第一章集合與常用邏輯用語章節(jié)驗收測評卷（考試時間：150分鐘試卷滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（貴州省銅仁市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出集合，再根據(jù)交集含義即可得到答案.【詳解】由題意得，則.故選：C.2．（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）下列集合關(guān)系表述正確的是（

）（其中：自然數(shù)集，整數(shù)集）A． B．C． D．【答案】A【分析】由各數(shù)集的含義可得【詳解】為自然數(shù)集，為整數(shù)集，因為整數(shù)集包含自然數(shù)集與負整數(shù)集，所以；為整數(shù)集，為有理數(shù)集，因為有理數(shù)集包含整數(shù)集和小數(shù)集，所以為有理數(shù)集，為實數(shù)集，因為實數(shù)集包含有理數(shù)集與無理數(shù)集，所以為實數(shù)集，復(fù)數(shù)集，因為復(fù)數(shù)集包含實數(shù)集和虛數(shù)集，所以，綜上，所以，故選：A.3．（23-24高二下·黑龍江·期末）命題“，”的否定為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】由否定的定義判斷即可.【詳解】命題“，”的否定為“，”.故選：D4．（23-24高二下·重慶·期末）若命題“，”為假命題，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)命題的否定為真命題，利用判別式即可求解.【詳解】由于“，”為假命題，故其否定為“，”為真命題，則，得，故選：D5．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）命題“對，”為真命題的一個充分不必要條件可以是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出原命題為真命題的充要條件，再根據(jù)題意，找到為其范圍真子集的選項即得.【詳解】由命題“對，”為真命題，可知在上恒成立，當(dāng)時可得，當(dāng)時不等式可化為：，設(shè)，①因在上單調(diào)遞減，故，則，故得；②又因在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則有，故得.綜上，可得，即命題“對，”為真命題等價于，依題意需使選項的范圍是的真子集，故C正確.故選：C.6．（23-24高一上·安徽安慶·階段練習(xí)）對于，用表示不大于的最大整數(shù)，例如：，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)取整函數(shù)的定義，對兩個條件進行正反推理，即可求解.【詳解】當(dāng)時，如，，不能得到，由，則，又，所以一定能得到，所以“”是“”成立的充分不必要條件.故選：.7．（23-24高三下·天津南開·階段練習(xí)）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)絕對值的定義和分式不等式的解法，求得不等式的解集，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由不等式，可得，所以，解得，又由，可得，解得，因為是的真子集，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.8．（19-20高三上·北京海淀·期中）設(shè)集合是集合的子集，對于，定義，給出下列三個結(jié)論：①存在的兩個不同子集，使得任意都滿足且；②任取的兩個不同子集，對任意都有；③任取的兩個不同子集，對任意都有；其中，所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】A【分析】根據(jù)題目中給的新定義，對于或，可逐一對命題進行判斷，舉實例例證明存在性命題是真命題，舉反例可證明全稱命題是假命題．【詳解】∵對于，定義，∴對于①，例如集合是正奇數(shù)集合，是正偶數(shù)集合，，，故①正確；對于②，若，則，則且，或且，或且；；若，則，則且；；∴任取的兩個不同子集，對任意都有；正確，故②正確；對于③，例如：，當(dāng)時，；；；故③錯誤；∴所有正確結(jié)論的序號是：①②；故選：A．【點睛】本題考查了簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知全集，集合，若有4個子集，且，則（

）A． B．集合有3個真子集C． D．【答案】ACD【分析】解一元二次不等式化簡集合，結(jié)合已知得出，由此即可逐一判斷各個選項.【詳解】依題意，，而有4個子集，，故，故集合有7個真子集，B錯誤，，，，ACD均正確.故選：ACD.10．（23-24高一下·湖南郴州·階段練習(xí)）在整數(shù)集中，被6除余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個“類”，記為，即．則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．C．D．整數(shù)屬于同一“類”的充要條件是“”【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，由所給定義，逐項分析判斷即可求解.【詳解】因為余，故A正確；因為，所以，故B錯誤；任意整數(shù)被6除必余其中之一，所以，故C正確；整數(shù)屬于同一“類”，則，所以，故，反之也成立，故D正確；故選：ACD11．（23-24高一上·重慶·階段練習(xí)）若“”為假命題，則的值可能為（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】BC【分析】首先根據(jù)“”為假命題，將問題轉(zhuǎn)化為“”恒成立問題，然后通過對分類討論求解；【詳解】“”為假命題，則“”為真命題，當(dāng)時，，符合題意，當(dāng)時，，解得，故的值可能為，故選：BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（23-24高一上·青海海東·階段練習(xí)）命題“”的否定為．【答案】“”.【分析】由全稱命題的否定為特稱命題即可得出答案.【詳解】命題“”的否定為:“”.故答案為：“”.13．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）已知集合，，若“”是“”的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】解一元二次不等式化簡集合A，再分類求解不等式化簡集合B，并利用集合的包含關(guān)系列式求解即得.【詳解】由“”是“”的必要不充分條件，得，依題意，集合，，當(dāng)，即時，，則，解得；當(dāng)，即時，，則，解得，當(dāng)，即時，，滿足，因此，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：14．（24-25高一上·上?！ふn堂例題）已知集合，在下列集合中：（1）；（2）；（3）；（4）；與相同的集合有．（填序號）【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）中變形得到，故，，一一對應(yīng)，（1）正確，同理判斷（2）和（3）；對于（4），可舉出反例.【詳解】對于（1），由，可得，，一一對應(yīng)，則，故（1）符合；對于（2），由，可得，，一一對應(yīng)，則，故（2）符合；對于（3），由，可得，，一一對應(yīng)，則，故（3）符合；對于（4），，但方程無實數(shù)解，則與不相同，（4）不符合.故答案為：（1）（2）（3）四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題15分，第18,19題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（2024高一·全國·專題練習(xí)）已知全集，集合．(1)若，求集合；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】(1)若時，求出，計算；（2）若，可得,分類討論求出的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，又，所以．（2）因為，所以，又，方程的根為，當(dāng)時，，由，得；當(dāng)時，，符合，則；當(dāng)時，，符合，則；綜上，實數(shù)的取值范圍是．16．（24-25高一上·上?！ふn堂例題）已知集合．(1)若為整數(shù)，試判斷是否為集合中的元素；(2)求證：若，則．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)集合的表示方法，以及元素與集合的關(guān)系，即可求解.（2）若，則，，且，計算的形態(tài)，從而確定它與集合的關(guān)系.【詳解】（1）是．∵，∴，其中，，∴整數(shù)．（2）證明：∵，∴可設(shè)，，且，∴．又，，∴．17．（2024高一·全國·）已知集合，或．(1)當(dāng)時，求實數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)或(2)【分析】（1）分類討論解出不等式后，結(jié)合集合并集的定義即可得解；（2）由題意可得，分及、討論計算即可得.【詳解】（1）由，若無解，即，不滿足，若，因為，所以；若，，因為，所以；綜上知或；（2），即，若滿足；若或，可得或，與矛盾，無解；若，或，可得或，與矛盾.綜上可得：.18．（22-23高一上·江蘇宿遷·期中）已知集合．(1)求，；(2)若集合，且，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由一元二次不等式化簡集合，由函數(shù)值域化簡求出，結(jié)合交并補混合運算即可求解；（2）由，可得，分和解不等式即可求解.【詳解】（1），解得，即，當(dāng)，，故，則，，故；（2）因為，所以，當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，解得，綜上所述，.19．（23-24高二下·廣東梅州·期末）設(shè)集合，且P中至少有兩個元素，若集合Q滿足以下三個條件：①，且Q中至少有兩個元素；②對于任意，當(dāng)，都有；③對于任意，若，則；則稱集合Q為集合P的“耦合集”．(1)若集合，求集合P1的“耦合集”；(2)集合，且，若集合存在“耦合集”．（i）求證：對于任意，有；（ii）求集合的“耦合集”的元素個數(shù)．【答案】(1)或或(2)（i）證明見詳解；（ii）5【分析】（1）根據(jù)題意直接運算求解即可；（2）（i）根據(jù)②可得的可能元素，再結(jié)合③分析證明；（ii）根據(jù)題意分析可知，同理可得，結(jié)合題意分析求解即可.【詳解】（1）由已知條件②得：的可能元素為：6，8，10；檢驗可知均滿足條件③，所以，檢驗可知：或也符