第磁場對運(yùn)動電荷的作用

目標(biāo)要求1.會判斷洛倫茲力的方向和計算洛倫茲力的大小。2.會分析帶電

粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動。3.會分析帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的多解和臨界極值問

題，提高思維分析綜合能力。

考點一對洛倫茲力的理解和應(yīng)用

---知.梳理|--------

1.定義：m運(yùn)動電荷在磁場中受到的力。

2.大小

時，F(xiàn)澗=囪0。

(2)0_1_3時，F(xiàn)洛=團(tuán)如必。

(3)0與3的夾角為。時，F(xiàn)1&=qvBsm0o

3.方向

(1)判定方法：應(yīng)用左手定則，注意四指應(yīng)指向正電荷運(yùn)動方向或負(fù)電荷運(yùn)動

的反方向。

(2)方向特點：R洛，3,R洛，0。即R洛垂直于3、0決定的平面(注意3和0

可以有任意夾角)。

【判斷正誤】

1.運(yùn)動的電荷在磁場中一定會受到磁場力的作用。(X)

2.洛倫茲力的方向在特殊情況下可能與帶電粒子的速度方向不垂直。(X)

3.帶電粒子在A點受到的洛倫茲力比在B點大，則A點的磁感應(yīng)強(qiáng)度比B點

的大。(X)

----------^1!能a-----------

1.洛倫茲力的特點

(1)利用左手定則判斷洛倫茲力的方向，注意區(qū)分正、負(fù)電荷。

(2)運(yùn)動電荷在磁場中不一定受洛倫茲力作用。

(3)洛倫茲力一定不做功。

2.與安培力的聯(lián)系及區(qū)別

(1)安培力是洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)，二者是相同性質(zhì)的力，都是磁場力。

(2)安培力可以做功，而洛倫茲力對運(yùn)動電荷不做功。

3.洛倫茲力與電場力的比較

比較項目洛倫茲力電場力

產(chǎn)生條件oWO且v不與B平行電荷處在電場中

大小尸洛=qo3(o_L5)F=qE

力方向與場

Fif,±B,R洛_LoF//E

方向的關(guān)系

可能做功，

做功情況任何情況下都不做功

也可能不做功

【對點訓(xùn)練】

1.（洛倫茲力的理解）下列說法正確的是（）

A.運(yùn)動電荷在磁感應(yīng)強(qiáng)度不為零的地方，一定受到洛倫茲力的作用

B.運(yùn)動電荷在某處不受洛倫茲力作用，則該處的磁感應(yīng)強(qiáng)度一定為零

C.洛倫茲力既不能改變帶電粒子的動能，也不能改變帶電粒子的速度

D.洛倫茲力對帶電粒子不做功

解析：D運(yùn)動電荷速度方向與磁場方向平行時，不受洛倫茲力，此時磁感

應(yīng)強(qiáng)度不為零；洛倫茲力只改變帶電粒子的速度方向，不改變帶電粒子的速度大

??；洛倫茲力對帶電粒子不做功。故D正確。

2.（洛倫茲力的方向）圖中心b、c、d為四根與紙面垂直的長直導(dǎo)線，其橫截

面位于正方形的四個頂點上，導(dǎo)線中通有大小相等的電流，方向如圖所示。一帶

正電的粒子從正方形中心。點沿垂直于紙面的方向向外運(yùn)動，它所受洛倫茲力的

方向是（）

覆

限,0的

'0c

A.向上B.向下

C.向左D.向右

解析：B根據(jù)題意，由安培定則可知，氏d兩通電直導(dǎo)線在。點產(chǎn)生的磁

場相抵消，。、。兩通電直導(dǎo)線在。點產(chǎn)生的磁場方向均向左，所以四根通電直導(dǎo)

線在。點產(chǎn)生的合磁場方向向左，由左手定則可判斷帶正電粒子所受洛倫茲力的

方向向下，B正確o

3.（洛倫茲力的大?。┤鐖D所示，三根相互平行的固定長直導(dǎo)線心、心和卻垂

直紙面放置，三根導(dǎo)線與坐標(biāo)原點分別位于邊長為。的正方形的四個頂點上，Li

與心中的電流均為/，五中的電流為21,Li與心中電流的方向均垂直紙面向外，

心中電流方向垂直紙面向里。已知距導(dǎo)線廠處的磁感應(yīng)強(qiáng)度3=藁（其中左為常數(shù)）。

某時刻，一電子（電荷量為e）正好沿y軸正方向運(yùn)動，經(jīng)過原點。時的速度大小

為0,則電子此時所受洛倫茲力（）

*G

-7）---------

-----

A.方向垂直紙面向里，大小為與也

B.方向垂直紙面向里，大小為誓

c.方向垂直紙面向外，大小為盅譬

D.方向垂直紙面向外，大小為丁

解析：B根據(jù)安培定則，判斷三根導(dǎo)線分別在。點的磁場方向，由題意知，

kJ

Li在。點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小方向水平向左，上在。點產(chǎn)生的磁感

應(yīng)強(qiáng)度大小及="|國，方向與X軸負(fù)方向成45°角向下，上在。點產(chǎn)生的磁感

應(yīng)強(qiáng)度大小3=種，方向豎直向上，所以合

磁感應(yīng)強(qiáng)度3=*，方向沿x軸負(fù)方向，電子沿y軸正方向經(jīng)過原點。時，

由左手定則可知，洛倫茲力的方向垂直紙面向里，大小為F=答,故選B。

4.（洛倫茲力作用下帶電體的運(yùn)動）如圖所示，一個粗糙且足夠長的斜面體靜止

于水平面上，并處于方向垂直紙面向外且磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為3的勻強(qiáng)磁場中，質(zhì)

量為機(jī)、帶電荷量為+Q的小滑塊從斜面頂端由靜止下滑，在滑塊下滑的過程中，

斜面體靜止不動。下列說法中正確的是()

A.滑塊受到的摩擦力逐漸增大

B.滑塊沿斜面向下做勻加速直線運(yùn)動

C.滑塊最終要離開斜面

D.滑塊最終可能靜止于斜面上

解析：C滑塊受重力、支持力、垂直于斜面向上的洛倫茲力和沿斜面向上

的摩擦力四個力的作用，初始時刻洛倫茲力為0,滑塊沿斜面向下加速運(yùn)動，隨

著速度0的增大，洛倫茲力增大，滑塊受到的支持力減小，則摩擦力減小，加速

度增大，當(dāng)qoBM/ngcos。時，滑塊離開斜面，故C正確，A、B、D錯誤。

考點二帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動

------知識梳理|--------

1.若帶電粒子以入射速度0做⑷勻速直線運(yùn)動。

2.若o_L3時，帶電粒子在垂直于磁感線的平面內(nèi)，以入射速度。做囪勻速圓

周運(yùn)動。

3.基本公式

力

(1)向心力公式：一=團(tuán)加五。

(2)軌道半徑公式：R=包量。

(3)周期公式：T=^=a

提醒：帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的周期與速率無關(guān)。

【判斷正誤】

1.由于安培力是洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)，所以洛倫茲力可能做功。(X)

2.帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動時，其運(yùn)動半徑與帶電粒子的比荷

有關(guān)。(V)

3.公式7=等說明帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動周期T與v成反比。(X)

------關(guān)鍵能；L-------

比較項目基本思路圖例說明

p、〃點速度方向垂線的

1i-XS?!1Jv

①與速度方向垂

交占

直的直線過圓心

!xxx；

②弦的垂直平分BP點速度垂線與弦的垂

圓心的IXxx：

線過圓心?X\XXjX

X直平分線交點

確定

③軌跡圓弧與邊

1,,?,1

;。1?,?：

界切點的法線過亳；A——/

某點的速度垂線與切點

圓心

:??〃?法線的交點

1丁?.?”7二??!

常用解三角形法例：(左

圖)

半徑的利用平面幾何知JjxtWxxX

!!xxXxL

i/

R-d\船oR—?kHR—L1

確定識求半徑“Rsin0

()ct、￡7+淤

(R_J)2求得R_2d

速度的偏轉(zhuǎn)角9等于◎

利用軌跡對應(yīng)圓「一、、\

所對的圓心角"偏轉(zhuǎn)角

運(yùn)動時心角e或軌跡長樓力

0(P與弦切角a的關(guān)系：

間的確度L求時間t=F

C^\'2

9Vl80°時，°=2a；cp

定

L

>180°時，9=360°-

試、

2a

維度1直線邊界問題

粒子進(jìn)出直線邊界勻強(qiáng)磁場時具有對稱性(如圖所示)。

(a)(b)(c)

EE一勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為5,方向垂直于紙面向外，其邊界如

圖中虛線所示，ab=cd=2L,bc=de=L,一束?He粒子在紙面內(nèi)從a點垂直于a。

射入磁場，這些粒子具有各種速率。不計粒子之間的相互作用。已知粒子的質(zhì)量

為機(jī)、電荷量為q。則粒子在磁場中運(yùn)動時間最長的粒子，其運(yùn)動速率為（）

3qBL5qBL

■4m4m

5qBL5qBL

C?8mD?6m

解析：B根據(jù)題意可知，粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，由牛頓第二定律

有qvB=rrr^,又有T=^，設(shè)粒子運(yùn)動軌跡所對的圓心角為則運(yùn)動時

間為/=5?7=器可知，a越大，運(yùn)動時間越長，當(dāng)粒子運(yùn)動時間最長時，運(yùn)動

，兀qb

軌跡如圖所示，可知a越大則NaOc越小，而NoOc=180?！猌Oac—ZOca=

180°—2/Oac,即當(dāng)圓弧經(jīng)過c點時NOac最大，此時a最大。由幾何關(guān)系有

￡2+（2L—R）2=R2,解得R=%，聯(lián)立可得。=嚕=鬻，故選B。

,~~II[II，/。

維度2平行邊界問題

粒子進(jìn)出平行邊界勻強(qiáng)磁場時存在臨界條件（如圖所示）。

血U如圖所示，平行邊界區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，比荷相同的帶電粒子。和

人依次從。點垂直于磁場的左邊界射入，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后從右邊界射出，帶電粒子

。和6射出磁場時與磁場右邊界的夾角分別為30°和60°。不計粒子的重力，下

列判斷正確的是（）

30°

A.粒子a帶負(fù)電，粒子6帶正電

B.粒子。和6在磁場中運(yùn)動的半徑之比為1：小

C.粒子。和)在磁場中運(yùn)動的速率之比為?。?

D.粒子a和b在磁場中運(yùn)動的時間之比為1：2

解析：B粒子。向上偏轉(zhuǎn)，由左手定則可判斷，粒子a帶正電，而粒子6

向下偏轉(zhuǎn)，則粒子6帶負(fù)電，故A錯誤；如圖所示，由幾何關(guān)系可知，磁場寬度

v2

x=Rasin60°=&sin30°,解得&：Rb=l：木,故B正確；由quB=n%,可

得。=^，比荷相同，磁場相同，則為：為=&：&=1：/，故C錯誤；粒子

_2兀m_601_

運(yùn)動的周期7=1才，則乙=/，〃運(yùn)動的時間電=360。Ta=/,b運(yùn)動的時間

30°1

tb=公久八?！猅b=~［不Tb,故t?2=2.1,故D錯誤。

JOUI」a

維度3圓形邊界問題

帶電粒子在圓形邊界的磁場中運(yùn)動的兩個特點

(1)若粒子射入磁場時速度方向與入射點對應(yīng)半徑夾角為0,則粒子射出磁場

時速度方向與出射點對應(yīng)半徑夾角一定也為仇如圖甲所示。

(2)若粒子沿著邊界圓的某一半徑方向射入磁場，則粒子一定沿著另一半徑方

向射出磁場(或者說粒子射出磁場的速度的反向延長線一定過磁場區(qū)域的圓心)，

如圖乙所示。

N

EE（2023?全國甲卷）（多選）光滑剛性絕緣圓筒內(nèi)存在著平行于軸的勻強(qiáng)磁

場，筒上尸點開有一個小孔，過尸的橫截面是以。為圓心的圓，如圖所示。一帶

電粒子從尸點沿P。射入，然后與筒壁發(fā)生碰撞。假設(shè)粒子在每次碰撞前、后瞬

間，速度沿圓上碰撞點的切線方向的分量大小不變，沿法線方向的分量大小不變、

方向相反；電荷量不變。不計重力。下列說法正確的是（）

A.粒子的運(yùn)動軌跡可能通過圓心。

B.最少經(jīng)2次碰撞，粒子就可能從小孔射出

C.射入小孔時粒子的速度越大，在圓內(nèi)運(yùn)動時間越短

D.每次碰撞后瞬間，粒子速度方向一定平行于碰撞點與圓心。的連線

解析：BD假設(shè)粒子帶負(fù)電，第一次從A點和筒壁發(fā)生碰撞如圖，5為圓

周運(yùn)動的圓心，由幾何關(guān)系可知NOiA。為直角，即粒子此時的速度方向為。4,

說明粒子在和筒壁碰撞時速度會反向，由圓的對稱性可知在其它點撞擊同理，D

正確；假設(shè)粒子運(yùn)動過程過。點，則過P點的速度的垂線和OP連線的中垂線

是平行的不能交于一點確定圓心，由圓形對稱性撞擊筒壁以后的A點的速度垂線

和A。連線的中垂線依舊平行不能確定圓心，則粒子不可能過。點，A錯誤；

由題意可知粒子射出磁場以后的圓心組成的多邊形應(yīng)為以筒壁為內(nèi)接圓的多

邊形，最少應(yīng)為三角形（如圖所示），即撞擊兩次，B正確；速度越大粒子做圓周

運(yùn)動的半徑越大，碰撞次數(shù)會可能增多，粒子運(yùn)動時間不一定減少，C錯誤。故

選BDO

5

柱面，磁場的方向與圓柱軸線平行，其橫截面如圖所示。一速率為。的電子從圓

心沿半徑方向進(jìn)入磁場。已知電子質(zhì)量為m,電荷量為e,忽略重力。為使該電

子的運(yùn)動被限制在圖中實線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為（）

3mv

A-laeae

3mv3mv

C-'4aeD~5ae

解析：C為使電子的運(yùn)動被限制在圖中實線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，電子進(jìn)入勻

強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動的半徑最大時軌跡如圖所示，設(shè)其軌跡半徑為圓心

I--------4

為M,磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為3,由幾何關(guān)系有+解得

電子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動有e?行，解得”天選項C正確。

I總結(jié)提升I

帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的分析方法

(畫軌變)一?確定圓心

「(1)軌道半徑與磁感應(yīng)強(qiáng)度、運(yùn)動速度相聯(lián)

,系，即嚼

質(zhì)工、」(2)由幾何方法—般由數(shù)學(xué)知識(勾股定

三角函數(shù)等)計算來確定半徑

(3)偏轉(zhuǎn)角度與圓心角、運(yùn)動時間相聯(lián)系

1(4)粒子在磁場中運(yùn)動時間與周期相聯(lián)系

日或』牛頓第二定律和圓周運(yùn)動的規(guī)律等，特別是

電級Y周期公式、半徑公式

考點三帶電粒子在磁場中運(yùn)動的多解問題

------選磔能丞-------

帶電粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動，由于多種因素的影響，使問題

形成多解。多解形成原因一般包含4個方面：

1.帶電粒子電性不確定

受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電荷，也可能帶負(fù)電荷，在相同的初

速度下，正、負(fù)粒子在磁場中運(yùn)動軌跡不同，形成多解。

2.磁場方向不確定

在只知道磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，而未具體指出磁感應(yīng)強(qiáng)度方向，此時必須要考慮

磁感應(yīng)強(qiáng)度方向不確定而形成多解。

3.帶電粒子速度不確定形成多解

有些題目只告訴了帶電粒子的電性，但未具體指出速度的大小或方向，此時

必須要考慮由于速度的不確定而形成的多解。

4.帶電粒子運(yùn)動的周期性形成多解

空間中存在周期性變化的磁場，帶電粒子在空間運(yùn)動時，運(yùn)動往往具有周期

性，因而形成多解。

EE如圖所示，邊長為L的正三角形ACD是用絕緣材料制成的固定框架,

處在垂直框架平面向里的勻強(qiáng)磁場中，AD邊的中點有一小孔S。在框架平面內(nèi)垂

直AD方向從小孔S射入質(zhì)量為機(jī)、電荷量為+q的粒子。已知粒子射入框架時

速率為必與框架的碰撞為彈性碰撞，粒子重力忽略不計。

(1)若粒子第一次與AC碰撞的位置為AC的中點，求勻強(qiáng)磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度的

大小B-,

(2)若此粒子經(jīng)過與框架的多次碰撞最終能垂直AD方向從小孔S射出，求所

有滿足條件的勻強(qiáng)磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和粒子在框架內(nèi)運(yùn)動的時間。

解析：(1)粒子的運(yùn)動軌跡如圖1所示。設(shè)軌跡半徑為七

圖1

由幾何關(guān)系可知7?=|

、力

由牛頓第二定律可知qvB=nr^

聯(lián)立解得5=等。

CJL-j

(2)要使粒子最終能垂直AD方向從小孔S射出，粒子運(yùn)動的軌跡圓的圓心一

定位于△ACD的邊上，設(shè)該粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的軌道半徑為「，作出

粒子最簡單的運(yùn)動軌跡如圖2所示，由幾何關(guān)系得上=2〃廠+?〃=0,1,2,…)

C

XX

ASD

圖2

解得「=不匕（〃=。，1，2,…）

4〃十2'

、、、力

設(shè)該磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B',則qvB'=m—

mv(4〃+2)

解得B'=qL5=0,1,2,???)

271r

由T=v

解得T=o(4〃+2)5=°'1,2,…)

則粒子在框架內(nèi)運(yùn)動的時間f=3X患T+29=C（6"+1）=J（Mi’

(n=091,2,…)。

2mvmv(4〃+2)nL(6n+l)

答案：（1）qL⑵——5=0,1,2,…)o(4-+2)("=31

2,…）

【對點訓(xùn)練】

5.（帶電粒子電性不確定形成多解）如圖所示，寬度為d的有界勻強(qiáng)磁場，磁感

應(yīng)強(qiáng)度為B,MM'^ANM是它的兩條邊界。現(xiàn)有質(zhì)量為m,電荷量為q的帶電粒

子沿圖示方向垂直磁場射入。要使粒子不能從邊界NM射出，則粒子入射速度。

的最大值可能是多少？

XX

XX

XX

XX

XX

M'*義N'

解析：題目中只給出粒子“電荷量為q”，未說明是帶哪種電荷。

若q為正電荷，入射速度最大時的運(yùn)動軌跡是圖中上方與NM相切的《圓弧,

軌跡半徑”而

又d=R—Rcos45°

（2+/）Bqd

解傳v~------m°

_3

若q為負(fù)電荷，入射速度最大時的運(yùn)動軌跡是圖中下方與NM相切的a圓弧,

則有

mv',

R=方Bq—，d=R'+R'cos45°,

(2-/)Bqd

解得v'=m

M必（2+啦）Bqd,生力必開、3（2—/）Bqd,

答案：~（q為正電荷）或~（q為負(fù)電荷）

6.（磁場方向不確定形成多解）（多選）如圖所示，A點的離子源沿紙面垂直。。

方向向上射出一束負(fù)離子，離子的重力忽略不計。為把這束負(fù)離子約束在。尸之

下的區(qū)域，可加垂直紙面的勻強(qiáng)磁場。已知。、A兩點間的距離為s,負(fù)離子的比

荷為速率為°,。尸與。。間的夾角為30°,則所加勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度3

的大小和方向可能是（）

A.3＞赤，垂直紙面向里

垂直紙面向里

C.B>—,垂直紙面向外

D.3>等，垂直紙面向外

解析：BD當(dāng)磁場方向垂直紙面向里時，離子恰好與。尸相切的軌跡如圖甲

所示，切點為設(shè)軌跡半徑為n,由幾何關(guān)系可知，sin30。=±,可得n

S十門

由適可得；當(dāng)磁場方向垂直紙面向外時，其臨界軌跡，即圓弧

=s,n=qB\3=:q7s

r?s

與。尸相切于N點，如圖乙所示，由幾何關(guān)系5=.&八。+廠2,得r2=不又廠2

sin303

YH713n77?

=次，所以&=郡，綜合上述分析可知，選項B、D正確，A、C錯誤。

qb?qs

甲乙

7.（帶電粒子速度不確定形成多解）（多選）如圖所示，兩方向相反、磁感應(yīng)強(qiáng)度

大小均為B的勻強(qiáng)磁場被邊長為L的等邊三角形ABC邊界分開，三角形內(nèi)磁場

方向垂直紙面向里，三角形頂點A處有一質(zhì)子源，能沿NB4c的角平分線發(fā)射速

度不同的質(zhì)子（質(zhì)子重力不計），所有質(zhì)子均能通過C點，質(zhì)子比荷9=￡則質(zhì)子

rilK

的速度可能為（)

???/????

，yX\

??!X乂：\??

*常上_>

BLBL

B?永

A?丁

2BLBL

c—D?麗

J3k

解析：ABD質(zhì)子帶正電，且經(jīng)過C點，其可能的軌跡如圖所示。

所有圓弧所對圓心角均為60。，所以質(zhì)子運(yùn)行半徑為2,3,…)，

質(zhì)子在磁場中做圓周運(yùn)動，根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得好5=3,解得。=等

=^(n=l,2,3,…)，故A、B、D正確，C錯誤。

8.(帶電粒子運(yùn)動的周期性形成多解)如圖甲所示，M、N為豎直放置彼此平行

的兩塊平板，板間距離為d,兩板中央各有一個小孔。、O正對，在兩板間有垂

直于紙面方向的磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時間的變化如圖乙所示。有一群正離子在t

=0時垂直于AI板從小孔。射入磁場。已知正離子質(zhì)量為加、帶電荷量為q,正

離子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的周期與磁感應(yīng)強(qiáng)度變化的周期都為T0,不考慮由

于磁場變化而產(chǎn)生的電場的影響，不計離子所受重力。求：

MN

&卜(—i?—

v0,肅」

°\\\T0\\2T；

*—d―\閾,一'—'

甲乙

(1)磁感應(yīng)強(qiáng)度為的大?。?/p>

(2)要使正離子從(7垂直于N板射出磁場，正離子射入磁場時的速度Vo的可

能值。

解析：(1)設(shè)垂直于紙面向里的磁場方向為正方向。正離子射入磁場，洛倫茲

力提供向心力

V02

qBoVo=nr^~

正離子做勻速圓周運(yùn)動的周期幾=等

Vo

聯(lián)立可得磁感應(yīng)強(qiáng)度為=黑。

(2)要使正離子從?？状怪庇贜板射出磁場，正離子的運(yùn)動軌跡如圖所示

兩板之間正離子只運(yùn)動一個周期7b時，有R=孑

當(dāng)兩板之間正離子運(yùn)動〃個周期“7b時，有7?="(〃=1,2,3,…)

聯(lián)立解得正離子的速度的可能值為

0。=等=/(〃=1，2,3,…)

答案：⑴鬻⑵備=1,2,3,…)

考點四帶電粒子在磁場中運(yùn)動的臨界極值問題

------能?------------

1.兩種思路

(1)以定理、定律為依據(jù)，首先求出所研究問題的一般規(guī)律和一般解的形式，

然后分析、討論處于臨界條件時的特殊規(guī)律和特殊解。

(2)直接分析、討論臨界狀態(tài)，找出臨界條件，從而通過臨界條件求出臨界值。

2.兩種方法

(1)物理方法：①利用臨界條件求極值；②利用邊界條件求極值；③利用矢量

圖求極值。

(2)數(shù)學(xué)方法：①用三角函數(shù)求極值；②用二次方程的判別式求極值；③用不

等式的性質(zhì)求極值；④圖像法求極值；⑤用導(dǎo)數(shù)求極值。

3.關(guān)鍵突破口

許多臨界問題，題干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脫

離”等詞語對臨界狀態(tài)給以暗示，審題時，一定要抓住這些特定的詞語挖掘其隱

藏的規(guī)律，找出臨界條件。

EE(多選)如圖所示，在直角三角形區(qū)域內(nèi)存在垂直于紙面向里的勻

強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為Bo大量質(zhì)量為m、電荷量為的同種粒子以相同

的速度沿紙面垂直于ab邊射入磁場區(qū)，結(jié)果在be邊僅有一半的區(qū)域內(nèi)有粒子射

出。已知be邊的長度為3A和ac的夾角為60°,不計粒子重力及粒子間的相

互作用力。下列說法正確的是（）

b

----------XXX\

----------XXXX\

ac

A.粒子的入射速度為鬻

B.粒子的入射速度為￡警

c.粒子在磁場中運(yùn)動的最大軌跡長度為j竽rT

D.從兒邊射出的粒子在磁場內(nèi)運(yùn)動的最長時間為翳

解析：AC粒子進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力，有r=

因0c邊只有一半?yún)^(qū)域有粒子射出，在。C邊中點射出的粒子軌跡如圖中實線

所示，由幾何關(guān)系可得廠=生則粒子的入射速度。=鬻，所以A項正確，B項

錯誤；粒子在磁場中運(yùn)動的最長軌跡為s=u=半7TT，所以C項正確；與A邊相切,

2兀

恰從反邊射出的粒子對應(yīng)的圓心角最大為竽，從歷邊射出的粒子在磁場內(nèi)運(yùn)動

的最長時間為/=黑，所以D項錯誤。

b

【對點訓(xùn)練】

9.（直線邊界中的臨界極值問題）（多選）長為I的水平極板間有垂直紙面向里的

勻強(qiáng)磁場，如圖所示。磁感應(yīng)強(qiáng)度為3,板間距離也為/,極板不帶電?，F(xiàn)有質(zhì)量

為機(jī)、電荷量為q的帶正電粒子（不計重力），從左邊極板間中點處垂直磁感線以

速度。水平射入磁場，欲使粒子不打在極板上，可采用的辦法是（）

XXX|

+q?——-VI

xBxx

A.使粒子的速度。（誓

4m

B.使粒子的速度

C.使粒子的速度。＞等

D.使粒子的速度駕＜0〈要

解析：AB若帶電粒子剛好打在極板右邊緣，有n2=[ri-U+Z2,又因為

"=猊，解得6=嘿；若粒子剛好打在極板左邊緣時，有『2=』=篝，解得

Dq47774L）q

S=端,故A、B正確。

V

10.（圓形邊界中的臨界極值問題）（多選）地磁場可以減少宇宙射線中帶電粒子

對地球上生物體的危害。為研究地磁場，某研究小組模擬了一個地磁場，如圖所

示，模擬地球半徑為R,赤道剖面外地磁場可簡化為包圍地球、厚度為d,方向

垂直該剖面的勻強(qiáng)磁場（磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B）,d=2Ro磁場邊緣某處（未畫出）有

一粒子源，可在赤道平面內(nèi)以不同速度向各個方向射入某種帶正電粒子。研究發(fā)

現(xiàn)，當(dāng)粒子速度為2。時，沿半徑方向射入磁場的粒子恰不能到達(dá)模擬地球。不計

粒子重力及大氣對粒子運(yùn)動的影響，且不考慮相對論效應(yīng)。則（）

A.粒子的比荷2=我

B.粒子的比荷郎=磊

C.速度為◎的粒子，到達(dá)模擬地球的最短時間為而產(chǎn)噤

D.速度為。的粒子，到達(dá)模擬地球的最短時間為Min=等

解析：AD如圖甲所示，設(shè)該粒子軌跡半徑為根據(jù)幾何關(guān)系有（R+r）2

=戶+（37?）2,解得廠=4R,又q，2?B=*^~,解得\=熄^，故A正確，B錯誤;

速度為。的粒子進(jìn)入磁場有qvB=m-j,則/=2R,若要時間最短，則粒子在磁場

中運(yùn)動的弧長最短，粒子運(yùn)動半徑等于大氣層厚度，如圖乙所示，粒子運(yùn)動的圓

60。

271m2兀H

心角為60°,最短時間為Anin=右方,故D正確，C錯誤；故選AD。

JoUqB3v

素養(yǎng)培優(yōu)10三類典型的“動態(tài)圓”模型

模型1“放縮圓”模型的應(yīng)用

速度方向粒子源發(fā)射速度方向一定，大小不同的帶電粒子進(jìn)

一定，大入勻強(qiáng)磁場時，這些帶電粒子在磁場中做勻速圓周

小不同運(yùn)動的軌跡半徑隨速度的變化而變化

XXXXX

X應(yīng)X

/'、

X/X芥:、木X

適用

?Xx'IXA,以八￡"'、'、小X，』。：1AX

「。:\

條件XX2-XXX

、、、二二二二"〃

軌跡圓圓XXXXaX

心共線如圖所示（圖中只畫出粒子帶正電的情境），速度。

越大，運(yùn)動半徑也越大?？梢园l(fā)現(xiàn)這些帶電粒子射

入磁場后，它們運(yùn)動軌跡的圓心在垂直初速度方向

的直線PP上

界定以入射點P為定點，圓心位于PP直線上，將半徑放縮作軌跡圓，

方法從而探索出臨界條件，這種方法稱為“放縮圓”法

典例1（多選）如圖所示，垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場分布在正方形abed區(qū)

域內(nèi)，。點是cd邊的中點。一個帶正電的粒子僅在磁場力的作用下，從。點沿

紙面以垂直于cd邊的速度射入正方形內(nèi)，經(jīng)過時間h后剛好從c點射出磁場?，F(xiàn)

設(shè)法使該帶電粒子從。點沿紙面以與成30°角的方向，以不同的速率射入正

方形內(nèi)，下列說法中正確的是（）

A.所有從cd邊射出磁場的該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間都是|/o

2

B.若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是手），則它一定從邊射出磁場

C.若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是看0,則它一定從瓦邊射出磁場

D.若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是則它一定從

3oab邊射出磁

場

解析：ACD如圖所示，作出帶電粒子以與成30°角的方向的速度射入

正方形內(nèi)時，剛好從湖邊射出的軌跡①、剛好從次邊射出的軌跡②、從cd邊射

出的軌跡③和剛好從ad邊射出的軌跡④。由從。點沿紙面以垂直于cd邊的速度

射入正方形內(nèi)，經(jīng)過時間fo剛好從。點射出磁場可知，帶電粒子在磁場中做圓周

運(yùn)動的周期是2/0。由圖中幾何關(guān)系可知，從ad邊射出磁場經(jīng)歷的時間一定小于g

to;從仍邊射出磁場經(jīng)歷的時間一定大于5）,小于（松從次邊射出磁場經(jīng)歷的

545

時間一定大于胃o。，小于鼻3而；從cd邊射出磁場經(jīng)歷的時間一定是3m0。故選ACD。

b

J

模型2“旋轉(zhuǎn)圓”模型的應(yīng)用

粒子源發(fā)射速度大小一定、方向不同的帶電粒子進(jìn)

入勻強(qiáng)磁場時，它們在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的半

速度大小徑相同，若射入初速度為00,則圓周運(yùn)動半徑為R

一定，方—）￡（如圖所示）

適用向不同

方法

帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的圓心在以入射

軌跡圓圓

心共圓點尸為圓心、半徑夫-賽的圓上

界定將半徑為夫-黃的圓以入射點為圓心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，從而探索粒子

方法

的臨界條件，這種方法稱為“旋轉(zhuǎn)圓”法

典例2如圖所示，圓形區(qū)域有一勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為3,方向垂直紙

面向里，邊界跟y軸相切于坐標(biāo)原點。。。點處有一放射源，沿紙面向各方向射

出速率均為。的某種帶電粒子，帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑是圓形磁場

區(qū)域半徑的兩倍。已知該帶電粒子的質(zhì)量為加、電荷量為q,不考慮帶電粒子的

重力。

y

,XX、、

XXXx\

（）

XXXx/x

\XX/

（1）推導(dǎo)帶電粒子在磁場空間做圓周運(yùn)動的軌跡半徑；

（2）求帶電粒子通過磁場空間的最大偏轉(zhuǎn)角。

解析：（1）帶電粒子進(jìn)入磁場后，受洛倫茲力作用，由牛頓第二定律得

v2E_mv

“P解傳廠=而。

（2）粒子的速率均相同，因此粒子軌跡圓的半徑均相同，但粒子射入磁場的速

度方向不確定，故可以保持圓的大小不變，只改變圓的位置，畫出“動態(tài)圓”，如

圖甲所示，通過“動態(tài)圓”可以觀察到粒子運(yùn)動軌跡均為劣弧，對于劣弧而言，

弧越長，弧所對應(yīng)的圓心角越大，偏轉(zhuǎn)角越大，則運(yùn)動時間越長，當(dāng)粒子的軌跡

圓的弦長等于磁場直徑時，粒子在磁場空間的偏轉(zhuǎn)角最大，如圖乙所示，則sin等

=^=2>即9max=60。o

答案：⑴見解析（2）60°

模型3“平移圓”模型的應(yīng)用

粒子源發(fā)射速度大小、方向一定，入射點不同但在同

速度大小

一直線的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時，它們做勻速圓周

一定，方

運(yùn)動的半徑相同，若入射速度大小為。0,則半徑R=

向一定，

mvo,同匚1-一

適用但入射點詞，如圖所不

條件在同一直XXXXXXX

線上x*|/x\、、X

III

軌跡圓圓帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的圓心在同一直

心共線線，該直線與入射點的連線平行

界定將半徑為R一手的圓進(jìn)行平移，從而探索粒子的臨界條件，這種方

方法

法叫“平移圓”法

典例3（多選）如圖所示，等腰直角三角形區(qū)域分布有垂直紙面向里的勻強(qiáng)

磁場，腰長AB=2m,。為的中點，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.25T,一群質(zhì)量m=lX10

「‘kg,電荷量q=-2X10-3C的帶電粒子以速度0=5X103m/s垂直于3。，從

3。之間射入磁場區(qū)域，帶電粒子不計重力，則（）

/xXX、

/XXXx\

XXXXX

A.在AC邊界上有粒子射出的長度為（表一1）m

B.C點有粒子射出

C.在A3邊界上有粒子射出的長度為1m

D.磁場中運(yùn)動時間最長粒子從底邊距B點（6一1）m處入射

解析：ACD粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，則有嗎,

粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡半徑為"矍=作出粒子在磁

qDZ1A2:1U常z\程U.ZDm=lm,

場中的運(yùn)動軌跡圖，如圖所示，由圖可知，能從AC邊射出粒子的長度為麗=6

R—R=（p—l）m,故A正確；由圖可知，粒子不可能到達(dá)C點，故B錯誤；由

圖可知，在A3邊界上有粒子射出的長度為3R=R=1m,故C正確；磁場中運(yùn)動

時間最長粒子運(yùn)動半個圓周，軌跡與AB、AC相切，由圖可知從底邊距3點（近一

l）m處入射，故D正確。故選ACD。

xix\c

限時規(guī)范訓(xùn)練42

［基礎(chǔ)鞏固題組］

1.（2023?海南卷）如圖所示，帶正電的小球豎直向下射入垂直紙面向里的勻強(qiáng)

磁場，關(guān)于小球運(yùn)動和受力說法正確的是（）

XX

XVXX

XX

A.小球剛進(jìn)入磁場時受到的洛倫茲力水平向右

B.小球運(yùn)動過程中的速度不變

C.小球運(yùn)動過程的加速度保持不變

D.小球受到的洛倫茲力對小球做正功

解析：A根據(jù)左手定則，可知小球剛進(jìn)入磁場時受到的洛倫茲力水平向右,

A正確；小球受洛倫茲力和重力的作用，則小球運(yùn)動過程中速度和加速度的大小、

方向都在變，BC錯誤；洛倫茲力永不做功，D錯誤。故選A。

2.（多選）如圖所示，粗糙木板MN豎直固定在方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場

中。。=0時，一個質(zhì)量為加、電荷量為q的帶正電物塊沿以某一初速度豎直

向下滑動，則物塊運(yùn)動的圖像可能是（）

M

XXe

XXk

解析：ACD設(shè)初速度為00,則網(wǎng)=的00,若滿足機(jī)g=a=〃RN,即mg=

fiBqvo,物塊向下做勻速運(yùn)動，選項A正確；若mg>/iBqv。,則物塊開始有向下

的加速度，由。=強(qiáng)需駟可知，隨速度增加，加速度減小，即物塊先做加速度

減小的加速運(yùn)動，最后達(dá)到勻速狀態(tài)，選項D正確；若mgV^Bqg,則物塊開始

有向上的加速度，做減速運(yùn)動，由。=幽等儂可知，隨速度減小，加速度減小,

即物塊先做加速度減小的減速運(yùn)動，最后達(dá)到勻速狀態(tài)，則選項C正確。

3.（2022.北京卷）正電子是電子的反粒子，與電子質(zhì)量相同、帶等量正電荷。

在云室中有垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場，從P點發(fā)出兩個電子和一個正電子，三個粒

子運(yùn)動軌跡如圖中1、2、3所示。下列說法正確的是（）

（）P/1

2

3

A.磁場方向垂直于紙面向里

B.軌跡1對應(yīng)的粒子運(yùn)動速度越來越大

C.軌跡2對應(yīng)的粒子初速度比軌跡3的大

D.軌跡3對應(yīng)的粒子是正電子

解析：A三個粒子從尸點射入磁場，軌跡偏轉(zhuǎn)方向相同的帶同種電荷，所

以軌跡2對應(yīng)的粒子是正電子，1、3為電子，故D錯誤；由左手定則可判斷，磁

場方向垂直紙面向里，故A正確；對于軌跡1的粒子運(yùn)動半徑越來越小，由「=不

知，運(yùn)動速度越來越小，B錯誤；對于軌跡2和軌跡3兩種粒子，由于初始半徑

mo

F2<r3,由萬知02<。3,故C錯誤。

4.（多選）如圖所示的虛線框為一正方形區(qū)域，該區(qū)域內(nèi)有一垂直于紙面向里的

勻強(qiáng)磁場，一帶電粒子從。點沿與仍邊成30°角方向射入磁場，恰好從6點飛

出磁場；另一帶電粒子以相同的速率從a點沿ad方向射入磁場后，從c點飛出磁

場，不計重力，則兩帶電粒子的比荷之比及在磁場中的運(yùn)動時間之比分別為（