第1頁/共1頁絕密★啟用前2024年池州市普通高中高三教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)一監(jiān)測數(shù)學(xué)滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘注意事項(xiàng)：1.答卷前，務(wù)必將自己的姓名和座位號(hào)填寫在答題卡和試卷上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，務(wù)必擦凈后再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)，則的實(shí)部為（）A.1 B.-1 C.2 D.-2【答案】C【解析】【分析】將復(fù)數(shù)的分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡整理即得.【詳解】由，可得的實(shí)部為2.故選：C.2.已知向量滿足，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算求向量的夾角.【詳解】因?yàn)?故選：D3.已知，則（）A.7 B.-7 C. D.【答案】D【解析】【分析】由可求，再由兩角和的正切可求.【詳解】因?yàn)?，故，故，而，故，故，而，故，所以，故，故，故選：D.4.對(duì)于數(shù)列，若點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，其中且，則“”是“為遞增數(shù)列”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和充分必要條件的判斷求解.【詳解】因?yàn)樵诤瘮?shù)的圖象上，所以，即是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.若，且，，則可能的情況由兩種：（1）則，所以等比數(shù)列首項(xiàng)為負(fù)，公比，所以等比數(shù)列單調(diào)遞增；（2）則，所以等比數(shù)列首項(xiàng)為正，公比，所以等比數(shù)列單調(diào)遞增.所以“”是“為遞增數(shù)列”的充分條件.若為遞增數(shù)列，，又且，所以：或由；由；所以“”是“為遞增數(shù)列”的必要條件.故選：A5.已知圓錐的底面半徑為3，其內(nèi)切球表面積為，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用題給條件求得圓錐的母線長，再利用公式即可求得該圓錐的側(cè)面積.【詳解】球表面積為，則該球半徑為，設(shè)圓錐的高為h，則圓錐的母線長為，則此圓錐的軸截面面積為，解之得，則該圓錐的側(cè)面積為故選：B6.甲乙兩人分別從五項(xiàng)不同科目中隨機(jī)選三項(xiàng)學(xué)習(xí)，則兩人恰好有兩項(xiàng)科目相同的選法有（）A.30種 B.60種 C.45種 D.90種【答案】B【解析】【分析】利用先選后排可得不同的選法數(shù).【詳解】兩人恰好有兩項(xiàng)科目相同選法為.故選：B7.已知實(shí)數(shù)滿足，若的最大值為4，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用題給條件構(gòu)造關(guān)于m的方程，解之即可求得m的值.【詳解】令，則，則時(shí)，由，整理得，則，整理得，則，解之得故選：D8.已知圓和兩點(diǎn)為圓所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，記以為直徑的圓為圓，以為直徑的圓為圓，則下列說法一定正確的是（）A.若圓與圓內(nèi)切，則圓與圓內(nèi)切B.若圓與圓外切，則圓與圓外切C.若，且圓與圓內(nèi)切，則點(diǎn)的軌跡為橢圓D.若，且圓與圓外切，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線【答案】C【解析】【分析】先證明當(dāng)時(shí)，若，則圓與圓內(nèi)切，圓與圓外切；若，則圓與圓外切，圓與圓內(nèi)切，從而A和B錯(cuò)誤；然后當(dāng)時(shí)，將條件變?yōu)?，從而根?jù)橢圓定義知點(diǎn)的軌跡為橢圓，C正確；當(dāng)時(shí)，將條件變?yōu)?，從而根?jù)雙曲線定義知點(diǎn)的軌跡為雙曲線的左支，D錯(cuò)誤.【詳解】我們分別記的中點(diǎn)為，顯然是的中點(diǎn)，故，.當(dāng)時(shí)，在圓內(nèi)，此時(shí)，圓和圓不可能與圓外切，而圓與圓內(nèi)切等價(jià)于，即，即，同理，圓與圓內(nèi)切也等價(jià)于；當(dāng)時(shí)，在圓外，故“圓與圓內(nèi)切”和“圓與圓外切”分別等價(jià)于和，即和，即和.所以，此時(shí)“圓與圓內(nèi)切”和“圓與圓外切”分別等價(jià)于和，同理，“圓與圓內(nèi)切”和“圓與圓外切”分別等價(jià)于和.下面考慮四個(gè)選項(xiàng)（我們沒有考慮的情況，因?yàn)椴恍枰治龃朔N情況也可判斷所有選項(xiàng)的正確性）：由于當(dāng)時(shí)，若，則圓與圓內(nèi)切，圓與圓外切；若，則圓與圓外切，圓與圓內(nèi)切.這分別構(gòu)成A選項(xiàng)和B選項(xiàng)的反例，故A和B錯(cuò)誤；若，則，此時(shí)“圓與圓內(nèi)切”和“圓與圓內(nèi)切”都等價(jià)于，而根據(jù)橢圓定義，對(duì)應(yīng)的軌跡即為，C正確；若，則，此時(shí)“圓與圓外切”等價(jià)于，而根據(jù)雙曲線定義，對(duì)應(yīng)的軌跡為，僅僅是雙曲線的半支，D錯(cuò)誤.故選：C.二?多選題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在去年某校高二年級(jí)“校長杯”足球比賽中，甲乙兩班每場比賽平均進(jìn)球數(shù)?失球數(shù)及所有場次比賽進(jìn)球個(gè)數(shù)?失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差如下表：進(jìn)球個(gè)數(shù)平均數(shù)失球個(gè)數(shù)平均數(shù)進(jìn)球個(gè)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差失球個(gè)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差甲班2.3150.51.1乙班1.42.11.20.4下列說法正確的是（）A.甲班在防守中比乙班穩(wěn)定B.乙班總體實(shí)力優(yōu)于甲班C.乙班很少不失球D.乙班在進(jìn)攻中有時(shí)表現(xiàn)很好有時(shí)表現(xiàn)較差【答案】CD【解析】【分析】由平均數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差的大小關(guān)系逐一判斷各選項(xiàng).【詳解】由失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差可得A錯(cuò)誤；由進(jìn)球個(gè)數(shù)和失球個(gè)數(shù)的平均數(shù)可得B錯(cuò)誤；由失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差可知C正確；由進(jìn)球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差可知D正確.故選：CD10.已知函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.在區(qū)間內(nèi)有2個(gè)極大值點(diǎn)C.D.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，所得圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】BCD【解析】【分析】先用輔助角公式把函數(shù)化成的形式，再結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行判斷.【詳解】因?yàn)?因?yàn)椋允堑囊粭l對(duì)稱軸，故A錯(cuò)誤；由，，，所以可能為：，，，，等等，在內(nèi)只有兩個(gè)極大值點(diǎn)和，故B正確；因?yàn)椋?又在上單調(diào)遞減，所以，所以，故C正確；把的圖象向左平移個(gè)單位，可得，當(dāng)時(shí)，為函數(shù)最小值，是所得函數(shù)的一條對(duì)稱軸，故D正確.故選：BCD11.已知函數(shù)的定義域?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且，恒有，當(dāng)時(shí)（其中），.若，則下列說法正確的是（）A.圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)是奇函數(shù)判斷A項(xiàng)正確；由代入可得，又由推導(dǎo)出圖象關(guān)于直線對(duì)稱，從而判斷B項(xiàng)；利用題設(shè)條件得到，分類討論的取值情況求出的值，從而判斷C項(xiàng)；利用選項(xiàng)C的結(jié)論，求得，否定D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由是奇函數(shù)得，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，由函數(shù)的定義域?yàn)榍谊P(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，所以，因，故解得.由得點(diǎn)在函數(shù)圖象上，又點(diǎn)在函數(shù)圖象上，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱.又由關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，可得關(guān)于對(duì)稱，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，由函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱得，由函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱得，故由可得.①當(dāng)時(shí)，，所以，，因是增函數(shù)，又，故得；②當(dāng)時(shí)，由函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱可知函數(shù)在內(nèi)單減，所以，又，所以，這與題設(shè)矛盾，舍去.所以，又，即，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，由上分析，當(dāng)時(shí)，，顯然，由函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，可知，由關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱得，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題解題思路在于利用函數(shù)奇偶性及相關(guān)條件推斷出函數(shù)具備的軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的特征，再利用對(duì)稱性推斷結(jié)論，得到相關(guān)點(diǎn)的函數(shù)值，確定參數(shù)值，得到函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)對(duì)稱性求出相應(yīng)函數(shù)值.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，則__________.【答案】【解析】【分析】求出集合后可得.【詳解】，故.故答案為：.13.造紙術(shù)是中國四大發(fā)明之一，彰顯了古代人民的智慧.根據(jù)史料記載盛唐時(shí)期折紙藝術(shù)開始流行，19世紀(jì)折紙與數(shù)學(xué)研究相結(jié)合，發(fā)展成為折紙幾何學(xué).在一次數(shù)學(xué)探究課上，學(xué)生們研究了圓錐曲線的包絡(luò)線折法.如圖，在一張矩形紙片上取一點(diǎn)，記矩形一邊所在直線為，將點(diǎn)折疊到上（即），不斷重復(fù)這個(gè)操作，就可以得到由這些折痕包圍形成的拋物線，這些折痕就是拋物線的包絡(luò)線.在拋物線的所有包絡(luò)線中，恰好過點(diǎn)的包絡(luò)線所在的直線方程為__________.【答案】【解析】分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出所求直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合判別式求解即得.【詳解】依題意，拋物線的每條包絡(luò)線與該拋物線相切，顯然過點(diǎn)的包絡(luò)線所在的直線斜率存在，設(shè)方程為，由消去并整理得：，則，解得，所以所求直線方程為.故答案為：14.如圖，在各棱長均相等的正三棱柱中，給定依次排列的6個(gè)相互平行的平面，使得，且每相鄰的兩個(gè)平面間的距離都為1.若，則__________，該正三棱柱的體積為__________.【答案】①.1②.##【解析】【分析】先根據(jù)平行平面的性質(zhì)可得為的中點(diǎn)，同理可確定與棱的交點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，從而可根據(jù)平行的性質(zhì)得到各平面的分布，結(jié)合距離為1可求棱長，故可求體積.【詳解】由題設(shè)，過點(diǎn)作平面與交于點(diǎn)，且到平面的距離相等，故為的中點(diǎn)，故，由正三棱柱的對(duì)稱性，不妨設(shè)與交于點(diǎn)，而平面，故與棱的交點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，因?yàn)椋瑒t與平面的交線與平行，且與棱有交點(diǎn)，故過的平面分布如圖所示.因?yàn)榈木嚯x均為1，故為的三等分點(diǎn)，且.設(shè)該正三棱柱的底面邊長為，則，，則由正三棱柱可得平面，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，因?yàn)槠矫?，平面，故，而，，平面，故平面，故為之間的距離，故，所以，所以體積為.故答案為：1，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：立體幾何中與平面有關(guān)的計(jì)算問題，注意根據(jù)過關(guān)鍵點(diǎn)的平面的位置關(guān)系確定其他平面的位置關(guān)系.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.學(xué)校組織某項(xiàng)勞動(dòng)技能測試，每位學(xué)生最多有3次測試機(jī)會(huì).一旦某次測試通過，便可獲得證書，不再參加以后的測試，否則就繼續(xù)參加測試，直到用完3次機(jī)會(huì).如果每位學(xué)生在3次測試中通過的概率依次為，且每次測試是否通過相互獨(dú)立.現(xiàn)某小組有3位學(xué)生參加測試，回答下列問題：（1）求該小組學(xué)生甲參加考試次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）規(guī)定：在2次以內(nèi)測試通過（包含2次）獲得優(yōu)秀證書，超過2次測試通過獲得合格證書，記該小組3位學(xué)生中獲得優(yōu)秀證書的人數(shù)為，求使得取最大值時(shí)的整數(shù).【答案】（1）分布列見解析，（2）3【解析】【分析】（1）確定的可能值，利用獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算概率得分布列，再由期望公式計(jì)算出期望；（2）確定所有可能取的值為，得出，利用二項(xiàng)公布的概率公式計(jì)算出各概率后可得，也可以解不等式得出結(jié)論．【小問1詳解】由題意知，所有可能取的值為，，的分布列如下：1230.50.30.2；【小問2詳解】由題意知，每位學(xué)生獲得優(yōu)秀證書的概率，方法一：所有可能取的值為，且，，，，，，所以使得取得最大值時(shí)，整數(shù)的值為3．方法二：由得，所以，所以，所以使得取得最大值時(shí)，整數(shù)的值為3．16.記為數(shù)列的前項(xiàng)的和，已知.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）令，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系判定數(shù)列是等差數(shù)列，進(jìn)而求得其通項(xiàng)公式；（2）先利用（1）的結(jié)論，求得數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求得其前n項(xiàng)和.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，則有：化簡得又是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為【小問2詳解】由（1）知：當(dāng)時(shí)，又是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列17.如圖，在三棱錐中，底面是邊長為6的正三角形，，，點(diǎn)分別在棱上，，且三棱錐的體積為.（1）求的值；（2）若點(diǎn)滿足，求直線與平面所成角的余弦值.【答案】（1）4（2）【解析】【分析】（1）作出輔助線，由線線垂直得到線面垂直，得到為三棱錐的高，由余弦定理得到角，進(jìn)而得到邊長，根據(jù)三棱錐體積得到三角形面積，結(jié)合三角形面積公式求出，由余弦定理求出；（2）證明出面面平行，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用線面角的正弦公式求出線面角的正弦值，進(jìn)而得到余弦值.【小問1詳解】如圖所示，取中點(diǎn)，連接，是邊長為6的正三角形，為中點(diǎn)，，且，又，，又，平面，∴平面，過點(diǎn)作，點(diǎn)為垂足，平面，，又，，平面，∴為三棱錐的高，，在中，，，，，又，，①，又在中，，由余弦定理得，②，由①②得；【小問2詳解】過作，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，且，取的方向向量.由（1）知，，，又平面平面，平面，又，，同理可證平面，又，∴平面平面，所以直線與平面所成的角等于直線與平面所成的角，且記為，設(shè)平面的法向量，則，解得，令，則，故，，，所以直線與平面所成角余弦值.18.已知雙曲線的右焦點(diǎn)，離心率為，過F的直線交于點(diǎn)兩點(diǎn)，過與垂直的直線交于兩點(diǎn).（1）當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，求由四點(diǎn)圍成的四邊形的面積；（2）直線分別交于點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，證明：為的中點(diǎn).【答案】（1）6（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再求得的長，進(jìn)而求得由四點(diǎn)圍成的四邊形的面積；（2）利用設(shè)而不求的方法結(jié)合同一法即可證得為的中點(diǎn).【小問1詳解】由題意知，所以的方程為直線的傾斜角為，過點(diǎn)直線的方程為設(shè)，聯(lián)立，得與互相垂直的傾斜角為由對(duì)稱性可知【小問2詳解】方法一：由題意可知的斜率存在且不為0，設(shè)的方程分別為由互相垂直可得①聯(lián)立得②聯(lián)立，整理得是的中點(diǎn)③由②③得，即④同理聯(lián)立得⑤由①④⑤得⑥聯(lián)立，得取中點(diǎn)，所以⑦由⑥⑦得與重合，即是中點(diǎn).方法二：由題意可知的斜率存在且不為0，設(shè)的方程分別為由互相垂直可得設(shè)的坐標(biāo)分別為聯(lián)立，得，又是的中點(diǎn)整理可得的中點(diǎn)又直線恒過定點(diǎn)，，同理三點(diǎn)共線所以的中點(diǎn)在上，又上的點(diǎn)在上所以與重合，即是中點(diǎn)方法三：由題意可知的斜率存在且不為0，設(shè)的方程分別為由互相垂直可得①聯(lián)立得，所以②設(shè)的坐標(biāo)分別為，代入得兩式相減得，變形為，即③由②③得，即④同理聯(lián)立得，所以⑤由①④⑤得，所以⑥取中點(diǎn)，同理可證⑦由⑥⑦得.結(jié)合均在直線上，所以與重合，即是中點(diǎn).19.已知集合是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體：存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意的，有.（1）試問函數(shù)是否屬于集合？并說明理由；（2）若函數(shù)，求正數(shù)的取值集合；（3）若函數(shù)，證明：.【答案】（1）函數(shù)不屬于集合，理由見解析（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)條件得到方程組，無解，故不屬于集合；（2）根據(jù)條件得到方