=12+D、z?z=1?i?(1+i)=?2i，而故答案為：AB.

【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及模長(zhǎng)公式，逐一判斷選項(xiàng)可得結(jié)論.10．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：A、分析可知直線m可能在α內(nèi)，也可能與α平行，故A錯(cuò)誤；B、平面α與β可能相交，故B錯(cuò)誤；C、α與β可能相交，故C錯(cuò)誤；D、依據(jù)面面平行的判定定理可知α//故答案為：ABC.

【分析】根據(jù)線面之間的基本關(guān)系判斷A，根據(jù)面面平行的判定定理判斷BCD.11．【答案】A,C【解析】【解答】解：A、由a與b共線，a→=λbB、由|a+b|=|aC、由3a+4b+5c=0可得：?3a?5c=4b，兩邊平方，16b因a,b,c是單位向量，則則a?D、如圖所示，因BI=故由2BI=BA故得點(diǎn)I為邊AC的中點(diǎn)，即三角形ABC的外心為AC的中點(diǎn)，即AI=BI=CI，故得AB⊥BC，即B為三角形ABC的垂心，故D項(xiàng)正確.故答案為：AC.

【分析】A項(xiàng)由“a與b共線”推不出“a|a|+b|b|=0”；B項(xiàng)將等式兩邊平方，化簡(jiǎn)即得a?b=012．【答案】3【解析】【解答】解：由于球的表面積與其體積在數(shù)值上相等，設(shè)球的半徑為R，則4πR解得：R=3，即此球的半徑為3.故答案為：3.【分析】根據(jù)題意，球的表面積與其體積在數(shù)值上相等，設(shè)球的半徑為R，則4πR13．【答案】(【解析】【解答】解：向量a在向量b上的投影向量是a→故答案為：(5【分析】根據(jù)投影向量的定義求解即可.14．【答案】2【解析】【解答】解：由S=12absinC=因?yàn)?<C<π，所以C=π4，所以2sin故答案為：2.【分析】由余弦定理及三角形面積公式得出C，再由正弦定理求外接圓直徑即可.15．【答案】（1）解：因?yàn)橄蛄縜=(2,3)，b=又因?yàn)閍=λb+μc，所以λ+4μ=22λ+μ=3（2）解：因?yàn)閍⊥(c?即2×4+3×1?(2×1+3x)=0，解得x=3，即b=(1則cosa【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量相等列式計(jì)算即可；（2）根據(jù)向量垂直數(shù)量積為0，列式求得x，再結(jié)合向量夾角公式計(jì)算即可.16．【答案】（1）解：在正四棱錐S?ABCD中，SA=SB=SC=SD=2,則正四棱錐側(cè)面的高為h=2故正四棱錐的表面積為S=4×1（2）證明：連接BD交AC于點(diǎn)O，連接MO,則O為AC的中點(diǎn)，當(dāng)M為SA的中點(diǎn)時(shí)，OM//又OM?平面BMD,SC?平面所以SC//平面BMD【解析】【分析】（1）根據(jù)正四棱錐的結(jié)構(gòu)求出側(cè)面的高，求正四棱錐的表面積即可；（2）連接BD交AC于點(diǎn)O，則OM//17．【答案】（1）解：由bsinA+3則sinA=3(b2+c（2）解：由正弦定理可知2b+ca即2b+ca=2因?yàn)?<B<2π3，所以故當(dāng)B+φ=π2時(shí)，2b+ca【解析】【分析】（1）利用余弦定理進(jìn)行邊角的互化求得tanA=（2）利用正弦定理邊化角，結(jié)合輔助角公式進(jìn)而可得2b+ca18．【答案】（1）解：由平面向量的加法法則，可得AM=AB+BM①因?yàn)镸為線段BC中點(diǎn)，所以BM+①②相加，結(jié)合DC=12AB，化簡(jiǎn)得（2）解：由AM與BD交于點(diǎn)N，可知存在實(shí)數(shù)t，使PAN=t根據(jù)B、N、D三點(diǎn)共線，得3t4+t2=1，解得t=（3）解：由題意，可設(shè)DP=m代入AC=xDB+y又AC=AD+DC=12因?yàn)?≤m≤12，所以xy=(y?1)y=y2?y=則當(dāng)y=1時(shí)，(xy)min=0，當(dāng)y=3所以，xy的取值范圍為[0,【解析】【分析】（1）由題意，根據(jù)向量的線性運(yùn)算化簡(jiǎn)求解即可；（2）由題意得AN=tAM=（3）由題意，可設(shè)DP=mAB(0≤m≤12)，代入19．【答案】（1）解：由P1（1，1）知z＝1+i，則f（z）＝z+1＝2+i，故Q1（2，1），設(shè)P2（x，y），則f（z）＝z+1＝（x+1）+yi，由Q2（1，1）知x+1＝1，y＝1，則x＝0，y＝1，即P2（0，1）；（2）解：直線l上的任意一點(diǎn)P（x，y）“對(duì)應(yīng)”到點(diǎn)Q（x1，y1），所以z＝x+yi，f（z）＝z2＝（x2﹣y2）+2xyi，且y＝kx+t，所以x2﹣y2＝x1，2xy＝y(tǒng)1，即Q（x2﹣y2，2xy），由題意，點(diǎn)Q（x1，y1）仍在直線l上，則2xy＝k（x2﹣y2）+t，又y＝kx+t，則2x（kx+t）＝k[x2﹣（kx+t）2]+t，展開整理得（k3+k）x2+（2t+2k2t）x+kt2﹣t＝0，則k3所以，所求的有序?qū)崝?shù)對(duì)（k，t）為（0，0）；（3）解：滿足條件的一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)為（﹣1，1），即a＝﹣1，b＝1，f（z）＝?z+1z+1證明：設(shè)z＝x+yi，x，y∈R且x＞0，則f（z）＝=?z+1