高考模擬測試數(shù)學(xué)試題

時間：120分鐘滿分：150分

第I卷（選擇題共60分）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分,在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.）

1.設(shè)集合A={x|3x—1<m},若leA且2史A,則實(shí)數(shù)〃?的取值范圍是（）

A.2<m<5B.2<tn<5C.2<m<5D.2<m<5

2.卜.面關(guān)于好數(shù)z=-1+i（其中i為虛數(shù)單位）的結(jié)論正確的是（）

A.‘對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限B.zvz+l

z

C.z的虛部為iD.z+z<0

3.如圖所示，給出了樣本容量均為7的A、B兩組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,已知A組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為r.,

B組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為上，則

C.r)>r2D.無法判定

4.已知數(shù)列{因}為等差數(shù)列，且%-4,%-8,則該數(shù)列前10項(xiàng)之和Si。)

A.80B.90C.100D.110

5.已知加，〃是兩條不同直線，a,是三個不同平面，下列命題中正確的為（）

A.若a_Ly,Q_Ly,則a///B.若m//a、nHa,則〃?〃〃

C.若機(jī),則〃D.若,則a〃/?

6.設(shè)王、々、七均為實(shí)數(shù)，且-』=用七，e1=ln（w+l）,?』=愴七，則（）

玉<曰<%

A.x,<x2<x3B.2C.x2<x3<XjD.x2<%）<x3

__________I------d|-------dULUluuuUlUUUlUIuuu

7.已知向量而與AC的夾角為120。，且4二3,=若4P=2A8+AC，且A尸_LBC，則

實(shí)數(shù)4的值為（）

8.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（L"〃訪年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、

重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.若已知AAAC的頂點(diǎn)A（Y,O）,5（0,4）,其歐拉

線方程為x-y+2=0,則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)可以是（）

A.（1,3）B.（3,1）C.（-2,0）D.（0,-2）

9.若函數(shù)/（x）=gsin（2x+6）+cos（2x+e）（0〈e〈;r）的圖象關(guān)于停中心對稱，則函數(shù)?。┰?/p>

7171

上的最小值是（）

L46_

A.-2B.一⑺C.-1D.一;

22

10.拋物線y2=8x焦點(diǎn)產(chǎn)是雙曲線?■-*■=13>0/>0）的一個焦點(diǎn)，A（〃w）（〃>o）為拋物線上一

點(diǎn)，直線4尸與雙曲線有且只有一個交點(diǎn)，若14^1=8,則該雙曲線的離心率為（）

A.72B.73C.2D.75

11.新型冠狀病毒肺炎疫情發(fā)生以來，廣大醫(yī)務(wù)工作者積極響應(yīng)黨中央號召，舍小家，為大家，不顧個人安

危，生動詮釋了敬佑生命、救死扶傷、甘于奉獻(xiàn)、大愛無疆的崇高精神.某醫(yī)務(wù)人員說：“包括我在內(nèi)，我們

社區(qū)診所醫(yī)生和護(hù)上共有17名.無論是否把我算在內(nèi)，下面說法都是對的.在這些醫(yī)務(wù)人員中：醫(yī)生不少于

護(hù)士；女護(hù)士多于男醫(yī)生；男醫(yī)生二匕女醫(yī)生多；至少有兩名男護(hù)士.”請你推斷說話的人的性別與職業(yè)是（）

A.男醫(yī)生B.男護(hù)士C.女醫(yī)生D.女護(hù)士

12.已知三棱錐P—43。中，PA=PB=2,CA=CB=S,AB=?BPC=6.關(guān)于該三棱錐有以

下結(jié)論：①三棱錐2一48c的表面積為56：②三棱錐P-4BC的內(nèi)切球的半徑，?二立：③點(diǎn)P到平面

5

A8C的距離為立；④若側(cè)面內(nèi)的動點(diǎn)M到平面ABC的距離為1,RMP=^~d,則動點(diǎn)M的

23

軌跡為拋物線的一部分.其中正確結(jié)論的序號為（）

A.①②B.③@C.①@@D.①（2庖）④

第n卷（非選擇題共90分）

本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題~第21題為必考題，每道試題考生都必須作答.第22

題和第23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,把答案填在答題紙中相應(yīng)的橫線上.）

x+y>2

13.若實(shí)數(shù)工、y滿足｛xwi,則目標(biāo)函數(shù)Z=-2x+y的取值范圍為______.

”2

14.若曲線丁二24與曲線y=a-在公共點(diǎn)處有相同的切線，則實(shí)數(shù)。的值為.

15.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)之和為3,對■任意的〃EN"，都有3S〃=q,+16.若2=4%…%,〃wN"

則數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式/=：數(shù)列｛〃/中最大的項(xiàng)為.

16.定義在R上偶函數(shù))，=/(“滿足/(x+2)=-/(x),當(dāng)xw[O/)時，/*)=1一/有以下4個結(jié)

論：①2是函數(shù)y=/(x)的一個周期；@/(l)=0；③函數(shù)y=/(xT)為奇函數(shù)；④函數(shù))，=/。+1)在

(1,2)上遞增.則這4個結(jié)論中正確的是.

三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17?21

題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.)

17.AABC內(nèi)角A、B、。的對邊分別為。、b、c,(sinB+sinC)2=sin2A+sinBsinC.

⑴求A；

(2)若匕+c=6,△A4C的面積為26，求。.

18.如圖，在幾何體中，四邊形43C。為菱形，48=2,ZA/?C=120°,AC與8。相交于點(diǎn)。，四邊

形8OER為直角梯形，DEI/BF,BD工DE,DE=3BF=3,平面石尸，平面ABCO.

(1)證明：平面AE戶1.平面AR7；

(2)求二面角E-AC-F余弦值.

221

19.已知橢圓上：3+與的離心率e=].直線x=W>0)與曲線E交于不同的兩點(diǎn)

N,以線段為直徑作圓C,圓心為C.

(I)求橢圓石的方程：

(2)若圓C與y軸相交于不同的兩點(diǎn)AB,求MBC的面積的最大值.

20.為了引導(dǎo)居民合理用電，國家決定實(shí)行合理的階梯電價，居民用電原則上以住宅單位(一套住宅為一戶).

階梯級別第?階梯第二階梯第三階梯

月用電范圍(度)(0,210](210,400](400,+8)

某市隨機(jī)抽取10戶同一個月的用電情況，得到統(tǒng)計(jì)表如下:

居民用電編號12345678910

用電量(度)538690124132200215225300410

(1)若規(guī)定第一階梯電價每度0.5元，第二階梯超出第一階梯的部分每度0.6元，第三階梯超出第二階梯每

度0.8元，式計(jì)算A居民用電戶用電410度時應(yīng)交電費(fèi)多少元？

(2)現(xiàn)要在這10戶家庭中任意選取3戶，求取到第二階梯電量的用戶數(shù)的分布與期望；

(3)以表中抽到的10戶作為樣本估計(jì)全是居民用電，現(xiàn)從全市中依次抽取10戶，若抽到左戶用電量為第一

階梯的可能性最大，求左的值.

21.已知工=9是函數(shù)/(力=/1門的極值點(diǎn).

(I)求〃力的最小值;

(H)設(shè)函數(shù)g(x)=與，若對任意王￡(0,”)，存在々6R,使得〃玉)＞履巧)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范

圍.

考生請從以下兩題中任選一題作答，并將你所選擇的題號進(jìn)行填涂，如果多做，則按所做的

第一題計(jì)分.

選修4?4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

22.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，得曲線。的極

坐標(biāo)方程為O=8sin氏若過。(5,-3),傾斜角為且cosa=-1的直線交曲線C于耳、匕兩點(diǎn).

⑴求的值;

⑵求弦＜2的中點(diǎn)"的坐標(biāo).

選修4-5：不等式選講

23.對VaeR,|。+1+］。一1|的最小值為M.

X2v2Z2

(1)若三個正數(shù)X、Z滿足x+y+z=M,證明：—+-——>2；

yzx

(2)若三個實(shí)數(shù)不、>\z滿足式+y+z=M,且(工-2)2+()，一以十仁+機(jī)產(chǎn)之」恒成立，求〃2的取值范

3

圍.

答案與解析

第I卷（選擇題共60分）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.）

1.設(shè)集合A={x|3x—1<m},若leA且2史A,則實(shí)數(shù)〃?的取值范圍是（）

A.2<m<5B.2<m<5C.2<m<5D.2<m<5

【答案】C

【解析】

【分析】直接根據(jù)元素和集合之間的關(guān)系，列式求解即可.

【詳解】因?yàn)榧螦={x|3x-1<〃?},而1W人且2任力，

「.3x1-1v相且3x2-12相，解得2<相<5.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查元素與集合的關(guān)系，對描述法表示集合的理解，屬于基礎(chǔ)題.

2.下面關(guān)于復(fù)數(shù)z=-l+i（其中i為虛數(shù)單位）的結(jié)論正確的是（）

A.'對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限B.zvz+l

z

C.z的虛部為iD.z+z<（）

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)狂數(shù)的有關(guān)概念，復(fù)數(shù)的幾何意義，以及復(fù)數(shù)的加法，除法運(yùn)算逐個進(jìn)行判斷即可.

11-1-/1111

【詳解】Qz=-l+i,/.一=-----=------=-------i,其對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（—,—）,在第二象限，

z-\+i22222

故A錯；???z+l=i,虛數(shù)不能比較大小，故4錯誤；由z=-l+i可知，z的虛部為1,故。錯誤；

?.-z+z=（-l+z）+（-l-/）=-2<0,故D正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，復(fù)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，以及復(fù)數(shù)的加法，除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)

題.

3.如圖所示，給出了樣本容量均為7的A、B兩組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，己知A組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為門，

B組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為0，則

Cf----------------------?C>

°H組數(shù)X08組數(shù)X

A.ri=r2B.ri<r2C.r）>r2D.無法判定

【答案】C

【解析】

【分析】利用“散點(diǎn)圖越接近某一條直線線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對值越大”判斷即可.

【詳解】根據(jù)A8兩組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖知，

A組樣本數(shù)據(jù)幾乎在一條直線上，且成正相關(guān)，

???相關(guān)系數(shù)為，i應(yīng)最接近I,8組數(shù)據(jù)分散在一條直線附近，也成正相關(guān)，

，相關(guān)系數(shù)為弓，滿足弓即故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考杳散點(diǎn)圖與線性相關(guān)的的關(guān)系，屬于中檔題.判斷線性相關(guān)的主要方法：⑴散點(diǎn)圖（越

接近直線，相關(guān)性越強(qiáng)）；（2）相關(guān)系數(shù)（絕對值越大，相關(guān)性越強(qiáng)）.

4.已知數(shù)列｛〃“｝為等差數(shù)列，且4=4,%=8,則該數(shù)列的前10項(xiàng)之和So=（）

A80B.90C.100D.110

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)出等差數(shù)列｛%｝的公差，根據(jù)條件列出兩個方程，即可求出首項(xiàng)和公差，再根據(jù)等差數(shù)列的前〃

項(xiàng)和公式即可求出.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,???%=4,4=8,.?.4+24=4,4+4。=8,

[0x9

解得，q=0,4=2,則該數(shù)列的前10項(xiàng)之和51。=0+方一>2=9（）.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式中基本量的計(jì)算，以及等差數(shù)列的的前〃項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于

基礎(chǔ)題.

5.已知加，〃是兩條不同直線，4尸,7是三個不同平面，下列命題中正確的為（）

A.若a_L_Ly,則allpB.若〃則〃

C.若m_La,〃_La,則m//〃D.若m//a,mHft,則alip

【答案】C

【解析】

【分析】利用空間直線平面的位置關(guān)系分析判斷每一個選項(xiàng)得解.

【詳解】A.若則a〃〃或。,萬相交，所以該選項(xiàng)錯誤；

B.若相〃a,〃〃a,則m〃〃或以〃相交或根,〃異面，所以該選項(xiàng)錯誤；

C.若相_La,〃_La,則〃〃/〃，所以該選項(xiàng)是正確的；

D.若利〃。，血/萬，則a〃6或必尸相交，所以該選項(xiàng)錯誤.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查空間直線和平面位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和空間想象

能力.

6.設(shè)士、占、￡均為實(shí)數(shù)，且=ln%,e』=ln(%+l),"/二坨七，則()

A.%)<x2<x3B.%)<x3<x2C.x2<x3<X)D.x2<x}<

【答案】D

【解析】

【分析】畫出函數(shù)y=(』)，y=lnx,y=lnU+l),y=Igx,4個函數(shù)的函數(shù)圖象，根據(jù)方程的根與

兩函數(shù)圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，利用函數(shù)圖象的交點(diǎn)的位置，即可判斷為，馬，&的大小關(guān)系.

X1

【詳解】因?yàn)?lnx==Inx(?e~=In(x2+1)=ln(x2+1),

ef=lgq=-=1郎，所以作出函數(shù)y=-,>'=lnx,y=ln(x+l),y=Igx,4個函數(shù)的函

e)

y

數(shù)圖象，如圖所示:

由圖象可知：八,8,。的橫坐標(biāo)依次為占,用,芻，即有々＜玉＜冗3?

故選：。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象的應(yīng)用，方程的根與兩函數(shù)圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系應(yīng)用,

意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用能力，屬于中檔題.

___________|?|—uiwUliuU1011LILIUULM1

7.已知向量A分與AC的夾角為120。，且心耳=3,AC=2,若4P=/IA8+AC，且APJ.8C，則

實(shí)數(shù);I的值為()

A.—B.—C.-D.-

121264

【答案】A

【解析】

【分析】山向量數(shù)量積的定義，可得有?*=-3,再山向量垂直的條件，向量的數(shù)量積為0,解方程即

可■解出.

【詳解】因?yàn)橄蛄?4萬與衣的夾角為120,且IA月1=3,|AC|=2,

可得而?*=3x2x86120°=-3,

UUUULIUUIU1HillULIU

若AP=AAB+AC且4PJL8C，

則：4戶BC=(AAB+AC)(AC-AB)=AC-AAB+(2-1)AAAC

7

=4-92-3(2-l)=0,解得力=—.

12

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的數(shù)量積的定義的應(yīng)用，以及向量垂直數(shù)量積為0的轉(zhuǎn)化應(yīng)用，意在考查學(xué)生

的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(―)〃/“汝小")1765年在其所著的《二角形的幾何學(xué)》一書中提出：11意二角形的外心、

重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.若已知A/WC的頂點(diǎn)A(T,O),8(0,4),其歐拉

線方程為x-y+2=0,則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)可以是()

A.(1,3)B.(3,1)C.(-2,0)D.(0,-2)

【答案】D

【解析】

【分析】由已知求出A3的垂直平分線方程，與歐拉線方程聯(lián)立求得外心坐標(biāo)，從而得到圓的方程，設(shè)

‘X—4v+4、

C(x,y),根據(jù)三角形ABC的重心=-，?在歐拉線上，再與圓的方程聯(lián)立即可求出C的坐標(biāo).

I33)

【詳解】???4-4,0),8(0,4),的垂直平分線方程為x+y=0，

又外心在歐拉線X->+2=0上，

fx+y=0

聯(lián)立《八7解得三角形ABC的外心為G(-1,1).

[x-y+2=0

又r=|GAbJ(T+4)2+(l_())2=而,

「.△ABC外接I員I的方程為(x+1)?+(y—1尸=10.

設(shè)C(x,)，)，則三角形A8C的重心(=，手]在歐拉線上，即=一手+2=().

\33J33

整理得工一丁一2=0.

U+l)2+(y-l)2=l()x=()fx=2

聯(lián)立〈一二，解得

x-}j-2=0),=—2(y=0

所以頂點(diǎn)。的坐標(biāo)可以是(0,-2).

故選：D.

【點(diǎn)暗】木題主要考查圓的方程的求法，直線與直線，直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)

算能力和閱讀理解能力，屬于中檔題.

9.若函數(shù)J(x):gsin(2x+e)+cos(2x+8)(0<e〈;r)的圖象關(guān)于(go)成中心對稱，則函數(shù)/(工)在

號看上的最小值是()

A.-2B.-GC.-1D.--

【答案】B

【解析】

【分析】利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，由對稱性可求出。，再利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可

7171

求得函數(shù)“幻在一二，之上的最小值.

46

【詳解】???函數(shù)/(x)=6sin(2x+8)+cos(2x+。)=2加|2"+夕+?)的圖象關(guān)于信,01對稱，

:.2x—+0+—=k7r,keZ,即<9=^-―,*/0<0<7r,\0--,

2666

/(X)=2sinf2x+^+Y>I=-2sin2x,在一上，2xe,故當(dāng)21=工時，函數(shù)/(x)取

V66J\_46J|_23J3

得最小值為-J5.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查利用輔助角公式進(jìn)行三角恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.拋物線），2=8x的焦點(diǎn)廠是雙曲線。-*=1（。＞0力＞0）的一個焦點(diǎn)，A（札〃）（〃＞0）為拋物線上一

點(diǎn)，直線4月與雙曲線有且只有一個交點(diǎn)，若|人產(chǎn)|=8,則該雙曲線的離心率為（）

A.72B.GC.2D.石

【答案】C

【解析】

【分析】

由直線4b與雙曲線有且只有一人交點(diǎn)可知，直線與雙曲線的漸近線平行.又拋物線與雙曲線共焦點(diǎn)，

|AF|=8,所以利用拋物線的定義，可求出A點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出直線A尸的斜率，從而求出雙曲線漸近線

的斜率2=百，進(jìn)而求出雙曲線的離心率.

a

【詳解】解：A（〃?,〃）（〃＞（））,直線Ab與雙曲線有且只有一個交點(diǎn)，所以直線囚尸與雙曲線的漸近線平

行.|Ab|=8,F為拋物線的焦點(diǎn)，所以〃?=6,代入/=8利，則〃=46，即A（6,46）,

4G-（）=&,所以2=石，所以該雙曲線的離心率為G=J1+4=2.

6-2aVa2

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，涉及到直線與雙曲線的位置關(guān)系，以及拋物線定義的轉(zhuǎn)化，屬于中

檔題.

11.新型冠狀病毒肺炎疫情發(fā)生以來，廣大醫(yī)務(wù)工作者積極響應(yīng)黨中央號召，舍小家，為大家，不顧個人安

危，生動詮釋了敬佑生命、救死扶傷、甘于奉獻(xiàn)、大愛無疆的崇高精神.某醫(yī)務(wù)人員說：“包括我在內(nèi)，我們

社區(qū)診所醫(yī)生和護(hù)士共有17名.無論是否把我算在內(nèi)，下面說法都是對的.在這些醫(yī)務(wù)人員中：醫(yī)生不少于

護(hù)士；女護(hù)士多于男醫(yī)生；男醫(yī)生比女醫(yī)生多：至少有兩名男護(hù)士請你推斷說話的人的性別與職業(yè)是（）

A.男醫(yī)生B.男護(hù)士C.女醫(yī)生D.女護(hù)士

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，設(shè)出對應(yīng)性別和職業(yè)的人數(shù)，求出對應(yīng)的不等關(guān)系，再考慮其中某種職業(yè)和性別的人

數(shù)減1是否滿足題意，即可容易判斷.

【詳解】設(shè)把說話人計(jì)算在內(nèi)有男醫(yī)生。人，女醫(yī)生〃人，女護(hù)士。人，男護(hù)士d人，

根據(jù)題意，需要滿足：

a+bNc+d；c>a.a>b\d>2,

故c>a>b>dN2,

若d=2,則僅有：a=5,〃=4,c=6,d=2滿足以上條件，

且當(dāng)Z?=3時，也即a=5,〃=3,c=6,4=2也滿足條件.

而當(dāng)。=4,c=5時，同理可得，沒有滿足條件的取值.

又當(dāng)d>2時，同理也沒有滿足條件的取值.

綜上所述：只有當(dāng)說話人是女醫(yī)生時，才符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查合情推理，只需根據(jù)題意，進(jìn)行合情推理即可.

12.己知三棱錐P-A3c中，PA=PB=2,CA=CB=y/j，AB=2Q，2C=石.關(guān)于該三棱錐有以

下結(jié)論：①三棱錐的表面積為56：②三棱錐P-A6c的內(nèi)切球的半徑〃二弓；③點(diǎn)P到平面

A8C的距離為立；④若側(cè)面內(nèi)的動點(diǎn)M到平面ABC的距離為〃，且MP=^d,則動點(diǎn)M的

23

軌跡為拋物線的一部分.其中正確結(jié)論的序號為（）

A.①②B.③?C.①②③D.①②③④

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，確定幾何體的幾何特任，再求解楂錐的表面積，內(nèi)切球，結(jié)合點(diǎn)面距離的求解，以及動點(diǎn)的軌

跡求解，對選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.

【詳解】根據(jù)已知條件，可得尸02+24?=4。2,PC?+夕32=3。2,

故可得PC_LP注尸C_LPA,又PAPBu平面QM,故PC_L平面以8.

故畫出三棱錐如下所示：

①取A8中點(diǎn)為“，連接如下圖所示:

容易知：PH=],CH=y/PC2+PH2=2S

故該三棱錐的表面積S=Lx2xgx2+Lx2j5xl+」x2Gx2=5jJ,

222

故①正確；

②設(shè)該棱錐的內(nèi)切球半徑為，球心為。,

故可得^O-PAH+^O-PAC+^O-PBC+^O-AHC=^C-PAH?

xr

則;S“A8xr+3，。x『+；SgBcxr+；5AAsc=xPC，

BP-X(S+S^++S^)=-x—x2\[3x\xyj3,由①可知:

3AP4BACBCON

SgAB+SUM+'"阮+SMRC=5』，

解得「二無，故②正確：

5

③過點(diǎn)。作PMJL/7C,如下圖所示:

已證CP_L平面243,又平面RW，故。PJ_A8，

乂因?yàn)镺AP3為等腰三角形，H為AB中點(diǎn),故八3_LP”，

又CPcPH=P,CP,PHu平束PCH,故ABJ_平面PC”，

又閂Wu平面PC",故尸M_L4?,又PM工CH,

ABcCH=H,AB,CHu平面ABC,故PM_L平而ABC,

故點(diǎn)尸到平面ABC的距離為PM，

PH_>/3xl

又PM=PCx

C77"V3+19

故點(diǎn)P到平面ABC的距離為也.故③正確；

2

④根據(jù)題意，作圖如下:

p

過/點(diǎn)作設(shè)"〃=x，點(diǎn)M到平面ABC的距離為力,

由上述分析可知：。夕_1_平面以3,也即CPJ_平面AA/B,

故由^M-ABC=^C-AMB?故可得gs“8cX/?=；S〃M5xCP，

-x—x2y/3x2x/?=-x—X2A/3xxx73,

3232

故可得/?=旦，即“=旦

22

6

又因?yàn)镸P=*9d=x=M〃，

3

故點(diǎn)M到定點(diǎn)『的距離等于點(diǎn)M到定直線AB的距離，

則點(diǎn)M的軌跡是拋物線，又點(diǎn)M在平面Q45中，

故點(diǎn)M的軌跡是拋物線的一部分.故(4)正確.

綜上所述:正確的為：(1)(2)(3)(4).

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查棱錐體積的求解，棱錐內(nèi)切球半徑的求解，點(diǎn)到平面距離的求解，以及立體幾何中的軌

跡M題.屬綜合壓鈾題.

第II卷(非選擇題共90分)

本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題~第21題為必考題，每道試題考生都必須作答.第22

題和第23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分,把答案填在答題紙中相應(yīng)的橫線上.)

x+y>2

13.若實(shí)數(shù)X、y滿足,則目標(biāo)函數(shù)Z=-2x+y的取值范圍為.

”2

【答案】[-1,2]

【解析】

【分析】畫出約束條件的可行域，根據(jù)簡單線性規(guī)劃問題的解法，平移即可求解.

【詳解】作出圖象，如圖所示陰影區(qū)域?yàn)榭尚杏?

作直線—2x+y=0的平行線,

因?yàn)閥=2x+z,越往上移，z越大，越往下移，z越小,

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過可行域的40,2）時，目標(biāo)函數(shù)z=-2工+y取得最大值2,

目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過儀1』）時，目標(biāo)函數(shù)取得最小值—1.

所以目標(biāo)函數(shù)z=-2%+y的取值范圍為[-1,2].

故答案為：[-1,2].

【點(diǎn)睛】本題考杳簡單線性規(guī)劃問題的解法應(yīng)用，準(zhǔn)確畫出可行域是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

14.若曲線丁二24與曲線y=在公共點(diǎn)處有相同的切線，則實(shí)數(shù)〃的值為.

【答案】立2

e

【解析】

【分析】設(shè)出公共點(diǎn)坐標(biāo)（",），），然后利用“函數(shù)值相等、切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)相等“，列出關(guān)于。的方程組求

解卬可.

1X

—j==ae

【詳解】依題可得）/=白，/'"）=4*,設(shè)兩曲線的公共點(diǎn)為（為?。惒穣jx,

2\[x-aex

解得a=叵.

e

故答案為：叵.

e

【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在某一點(diǎn)處的切線，根據(jù)切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值相等，函數(shù)值

相等列出方程組是解題關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.

15.已知數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)之和為S.，對任意的〃wN,，都有3S”=可+16.若〃,二%，…&，〃wN"，

則數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為=；數(shù)列｛4｝中最大的項(xiàng)為.

【答案】①.(—1)1x2*"(2).64

【解析】

【分析】利用〃”,S”之間的關(guān)系，即可求得知,利用"的定義，即可求得〃,，時〃進(jìn)行分類討論，根據(jù)數(shù)

列的單調(diào)性，即可求得。的最大項(xiàng).

【詳解】當(dāng)〃=1時，3sl=q+16=3q,解得4=8,

當(dāng)〃N2時，3an=3S〃-3sl=4+16-(q.1+16),

整理得區(qū)=-3,故｛4｝是首項(xiàng)為8,公比為一;的等比數(shù)列.

71-12

故《=(T『x2j.

又以=43…%=23x(-22)x2x(-l)x2-lLx(-l)/，-'x24-/,

故當(dāng)?shù)?4%-2MwN+時,或〃=4k-l,Zw憶時，btl<0

顯然，此時不可能取得最大項(xiàng)；

當(dāng)〃=4左一3"￡M時，/??>0,此時bn=2(4"3X5-2A)=2-8—2615,

根據(jù)指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，當(dāng)且僅當(dāng)攵=2時，｛2｝取得最大值4=25=32；

當(dāng)〃=4攵,A￡N+時，>0,此時力〃=2-8爐+小，

根據(jù)指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)且僅當(dāng)左=1時，物”｝取得最大值a=26=64；

綜上所述：數(shù)列依｝中最大的項(xiàng)為a二64.

故答案為：(一1廣，24-〃；64.

【點(diǎn)睛】本題考查利用〃”,S”之間的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，涉及由數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)求其最大項(xiàng)，屬壓軸題.

16.定義在R上的偶函數(shù))，=/(力滿足/(工+2)=—/(力，當(dāng)x?(),l)時，=有以下4個結(jié)

論：①2是函數(shù)y=/(x)的一個周期；②/(1)=0；③函數(shù)y=/(x—l)為奇函數(shù)；④函數(shù)y=/(x+D在

(1,2)上遞增.則這4個結(jié)論中正確的是______.

［答案］???

【解析】

【分析】由/*+2)=-/(%)可知,/(x+4)=-/(x+2)=/(x),因此4是函數(shù)y=/(x)的一個周期，

結(jié)合函數(shù)是偶函數(shù)，又可得y=/(x)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，于是作出函數(shù)的大致圖象，根據(jù)圖象可逐一判斷每

個選項(xiàng)的正誤.

【詳解】??7。+2)=-/(刈，.?Ja+4)=-f(x+2)=/(x),.?.4是函數(shù)y=/(x)的一個周期,

??,》=/。)是偶函數(shù)，，/(工+2)=-/。)=一/(一犬)，???函數(shù))，=/(幻關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，

由于當(dāng)工￡。1)時，/U)=1-.?,于是可作出函數(shù)〃”的圖象如下：

函數(shù)/(x—l)的圖象如下:

函數(shù)/(x+1)的圖象如下:

y

由圖可知，①錯誤，②③④正確.

故答案為：②?④.

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)奇偶性、對稱性、周期性的應(yīng)用，函數(shù)的平移變換應(yīng)用，熟練掌握函數(shù)性

質(zhì)的概念是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，數(shù)形結(jié)合能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17?21

題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.）

17.AABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、b、c,已知（sinB+sinCf二siMA+sin8sinC.

⑴求A：

（2）若〃+。=6,△4區(qū)。的面積為26，求。.

【答案】（l）A=T（2）〃=2>/7

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理，將所給的條件角化邊，利用余弦定理即可求出A；

⑵利用面積公式S=1反sinA求出〃c,然后再用余弦定理〃=//+/一2從《cosA即可求出。的值.

2

【詳解】（1）;（sinB+sinC）?=sin2A+sinBsinC.

22

由正弦定理得（b+c）=a+bc,即從+一/=_bc,

1./c、.27r

:.cosA=-—,?/A=—.

（2）7S=-bcsinA=—bc=2y/3be=8,

24

因?yàn)閆?+c=6,所以—28ccosA=（力+c『一Z;c=36—8

"=28,即4=277.

【點(diǎn)睛】本題主要考查正、余弦定理、三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.如圖，在幾何體中，四邊形為菱形，AB=2,ZABC=120°,AC與3。相交于點(diǎn)。，四邊

形石尸為直角梯形，DE//BF,BDA,DE,DE-3BF-3,平面6DE尸_L平面A"C7）.

￡

（I）證明：平面AEP_L平面A/7。；

（2）求二面角E-AC-F的余弦值.

【答案】（I）證明見詳解；（2）且

5

【解析】

【分析】（1）先證反尸，尸。，再由線面垂直即可證明面面垂直；

（2）連接由二面角的定義推出二面角的平面角為NEQF,再解三角形即可容易求得結(jié)果.

【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅蜛8CO為菱形，且/ABC=120。，AB=2,

故可得BO=1,8。=2,40=6,4。=2百.

又平面應(yīng)）石尸J_平面ABC。，且交線為80,

又ED上BD，EDu平面BDEF，故￡。_1_平面A8CO,

又ADOCu平面4BCO,故￡D_LAD,EO_LOC,

則E4=JED2+AD2=M+d=而=EC，

又BFHED，故m_L平面A8CO,又A氏3cu平面A8CQ,

故F8_LA反尸3_LBC，故AF7AB2+BF?=122+『=石=0°；

又在直角梯形BDEF中，BF=\,DE=3,BD=2,

故可得EF="+2?=2叵.

在?日弘中，滿足所2+A/2=4七2,故石戶_LA廠，

在?瓦C中，滿足所2+。/2=。?2,故所，。方,

又,4方門。尸二￡4￡。/（=平面4/。，故EF_L平面ART,

乂EF_L平面AE/7，故平面A￡F_L平面4R7，即證.

(2)連接。F,OE,如下所示:

因?yàn)槠矫鍱ACc平面E4C=AC,且。為AC中點(diǎn)，

又由(1)可知：AF=FC,AE=EC,

則Ob_LAC,OE_LAC,

又OFu平面AR7,OEu平面4EC,

故/EOF即為二面角七一AC-尸的平面角.

乂在一EOF中：

OF=VOB2+BF2=A/12+12=V2，

OE=y]ED2^OD2=V32+l2=M，

又由(1)可知E尸=2j5，

.后AH±-R/"LOE2+OF2-EF210+2-8亞

故由余弦定理可得：cos/EOF=----------------=----產(chǎn)—=——

2OExOF4石5

故二面角七一AC-尸的余弦值為正.

5

【點(diǎn)睛】本題考查由線面垂直推證面面垂直，以及二面角的求解，屬綜合中檔題.

19.已知橢圓七：5+'=1(?！?)的離心率e=；.直線x=，Q>0)與曲線E交于不同的兩點(diǎn)M,

N,以線段MN為直徑作圓C,圓心為C.

(1)求橢圓￡的方程；

（2）若圓C與），軸相交于不同的兩點(diǎn)A3,求AA8C的面積的最大值.

【答案】（1）三+X=1；（2）地.

437

【解析】

【詳解】試題分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率得。=2,所以橢圓方程為工+工=1；（2）把直線和橢圓方程聯(lián)

43

立，表示出圓的半徑，由弦長公式表示出卜J12—7”,再由基本不等式得AABC的面

什III-----------1「I----------1+12—7/赦.

積S=-?r712-7r=—!=xV7rx>/12-7r2<—~!--------3

22V72V72不

試題解析：（1）；橢圓E:]+^=l（a〉G）的離心率e=；,???"J=；,解得〃=2.

r2V2

，橢圓E的方程為L+L=1.

43

（2）依題意，圓心為C（/,0）（0<tV2）.

x=t

由｛二+亡盤、呼

T+T

???圜C的半徑為r=川2-3廣

2

???圓C與y軸相交于不同的兩點(diǎn)A,B,且圓心C到y(tǒng)軸的距離d=l,

.八V12-3/2印s’.2x/21

?,0</<-------------?即0<，<-------

27

???弦長|A.=2x!r-d1=2,1213//=^/12-7/2.

.?.△ABC的面積s=LViT書=3、歷xTEI7"」■士工=身

22a2V727

當(dāng)且僅當(dāng)行=J12.7產(chǎn)，即，二年時，等號成立.???△ABC的面積的最大值為乎.

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與橢圓、直線與圓的位置關(guān)系.

【方法點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系及圓的弦長問題，屬于

中檔題.本題第一問解答的關(guān)鍵是把握好橢圓中三個基本量間的關(guān)系2,結(jié)合已知條件即可求得a

的值；第二問解答時利用直線與橢圓的方程聯(lián)立方程組即可得到圓半徑的表達(dá)式由直線與圓的位置關(guān)系得

到，的范圍，利用直角三角形求出弦長，表示出AABC的面積利用基本不等式即可求得最大值.

20.為了引導(dǎo)居民合理用電，國家;決定實(shí)行合理的階梯電價，居民用電原則上以住宅單位(一套住宅為一戶).

階梯級