微專題43非對稱韋達定理

［考情分析］圓錐曲線的綜合問題是高考考查的重點內(nèi)容，非對稱韋達定理的應用在高考中

經(jīng)常出現(xiàn)，常以解答題的形式壓軸出現(xiàn)，難度較大.

-思維導圖

圓錐曲線的方程」L兩根之比型

必備一常見

直線方程一非一系數(shù)不等型

知識對題型

韋達定理」稱「分式上、下不對稱型

韋

達

化對稱一定

理p忽略直線斜率不存在的情況

必備一常見

和積轉(zhuǎn)化-七忽略參數(shù)的范圍

解法誤區(qū)

配湊半代換一

典型例題

考點一兩根之比型

【典例1】設橢圓C：1(心6>0)的左焦點為R過點/的直線/與橢圓C相交于n,B

兩點，直線/的傾斜角為60。，AF=1FB,求橢圓。的離心率.

解設4gyi)95(x2,y2),由題意知”>0,歹2Vo.

直線/的方程為y=S(x+c),其中°=寸層一扶,

卜=Sa+c),

聯(lián)立

1,

得(3次+〃)產(chǎn)-2sb2少一3〃=0,

韶62(。+2〃)_yj3b2(c—2a)

解得yi,yi

3層+左3a2+b2

因為4尸=2方瓦所以刃=一292,

,\[3b2(c+2a)_\[ib2(c—2a)

即?------=-2-------.

3。2+爐3a2+b2

整理得，離心率e=—=—

a3

非對稱處理方法一

由韋達定理得力+夕2=坐"，3〃

3az+bz3tz2+62

由4F=2必，得刃=一2》2,

21

即8=—2,所以"+若即(yi+yi)

歹2y2yi2yiy22

則----理吠一=-I,整理得8c2=34+尻，即9c2=4層,

(3a2+b2)-3b42

弓=2

所以e=

a23

C主】方法一鏟=—2取倒數(shù)相加，得到以十/=一,，這樣處理將不對稱式轉(zhuǎn)化為對稱式,

yi歹2yi2

就可以將韋達定理的結(jié)果整體代入了.

非對稱處理方法二

yi+y2=—y2,

由yi=-292,得

yiyi=~2yi.

(yi+y2)2(-y2)21

則

VU2~2yl2

=2a2c

yi+y2

3Q2+62,

將3〃

產(chǎn)=一力的，

[2收2。

13a2+辦

1

代入上式，得一次

2,

3層+按

12b%21

3a1+b22

整理得e=2

3

【注】方法二是利用條件"=-2H，得到勿+H與加為的關(guān)系改±注=—1,然后就可以用

y\y22

韋達定理處理了.

非對稱處理方法三

,2?%

將歹1=一2心代入3〃

'2c

一》_3a2+居

得‘3〃

3tz2+/)2

r

123b2、4

消去H，得213層十對2=T^,

3az+bz

整理得e=2

3

C主】方法三是逐個消掉"，了2,其實就是代入消元法.

跟蹤訓練1設雙曲線C：三一產(chǎn)=1(°>0)與直線/：x+y=l相交于不同的點/,B,設直線/

與y軸的交點為尸，且弘=吉尸5,求Q的值.

解易得尸。1),設4(制，yi),5(X2,歹2)，

—

故B4=(xi,yi-l)9PB=(X2,y21).

由雙曲線。與直線/相交于兩個不同的點,

X22一

口一歹=1，

聯(lián)立,“得(1—〃2)X2+2Q2X—2Q2=(),

y=-x+1,

M.2a22a2

故Xl十X2=--------X1X2=------------；,

l-azl-az

且1—dPwo.

由F4=★尸5,知(Xl,g-1)=\(X2,方―1),

MX\=-X2,由X1=*X2得皂=*,

1212X212

取倒數(shù)相加，得型+卷=*+起,

X2xi125

，+里+2=&+被,2

125X2xiX1X2

即(41+%2)2=289

X1X260

將%1+%2=---叁7，工代入上式,得一二二手,解得

1—6Z2

考點二系數(shù)不等型

【典例2】已知拋物線C產(chǎn)=4%與定點尸(2,1),直線/過點尸且與拋物線交于4B兩點,且

有力=1誦,求直線/的斜率.

7

4a1,5(x2,J2).

解設yi)9

方法一由必可得7>1+/=8,即/=—7/+8,

引入待定系數(shù)九使得方一1=231—1),

易得丸=—7,即/一1=—7。1-1).

因為力一1W0,所以匕匚=—7.

加一1

取倒數(shù)相加，得—7」=…+…=eLD2+J—l)2,

7yi-l"一］(yi—l)(j2-1)

所以￡=S+H-2)22.

7歹必一。1+玖)+1

設直線/：x—2=m(y—1),與拋物線C：產(chǎn)=4%聯(lián)立可得產(chǎn)一4叼+4冽一8=0,

則H+H=4冽，＞U2=4加-8,

代入前面的式子中可得16.—16冽+4=一韭

7

解得加=2或加=—1,所以直線/的斜率為1或-1.

2

方法二設4(xi,/),B(X2,/),直線/：x—2=m(y—l),

與拋物線C：爐=4x聯(lián)立可得/-4加y+4加-8=0,

則巾+^2=4加，y\y2=4m—8.

~?1—?

由/尸可得H=-7yi+8,

代入上面兩式，得ji+72=_6ji+8=4m,

4—。vyi

解得刃=---,又次及=—7貨+80=4機一8.

C4—2m\

所以一7「T^2+8?匕冽=4加一8,

3

解得加=2或加=—1.

所以直線/的斜率為;或T

跟蹤訓練2如圖，在平面直角坐標系。初中，焦點在x軸上的橢圓C：1+，=1經(jīng)過點

,且標=8,經(jīng)過點7(1,0)作斜率為網(wǎng)上＞0)的直線/交橢圓C于/,3兩點(4在x軸下

方）?

(1)求橢圓。的方程;

(2)過點。且平行于/的直線交橢圓于M,N兩點，求胃料的值；

⑶記直線/與y軸的交點為尸，若力=泌求直線/的斜率左的值.

解(1)因為橢圓C：：+,=1經(jīng)過點［乩1,

Z）2?c2_

所以8十2〃一1.

又層=62+,2,則^+1!=1,

82b2

解得分=4或加=8(舍去).

所以橢圓。的方程為芷十丁=1.

84

(2)設4(xi,yi),5(%2,歹2).

因為7(1,0),則直線/的方程為》=義》-1).

y=k(x-1),

聯(lián)立直線I與橢圓方程得柄2?方_1

I—1,

184

消去必得（2左2+l）N—4Nx+2a一8=0,

所以=f

21c1+12左2+1

因為MN〃l,所以直線肱V的方程為^=布,

y=Ax,

聯(lián)立直線MN與橢圓方程得定+丁=1

.84'

消去丁得(2左2+l)N=8,

8

解得N=

2a+1

因為MN〃l,

所以|47]|571=（1—xi＞（x2-1）

|M^|2（XM~XN）2

7

因為（1—X1）,（X2-1）=~[X1X2—（Xl+x2）+1]

2左2+1

32

（XM一1N）2—4x2=

2『+1

所以|4』|34=（1—制）?（%2—1）=7

\MN\2（XM-XN）232

(3)在歹=左。一1)中，令x=0,則^=一左，所以尸(0,—k),

從而/尸=(—xi,—k-y\)9TB=(xi—1,y2),

因為崩=j/，所以一Xl=jx2—1),

即Xl+；X2=j①

4萬2?

Xl+X2————，②

2k2+1

由(2)知‘2A2—8

XiX2c,,③

.2左2+1

一4產(chǎn)+216產(chǎn)一2

由①②得XI

3(2左2+1)3(2產(chǎn)+1)'

代入③式，整理得50A4—83產(chǎn)—34=0,

解得產(chǎn)=2或小=—黑(舍).

又因為左＞0,所以左=也.

考點三分式上、下不對稱型

【典例3】如圖，設尸為橢圓C：：+產(chǎn)=1的右焦點，過點(2,0)的直線/與橢圓C交于/,B

兩點.

(1)若點2為橢圓C的上頂點，求直線/尸的方程；

(2)設直線NRAF的斜率分別為41,奴上2手0),求證：也為定值.

左2

⑴解由題意得直線N2的方程為:十7=1,即＞=一；+1,

Xi1

y~2+i，

聯(lián)立得-x2-x=0,

H+J，4

解得x=0或x=±

3

所以/(j，J,而尸(1,0),所以自F=l.

故直線AF的方程為y=x-l.

(2)證明設直線48的方程為x=my+2,A(xi,71)?B(X2,y2),

x=my-{-2,

聯(lián)立

―"ry2—1,

12

得（加2+2?2+4叼+2=0,則/>0.

由韋達定理可得力+/=—.（*）

mz+2m2+2

求解目標為&=2二1=竺恒二D=吧"

女2.2y2（xi-l）myiy2+y2

X2~l

yi,方的系數(shù)出現(xiàn)了不對稱，可用如下處理手法.

非對稱處理方法一（PU2轉(zhuǎn)化為yi+y2）

由（*）兩式相除，可得/+"=-2myiy2,

所以叼必=一"；",

切1歹2十歹1_2______ji-yi

所以夕1.

左2my\y2~\~y2yi+v2,H-yi

―2---

C主】yi+y2,HN2中,把yiy2轉(zhuǎn)化成yi+/.

非對稱處理方法二（yi,”保留yi）

k\_my\yi+y\_my\yi+y\_^+2"_m2+2.

一=------=--------------=-------------=-------=-1

左2myxyi+yimy\yi+（yi+y2）~yi2m4m—2m

--------------yiyi

m2+2m2+2-----m2-\~2

C主】yi,H保留一個，分子、分母統(tǒng)一保留yi,故在分母處配yi+玖.

非對稱處理方法三（yi,又保留方）

2m4m2m

k\=切必+歹1=加歹必+⑦+㈤一/=冽2+222+2=冽2+2

左2myxyi+yimyxyi+yi2m.2m.

■-IT—十,2-r;一十歹2

m2+2m2+2

C主】yi,又保留一個，分子、分母統(tǒng)一保留方，故在分子處配/+以.

非對稱處理方法四（暴力求根）

由求根公式得y=一2加士12/-4,不妨設v_—2m+^/2m2~4_—2m—ylm2-4

22

m2+2m+2'm+2

2m?2m―2m+,X/zm2-4

,------ryi

加玖理+/=冽2+2m2+2m2+272nl2—4

1.

myxyi+yi2m.21n

~:ry2

冽2+2/m2+2m2+2

C主】首先結(jié)合韋達定理化去外外，然后暴力求根代入外，歹2,將分子、分母都用含冽的式子

表示，逐步消元得到結(jié)果.

22

跟蹤訓練3如圖，在平面直角坐標系。沙中，已知橢圓C：：+：=1的左、右頂點分別為

A,B,過右焦點廠的直線與橢圓C交于點P,。(點尸在工軸的上方).設直線4P,BQ,BP

的斜率分別為左1，左2,依.

(1)求證：無依為定值；

(2)是否存在常數(shù)九使得左1=法2?若存在，求出2的值；若不存在，請說明理由.

⑴證明設尸(xi,yi),0a2,歹2),直線尸。的方程為1=卯+1,代入橢圓方程,

得(4+3m2)y2-\-6my—9=0,

從而"+芹=工^'一9

4+3加2

22K歹紈

于是k2k3

X2一2xi—2(%2一2)(x1一2)

y2yl

因此k2k3=

(myi—1)(myi-1)m2y\y2—m(y\+1

將刃十歹2,j必代入，化簡得左2左3=一：,

故左2角為定值.

(2)解假設存在常數(shù)九使得任=江2,

&一2叩I/—yi

則2=k\yi

foxi+2y2my\y2~\~^y2

方法一(消")

因為"四殳二”，—9

切必+3丁24+3m2

-9

m--7-1---

所以-4+3加2

-9

m卜--3-y-2---

4+3m2

又“石舞,從而以—6m

P2,

4+3m2

|—6m

—3m.

一；十》2

于是九=4±3注-------------4+3冽21

—9m?.~9mic3’

~~+3y2；---；+3j2

4+3m24+3m2

方法二（積化和）

、3

因為my\y2—~（y\+j;2）,

3

k\my\yi—y\21

所以a=

左2myxyi-V3yi33

-(yi+^2)+3j2

方法三（和化積）

、3

因為叼U2=5（yi+?2）,

2

即y1+y2=^my\y2,

k\my\yi—y\町iH—(yi+H)+H_5叼曲+j21

所以2=

上2myxyi+3yimyxyi+3yi3

加歹必+3歹2

方法四（升嘉）

因為4?紅二

xi+2y2

所以.叵戈.

（XI+2）2yi

由定+式遐+立=1,

4343

—il,貨=3

得行=31

(X2—2)2

(2-xi)(2—X2)_4-2(xi+%2)+%i%2

于是N=(X2

8+2)230(2+%1)(2+%2)4+2(xi+%2)+%1%2

當直線P。的斜率不存在時，X1=X2=1,此時％=；；

當直線尸。的斜率存在時，設尸。：y=k（x~\\

22

代入橢圓方程亍+：=1,得（4乃+3）N—8—+4產(chǎn)—12=0,

8產(chǎn)4^-12

從而Xl+X2=X\X2

4左2+34F+3

8F?4R—12

4-2-

4左2+34產(chǎn)+3

于是=1,即九=1

8杉?4左2—1293

4+2-

4尸+34^+3

綜上所述，A=-.

3

方法五(換k)

因為后止3=-3,即后3=----

44左1

9

而k2k3二—,

4

所以4214后］=一',從而，=3,則4=1.

4k\3

［總結(jié)提升］

在解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問題中，在遇到直線與圓錐曲線聯(lián)立轉(zhuǎn)化為一元二次方

程，得到韋達定理后，發(fā)現(xiàn)不能直接應用韋達定理，這類問題叫做“非對稱韋達問題”，處

理這類問題常用兩種方法，一是和積轉(zhuǎn)換法，二是配湊半代換法.

^^5?

1.已知圓C：(x+l)2+/=8,定點/(1,0),M為圓上動點，點尸在4W上，點N在CM上，

且滿足茄'=2成，標?施=0,點N的軌跡為曲線￡.

⑴求曲線E的方程；

⑵過定點/(0,2)的直線交曲線E于不同的兩點G,//(點G在點下,8之間)，且滿足眉=蘇力,

求義的取值范圍.

解⑴；京=2亦NPAM=Q.

為的垂直平分線，=

又：|CW+pW|=2也，：.\CN\+\AN\=2\f2>2,

動點N的軌跡是以點C(—1,0),/(1,0)為焦點的橢圓，且橢圓長軸長為2a=2仍，焦距2c

=2,即4=/，0=1,則爐=1.

曲線E的方程為止+產(chǎn)=1.

2

(2)當直線G/Z斜率存在時，設直線GH的方程為了=丘+2,代入橢圓方程:+產(chǎn)=1,

得匕Jx2+4fa:+3—0,

由/>0得.設Ggyi),H(X2,為)，

一4左-8k

則X1+X2=T~

~+k21+2乃

2

—」6

X\X1—11,②

-+k21+2R

2

U：FG=XFH,/.（xi,刃—2）=4（X2,方一2）,

.\X1=XX2,.*.A=-.

X2

f^+i+2=3（n^）=

4<2+1+2VK,解得1<%<3且丸W1,

233

VO<2<1,???％vl.

3

又當直線HG斜率不存在時直線方程為％=0,FG=-FH,A=-,

33

.」Wkl,j*0.

3

2.已知橢圓C：:+,=l(心6>0)的離心率為J短軸長為2^.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設4,8分別為橢圓C的左、右頂點，若過點P(4,0)且斜率不為0的直線/與橢圓。交于

M,N兩點，直線與3N相交于點。.證明：點Q在定直線上.

⑴解因為橢圓的離心率為熱

所以,=1,所以a=2c,

a2

又26=2/，所以6=3.

因為b2=a2—c2=3c2=3,

所以c=l,。=2,

所以橢圓C的方程為芷十芷=1.

43

（2）證明方法一設直線MV：x=ty+4,M（xi,yi）,Ng,㈤,

x="+4,

可得(3?+4?2+24亞+36=0,

,——24%

yi十玖=1—，

3F+4

所以

MM36

直線4M的方程為歹=」^一(x+2),①

xi+2

直線5N的方程為y='^(x—2),②

X2—2

由對稱性可知，點。在垂直于X軸的直線上，

聯(lián)立①②可得》=生"金也

3y2—n

因為g”

yiy23

所以九一2—必+6y2+2)i—3(y1+H)+⑶2+2H一1

3y2—yi3y2—yi

所以點。在直線x=l上.

方法二設M(X1,H),Ng?2),。(%3,力)，Xi,X2,X3兩兩不等,

因為尸，M,N三點共線，

221MM

所以A——/■彳二鳧4j=314j

222

xi-4%2-4(制-4)2(%2—4)(xi—4)(%2—4)

整理得2XI%2—5(xi+%2)+8=0.

又4M,0三點共線，有J一=產(chǎn)一，①

又3,N,。三點共線，有‘^=」^,②

X3—2xi-2

將①與②兩式相除得

卜3+2]

士+2=歹2(修+2)/口"^|,=支(修+2)2

X3—2J?1(X2—2)貨(工2—2)2

__9(XI+2)2=(X2+2XXI+2)

3U3-2)28-2)3-2)

_%1%2+2(工1+%2)+4

X\X2—2(%1+%2)+4

將2X1X2—5(X1+%2)+8—0,即X1X2—~(x1+X2)—4,

卜3+2]

代入得Q—力2=9,

解得X3=4(舍去)或X3=l(因為直線BQ與橢圓相交，故X3W4),

所以。在定直線X=1上.

3.已知橢圓E的左、右焦點分別為Fi(-c,0),尸2(。,0)(。＞0).點N在/上，NFiLFxFi,叢NF1F2

的周長為6+4/，面積為1°.

3

(1)求石的方程；

(2)設￡的左、右頂點分別為4B,過點(？°)的直線/與￡交于C,。兩點，記直線NC的

斜率為后，直線8。的斜率為.(從以下①②③三個問題中任選一個填到橫線上并

解答).

①求直線AC和BD交點的軌跡方程；

②是否存在常數(shù)小使得質(zhì)=求2恒成立？

③過點C作關(guān)于x軸的對稱點C',連接C'。得到直線/i,試探究：直線/1是否恒過定點.

2Q+2C=6+4也，

解(1)依題意，得_1

'7-2c—————c—~c,

2aa3

〃+c=3+2也，

即,尤=L

a3,

a2=9,

解A得「

b2=h

所以￡的方程為：+儼=1.

(2)選擇①.

設直線/的方程為X=W+Q,C(XI,y\)9D(X2,H),

r2

"r=1,

聯(lián)立方程’3

工=夕+鼻，

化簡整理，得4(—+9?2+12)—27=0,

,一3t

州+?2+9'

由韋達定理得‘-27