2025屆天津市薊州一中高三數學上學期第二次學情調研試卷

一、單選題（本大題共9小題）

1.已知集合/=卜?沖了=1082(4-》)},8=?|了=|_￥-1|”€4},則()

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2}

2.是"1g⑷-加<lg|6|-/"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

已知函數〃x）”+；,g（x）=smx,則圖象為如圖的函數可能是（）

3.

A.y=/(x)+g(x)-：B.y=/(x)-g(x)-：

c.y=/Wg(x)D-”據

4.已知等比數列｛凡｝的首項為工，若4%,2出，生成等差數列，則數列的前5項和為（

333131

A.——B.2C.—D.——

161664

5.已知45。為球。的球面上的三個點,。9為V/5C的外接圓,若。。1的面積為4兀,

AB=BC=AC=OQ,則球。的表面積為（

A.64兀B.4871C.36兀D.32兀

6.若。=logsA：C,-Jb=log,3,「_如，貝I]()

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>b>a

7.如圖已知正方體45cz）-44GA，M,N分別是4。,的中點，則（）

A.直線&D與直線垂直，直線MN//平面4BCA

B.直線4。與直線。田平行，直線腦V，平面3。，用

C.直線4。與直線DR相交，直線"N//平面N8CD

D.直線4。與直線異面,直線MN_L平面BDD超

8.已知函數〃x）=/cos（0x+9）（/>0,0>0,同<]）的部分圖象如圖所示，關于該函數有下

①/（x）的圖象關于點對稱；

②的圖象關于直線X=-1Si|r對稱；

③/⑺的圖象可由y=2sin（2x一胃的圖象向左平移個單位長度得到；

④若方程g（x）=/?Qo）在（o,當上有且只有兩個極值點，貝心的最大值為裳

I6J10

以上四個說法中，正確的個數為（）

A.1B.2C.3D.4

22

9.已知點4B,C都在雙曲線r：*-%=1（°>0]>0）上，且點A,B關于原點對稱，/C4B=90。.

過A作垂直于x軸的直線分別交r,BC于點/w,M若左=3五7，則雙曲線r的離心率是（）

A.B.yfyC.2D.26

二、填空題（本大題共6小題）

10.設復數z滿足2z+彳=3+i,則目=.

11.已知。>0,若12+￡|5的展開式中含/項的系數為40,則。=.

12.直線/：>=x與圓C：（x_2y+（尸4）2=戶卜>0）相交于45兩點，若點。為圓C上一點，且

2

為等邊三角形，貝化的值為.

13.甲箱中有5個紅球、2個白球、1個黃球和2個黑球，乙箱中有4個紅球、3個白球、2個黃

球和2個黑球先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中，設事件4，4，4，4分別表示從甲箱中取

出的是紅球、白球、黃球和黑球，事件3表示從乙箱中取出的球是紅球，則尸(切4)=,

P⑻=.

14.如圖，邊長為1的正三角形43C的邊NC落在直線/上，/C中點與定點。重合，頂點8與定

點P重合.將正三角形/3C沿直線/順時針滾動，即先以頂點C為旋轉中心順時針旋轉，當頂點B落

在/上，再以頂點8為旋轉中心順時針旋轉，如此繼續(xù).當V48c滾動到△44G時，頂點B運動軌

跡的長度為;在滾動過程中，礪.赤的取值范圍為.

P(B)當

15.已知函數/(x)=|a/-|x-2||+x-a,若函數/(x)恰有4個零點，則實數。的取值范圍

是.

三、解答題(本大題共5小題)

16.在V48c中，內角45,C的對邊分別為a,6,c.已知acosC+ccosN=2bcos3.

(1)求B的值；

(2)若7a=56.

①求siiU的值；②求sin(2/-3)的值.

17.已知底面/3CD是正方形，平面N3C。，PAIIDQ,PA=AD=3DQ=3,點、E、廠分別為

線段尸B、C。的中點.

⑴求證：￡尸〃平面尸/。。；

⑵求平面尸C0與平面⑺。夾角的余弦值;

3

⑶線段PC上是否存在點使得直線與平面PC。所成角的正弦值是近1,若存在求出鬻的

7MC

值，若不存在，說明理由.

18.已知橢圓C：5+，=l(a〉b>0)的離心率6=等，橢圓C的上、下頂點分別為4、4，左、

右頂點分別為4、B2,左、右焦點分別為片、鳥.原點到直線4當的距離為呼.

⑴求橢圓。的方程；

⑵過原點且斜率為3的直線/,與橢圓交于E、尸點，試判斷/%/是銳角、直角還是鈍角，并

寫出理由；

(3)尸是橢圓上異于4、4的任一點，直線P4、2分別交X軸于點N、M,若直線“與過點”、

N的圓G相切，切點為7.證明：線段0T的長為定值，并求出該定值.

,,1―1,〃=1.\

19.在數列｛%中，?！?「,「，在等差數列出｝中，前〃項和為S",4=2,2^+S5=28.

[2%+3,"22

⑴求證：｛%+3｝是等比數列，并求數列｛%｝和也｝的通項公式；

⑵設數列匕,｝滿足的=(%+3")cosg,匕,｝的前”項和為小求應；

⑶設數列｛4｝滿足4=tan%_]tan62,+i,｛",｝的前〃項和為?！保?,.

e

20.設函數/(x)=—+lnx(x>0).

2x

⑴求/(%)的單調區(qū)間；

(2)已知a,6eR,曲線y=〃x)上不同的三點(西,/(3)),仁,/仁))，卜3J(W))處的切線都經過點

(a,b).證明：

(i)若〃>e,貝

...,2e-a112e-a

(ii)右0<Q<e,%i<%2<%3，則q+be廠<F+丁<)-6e?.

(注：e=2.71828…是自然對數的底數)

4

參考答案

1.【答案】B

【詳解】由4一x>0,得尤<4,又xeN,因此/={0,1,2,3},8={0,1,2},

所以4口2={01,2}.

故選：B

2.【答案】A

【詳解】由lg0-/<lg|〃一],可得電]|+1<叨6|+/,

令〃x)=lg|x|+x2,顯然函數/(無)為偶函數，且/(無)在(0,也)上單調遞增，

所以即0<|。|<|切,

所以"0<a<6"是"lg0-/<]g向的充分不必要條件.

故選：A.

3.【答案】D

【詳解】對于A,y=/(x)+g(x)-^-=x2+siiw,該函數為非奇非偶函數，與函數圖象不符，排除

A；

對于B,y=/(x)-g(x)-i=x2-sinx,該函數為非奇非偶函數，與函數圖象不符，排除B；

對于C,y=/(x)g(x)=sinx,則j/=2xsinx+[x2+；]cosx,

當x=g時，y=-x--+fx>>與圖象不符，排除C.

4221164J2

故選：D.

4.【答案】C

【詳解】解：設{%}的公比為4,

因為4%,2a,,生成等差數列，所以4a2=4%+%,即4q=4+?2,

所以4=2,

所以%=2-1.

所吟=!，

5

所以是首項為1,公比為g的等比數歹!1,

31

1——16

2

故選：C.

5.【答案】A

【詳解】設圓a半徑為『，球的半徑為尺，依題意，

得7ir2=4肛:.r=2,VABC為等邊三角形，

由正弦定理可得48=2屆1160。=26，

：.OO\=AB=26根據球的截面性質。01J_平面ABC,

OOt±OtA,R=OA=Qoo：+0/2=^OO2+r2=4,

..?球。的表面積S=4萬笈=64%.

故選：A

6.【答案】B

【詳解】易知。=log3：<log31=0，b=log23>log22V2=,

2713

因為3<彳~,則0<c=33<—,故得b>c>。，顯然B正確.

82

故選：B

7.【答案】A

6

【詳解】

連N2，在正方體/3CD-44CQ中,

〃■是4。的中點，所以M為幺2中點，

又N是。8的中點，所以MN//AB,

MNZ平面ABCD,ABu平面ABCD,

所以MV〃平面ABCD.

因為不垂直AD,所以不垂直5。

則"N不垂直平面BDRBi，所以選項B,D不正確;

在正方體48co-44G4中，AD.LAP,

48_1_平面/401。，所以

AD^AB=A,所以4。，平面/8鼻，

。啰匚平面/8。，所以4。，。出，

且直線4。,是異面直線,

所以選項C錯誤，選項A正確.

故選：A.

8.【答案】C

12兀7T7T

【詳解】依題意可得/=2,-X—=---,.“=2,

4?312

再根據五點法作圖可得2*3+夕=0,解得夕=4,〃尤)=2cos(2x-?].

126V07

因為=2cos(2xt-j=2cosg=0,所以/'(x)的圖象關于點對稱，故①正確；

因為/[ll)=2cos[-2x*t=2cos(F)=-2，所以/(X)的圖象關于直線X=若對稱，故②正確;

將y=2sin(2x-。的圖象向左平移個單位長度得到

7

y=2sin2(x+W[-[]=2sin12x一壽冗]=-2sin]2r-J,

故③錯誤；

因為g(x)=/(/x)=2cos]2/x_[],當xe]o,^j時且/>0,2笈一弓e]-[，竿,

因為函數g(x)在(0,管]上有且只有兩個極值點，

所以?！大靡稽S2兀，解得。區(qū)巳即f的最大值為與故④正確；

36101010

故選：C

9.【答案】B

【詳解】

不妨設由赤=3痂且NM_Lx軸,

所以Mg,-%）,所以=3（。,-2%）=（0,-6%）,

從而無可=%,%=-5%,即N（%T5%）,

設點C(xj),且它在雙曲線上,

y+.%V一%

x+xQ

2

b甘山

/‘其中原N==比,

X。X。'

從而與=2,e=/1+4=百.

aVa

故選B.

10.【答案】V2

8

【詳解】設2=。+從，a,bsR,貝！JZ=Q—bi，

所以2z+彳=2（a+6i）+〃一bi=3〃+bi,又2z+N=3+i,

所以解得所以z=l+i,則忖=爐工=0.

故答案為：V2

11.【答案】2

【詳解】展開式的通項公式為人=C產工(與*=C/室。3，

X

令10—3r=4,尚畢得〃=2,

所以一項的系數為C}a2=10a2=40,解得。=±2,又。〉0,所以。二2

故答案為：2

12.【答案】2近

冗

【詳解】由題意知，ZADB=~,

2兀

所以乙1C2=5，

則圓心(2,4)到直線/:y=x的距離為:

則r=2亞,

故答案為：2板.

53

13.【答案】--/0.375

12o

【詳解】由題意知：尸(4)=小尸(4)=：，尸(4)=5，尸(4)=",

2(刃4)=臂￥=42=5，同理：P⑷4)=!，尸(切4)=]P(5|4)=；,

2

43

由全概率公式可知：*8)=2尸(4)尸(214)=1

1=1O

故答案為：三5，i3

12o

4「G

14.【答案】y0,%

2

【詳解】根據題意可知，點8的軌跡為兩個圓心角都為的圓弧，且圓弧的半徑為1,

9

24

所以頂點5運動軌跡的長度為2xlx§%二§?，

(也、一(⑸

P。，三,OP=0,寧,設8(%,y),則礪=(xj)

所以08?。尸二火^,

2

滾動的過程中5的縱坐標V滿足OWyVI,

-----也「6

所以05?0尸=三〉￡6+,

故答案為：40,5<3

15.【答案】(1,2)

【詳解】函數/(X)=|QX2T%一2||+%-〃的定義域為R,

—ux^+2-〃,x<2

當Q〈0時，/(X)=―辦？+區(qū)—21+X—Q—

—ux^+2x—2—a,x22

2

當x<2時，/(X)>2-6Z>2,當x22時，f(x)=-a(x+l)+2x-2>2x-2>2f

此時函數/(%)無零點；

\ax2+X-2A+x-a,x<2

當?！?時，/(%)=1I，

\ax-x+2\+x-a,x>2

當x>2時，若0<a<2,貝！JX—Q〉O,于是/(X)〉0,

若a22,函數>=-7+2的圖象對稱軸x=2-W!，此函數在［2,+◎上單調遞增，

2a4

ax2-x+2>ax2>0,f(x)=ax2-x+2+x-a=a(x2-l)+2>0,

即當。>0且x22時，/(x)>0,函數/(%)無零點；

于是只有當〃〉0且x<2時，函數/0)=|4/+%_21+%_〃才有零點，

當辦2+X—2?0，即—"8"?x<——時，f(x)=-ax2-x+2+x-a=-ax2+2—a,

22

當x￡［一"'l+8"T+J+嗎時,函數>=一辦2+2一“，當x=o時，ymax=2-a,

22

當x=」+VH何時,函數y=Ff+2-。取得最小值，而當尤=*近之時，-1+VU8?

222

2-a>0

顯然當<_1+Jl+8q,即l<av2時，函數/0)=-"2+2-4有兩個零點，

------------------a<0

12

要函數〃%)恰有4個零點，必有l(wèi)<a<2,

10

當xe(-oo,-葉互I3)U(土巫迎,2)時，函數/(無)="2+2》-2-。的圖象對稱軸》=一』€(-1,-5,

22。2

1+1+

則函數/*)在(-00,_^+^)上單調遞減，在(-^+^,2)上單調遞增，

日g]+J1+8。、1+J+8。、—1+d+8。

顯然/(------~~)</(——-——)=-----------。<。，

而/(-3a)=9/_7〃-2=7a(a2-1)+2(a3-1)>0,/(2)=3a+2>0,

因此函數/(x)=ax2+2x-2-a(-oo,-1+^+8a),(士手也,2)上各有一個零點,

所以實數。的取值范圍是(1,2).

故答案為：(1,2).

16.【答案】(1)8=1

(2)①sin/=K3；②迪

1449

【詳解】(1)由acosC+ccos力=2bcosB及余弦定理得:

2ab2bc

整理得6=2bcosB,即cosB=—,

2

71

V0<5<71,:?B=一

3

abTT

(2)①；及7。=56,B=—

sinAsinB3

7

-Q

a5,,573

~—7=F，角軍得sin4

smAV3IT

2

??.A是銳角，且sin4=%回

②?：b>a,

14

cosA=Jl-sin，A=—.

14

sin24=2sinAcosA=1也

142

_.2,146

cos2/=2cosA-l=-,

142

7171

sin(24-B)=sin2Acos——cos2Asin—

33

1107314668G

—_____V______y___—___

1962196249,

17.【答案】(1)證明見解析

⑵由

7

11

七六PMiPM]_

⑶存在；南=1或疏=

5

【詳解】(1)證明：法一：分別取NB、CD的中點G、H,連接EG、GH、FH,

由題意可知點E、F分別為線段尸8、C0的中點.所以EG//PN,FHHQD,

因為尸/〃D。，所以EGHFH,所以點E、G、H、下四點共面，

因為G、7/分別為CD的中點，所以GH//4D,

因為/Du平面AD0P,平面/。。尸，所以G/〃平面

又因為尸H7/QZ),0Z)u平面AD。尸，切仁平面4DQP,所以〃平面N。。尸,

又因為加nG//=〃，FH、G〃i平面EGHF,所以平面EGHF〃平面4DQP,

因為EFu平面EG/所以跖〃平面40。尸；

法二：因為48cD為正方形，且P4_L平面48CD,所以NP、48、40兩兩互相垂直,

以點A為坐標原點，以N8、AD.4尸所在直線分別為X、V、z軸建立如下圖所示的空間直角坐

標系,

31

則尸(0,0,3)、C(3,3,0)、0(0,3,1)、3(3,0,0)、E1|，°，|]、尸2，工；),

22

所以麗=(0,3,-1),易知平面尸的一個法向量2=(1,0,0),

所以/加=0,所以酢一，

又因為斯。平面ND0P,所以EF〃平面ADQP.

(2)解：設平面尸。。的法向量加=(x,_y,z),PC=(3,3,-3),Cg=(-3,0,1),

m?PC=3x+3y—3z=0

則取x=l,可得m=(1,2,3),

mCQ=-3x+z=0

12

所以平面尸C。的一個法向量為石=(1,2,3),

易知平面C。。的一個法向量3=(0,1,0),設平面PC0與平面C0D夾角為巴

八|/--\|22V14

則COS0=\cos(m,n)\==——/=~j==,

?\八\m\-\n\lxVl+4+9V147

所以平面尸C。與平面C0D夾角余弦值為巫；

7

(3)解：假設存在點M,使得同7=2正=(343九-34，其中4e[0,l],

則而=萬+而=(0,0,3)+(34,32,-32)=(32,32,3-32),

由(2)得平面PCQ的一個法向量為碗=(1,2,3),

I/一.-\|\AM-m\I3A+62+9-92I742

由題意可得\cos(AM,m)\==丁，

71——.，，J,=」?2

?'\AM\-y\舊19一+9/+(3_3外27

整理可得12萬一82+1=0.即(24—D(62—1)=0,

11PM1PM

因為0W4W1,解得4或!，所以，=或=1.

62MC5MC

2

18.【答案】⑴?+/=1

⑵尸是銳角，理由見解析

(3)證明見解析

【詳解】(1)由題意，橢圓C:5+，=l(a>b>0)的離心率0=曰，即工=亭,

設。=2m(jn>0),可得°=y/3m，則/?=\Ja2-c2=m，

可得4(。，6)、4(。,-。)、5](—4,0)、B2(tz,0),

可得直線4劣方程為一砂一，即mx-2my-2m2=0,

所以原點到直線A2B2的距離為〒2"_=憐，解得加=1,

J川+4-5

2

所以4=2,b=\,橢圓方程為土+/=1.

4

2

—+j7=1x=Cx=-A/2(

、F「日—與

(2)聯立4得行或<G，即點石

1v=片一

13

2

又因為橢圓3+/=1的右焦點為8(百,0卜

「卜-囹，聲-字

所以，6,="-6,

工石?耳尸=(亞一行)(一后一卜-字;，

所以，6C1-,90

所以，/%尸為銳角.

2

(3)由(2)可知4(0,1)、4(0,T，設P(&,yo)，則。+/=1，

直線P4的方程為y-i=9x,令y=0,得XL+；

尤0%-1

-Vn+1X

直線尸4的方程為令片o,得為=n:；

X。%+1

2

根據切割線定理可得|0邛=|0必.阿卜%一4

丫2--，

%

-4

所以，|。7|=2,即線段。7的長度為定值2.

19.【答案】⑴證明見解析，。"=2"-3,“=〃+1

4向一4,.

------+3n,〃為偶數

5

⑵&=,

4〃+i+4

---------3〃一3,“為奇數

⑶％-(2?+1)

tan2

【詳解】(1)當“22時，％=2。._]+3,故。"+3=2(%_]+3),

又為+3=2片0,故｛%+3｝是等比數列，且公比為2,首項為％+3=2,

所以%+3=2x2"—=2",故為=2"-3,

設｛4｝的公差為d,則由4=2,2(仇+21)+54+104=28,解得”=2,d=\,

故=2+(〃-1)=〃+1.

cos

(2)因為q.r=(%_1+3&“_Jcos色覺"=0,c2?=(a2n+3^2,)~~>

c

故2n-i-(%+物"T)cosm用=0,c2?=(a2?+3a,)cosrat=(-l)"(%"+3&),

14

4n+6n，n=2k

而生—6"，故“=_（4,+6山=21'其中i*，

J=。1+。2+。3+…+°2〃=。2+。4+。6+C2n

=-（4+6）+（42+6x2）-（43+6x3）+-?-+（-l）n（4n+6x〃）

=|^-4+42-43+?■?+（-1）"4"]-6+12-18+?■?+卜1J6n

-4p-（-4）[

1+4-—6+12—18+,?,+卜1）〃6〃，

44，

當〃為偶數時，7；?=~^~X（-6+12）"4+4"+'i

當〃為奇數時，&「"41_6+（12—18）X—"4"4"^^-3.

匕4"+1上-4+3","為偶數

綜上所述,耳=

4〃+i+4

-------------3n-37為奇數

（3）因為6“=〃+1,則%"+I=2"+2,

.、一tan2〃+tan「2（〃+1）

因為卜tan[2（〃+l）-2〃]=tan2R蘇市^

ri曰r.-tan2w+tanP2+

可行=tanZ?_tan/?=tan2ntan[2^+1）J=-----------------------------1，

2w12n+1tan2

-tan2+tan4-tan4+tan6-tan6+tan8---tan4阱tan4/2）

所以2.-------------------------------------------------------------------------------------L2

tan2

tan（4〃+2）-tan2】tan（4〃+）

-（2n+1）.

tan2tan2

20.【答案】(l)〃x)的單調遞減區(qū)間為[og],單調遞增區(qū)間為+s

(2)(i)見解析；(ii)見解析.

【分析】(1)求出函數的導數，討論其符號后可得函數的單調性.

(2)(i)由題設構造關于切點橫坐標的方程，根據方程有3個不同的解可證明不等式成立，

,X,a2(m-13](m2-m+12}

(ii)k-m=-<\,則題設不等式可轉化為4+4-2-』<^----與——-~~,結合零點滿

占em36加《+%)

足的方程進一步轉化為In加+_八_-^―------上0,利用導數可證該不等式成立.

72(m+l)

15

2x-e

【詳角軍】(1)

2x2

當0<x<],r(x)<0；當x>],/%)>0,

故〃X)的單調遞減區(qū)間為[o,5,/(x)的單調遞增區(qū)間為1，+j?

(2)(i)因為過(凡為有三條不同的切線，設切點為(x"(x,)),i=l,2,3,

故/(玉)-6=/'(玉)(茗-〃),

故方程/⑺-6=/'3(x-〃)有3個不同的根，

該方程可整理為一")Tn%=°，

設g(x)=—欣+b,

\x2xJ2x

貝”"4端+〔-/+訃一@」琮

=—尤-e)(x-a),

當0<x<e或x>“時，g'(x)<0；當6<》<。時，g,(x)>0,

故g(x)在(O,e),(a,+s)上為單調遞減函數，在(e,a)上為單調遞增函數,

因為g(x)有3個不同的零點，故g(e)<0且g(a)>0,

ap

整理得至！J：6<幺+1且工+lna=/(a),

2e2a

此時?⑷一f>一口時聲>17111a

^u(a\=----1na,則/(q)=?2,<0,

-22Qv72a2

3e

故“〃)為(e,+oo)上的單調遞減函數，w(tz)<----lne=0,

(ii)當0<〃<e時，同(i)中討論可得：

故g(x)在(O,a),(e,+8)上為單調遞減函數，在(。,e)上為單調遞增函數,

不妨設X]<%2<、3，貝！J0<玉<Q<、2<e<13，

16

因為g（x）有3個不同的零點，故g（（z）＜0且g（e）＞0,

e

(ci—Q)-----------Ino+b<0,

V)2a

因為<%2<%3，故0<玉<〃<]2<e<，

寸/、1a+ee。[

又g(%)=1------~~r—Inx+Z)7,

x2x

設f=±,-=me(0,l),貝I]方程1-匕+2一lnx+b=0即為:

xe''x2x

a+ea2、,?、1/nm?i,八

-----1+~-1+In/+6=0即ort—(冽+1)，+t+In，+6