專題08排列組合與二項(xiàng)式定理

考情概覽

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

1.高考對(duì)排列組合的考查，重點(diǎn)是特殊2023?新高考I卷,13

元素與特殊位置、兩元素相鄰或不相2022?新高考II卷，5

排列組合

鄰、分組、分配等問(wèn)題。題型一般與生2023?新高考n卷，3

活實(shí)際聯(lián)系緊密。2024?新高考II卷，14

2.高考對(duì)二項(xiàng)式定理的考查，重點(diǎn)是二

項(xiàng)展開(kāi)基本定理考查特定項(xiàng)、特定項(xiàng)的

二項(xiàng)式定理2022?新高考I卷,13

系數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù)等問(wèn)題，同時(shí)會(huì)涉及

到賦值法的應(yīng)用。

’2024年真題研析

命題分析

2024年高考新高考I卷的排列組合是體現(xiàn)在概率中的，后續(xù)專題會(huì)體現(xiàn)出來(lái)。n卷考查了通過(guò)列舉來(lái)確

定所有可能結(jié)果，其實(shí)I卷的題目也可以采用列舉法，這兩題考查的方向偏向于與實(shí)際生活聯(lián)系在一起；其

中邏輯推理能力比較重要，而且都是壓軸題。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查排列組合的應(yīng)用，題型多變。

試題精講

一、填空題

1.（2024新高考n卷-14）在如圖的4x4方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則

【分析】由題意可知第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個(gè)方格可選；利用列舉法寫(xiě)出所有的可能結(jié)果,

即可求解.

【詳解】由題意知，選4個(gè)方格，每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，

則第一列有4個(gè)方格可選，第二列有3個(gè)方格可選，

第三列有2個(gè)方格可選，第四列有1個(gè)方格可選，

所以共有4x3x2x1=24種選法；

每種選法可標(biāo)記為(a,6,c,d),6cd分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字，

則所有的可能結(jié)果為：

(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42),

(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40),

(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40),

(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40),

所以選中的方格中，(15,21,33,43)的4個(gè)數(shù)之和最大，為15+21+33+43=112.

故答案為：24；112

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是確定第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個(gè)方格可選，利用列

舉法寫(xiě)出所有的可能結(jié)果.

近年真題精選

一、單選題

1.(2022新高考II卷-5)有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和

丁相鄰，則不同排列方式共有()

A.12種B.24種C.36種D.48種

【答案】B

【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計(jì)數(shù)原理即可得解

【詳解】因?yàn)楸∫谝黄?，先把丙丁捆綁，看做一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列，有3!種排列方

式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入，有2種插空方式；

注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：3!x2x2=24種不同的排列方式，

故選:B

2.(2023新高考II卷-3)某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣

調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生,

則不同的抽樣結(jié)果共有().

A.C%C柴種B.種

c.c力C藍(lán)種D.C%C舞種

【答案】D

【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.

【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取60x黑=40人，高中部共抽取60x嬰=20,

600600

根據(jù)組合公式和分步計(jì)數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有c%C鼠種.

故選：D.

二、填空題

3.(2022新高考I卷-13)11-?卜+))8的展開(kāi)式中X?r的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

【答案】-28

【分析】11-￡](彳+4可化為(x+y)、?(x+y)8,結(jié)合二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求解.

【詳解】因?yàn)閇-*](x+y)8=(x+y)8-《(x+y)8,

所以1-(尤+力8的展開(kāi)式中含//的項(xiàng)為c時(shí)了6_ZC^y5=-28x2/,

(1-5J(x+y)8的展開(kāi)式中//的系數(shù)為一28

故答案為：-28

4.(2023新高考I卷?13)某學(xué)校開(kāi)設(shè)了4門(mén)體育類選修課和4門(mén)藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門(mén)課中選修2

門(mén)或3門(mén)課，并且每類選修課至少選修1門(mén)，則不同的選課方案共有種(用數(shù)字作答).

【答案】64

【分析】分類討論選修2門(mén)或3門(mén)課，對(duì)選修3門(mén)，再討論具體選修課的分配，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解.

【詳解】(1)當(dāng)從8門(mén)課中選修2門(mén)，則不同的選課方案共有C：C：=16種；

(2)當(dāng)從8門(mén)課中選修3門(mén)，

①若體育類選修課1門(mén)，則不同的選課方案共有C；C；=24種；

②若體育類選修課2門(mén)，則不同的選課方案共有CjC；=24種；

綜上所述：不同的選課方案共有16+24+24=64種.

故答案為：64.

必備知識(shí)速記

一、排列與排列數(shù)

1、定義：從“個(gè)不同元素中取出加(加4”)個(gè)元素排成一列，叫做從〃個(gè)不同元素中取出小個(gè)元素的一個(gè)排

列.從〃個(gè)不同元素中取出加（mW〃）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從〃個(gè)不同元素中取出根個(gè)元素的排

列數(shù)，用符號(hào)4"表示.

VII

2、排列數(shù)的公式：=w（n-l）（w-2）---（?-m+l）=-——

\n—m）\

特例：當(dāng)〃7=“時(shí)，4"="!="（"一1）（"一2）…321；規(guī)定:0!=1.

3、排列數(shù)的性質(zhì)：

①匐=”?i；@A：=—A-+i=-A；_^③町+心.

n-mn-m

二、組合與組合數(shù)

1、定義：從〃個(gè)不同元素中取出機(jī)（加4"）個(gè)元素并成一組，叫做從〃個(gè)不同元素中取出"，個(gè)元素的一個(gè)組

合.從〃個(gè)不同元素中取出機(jī)（加W"）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從〃個(gè)不同元素中取出加個(gè)元素的組

合數(shù)，用符號(hào)C；表示.

2、組合數(shù)公式及其推導(dǎo)

求從"個(gè)不同元素中取出小個(gè)元素的排列數(shù)4：,可以按以下兩步來(lái)考慮：

第一步，先求出從這“個(gè)不同元素中取出機(jī)個(gè)元素的組合數(shù)

第二步，求每一個(gè)組合中用個(gè)元素的全排列數(shù)/;；

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到A：=C：.A：；

因此C”=夕="（"1）（"2）…（"加+l）.

"4：加！

這里〃，加€乂，且加這個(gè)公式叫做組合數(shù)公式.因?yàn)?"=：%、，所以組合數(shù)公式還可表示為:

YlI

C；=———.特例：C：=C：=1.

注意：組合數(shù)公式的推導(dǎo)方法是一種重要的解題方法！在以后學(xué)習(xí)排列組合的混合問(wèn)題時(shí)，一般都是按先

取后排（先組合后排列）的順序解決問(wèn)題.公式c；="（"T）（"-2）…-加+1）常用于具體數(shù)字計(jì)算,

ml

nI

c：=---常用于含字母算式的化簡(jiǎn)或證明.

3、組合數(shù)的主要性質(zhì)：①￡：=。尸；②C：+C：T=C；\.

4、組合應(yīng)用題的常見(jiàn)題型：

①“含有”或“不含有”某些元素的組合題型

②“至少，，或“最多，，含有幾個(gè)元素的題型

三、排列和組合的區(qū)別

組合：取出的元素地位平等，沒(méi)有不同去向和分工.

排列：取出的元素地位不同，去向、分工或職位不同.

注意：排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置數(shù)目問(wèn)題，它們之間的主要區(qū)別在于

是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問(wèn)題，需要考慮順序的是排列問(wèn)題.排列是在

組合的基礎(chǔ)上對(duì)入選的元素進(jìn)行排隊(duì)，因此，分析解決排列組合綜合問(wèn)題的基本思維是“先組合，后排

列”.

四、二項(xiàng)式展開(kāi)式的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題

1、二項(xiàng)式定理

一般地，對(duì)于任意正整數(shù)"，都有：(a+b)"=C：a"++…+禺廣方+…+C?"wN*),

這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做+刀"的二項(xiàng)展開(kāi)式.

rnrr

式中的做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第廠+1項(xiàng)：7；+1-Cna-b,

其中的系數(shù)C：(r=0,1,2,…，")叫做二項(xiàng)式系數(shù)，

2、二項(xiàng)式(a+6)"的展開(kāi)式的特點(diǎn)：

①項(xiàng)數(shù)：共有〃+1項(xiàng)，比二項(xiàng)式的次數(shù)大1；

②二項(xiàng)式系數(shù)：第廠+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C〉最大二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)居中；

③次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的累指數(shù)字母a降基排列，次數(shù)由〃到0；字母b升幕排列，次

數(shù)從0到〃，每一項(xiàng)中，a,6次數(shù)和均為〃；

④項(xiàng)的系數(shù)：二項(xiàng)式系數(shù)依次是…，&,…，C：：,項(xiàng)的系數(shù)是a與b的系數(shù)(包括二項(xiàng)式系

數(shù)).

3、兩個(gè)常用的二項(xiàng)展開(kāi)式：

①(a-by=C[an-C\a"-Xb+???+㈠丫.W+…+(-1)"-C：b”(“eN*)

②(1+x)"=1+C：x+Ck+…+C；x'+…+x"

4、二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式

nrr

二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)：Tr+1=Qa-b(—0,1,2,3-.,〃)

公式特點(diǎn)：①它表示二項(xiàng)展開(kāi)式的第廠+1項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是C；;

②字母人的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；

③a與b的次數(shù)之和為n.

注意：①二項(xiàng)式(a+6)"的二項(xiàng)展開(kāi)式的第什1項(xiàng)€>"7/和(6+a)”的二項(xiàng)展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)是有

區(qū)別的，應(yīng)用二項(xiàng)式定理時(shí)，其中的。和b是不能隨便交換位置的.

②通項(xiàng)是針對(duì)在(a+6)■這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如(。-6)”的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)是看+1=(-l)‘C,"一方'(只

需把-6看成b代入二項(xiàng)式定理).

五、二項(xiàng)式展開(kāi)式中的最值問(wèn)題

1、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

①每一行兩端都是1,即c°=c：；其余每個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和，即。禽=cr1+c;.

②對(duì)稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即C：=C7".

③二項(xiàng)式系數(shù)和令a=6=1,則二項(xiàng)式系數(shù)的和為C；+C：+C；+…+C；+…+￡；=2”,變形式

c：+c；+…+G+…+G；=2"-1.

④奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和在二項(xiàng)式定理中，令a=l,b=-l,

貝Uc：/+c；Y+…+(-1)"a=(1一1)"=o,

從而得到：c：+盤(pán)+c：…+C:+…=C；+C：+…+C；川+…=(2"=2f

⑤最大值：

如果二項(xiàng)式的幕指數(shù)”是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)7；的二項(xiàng)式系數(shù)C：最大；

—+1

2

n-1n+1

如果二項(xiàng)式的累指數(shù)”是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)T用，T?+1的二項(xiàng)式系數(shù)C7，相等且最大.

-----------+1

22

2、系數(shù)的最大項(xiàng)

求(a+6x)"展開(kāi)式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法.設(shè)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)分別為&4,…，4+廠設(shè)第廠+1

(A>A

項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有川一',從而解出廠來(lái).

14+1"+2

六、二項(xiàng)式展開(kāi)式中系數(shù)和有關(guān)問(wèn)題

常用賦值舉例：

1、設(shè)(a+b)"=C>"+cy-'b+cy-2b2+■?■+C；a"-rbr+■?■+C"b",

二項(xiàng)式定理是一個(gè)恒等式，即對(duì)a,8的一切值都成立，我們可以根據(jù)具體問(wèn)題的需要靈活選取a,6的

值.

①令a=6=1,可得：2"=或+C；+…+C；

②令0=1,6=1,可得：O=C：-e+d-C：…+(-1)"6,即：

c：+c"..+c：=C：+C：+…+C7(假設(shè)〃為偶數(shù))，再結(jié)合①可得：

C：+C；+…+C：=C：+C：+…+C：T=2;

axax2H

2、若/1(x)=a"x"+?-i"'+?-2"--Hct\X+a0,貝！I

①常數(shù)項(xiàng)：令x=0,得g=/(0).

②各項(xiàng)系數(shù)和：令x=l,得/(1)=%+%+%+…++%.

③奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和

⑺當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為％

偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為4+%+%+…="1）『T）.

（可簡(jiǎn)記為：〃為偶數(shù)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和用“中點(diǎn)公式”，奇偶交錯(cuò)搭配）

（而）當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為4+2+%+???=,⑴］（T）；

偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為q+/+%+???=）⑴7f.

（可簡(jiǎn)記為："為奇數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和用“中點(diǎn)公式”，奇偶交錯(cuò)搭配）

12

若f（x）-a0+fljX+a2xH---Fa,ix"T+anx",同理可得.

注意：常見(jiàn)的賦值為令x=0,x=l或x=-l,然后通過(guò)加減運(yùn)算即可得到相應(yīng)的結(jié)果.

【排列組合常用結(jié)論】

一、解決排列組合綜合問(wèn)題的一般過(guò)程

1、認(rèn)真審題，確定要做什么事；

2、確定怎樣做才能完成這件事，即采取分步還是分類或是分步與分類同時(shí)進(jìn)行，弄清楚分多少類及多少步;

3、確定每一步或每一類是排列（有序）問(wèn)題還是組合（無(wú)序）問(wèn)題，元素總數(shù)是多少及取出多少個(gè)元素；

4、解決排列組合綜合性問(wèn)題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略.

二、常見(jiàn)排列組合類型及解法

1、如圖，在圓中，將圓分〃等份得到"個(gè)區(qū)域M,M2,M3,■■■,（哈2）,現(xiàn)取以珍2）種顏色對(duì)這”

個(gè)區(qū)域涂色，要求每相鄰的兩個(gè)區(qū)域涂不同的兩種顏色，則涂色的方案有（-1）"（左-1）+（左-1）"種.

3、數(shù)字排列問(wèn)題的解題原則、常用方法及注意事項(xiàng)

⑴解題原則：排列問(wèn)題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問(wèn)題，有限制條件的排列問(wèn)題的限制條件主要表現(xiàn)在某

元素不排在某個(gè)位子上，或某個(gè)位子不排某些元素，解決該類排列問(wèn)題的方法主要是按‘優(yōu)先”原則，即優(yōu)先

排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個(gè)位子安排的元素影響到另一個(gè)位子的元素個(gè)數(shù)時(shí)，應(yīng)分類討論.

4、定位、定元的排列問(wèn)題，一般都是對(duì)某個(gè)或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，被限

制的位置稱為特殊位置.這一類問(wèn)題通常以三種途徑考慮：

（1）以元素為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊元素的排法問(wèn)題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；

（2）以位置為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊位置的排法問(wèn)題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；

（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計(jì)算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù).

5、解決相鄰問(wèn)題的方法是“捆綁法”，其模型為將〃個(gè)不同元素排成一排，其中某人個(gè)元素排在相鄰位置上,

求不同排法種數(shù)的方法是：先將這左個(gè)元素'捆綁在一起“，看成一個(gè)整體，當(dāng)作一個(gè)元素同其他元素一起排

列，共有/比::種排法；然后再將“捆綁”在一起的元素“內(nèi)部”進(jìn)行排列，共有4種排法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)

原理可知,符合條件的排法共有種.

6、解決不相鄰問(wèn)題的方法為“插空法”，其模型為將〃個(gè)不同元素排成一排，其中某發(fā)個(gè)元素互不相鄰

m+i）,求不同排法種數(shù)的方法是：先將（"-左）個(gè)元素排成一排，共有42種排法；然后把左

個(gè)元素插入〃-左+1個(gè)空隙中，共有43M種排法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的排法共有

依,《知種.

名校模擬探源

一、單選題

1.（2024?重慶?三模）重慶某高校去年招收學(xué)生來(lái)自成渝地區(qū)2400人，除成渝外的西部地區(qū)2000人，中

部地區(qū)1400人，東部地區(qū)1800人，港澳臺(tái)地區(qū)400人.學(xué)校為了解學(xué)生的飲食習(xí)慣，擬選取40人作樣本調(diào)

研，為保證調(diào)研結(jié)果的代表性，則從該校去年招收的成渝地區(qū)學(xué)生中不同的抽樣結(jié)果種數(shù)為（）

A040Rr24「「12八「10

^2400^2400^2400u?^2400

【答案】c

【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)計(jì)算即可。

【詳解】為保證調(diào)研結(jié)果的代表性，設(shè)從該校去年招收的成渝地區(qū)學(xué)生中抽取n人，

Filln-2400

A40-2400+2000+1400+1800+400，

解得〃=12,

即從該校去年招收的成渝地區(qū)學(xué)生中不同的抽樣結(jié)果種數(shù)為

故選：C

2.（2024?北京?三模）已知［京-x］的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則其展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.-240B.240C.60D.-60

【答案】B

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和可得〃=6,結(jié)合二項(xiàng)展開(kāi)式分析求解.

【詳解】由題意可知：二項(xiàng)式系數(shù)之和為2"=64,可得〃=6,

其展開(kāi)式的通項(xiàng)為=C；13](-x)r=(-l)r-26Tc.x*/=0,1,2,…,6,

.3

令y-3=0,解得廠=2,

所以其展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為(-1)2?24?線=240.

故選：B.

3.(2024?陜西?三模)2024年中國(guó)足球乙級(jí)聯(lián)賽陜西聯(lián)合的主場(chǎng)火爆，一票難求，主辦方設(shè)定了三種不同

的票價(jià)分別對(duì)應(yīng)球場(chǎng)三個(gè)不同的區(qū)域，五位球迷相約看球賽，則五人中恰有三人在同一區(qū)域的不同座位方

式共有()

A.30種B.60種C.120種D.240種

【答案】C

【分析】依題意，先將在同一區(qū)域的三個(gè)人選出并選定區(qū)域，再對(duì)余下的兩人分別在其它兩個(gè)區(qū)域進(jìn)行選

擇，由分步乘法計(jì)數(shù)原理即得.

【詳解】要使五人中恰有三人在同一區(qū)域，可以分成三步完成：

第一步，先從五人中任選三人，有C；種方法；

第二步再選這三人所在的區(qū)域，有C；種方法；

第三步，將另外兩人從余下的兩個(gè)區(qū)域里任選，有種方法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有C>C；?C；?C；=120種方法.

故選:C.

4.(2024?四川成都?三模)成實(shí)外教育集團(tuán)自2000年成立以來(lái)，一直行走在民辦教育的前端，致力于學(xué)生

的全面發(fā)展，對(duì)學(xué)生的教育視為終身己任，在教育事業(yè)上砥礪前行，永不止步.截至目前，集團(tuán)已開(kāi)辦29

所K-12學(xué)校和兩所大學(xué)，其中高中教育學(xué)校有11所.集團(tuán)擬召開(kāi)綜合考評(píng)會(huì).經(jīng)考評(píng)后，11所學(xué)校得分互不

相同，現(xiàn)從中任選3所學(xué)校的代表交流發(fā)言，則排名為第一名或第五名的學(xué)校代表去交流發(fā)言的概率為

()

,24c28-8c27

A.——B.—C.一D.—

55551155

【答案】D

【分析】利用古典概率結(jié)合組合數(shù)的計(jì)算求解即可.

【詳解】從U所學(xué)校中任選3所學(xué)校共有種C%=165選法.

其中排名為第一名或第五名的學(xué)校，可以分為三種情況：

第一類：只含有排名為第一名的學(xué)校的有盤(pán)=36種選法；

第二類：只含有排名為第五名的學(xué)校的有C：=36種選法；

第三類：同時(shí)含有第一名和第五名學(xué)校的有C；=9種選法；

共36+36+9=81種選法.根據(jù)概率公式可得言=￡.

16555

故選：D.

5.（2024?重慶九龍坡?三模）用1,2,3,4,5,6這六個(gè)數(shù)組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，則在數(shù)字1,3相

鄰的條件下，數(shù)字2,4,6也相鄰的概率為（）

【答案】A

【分析】分別求出數(shù)字1,3相鄰時(shí)的六位數(shù)個(gè)數(shù)以及數(shù)字1,3相鄰，數(shù)字2,4,6也相鄰的六位數(shù)的個(gè)

數(shù)，根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，即可求得答案.

【詳解】設(shè)4="數(shù)字1,3相鄰”，設(shè)5="數(shù)字2,4,6相鄰”，

則數(shù)字1,3相鄰時(shí)的六位數(shù)有A；A；=240個(gè)，

數(shù)字1,3相鄰，數(shù)字2,4,6也相鄰的六位數(shù)的個(gè)數(shù)為A；A；A：=72,

n(AB]723

人」"⑷24010,

故選：A.

6.（2024?新疆喀什?三模）（x2+x+l『展開(kāi)式中，/的系數(shù)為（）

A.20B.30C.25D.40

【答案】B

【分析】分不含V項(xiàng)和含有一個(gè)/項(xiàng)兩種情況求解.

【詳解】，+x+l）5展開(kāi)式中，V的項(xiàng)為C*32cx1=30x3,

則X，的系數(shù)為30.

故選：B.

7.（2024?新疆?三模）西安、洛陽(yáng)、北京、南京和開(kāi)封并稱中國(guó)的五大古都.某旅游博主為領(lǐng)略五大古都之

美，決定用兩個(gè)月的時(shí)間游覽完五大古都，且每個(gè)月只游覽五大古都中的兩個(gè)或三個(gè)（五大古都只游覽一

次），則恰好在同一個(gè)月游覽西安和洛陽(yáng)的概率為（）

1213

A.—B.—C.-D.一

5525

【答案】B

【分析】求出事件的總數(shù)以及目標(biāo)事件的數(shù)量，再用古典概型計(jì)算即可..

【詳解】將古都分成2個(gè)、3個(gè)兩組，再在兩個(gè)月安排旅游順序，故事件總數(shù)為CrA；=20,

分2個(gè)古都組中含西安、洛陽(yáng)，或3個(gè)古都組中含西安、洛陽(yáng)，故恰好在同一個(gè)月游覽西安和洛陽(yáng)的事件

數(shù)為：2+2x3=8,

oD

所以恰好在同一個(gè)月游覽西安和洛陽(yáng)的概率為：^=1

故選:B

8.（2024?北京?三模）在（/-2）（2》-咪的展開(kāi)式中，/項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.-144B.-16C.16D.144

【答案】C

【分析】寫(xiě)出（2X-1）5=-（1-2工）'的展開(kāi)式通項(xiàng)，即可列式求解.

【詳解】（2X-1）5=-（1_2X）5,其展開(kāi)式通項(xiàng)公式為卻|=-C1_2X）',r=0』,2,3,4,5,

所以所求x5項(xiàng)的系數(shù)為-C；（-2）3+2C；（-2）5=80-64=16,

故選：C.

9.（2024?河北秦皇島?三模）三人被邀請(qǐng)參加同一個(gè)時(shí)間段的兩個(gè)晚會(huì)，若兩個(gè)晚會(huì)都必須有人去，去幾

人自行決定，且每人最多參加一個(gè)晚會(huì)，則不同的去法有（）

A.8種B.12種C.16種D.24種

【答案】B

【分析】根據(jù)參加晚會(huì)的人數(shù)分類討論，利用排列組合數(shù)求解即可.

【詳解】第一種情況，只有兩人參加晚會(huì)，有段=6種去法；

第二種情況，三人參加晚會(huì)，有C；A；=6種去法，共12種去法.

故選：B

10.（2024?安徽蕪湖?三模）已知4、B、C、D、E、尸六個(gè)人站成一排，要求/和2不相鄰，C不站兩端,

則不同的排法共有（）種

A.186B.264C.284D.336

【答案】D

【分析】先考慮A和B不相鄰的排法，再考慮A和B不相鄰，且C站兩端的情況，相減后得到答案.

【詳解】先考慮A和B不相鄰的排法，

將C、D、E、F四個(gè)人進(jìn)行全排列，有A：種情況，

C、D、E、F四個(gè)人之間共有5個(gè)空，選擇2個(gè)排A和B,有A；種情況，

故有/：4=480種選擇，

再考慮A和B不相鄰，且C站兩端的情況，

先從兩端選擇一個(gè)位置安排C,有C；種情況，

再將D、E、F三個(gè)人進(jìn)行全排列，有A；種情況

最后D、E、F三個(gè)人之間共有4個(gè)空，選擇2個(gè)排A和B,有A：種情況，

故有（2處/；=144種情況，

則要求A和B不相鄰，C不站兩端，則不同的安排有480-144=336種情況.

故選：D

11.（2024?浙江紹興三模）在（x+l）（x+2）（x+3）（x+）（x+6）的展開(kāi)式中,含一項(xiàng)的系數(shù)是10,則

log2（a+Z））=（）

A.0B.1C.2D.4

【答案】C

【分析】在（x+D（x+2乂x+3乂x+a）（x+b）的展開(kāi)式中含，的項(xiàng)即從5個(gè)因式中取4個(gè)x,1個(gè)常數(shù)項(xiàng)即可

寫(xiě)出含X,的項(xiàng)，則可得出答案.

【詳解】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式可知含X，項(xiàng)即從5個(gè)因式中取4個(gè)x,1個(gè)常數(shù)項(xiàng)即可寫(xiě)出含/的項(xiàng)；

所以含一的項(xiàng)是。+2+3+。+6）/=10/,可得0+6=4；

即可得Iog2（a+6）=log24=2.

故選：C

12.（2024?湖北荊州?三模）已知（3x-l）2=%+%x+a2x2+-+a2（）24x2°24,則％+%+…+%。24被3除的余

數(shù)為（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】D

【分析】先對(duì)二項(xiàng)展開(kāi)式中的x進(jìn)行賦值，得出q+與+…+%必=4皿'-I,再將4巾看作（3+J*進(jìn)行展

開(kāi)，再利用二項(xiàng)展開(kāi)式特點(diǎn)分析即得.

【詳解】令X=0,得。0=1,令尤=1,得%+%+&+…+。2024=2"”,

20241012

兩式相減，+（22H-----F。2024=2—1=4—1,

012

因?yàn)?*（3+1）'=C?012嚴(yán)+C；0123叫…+C：*3+C監(jiān),

nH

其中Ci*2+C；。1y口+…+C第3被3整除,所以42被3除的余數(shù)為1,

綜上，aA+a2-\H42024能被3整除.

故選：D.

二、多選題

13.（2024?山西臨汾?三模）在（。-近］的展開(kāi)式中（）

A.所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為128

B.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)

C.有理項(xiàng)共有兩項(xiàng)

D.所有項(xiàng)的系數(shù)的和為3'

【答案】AB

【分析】先求出二項(xiàng)式系數(shù)和，奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和，即可確定A；二項(xiàng)式系數(shù)

的最大項(xiàng)，即為中間項(xiàng)，可確定B；整理出通項(xiàng)公式小=短，卜飆）=（-以"一建:無(wú)廣，再對(duì)左賦

值，即可確定C；令x=l,可求出所有項(xiàng)的系數(shù)的和，從而確定D.

28

【詳解】對(duì)于A,二項(xiàng)式系數(shù)和為，則所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為土=128,故A正確；

2

對(duì)于B,二項(xiàng)式系數(shù)最大為C"則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)，故B正確；

對(duì)于C,a=《：卜次）=（T>28-"C5產(chǎn)（04人8,EeN）,%為有理項(xiàng)，上可取的值為0,3,6,所

以有理項(xiàng)共有三項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,令x=l,則所有項(xiàng)系數(shù)和為故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

14.（2024?江西南昌?三模）已知（x-g）的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值與的展開(kāi)式中一的系數(shù)

相等，則實(shí)數(shù)a的值可能為（）

A.V2B.-V2C.—D.--

22

【答案】AB

【分析】先計(jì)算出口-114的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大值，根據(jù)二項(xiàng)式定理得到［+（］展開(kāi)式的通項(xiàng)公

式，從而得到方程，求出a=±VL

【詳解】g］的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大值為。=6,

卜］的展開(kāi)式通項(xiàng)公式為7］.=r3rr32r

+5+1C3x-a'x=C'3a'x-,

令3—2/二一1得,r=2,

故展開(kāi)式中工的系數(shù)為C；/,故3a2=6,解得a=±VL

X

故選：AB

12

15.（2024?山西?三模）己知函數(shù)/（x）=（4x-l）"=劭+%%+的工2H1-al2x,貝!J（）

A.%=4\小B.〃x）展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為C%

C.%+&+。3+…+%2=3。D./（5）的個(gè)位數(shù)字是1

【答案】BD

【分析】對(duì)于A：根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式分析求解；對(duì)于B：根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)分析求解；對(duì)于C：利用賦

值法，令x=0、x=l即可得結(jié)果；對(duì)于D：因?yàn)?（5）=（20-1）;結(jié)合二項(xiàng)展開(kāi)式分析求解.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：（4》-1甘的展開(kāi)式的通項(xiàng)為

r

Tr+l=?。?x）e-（-l）=（-17-4J.G?$/=o,1,2,…,12,

令r=9,可得4=（一1>43.黑子3=_43義&"3,

所以的=-43XC；2,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?=12為偶數(shù)，可知二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為C：2,故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：令x=0,可得。o=l；

令X=l,Ri6Z0++<?2H-----F=3。；

12

at+a2+a3-----\-al2=3—1,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椤?）=（20-1廠，

12

且（20-1）的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k+i=g-20J.,左=0,1,2,…,12,

可知當(dāng)左=0,1,2,…,11,可1均為20的倍數(shù),即個(gè)位數(shù)為0,

當(dāng)先=12時(shí)，［=1,所以/（5）的個(gè)位數(shù)字是1,故D正確；

故選：BD.

三、填空題

16.（2024?山東煙臺(tái)?三模）+展開(kāi)式的中間一項(xiàng)的系數(shù)為.

【答案】|

【分析】中間一項(xiàng)是第4項(xiàng)，結(jié)合二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)的計(jì)算公式即可求解.

【詳解】因?yàn)?展開(kāi)式共有7項(xiàng)，它的中間一項(xiàng)是第4項(xiàng)，

所以（2五+福］展開(kāi)式的中間一項(xiàng)的系數(shù)為C：26-3、］=￡=g

故答案為：

17.（2024?安徽合肥?三模）北京時(shí)間2024年4月26日5時(shí)04分，神舟十七號(hào)航天員乘組（湯洪波，唐

勝杰，江新林3人）順利打開(kāi)，家門(mén)”，歡迎遠(yuǎn)道而來(lái)的神舟十八號(hào)航天員乘組（葉光富、李聰、李廣蘇3人）

入駐“天宮”.隨后，兩個(gè)航天員乘組拍下“全家?！?，共同向全國(guó)人民報(bào)平安.若這6名航天員站成一排合影

留念，葉光富不站最左邊，湯洪波不站最右邊，則不同的排法有.

【答案】504

【分析】本題考查排列中分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理.根據(jù)題目要求，分兩類進(jìn)行討論，第一類

葉光富在最右側(cè)，第二類葉光富不在最右側(cè).然后根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理相加即可得到答案.

【詳解】根據(jù)葉光富不站最左邊，可以分為兩種情況：

第一種情況：葉光富站在最右邊，此時(shí)剩余的5人可以進(jìn)行全排列，共有A；=120種排法.

第二種情況：葉光富不站在最右邊，根據(jù)題目條件葉光富不站最左邊，此時(shí)葉光富有4種站法.根據(jù)題目條

件湯洪波不站在最右邊，可知楊洪波只有4種站法.剩余的4人進(jìn)行全排列，共有4X4XA：=384種排法，

由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，總共有120+384=504種排法.

故答案為：504

18.（2024?福建福州?三模）的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為.

【答案】49

【分析】利用多項(xiàng)式乘法法寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)，令x次數(shù)為0即為常數(shù)項(xiàng).

【詳解】［x+j-展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為

7；=C；(x+|)4-,'x(-l)r=(-1/c；Q,,x4-r-4|j=(-1)"2BC；C?x4-r-2m

+1rm<r,

當(dāng)加=0/=4時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為1；

當(dāng)加=1/=2時(shí)，得常數(shù)項(xiàng)為（-lp2QC；=24；

當(dāng)加=2/=0時(shí)，得常數(shù)項(xiàng)為（-1）°22cg=24；

所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為1+24+24=49.

故答案為：49.

19.（2024?新疆喀什?三模）小明設(shè)置六位數(shù)字的手機(jī)密碼時(shí)，計(jì)劃將兀=3.14159……的前6位數(shù)字3,1,

4,1,5,9進(jìn)行某種排列得到密碼.若排列時(shí)要求相同數(shù)字不相鄰，且相同數(shù)字之間一個(gè)數(shù)字，則小明可

以設(shè)置的不同密碼種數(shù)為.

【答案】96

【分析】利用捆綁法即可求解.

【詳解】從3,4,5,9中選擇一個(gè)數(shù)字放入兩個(gè)1之間，將其與兩個(gè)1看作一個(gè)整體，與剩下元素全排列，

故不同的密碼個(gè)數(shù)為C：A；=96,

故答案為：96

20.（2024?河北衡水?三模）12+2切12一力7的展開(kāi)式中》與6的系數(shù)為（用數(shù)字作答）

【答案】-35

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二項(xiàng)式的展開(kāi)式的性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.

【詳解】由題意，多項(xiàng)式（/+2力（，一”的展開(kāi)式中含有力6的項(xiàng)為：

x2-cy.（-y）6+2yC（x2『㈠）'=-35x4/,

所以尤與6的系數(shù)為一35.

故答案為：-35.

21.（2024?河南?三模）若（五（”eN*）的展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)，則”的值可以是（寫(xiě)出一個(gè)值

即可）

【答案】5（答案不唯一，滿足〃=5左N*的”即可）

【分析】寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)，令!（2〃-5廠）=0,求出乙再根據(jù)OWrW”且reN,即可確定〃的取值.

【詳解】二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為

n5r1

=2'（2"3-6=2「c"6為一'（0<r<H_&reN）,