類型一固定圖形的證明與計算如圖,在矩形ABCD中,對角線AC的垂直平分線EF分別交AD,AC,BC于點E,O,F,連接CE和AF.(1)求證:四邊形AECF為菱形.(2)若AB=8,BC=16,求菱形AECF的周長.(1)根據(jù)ASA證明△AEO≌△CFO?OE=OF?四邊形AECF是平行四邊形?根據(jù)EF⊥AC判定四邊形是菱形(2)由線段垂直平分線的性質(zhì),得AF=CF?設(shè)AF=x?在Rt△ABF中,利用勾股定理列方程求解1.已知正方形ABCD,在BC和CD邊上各有一點E,F,且CE=CF,連接AF,EF,分別取AF,EF的中點M,N,連接DM,CN,MN.圖1圖2(1)如圖1,連接AE.①求證:AE=AF.②求∠DMN的度數(shù).(2)如圖2,將△CEF繞點C旋轉(zhuǎn),當(dāng)△CEF在正方形ABCD外部時,連接DN,試探究DN與MN的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.類型二與動點問題有關(guān)的證明與計算如圖,菱形ABCD的邊長為4,E,F分別是邊BC,CD上的動點,∠BAC=∠EAF=60°,連接EF,交AC于點G.(1)求證:AE=AF.(2)求△ECF周長的最小值.(3)若BE=1,求CG的長.(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)得△ABC是等邊三角形?利用ASA證明△ABE≌△ACF?可證明結(jié)論(2)證明△AEF是等邊三角形?將△ECF的周長轉(zhuǎn)化為EF+BC?求EF的最小值即可(3)證明△CEG∽△BAE?根據(jù)對應(yīng)邊成比例可得CG的長2.如圖,在正方形ABCD中,AB=3,M為CD邊上的一動點(不與點D重合),點D與點E關(guān)于AM所在的直線對稱,連接AE,ME,延長CB到點F,使得BF=DM,連接EF,AF.(備用圖)(1)依題意補(bǔ)全圖形.(2)若DM=1,求線段EF的長.(3)當(dāng)點M在CD邊上運動時,若△AEF為等腰三角形,求DM的長.類型三圖形旋轉(zhuǎn)、平移、折疊變換(2024·福州三模)如圖,在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=8,AD⊥BC于點D,點E在線段AD上,連接BE,CE,將線段CE繞點E逆時針旋轉(zhuǎn),點C的對應(yīng)點F恰好落在BA的延長線上.(1)如圖1,當(dāng)AD=AF時.①求證:∠ABE=∠BCE;②求sinF的值;(2)如圖2,當(dāng)AE=AF時,求AE的長.(1)①利用“三線合一”的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求得AD,BF=BC?利用SSS證明

△BEF≌△BEC?可證EB=EC?根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)求證即可②作EH⊥BF于點H?可證△BHE≌△BDE?設(shè)DE=EH=x,則AE=3-x,AH=1?利用勾股定理列式計算?求得DE,CE?根據(jù)正弦函數(shù)的定義即可求解(2)設(shè)AE=a,則DE=3-a?可證△FAE∽△FEB?推出EF2=AF·BF?利用勾股定理列式計算?利用勾股定理求得CE2=DE2+CD2?根據(jù)CE=EF,列式計算即可求解3.如圖1,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,點P在邊BC上,且不與點B,C重合.將△APB沿直線AP折疊得到△APB',點B'落在矩形ABCD的內(nèi)部,延長PB'交直線AD于點F.(1)求證:FA=FP.(2)①當(dāng)P是BC的中點時,求AF的長;②如圖2,直線AP與DC的延長線交于點E,連接BB'交AE于點H,G是AE的中點.當(dāng)∠EAB'=2∠AEB'時,請判斷AB與HG的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.參考答案例1解析:(1)證明:∵EF是AC的垂直平分線,∴AO=OC,∠AOE=∠COF=90°.∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO.在△AEO和△CFO中,∠EAO=∠FCO,∴△AEO≌△CFO(ASA),∴OE=OF.又∵OA=OC,∴四邊形AECF是平行四邊形.又∵EF⊥AC,∴平行四邊形AECF是菱形.(2)設(shè)AF=x.∵EF是AC的垂直平分線,AB=8,BC=16,∴AF=CF=x,BF=16-x.在Rt△ABF中,由勾股定理,得AB2+BF2=AF2,即82+(16-x)2=x2,解得x=10,∴AF=10,∴菱形AECF的周長為40.針對訓(xùn)練1.解析:(1)①證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=AD=BC=DC,∠ABE=∠ADF=90°.∵CE=CF,∴BC-CE=DC-CF,∴BE=DF.在△ABE和△ADF中,AB=AD,∴△ABE≌△ADF(SAS),∴AE=AF.②∵∠ADF=90°,M,N分別是AF,EF的中點,∴DM=AM=FM=12∴∠MDA=∠DAF,∠FMN=∠FAE.∵△ABE≌△ADF,∴∠BAE=∠DAF,∴∠MDA=∠BAE,∴∠FMD=∠DAF+∠MDA=∠DAF+∠BAE,∴∠DMN=∠FMD+∠FMN=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠DAB=90°.(2)DN=2MN.理由:如圖,連接AC,AE.∵M(jìn),N分別是AF,EF的中點,∴AE=2MN.∵CE=CF,∠ECF=90°,∴CN⊥EF,CN=EN=FN=12∴∠CNE=90°,∴∠NCE=∠NEC=45°.∵AD=CD,∠ADC=90°,∴∠DCA=∠DAC=45°,∴CNCE=CDCA=sin45°=∵∠DCN=∠ACE=45°+∠DCE,∴△DCN∽△ACE,∴DNAE=CNCE=22,∴DN2MN=例2解析:(1)證明:∵∠BAC=∠EAF=60°,∴∠BAE=∠CAF.∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC,AB∥CD,∴△ABC是等邊三角形,∠ACD=∠BAC=60°,∴AB=AC,∠B=60°,∴∠B=∠ACD,∴△ABE≌△ACF(ASA),∴AE=AF.(2)∵△ABE≌△ACF,∴BE=CF.∵菱形ABCD的邊長為4,∴△ECF的周長=EC+CF+EF=EC+BE+EF=BC+EF=4+EF,∴當(dāng)EF最小時,△ECF的周長最小.∵AE=AF,∠EAF=60°,∴△AEF是等邊三角形,∴AE=EF,即當(dāng)AE最小時,△ECF的周長最小,最小值為4+AE.∵E是BC邊上的動點,∴當(dāng)AE⊥BC時,AE最小.在Rt△ABE中,AB=4,∠B=60°,∴AE=23,∴△ECF周長的最小值為4+23.(3)∵四邊形ABCD是菱形,∠BAC=∠EAF=60°,∴AB=BC,∴△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=∠BCA=60°.由(2)知△AEF是等邊三角形,∴∠AEF=60°,∴∠BAE=180°-60°-∠BEA=∠CEG,∴△CEG∽△BAE,∴CEAB=CGBE,∴4?14=CG針對訓(xùn)練2.解析:(1)補(bǔ)全圖形如圖1所示.圖1(2)如圖2,連接BM.圖2∵點D與點E關(guān)于AM所在的直線對稱,∴AE=AD,∠MAD=∠MAE.∵四邊形ABCD是正方形,∴AD=AB,∠D=∠ABF=90°.∵DM=BF,∴△ADM≌△ABF(SAS),∴AF=AM,∠FAB=∠MAD,∴∠FAB=∠MAE,∴∠FAE=∠MAB.又∵AB=AE=AD,∴△FAE≌△MAB(SAS),∴EF=BM.∵四邊形ABCD是正方形,∴BC=CD=AB=3.∵DM=1,∴CM=2,∴BM=BC2+C∴EF=13.故線段EF的長為13.(3)設(shè)DM=x(x>0),則CM=3-x,∴EF=BM=CM2+B∵AE=AD=3,AF=AM=DM2+A∴AF>AE,∴當(dāng)△AEF為等腰三角形時,只能有兩種情況AE=EF,或AF=EF,①當(dāng)AE=EF時,有x2②當(dāng)AF=EF時,x2-6x+18=x2綜上所述,當(dāng)△AEF為等腰三角形時,DM=3或32例3解析:(1)①證明:∵AB=AC,BC=8,AD⊥BC于點D,∴BD=CD=12∴AD=AB∴AF=3,∴BF=8,∴BF=BC.∵BE=BE,EF=EC,∴△BEF≌△BEC(SSS),∴∠ABE=∠EBC.∵AD⊥BC,BD=CD,∴AD是BC的垂直平分線,∴EB=EC,∴∠EBC=∠ECB,∴∠ABE=∠BCE.②如圖,作EH⊥BF于點H,即∠BHE=90°,∵△BEF≌△BEC,∴∠ABE=∠DBE,∠F=∠ECB.∵∠BHE=∠BDE=90°,BE=BE,∴△BHE≌△BDE,∴DE=EH,BH=BD=4.設(shè)DE=EH=x,∴AE=3-x,AH=AB-BH=1.∵AH2+EH2=AE2,∴12+x2=(3-x)2,解得x=43∴DE=43∴CE=DE2+CD2∴sinF=sin∠ECD=DECE=10(2)設(shè)AE=a,則DE=3-a.∵AE=AF,∴AF=a,∠F=∠AEF.∵AD垂直平分BC,∴BE=CE,由旋轉(zhuǎn)得CE=EF,∴BE=EF,∴∠F=∠ABE,∴∠AEF=∠ABE.又∵∠F=∠F,∴△FAE∽△FEB,∴AFEF=EF∴EF2=AF·BF.∵CE2=DE2+CD2,∴CE2=(3-a)2+42,EF2=a(5+a).∵CE=EF,∴a(5+a)=(3-a)2+42,解得a=2511∴AE=2511針對訓(xùn)練3.解析:(1)證明:由折疊性質(zhì)可得∠APB=∠APF.∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠APB=∠FAP,∴∠APF=∠FAP,∴FA=FP.(2)①由題意知,B'P=BP=12設(shè)AF=FP=x,則B'F=x-4,在Rt△AB'F中,由勾股定理得AF2-B'F2=AB'2,即x2-(x-4)2=62,解得x=132∴AF的長為132②AB與HG的數(shù)量關(guān)系為AB=2HG.理由:如圖,過點B'作B'M∥CD,交AE于點M,∴∠AMB'=∠AED.由折疊的性質(zhì)可得,∠BAP=∠EAB',AH⊥BB'.∵AB∥