2024-2025學(xué)年四川省成都市高二上學(xué)期12月期末考試數(shù)學(xué)

檢測試題

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必在答題卡上將自己的姓名、座位號、準考證號用0.5毫米的黑色簽字筆

填寫清楚，考生考試條形碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“貼條形碼區(qū)”.

2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對應(yīng)題目標號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈

后再填涂其它答案：非選擇題用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡的對應(yīng)區(qū)域內(nèi)作答，超出答

題區(qū)域答題的答案無效；在草稿紙上、試卷上答題無效.

3.考試結(jié)束后由監(jiān)考老師將答題卡收回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.在空間直角坐標系中，點/（-2,1,5）關(guān)于x軸的對稱點的坐標為（）

A.（2,1,5）B.（2,-1,-5）

C.（-2,-1,-5）D.（-2,-1,5）

2.若直線/的方向向量為且過點（0,2）,則直線/的方程為（）

A.y/Sx+—2=0B.x+A/3v—2-\/3=0

C.-\/3x—JV+2=0D.x—A/3v+2\/3=0

3.成都市某高中為鼓勵全校師生增強身體素質(zhì)，推行了陽光校園跑的措施，隨機調(diào)查了10

名同學(xué)在某天校園跑的時長（單位：分鐘），得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：

20,25,32,38,40,43,56,62,67,74,則這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是（）

A.56B.59C.62D.64.5

4.設(shè)大（一5,0）,乙（5,0）為定點，動點尸（x,y）滿足尸片卜|尸6=6,則動點尸的軌跡方程

為（）

5.不透明的口袋里有4個白球，2個紅球，這6個球除了顏色外完全相同，從中不放回地抽

取2個球，則抽出的2個球均為白球的概率為（）

4721

A.—B.—C.-D.—

915518

6.已知圓。：/+了2=16,直線=+若圓。上至少有3個點到直線/的距離

為1,則6的取值范圍為（）

A.-6<b<6B.-2<b<2C.6<-6或6〉6D.

b<-2或b>2

7.如圖，在平行六面體/BCD—中，

7T7T

AB=AD=1,AA,=2,AAXAD=AAXAB=/ZBAD=~,則異面直線/G與AS1所成

角的余弦值為（）

2出

C.D.

3V10

10

8.設(shè)45為雙曲線\_=1上的兩點，線段4g的中點為河（2,2）,則［48|=（）

A.也B.26C.V10D.

2回

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求；全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.在空間直角坐標系。孫z中，0（0,0,0）,^（1,0,0）,5（2,1,-2）,C（4,3,2）,則（）

—?—■4x/3

A.AB-BC=4B.點Z到直線8c的距離為

3

C.|Zs|=V6D.直線CM與平面08c所成角的正弦值為

31

10.己知事件/,事件5發(fā)生的概率分別為尸（幺）=父尸（8）=3,則下列說法正確的是（

）

14

A.若事件N與事件5互斥，則尸（ZU8）=yj

B.若事件Z與事件5相互獨立，則尸（ZU8）=j1

7

C.若事件5發(fā)生時事件幺一定發(fā)生，則尸（48）=百

D.若尸（幺豆）=g,則事件Z與事件5相互獨立

2222

H.已知橢圓G：2+2=1（%〉4〉o）與雙曲線。2：三一==1（出〉0，&〉o）的左、

a[b]a2b?

TT

右焦點相同，分別為片,鳥，橢圓G與雙曲線。2在第一象限內(nèi)交于點尸，且/片尸K=§，

橢圓G與雙曲線G的離心率分別為勺，6,則下列說法正確的是（）

A.b2=AB.當％=V3時，—

C.eg的最小值為''D.---1-------的最大值為小

一2%63

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.設(shè)一組數(shù)據(jù)匹/2,…，4的平均數(shù)為“，則8再+2,8%+2,…,8%+2的平均數(shù)為

13.過/（0,0）,3（6,8）,C（3,—1）三點的圓的標準方程為.

22

14.已知橢圓C:=+與=1（。〉6〉0）的上頂點為民片,用分別為橢圓的左、右焦點，過

ab

點與作線段8弓的垂線/,垂線/與橢圓C交于M,N兩點，若橢圓C的離心率為;，且

\MN\=12,則的周長為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）“世界圖書與版權(quán)日”又稱“世界讀書日”，2024年4月23日是第29個“世界讀書

日”.自“世界讀書日”確定以來，某高校每年都會舉辦讀書知識競賽活動來鼓勵該校學(xué)生閱讀,

現(xiàn)從參加競賽的學(xué)生中抽取100人，將他們的競賽成績分成六組：第1組［40,50）,第2組

［50,60）,第3組［60,70）,第4組［70,80）,第5組［80,90）,第6組［90,100］,得到如圖

所示的頻率分布直方圖.

（1）求這100名學(xué)生成績的眾數(shù)和平均數(shù)（取各組區(qū)間中間值計算）；

（2）已知成績落在［60,70）的學(xué)生平均成績?yōu)?2,方差為9,落在［70,80）的學(xué)生平均成績

為77,方差為4,求這兩組成績的總體平均數(shù)石和總體方差$2.

16.（15分）已知圓C:（x-4）2+（y+3）2=4,尸是直線/:x—y+l=0上的一動點，過點

尸作圓C的切線，切點分別為45.

（1）當點尸的橫坐標為2時，求切線的方程；

（2）當點尸在直線/上運動時，求四邊形PNC5面積的最小值.

17.（15分）

甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃一次，規(guī)則如下：若命中，則此人繼續(xù)投籃一次，若

3

未命中，則換對方投籃一次.已知甲每次投籃的命中率均為一，乙每次投籃的命中率均為

5

7

一,甲、乙每次投籃的結(jié)果相互獨立，第一次投籃者為甲.

10

（1）求第3次投籃者為乙的概率；

（2）求前4次投籃中甲投籃次數(shù)不少于3次的概率.

18.（17分）

在平行四邊形N5CD中（如圖1）,28=28。=2,河為幺8的中點，將等邊沿

。河折起，連接且/C=2（如圖2）.

(1)求證：CM，平面4aw；

(2)求直線幺。與平面4gM所成角的正弦值;

點尸在線段NC上，若點P到平面4sM的距離為"5,求平面尸￡)四與平面

(3)

15

3C。河所成角的余弦值.

19.(17分)

149

一動圓C與圓C］：(X+l)2+r=7外切，與圓。2：(、—1)2+；?=彳內(nèi)切.

(1)設(shè)動圓圓心C的軌跡為：T,求曲線「的方程；

(2)①若點2(—2,0),5(2,0),尸是直線X=4上的動點，直線尸4P8與曲線「分別交于

A/,N兩點,證明：直線跖V過定點；

②設(shè)AAMN和ABMN的面積分別為S］和S2,求岳-S2的最大值.

數(shù)學(xué)答案及評分標準

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

12345678

CABBCADB

1.解：點/(-2,1,5)關(guān)于x軸的對稱點的坐標為(—2,—1,—5),故選C.

2.解：?.?直線/的方向向量為)=直線I的斜率k=-V3,:.l:y-2=一百x,

整理得：V3x+j-2=0,故選A.

3.解：數(shù)據(jù)個數(shù)共有10個，且為從小到大排列，?.T0x70%=7,.?.這組數(shù)據(jù)的第70百分

位數(shù)為第7個數(shù)據(jù)56和第8個數(shù)據(jù)62的平均數(shù)59,故選B.

4.解：

222

?.?歸耳日尸閶［=6=2a,:.a=3,v耳(-5,0),F2(5,0),/.2c=10,:.c=5,.\b=c-a=16

，，雙曲線的方程為工-匕=1,故選B.

916

5.解：從4個白球，2個紅球中不放回抽取2個球，共有15種情況，其中抽出2球均為白

/T0

球有6種情況，.?.0=一=—,故選C.

155

6.解：根據(jù)題意知，圓心到直線的距離(/=耳＜3,；.—6W6W6,故選A.

7.解:設(shè)

AB=a.AD=AC、=a+b+c,BBx=c,.\4G臺用=@+B+/)?云二6,又

|福卜yl(a+b+c)2=VlO,.-.cosd=1cos(布，函，=,故選D.

22

8.解：設(shè)=1，兩式相減，得

(項+》2)(項一》2)一；(％+%)(%—%)=°，-■-"_"-":"=2,：.kAB-k0M=2,?.?kOM=1

，1^2I^^2

2,.?.直線48的方程為：2x—y—2=0,代入雙曲線q_=1中，得

%1=1,%2=3,

.-.\AB\=V1+F1^1-x2|=275,故選B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求；全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

91011

BCABDACD

9.解：A選項：?.?加=(1,1,—2),/=(2,2,4),..AB-BC=-4,故A錯誤；

B選項：取

.一BC(巫戈戈)

a=AB=(l,l,-2),vBC=(2,2,4),.?.阿=276“■”網(wǎng)71；—6—,3J

2

.??點A到直線BC的距離d=J片—(5?w)=—,故B正確；

C選項：=2),r.Z8=J6,故C正確；

D選項：易求平面O8C的法向量

n=12,—3,g：.\sind=kosk=—24-^53

匕=空白,故D錯誤；故選BC.

[c153

4+9+-

14

10.解：A選項：?.?事件Z與事件8互斥,二.0(ZU8)=尸(Z)+尸(8)=一,故A正確;

B選項：?.?事件幺與事件8相互獨立，.?.尸（ZB）=P（Z）?尸（B）=g,

.?.尸（ZU8）=尸（Z）+P（8）—尸（Z8）=故B正確；

C選項：?.?若事件8發(fā)生時事件幺一定發(fā)生，.?.Bq4.?.尸（48）=0（8）=g,故C錯誤;

D選項：?.?尸（Z）=g,00）=g,P（4萬）=尸（Z）?尸0）.??事件Z與事件與相互獨立，

事件Z與事件5相互獨立，故D正確；故選ABD.

72

11.解：A選項：,二△公0g為焦點二角形，.=A；tan—=--—.b、=—[,故

6tan--3

6

A正確；

B選項：根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，可得

|P7^|+|P7^|=2a1,|P7*]|-|P7s|=2a2,:.|P7^|=ax+a2,

\PF2\-ax-a1,在△公尸6中，由余弦定理，可得:

|^|2=|^|2+|^|2-2|^||^|COS|,

4c2=（%+2）+（q-。2）-2（%+?-。2）x］，整理得4c2=Q；+

1o反

「.4=—yd,當％=時，e\~---，故B錯誤;

e\e23

c選項：4=4+42A,故c正確;

，e2Vqe2罕22

D選項：?.?4=4+2,故取工=2cos&蟲■uZsine,

e\e2e\e2

11c2A/3.八4V3./八、/4-\/3,,區(qū)1,、4

—I---=2cos0ziH------sin。=---sin（8+0）V----,故D正確；故選ACD.

,433、）3

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

2,…，％8

12.90解：,一項,％的平均數(shù)x=11,，8%1+2,8X2+2,…,84+2的平均數(shù)

x=8x11+2=90.

13.(X-3)2+(J-4)2=25解：設(shè)圓的方程為+4+/=0,代入三點

>=0,

Z(0,0),5(6,8),C(3,-1),有<100+6。+8E+尸=0,/.D=—6,E=—8,F=0,.,.圓的標

10+3D-E+F=0

準方程為(x-3)2+(j-4)2=25.

14.26解：，.,離心率6=g,.\a=2c,6=大乙為等邊三角形，設(shè)

22

/(X1,%),N(X2/2)，直線MV的方程為》=百>一0，代入±+g=l中，得

2

13/-6A/3CJ-9c=0,/,y,+y2=,yty2

■■\MN\=Vl+3X[乃+%)2—4%當=券=12，，c=T,

周長C=+|w|+\MN\=|A7^|+\MF21+|"M=4a=8c=26.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

解：(1)眾數(shù)：75,

第1至第6組的頻率分別為0.1,0.15,0.2,0.3,0.15,0.1,

...平均數(shù)：

x=45x0.1+55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.15+95x0.1=70.5；

(2)根據(jù)題意可知，成績落在[60,70)的學(xué)生人數(shù)為20人，成績落在[70,80)的學(xué)生人數(shù)

為30人,

―2Q3()

總體平均數(shù)：(y=—x62+—x77=71,

5050

總體方差：?=|^[9+(62-71)2]+|^[4+(77-71)2]=|X90+|X40=60.

16.(15分)

解：(1)?.?點尸在直線/:%一歹+1=0上，且點尸的橫坐標為2,.?.點尸的坐標為(2,3),

①當切線的斜率不存在時，滿足題意，此時，切線的方程為x=2；

②當切線的斜率存在時，設(shè)斜率為后，此時切線方程為y-3=左(》-2),

即：kx-y+3-2k=0,設(shè)圓心到切線的距離為d,根據(jù)題意可得:

.14左+3+3-2左|伊+6|_2,

A/F+I7F+I，

4

k9+6k+9=k7+1.k——，

3

4

此時，切線方程為y—3=——2),

化簡，得4x+3y—17=0,

.??切線方程為x=2或4x+3y—17=0；

（2）?:PA=PB,PC為公共邊，；.△承把PBC,

SPACB=2s△.=2xgx|為|x\AC\=2\PA\,

又|尸a=7lPC|2-4,.-.當|PC|最小時，|「/|最小，

由題意可知，當PC，/時，|PC|最小，

??|4—1xf—3）+11I—

此時，1PC1」/「）1=4虛,

2

：.\PA\=^\PC|-4>2V7,.'.SPACB=2|尸聞>4J7,

.?.四邊形尸NC5面積的最小值為4J7.

17.（15分）

解：（1）設(shè)事件4="甲第，?次投籃投進"，事件g="乙第，次投籃投進"，事件c="第三

次投籃者為乙"，

根據(jù)題意可知，c=（4Z）uG>2）44與452互斥，

/.p（c）=p（j<44）U（4^））=^（44）+^（4^）=|><|+|x-^=i|;

JJJ\J乙J

（2）設(shè)事件。="前4次投籃中甲投籃次數(shù)不少于3次"，根據(jù)題意可知：

D=（444）U（444）U（44瓦）U

事件444,444,44瓦，4瓦4互斥，且每次投籃的結(jié)果相互獨立，

.?.尸（。）=尸《44H）U（444）U（4百瓦）U@瓦4））

=0(444)+尸(44%)+尸(4%瓦)+尸@瓦4)

=尸(4)尸(a)尸(4)+尸(4)p(a)p@)+尸(4)P0p區(qū))+尸@尸區(qū))尸(4)

333332323233

=-X—X—-F—X—X——I--X—X------1——X—X—

55555555105105

63

-125-

18.(17分)

解：(1)證明：連接CA/,在△C8/中，???BC=JW=1,NCW=}-,

『+12—2>1>10=5

在△CAffi)中，VDM2+CM-=CD2,:.DM1CM,

CMLDM,

CMVAM,

同理可得：CMLAM,?：

AMnDM=M,

平面4D河

(2)設(shè)X為ZW的中點，.

?/CM1平面ADM,CMu平面BCDM,

平面ADM1平面BCDM,

又?.?平面ADM口平面BCDM=DM,AHu平面ADM,

平面BCDM,.?.以點〃為坐標原點，必)為x軸，MC為y軸，過點M且平行于

的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

M(0,0,0),Z)(l,O,O),C^),AO)5

AD=

設(shè)平面4gM的法向量為玩=（巧,必/1）,

75、

???AB=-1,,AM-f%

22J7

__TB_V3A/3_

=一匹+—^~~^zi=°，

八

m-AAMA/T=—1x------z.=0

2]121

取Xi=A/3,.,.m^/3,1,-1^,

設(shè)直線AD與平面ABM所成角為。，

AD-m

sin。=cosI,AD,m

~AD\\m1x75~5

（其他解法酌情給分）

(3)設(shè)ZP=/L4C,

\-AC=,AP=--,V32

I2

設(shè)點P到平面ABM的距離為d，

%P,同」后|_2V15

/.d=

同15

P是線段AC上靠近點C的三等分點，易求平面BCDM的法向量為4=（0,0,1）,

設(shè)平面PDA/的法向量為五2=（x2,^2,z2）,

______

k52A/3A/3)——_八八

\-DP=DA+AP=DA+-AC=一■7,—;—,MD=(1,0,0),

3I636J

n2-DP=--x?+2c_y,+^(l-z=o

2623262

n2-MD=x7=0

取％=1,/.n2=(0,1,-4),

設(shè)平面與平面所成的角為a,

I/__\||4,心|44V17

COStt=COS)=7—i-j―7=—j==------.

1'"同?同V1717

19.(17分)解：(1)設(shè)動圓的半徑為F,動圓C與圓q：(x+l)2+V=；外切,

.?』y=「+；，

oo49??7

又?.?動圓。與圓G：(x—1)+y=j內(nèi)切，且圓在圓。2內(nèi)部，，口02|=；-

.?.因|+陷|=4,

又「G(TO),G(1,0)，

2a=4,2c=2,a=2,c=1,6