2024-2025學(xué)年山東省臨沂市部分縣區(qū)高二上學(xué)期學(xué)科素養(yǎng)水平

監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題）

1.直線x+回T=°的傾斜角為（）

A.30。B.60。C.120°D.150。

橢圓的離心率為（

2.16,+25^=400)

_L334

A.2B.5C.4D.5

1為平面a的法向量，若/,a

3.已知/=（一4，1，3）是直線/的方向向量,

則歹=（）

_2525

A.4B.4C.4D.4

4.若圓°1"2+/_1=0與圓C2：x2+「一6歹+機(jī)=0有

3條公切線，則加=（）

A.5B.4C.3D.2

/(一

5.空間三點(diǎn)1,0,3),8(1,1,0),C(-2,3,1),則以肛NC為鄰邊的平行四邊形的面

積為（）

77G

D.76

A.2B.FC.7

6.若圓C：/+/=l,點(diǎn)尸在直線/:2x+y-5=0上，過點(diǎn)尸作圓C的切線，切點(diǎn)為A,

則切線長幟?的最小值為（）

A.1B.2C.V5D.4

7.若4-2，-1）,HU）兩點(diǎn)到直線/："一丁+1=°的距離相等，則Q=()

2_22_2

A.3B.3C.2或§D.2或§

22

「xy

-=1

8.設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，K,八為橢圓.2516的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在0上,

3

34%=二，則3=（）

V3015V35

A.亞B.2C.TD.F

二、多選題（本大題共3小題）

9.若直線過點(diǎn)/（T，2）,且在兩坐標(biāo)軸上截距相等，則直線/方程可能為（）

Ax-y+3=0Bx+y-l=O

C+y=0D2x—y+4=0

10.在平面直角坐標(biāo)系x°?中，已知/（一2,0）,8（2,0）,點(diǎn)尸滿足I尸切（左＞0且左"）,

設(shè)點(diǎn)尸的軌跡為C,則（）

A.當(dāng)人=及時(shí)，。的方程是f+產(chǎn)T2X+4=0

4&

B.當(dāng)左=Q時(shí)，以為直徑的圓與C的公共弦長為亍

C.當(dāng)°＜左＜1時(shí)，圓°的圓心在線段"的延長線上

D.以為直徑的圓始終與°相交

11.如圖是數(shù)學(xué)家GerminalDandelin用來證明一個(gè)平面截圓錐側(cè)面得到的截口曲線是

橢圓的模型（稱為“Dandelin雙球”）.在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的小球，使得它們分別

與圓錐的側(cè)面、截切，截面分別與球3,球&切于點(diǎn)E,F（E,尸是截口橢圓C的

焦點(diǎn)）.設(shè)圖中球°、球。2的半徑分別為3和1,球心距"02|=4收，則（）

A.橢圓o的中心在直線0°2上

B」M|=4

71

c.直線002與橢圓c所在平面所成的角為i

2V7

D.橢圓0的離心率為7

三、填空題（本大題共3小題）

12.若點(diǎn)8是點(diǎn)4-3,2,-1）在坐標(biāo)平面xOz內(nèi)的射影，則1。團(tuán)=

13.若圓一+/=4上恰有4個(gè)點(diǎn)到直線x-y+〃，=°的距離等于1,則加的取值范圍是

14.《九章算術(shù)》中記錄的“羨除”是算學(xué)和建筑學(xué)術(shù)語，指的是一段類似地下車庫入

口形狀的幾何體.如圖，羨除跖中，四邊形/BCD,/BE尸均為等腰梯形，AB,

CD,昉互相平行，平面工平面尸，梯形NBCD,4?斯的高分別為2,4,

且/B=3,CD=5,EF=1,則與平面4瓦卡所成角的正切值為,異面直

線4D與BE所成角的余弦值為

四、解答題(本大題共5小題)

15.如圖，在空間四邊形0/3C中，D,E分別為8C,04的中點(diǎn)，點(diǎn)G為V/3C的

重心，設(shè)。/="，0B=b,0C=c

(1)試用向量。，加，c,表示向量。G；

(2)若。"=。。=2,OB=1?Z.AOC=Z.BOC=Z.AOB=60°f求BE.力。的值

16.己知圓°的圓心在直線X-〉-2=°上，并且經(jīng)過圓/+V-8x=°與圓/+產(chǎn)=4的

交點(diǎn).

(1)求C的方程；

⑵直線/：(%+1)工+(1一加?一3-2加=0與C交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)弦N3最短時(shí)，求加的值,

并求出此時(shí)0關(guān)于/對(duì)稱的圓0的方程.

17.如圖，在直三棱柱NBC—48G中，4B=AC=44=2,ZBAC=90°,M,N分別

為棱4B,的中點(diǎn)，P是8a與8c的交點(diǎn).

G4

（1）求點(diǎn)p到平面4cM的距離；

4。

（2）在線段4N上是否存在一點(diǎn)0,使PQ〃平面4c若存在，求出4N的值，若不

存在，請(qǐng)說明理由.

18.在圓。：/+/=1上任取一點(diǎn)尸，過尸作V軸的垂線段尸。，垂足為。，點(diǎn)。在線

［DQ\=2

段。尸的延長線上，且1。尸1,當(dāng)P在圓。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)°形成的軌跡為E.（當(dāng)

P經(jīng)過圓。與V軸的交點(diǎn)時(shí)，規(guī)定點(diǎn)P與點(diǎn)。重合.）

（1）求E的方程；

（2）設(shè)E的上頂點(diǎn)為A,過點(diǎn)〃（2，1）作斜率為左的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B,

C,直線/臺(tái)，NC分別與x軸交于點(diǎn)"，N,證明：線段九W的中點(diǎn)為定點(diǎn).

19.已知曲線7：尸（'/）=°,對(duì)坐標(biāo)平面上任意一點(diǎn)尸（X/）,定義尸［曰=尸（x，N）,若兩

點(diǎn)p,Q,滿足尺尸］稱點(diǎn)P,0在曲線7的同側(cè)；尸［尸＞尸［。］＜0,稱點(diǎn)P,

°在曲線T的兩側(cè).

⑴若曲線八/5，了）=/+必-X、-4=0,判斷41,1）,僅_1,1）兩點(diǎn)在曲線？的同側(cè)還是

兩側(cè)；

⑵已知曲線7：尸（x/）=/+/_2|x|-1=0,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，求點(diǎn)集s=

｛尸1尸［尸］?尸［。］＞0｝所構(gòu)成圖形的面積;

（3）記到點(diǎn)（L°）與到'軸的距離之和為4的點(diǎn)的軌跡為曲線c,曲線

22

T-.F（x,y）=x+y-x_a=0＞若曲線C上總存在兩點(diǎn)M,N在曲線T兩側(cè)，求曲線

C的方程和實(shí)數(shù)。的取值范圍.

答案

1.【正確答案】D

k=_叵

【詳解】由題意得，直線的斜率-3,故直線的傾斜角為150。.

故選：D.

2.【正確答案】B

22—+^=1

【詳解】由16天2+25廿=400得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為2516,

.?.〃=5,6=4,c=y/25—16=3,

e——c——3

離心率a5.

故選：B.

3.【正確答案】A

【詳解】因?yàn)椤產(chǎn),所以力與方平行.

3

對(duì)于兩個(gè)平行向量?二（一4，1，3）和4,根據(jù)向量平行的性質(zhì)，

-4_1_3

1y_3

它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例，即4.

-411

—=—y=—

由1了，交叉相乘可得TP=1,解得4.

故選：A.

4.【正確答案】A

【詳解】圓02：/+/-6了+機(jī)=0,其圓心坐標(biāo)為G（°，3）,半徑-2二乒百.

圓弓：八/=1,其圓心坐標(biāo)為G（°，°）,半徑4=1.

因?yàn)閮蓤A有3條公切線，所以兩圓外切，此時(shí)圓心距"=4+2

根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，圓心G（0,0）與。2（0,3）的距離■=J（0-0）2+（3-0）2=3.

又因?yàn)閐=/+2,即3=l+j9-m.

移項(xiàng)可得J9-加=3-1=2

兩邊平方可得9-心=4,解得機(jī)=9-4=5.

故選：A.

5.【正確答案】D

【詳解】因?yàn)?8(1,1,0),C(-2,3,l),

所以在=(2/，-3),就=(-1,3,-2),

所以ZS-^C=2x(-l)+lx3+(-3)x(-2)=7

|AS|=V4+i+9=V14|l4c|=Vl+9+4=V14

cosABAC=得爸=」L=-

所以ld-kl吊足2

ABAC=-

因?yàn)?<N8/C<TT,所以3,

所以，以/C為鄰邊的平行四邊形的面積為

|ls|-|l4c|-sinZ5y4C=Vi4xVi4x^-=7V3

故選：D

6.【正確答案】B

【詳解】對(duì)于圓C：—+V=l,其圓心坐標(biāo)為（。，0）,半徑r=l.

d_\AxQ+By0+C\

根據(jù)點(diǎn)（尤。/。）到直線"x+8y+c=°的距離公式Y(jié)T+B,,

,12x0+0-515r

d=——l='=75

則A/22+12V5

根據(jù)切線長、圓半徑和圓心到點(diǎn)尸距離構(gòu)成直角三角形，設(shè)切線長為1尸小，圓心到點(diǎn)

尸的距離為d,圓半徑r=l.

由勾股定理□*=4f―/,當(dāng)d取最小值后時(shí)，止“最小，

此時(shí)|尸/|=而守彳=后斤=4=2.

故選：B.

7.【正確答案】C

|-2tz+l+l|_|?-1+1|

【詳解】由題意知，E疝/,

2

得|2-24=同，解得。=2或3,

2

即實(shí)數(shù)。的值為2或

故選：C

8.【正確答案】A

.^iZi

【詳解】對(duì)于橢圓C,25+16=，可得a=5,6=4.

可求出。=四二區(qū)=3,所以焦點(diǎn)片（T0）,工（3,0）

222

設(shè)|尸￡|=機(jī)，|相|="，在記Pg中，根據(jù)余弦定理||=m+?-2m?cosZFtPF2

33

已知叱|=2c=6,c°s4PK=y,貝J=/+〃2_2加”

又因?yàn)辄c(diǎn)尸在橢圓上，根據(jù)橢圓的定義冽+〃=2〃=10,

將(加+〃)2=100展開得加2+〃2+2冽〃=100

62=m2+n2-2mnx—

用冽9+〃9+2加〃=100減去5可得:

m2+n2+2mn-(m2+n2-2mnx—)=100-36,2mn+2mnx—=64,

5即5貝U=20.

333

m2+n2-2加〃x—=36m2+n2=36+2mnx—=36+2x20x—=60

代入5中，可得55

OP=—(PR+PFJ|OP|2=-(IPF.\l+\PF,I2+2PF,■PF,}

因?yàn)?、2,所以I4U1

―?——3

PRPF2=mncosZF}PF2=20x—=12

口JOP|2=；(加2+,2+2西?恒)=；(60+2*12)=；(60+24)=彳=21

所以|OP=0f.

故選：A.

9.【正確答案】BC

【詳解】當(dāng)直線/經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，可得直線方程為：N=-2X,即2x+y=0.

當(dāng)直線/不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)/的直線方程為：x+V=a,把點(diǎn)（一1，2）代入可得:

-1+2=。，可得a=l.

綜上可得：直線/的方程為：2x+y=0或x+y-l=0.

故選：BC.

10.【正確答案】ACD

照入2）2+匕.

【詳解】設(shè)P（x/）,因?yàn)椤埃ㄒ?,0）,5（2,0）,則戶'J（x-2）2+V,

整理得點(diǎn)尸的軌跡為C為（產(chǎn)一1戶+（廿一1）產(chǎn)一（4己+4卜+4無2-4=0,

對(duì)于A,B,當(dāng)人=上時(shí)，C的方程是x2+/_12無+4=0,故A正確；

此時(shí)圓心°（“°）,半徑廠=4血，又以/臺(tái)為直徑的圓圓心為（°，°）,半徑為2,圓的方

程為/+丁=4,

2

x=—

所以兩圓方程作差可得公共弦長所在直線方程為:3,

872

故公共弦長,故B不正確;

對(duì)于C,由于方程。為1一1）*+（〃-1?2-（4/+4卜+4入4=0,則此時(shí)圓心坐標(biāo)為

2k2+22（A-2-1）+4.4/八

—?-----=-------5---------=2HG（-009-2）

當(dāng)0〈后＜1時(shí)，k--]k--\k2-\，則圓C的圓心在線段A4的延

長線上，故C正確；

對(duì)于D,由于以N3為直徑的圓方程為一+/=4,圓C的圓心為）,半徑為

K-1I,

當(dāng)°〈后＜1時(shí)，，因?yàn)閳AC的圓心在線段切的延長線上,

II一山上上山一旦一」

又IIk2-\k2-ll-k2,11k2-lk2-l~l-k2

4k24k_4k(k-l)44k4(li)

BCR<0\AC\-R>0

\\-^l-k2~\-k2~l-k2222

則l-kl-kl-k

故點(diǎn)B在圓C內(nèi)，A在圓C外，即此時(shí)以為直徑的圓始終與C相交;

一亞二過口30

222v

當(dāng)上＞1時(shí)，k-ik-]k-\）,C的圓心在線段的延長線上,

2k2+2c4k22k2+2、4

\BC\=———+2=——|4C|2

又k2-lk2-l-F3T-k2-\

則陽--…44k

\AC\~R

k2-\E分＜。

故點(diǎn)8在圓C外，A在圓C內(nèi)，即此時(shí)以N3為直徑的圓始終與C相交;

綜上，以為直徑的圓始終與C相交，故D正確.

故選：ACD.

11.【正確答案】BD

【詳解】依題意，截面橢圓的長軸與圓錐的軸相交，橢圓長軸所在直線與圓錐的軸確定

的平面截此組合體，得圓錐的軸截面及球球°?的截面大圓，如圖,

點(diǎn)42分別為圓a，°2與圓錐軸截面等腰三角形一腰相切的切點(diǎn)，線段MV是橢圓長軸,

可知橢圓C的中心（即線段"N的中點(diǎn)）不在直線002上，故A錯(cuò)誤;

2〃=MNMFFNMFMEMBMAAB

橢圓長軸長\\=\\+\\=\\+\\=\\+\\=\\

過Q作020Ao/于D,連。,顯然四邊形為矩形,

又3卻=1,1。/1=3,。勾=”

2a=\AB\=\O2D\=加0卜似必2=⑸一巾=2療

過°2作02c,。也交。也延長線于c,顯然四邊形°跖02為矩形，

橢圓焦距4即土葉即"=加彳/一故B正確；

sinZCO2Ot==-^==—

所以直線aa與橢圓c所在平面所成的角的正弦值為4/22

故c錯(cuò)誤；

_2c42V7

所以橢圓的離心率2〃257,故D正確;

故選：BD.

12.【正確答案】回

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)8是點(diǎn)4-3,2,-1）在坐標(biāo)平面xOz內(nèi)的射影,

所以3（-3,。,-1）,得。8=（-3,0,-1）,

以|一|=，（-3）2+（—1）2=所

故而

（-后，行）

13.【正確答案】

1=凹

【詳解】圓心(°’°)到直線x-y+w=°的距離為6,

若圓/+V=4上恰有4個(gè)點(diǎn)到直線X-N+機(jī)=°的距離等于1,

\m\

所以1,則J2，解得_&＜機(jī)＜&。

所以〃，的取值范圍是(-V2,V2)_

故答案為.(一五，夜)

1

14.【正確答案】25/0.2

【詳解】

過點(diǎn)A作斯,CD的垂線，垂足分別為M,N,則/N=2,/"=4.

5-37-3

DN=——=1FM=——=2

由四邊形"58,4"尸均為等腰梯形得2,2ME=7-2=5.

???ABHCDIIEF，?-?AB八AN,AB^AM

?.?平面/BCD/平面/BE/，平面4SC7)ri平面=/Nu平面4BCD,

/N工平面43EF.

,/AMu平面ABEF,；.AN14M.

以A為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則"(O'。，。)，項(xiàng)3,0,0),0(-1,0,2),

E(5,4,0),

.AD=(-1,0,2),SE=(5,4,0)-(3,0,0)=(2,4,0)

,*5

由題意得，平面的法向量為3=(°，°/).

.I/-7X"Dx幾22\/5

s】ng=gs(皿"產(chǎn)面=7r丁丁

設(shè)4。與平面/BE尸所成角為。，則lr7

ADxBE-2]_

cos〈AD,B?

RR石'2755

???異面直線與砧所成角的余弦值為5

故2；5.

1一一一

__.=—(4+6+C)

15.【正確答案】(1)OG3

5

⑵4

—751_i_ZAry

OA+AD

【詳解】⑴OG=OA+AG-3

=OA+-x-(AB+AC)=OA+-(AB+AC)

=a+—(b-a+c-a)

1-f-

——((2+Z?+C)

AD=—(AB+AC)=^(b-a+c-a)=^(b+c-2a)

BE=BO+OE=-b+-a

2,

屁.質(zhì)=.卜_口.(3+1_2砂

=-\-a-b+-a-c-a2-b2-b-c+2a-b\

2(22)

=—|—x2xlx—+—x2x2x--4-l-lx2x—|

2(22222)

一_5W.

16.【正確答案】(1)/+/一4%一2二°

(2)次=0,(x-3)2+(歹一=6

【詳解】(1)設(shè)經(jīng)過圓/+/一"二°與圓1+/=4的交點(diǎn)的圓的方程為:

X2+>2—8x+292_|_y2_4)=0(4w—1)

即為.(”4Y「2飛4%+4丁4+16，

二,。］

圓心為(1+彳九代入尤—一2=0得，幾=1,

所以C的方程為X2+/-4X-2=0.

(2)由(加+1)%+(1-加)〉-3-2m=0得，m(x-y-2)+x+y-3=0

所以直線/經(jīng)過X-P-2=0與x+y-3=0的交點(diǎn)，

（i-2=0<5

由［x+y-3=0,得交點(diǎn)（2'2j,

所以當(dāng)尸時(shí)48最短，

_k=T=W

因?yàn)榧觕=l,所以"m-\,解得俏=。,

即直線’的方程為》+了-3=°

由（1）得。（2,0）,半徑r=屈,

設(shè)圓心c關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)c'G。，%）,

^O±^A_

2+23=O

占一%=3

"。一,解得

則2乂=1

所以C關(guān)于/對(duì)稱的圓0的方程為（x-3）2+（y-l）2=6

4Q=2

⑵存在，A'N§

［詳解］(1)在直三棱柱/2C-48c中，AB^AC=AA［=2tZBAC90°,

以A為原點(diǎn)，直線NC,AB,44分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(0,0,0),5(0,2,0)；C(2,0,0),40,0,2),5,(0,2,2)；尸(1,1,1),M(0,l,0),

CP=(-1,1,1)；CM=(-2,l,0)；C4=(-2,0,2)；

"---??

mCM=一2%+必=0

□—.

設(shè)平面4cM的法向量為巾=31)1*6則［"C4=-2X|+2Z|=0,取玉=1,得

w=(1,2,1),

d\m-CP\_|-1+2+1|__V6

所以點(diǎn)尸到平面4cM的距離卬V63.

(2)由(1)知，N(l,l,2),設(shè)而=2/=2(1,1,0),則Q(442),P0=(A-1,A-1,1)

平面&CN的一個(gè)法向量為加=(1,2,1),

----2=—

由”「。=/1-1+2*2+1=0,得3,而P0<Z平面4c”,

4。=2

所以存在點(diǎn)0,當(dāng)4'］時(shí)，尸0//平面4CW.

—y=1

18.【正確答案】（1）4-

（2）證明見解析

【詳解】（1）設(shè)。a，〉），PR。，》。），則。（°/。）,

所以X=2x°,y=y。，

因?yàn)辄c(diǎn)尸在圓,+v=l上,

j+「=l

所以

—1-y—1

即E的方程為4'；

⑵設(shè)過點(diǎn)"(21)的直線為>T=MX-2),8(再,必),C&,%),

y-i=k(x-2)

2

'X2_,

由彳+>一得。+4左2)X2+［左一16左2P+16左2-16左=0

所以A=(16/-8打一4(1+