高考導(dǎo)航對近幾年高考試題統(tǒng)計(jì)看，全國卷中的數(shù)列與三角基本上交替考查，難度不大.考查內(nèi)容主要集中在兩個(gè)方面：1.以選擇題和填空題的形式考查等差、等比數(shù)列的運(yùn)算和性質(zhì)，題目多為常規(guī)試題；2.等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和問題，有時(shí)結(jié)合函數(shù)、不等式等進(jìn)行綜合考查，涉及內(nèi)容較為全面，試題題型規(guī)范、方法可循.熱點(diǎn)一數(shù)列的通項(xiàng)與求和(教材VS高考)

數(shù)列的通項(xiàng)與求和是高考必考的熱點(diǎn)題型，求通項(xiàng)屬于基本問題，常涉及與等差、等比的定義、性質(zhì)、基本量運(yùn)算.求和問題關(guān)鍵在于分析通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特征，選擇合適的求和方法.常考求和方法有：錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求和法等.教材探源本題第(1)問源于教材必修5P44例3，主要考查由Sn求an，本題第(2)問源于教材必修5P47B組T4，主要考查裂項(xiàng)相消法求和.滿分解答

(1)因?yàn)閍1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，①故當(dāng)n≥2時(shí)，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，②1分(得分點(diǎn)1)又n＝1時(shí)，a1＝2適合上式，5分(得分點(diǎn)3)?得步驟分：抓住得分點(diǎn)的解題步驟，“步步為贏”，在第(1)問中，由an滿足的關(guān)系式，通過消項(xiàng)求得an，驗(yàn)證n＝1時(shí)成立，寫出結(jié)果.在第(2)問中觀察數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行裂項(xiàng)→利用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.?得關(guān)鍵分：(1)an－1滿足的關(guān)系式，(2)驗(yàn)證n＝1，(3)對通項(xiàng)裂項(xiàng)都是不可少的過程，有則給分，無則沒分.?得計(jì)算分：解題過程中的計(jì)算準(zhǔn)確是得滿分的根本保證，如(得分點(diǎn)2)，(得分點(diǎn)5)，(得分點(diǎn)7).求數(shù)列通項(xiàng)與求和的模板第一步：由等差(等比)數(shù)列基本知識求通項(xiàng)，或者由遞推公式求通項(xiàng).第二步：根據(jù)和的表達(dá)式或通項(xiàng)的特征，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠛?第三步：明確規(guī)范地表述結(jié)論.又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，所以bn＝2n＋1.熱點(diǎn)二等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題解決等差、等比數(shù)列的綜合問題時(shí)，重點(diǎn)在于讀懂題意，靈活利用等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式解決問題，求解這類問題要重視方程思想的應(yīng)用.解

(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)镾3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而減小，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而增大，探究提高

解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題，既要善于綜合運(yùn)用等差數(shù)列與等比數(shù)列的相關(guān)知識求解，更要善于根據(jù)具體問題情境具體分析，尋找解題的突破口.解

(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q.依題意，有2(a3＋2)＝a2＋a4，代入a2＋a3＋a4＝28，得a3＝8.∴a2＋a4＝20，由Sn＋(n＋m)an＋1<0，得2n＋1－n×2n＋1－2＋n×2n＋1＋m×2n＋1<0對任意正整數(shù)n恒成立，∴m·2n＋1<2－2n＋1，∴－Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①∴－2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，②①－②，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1熱點(diǎn)三數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用

數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用，要充分利用題中限制條件確定數(shù)列的特征，如通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式或遞推關(guān)系式，建立數(shù)列模型.【例3】

某企業(yè)的資金每一年都比上一年分紅后的資金增加一倍，并且每年年底固定給股東們分紅500萬元，該企業(yè)2010年年底分紅后的資金為1000萬元. (1)求該企業(yè)2014年年底分紅后的資金； (2)求該企業(yè)從哪一年開始年底分紅后的資金超過32500萬元.解設(shè)an為(2010＋n)年年底分紅后的資金，其中n∈N*，則a1＝2×1000－500＝1500，a2＝2×1500－500＝2500，…，an＝2an－1－500(n≥2).∴an－500＝2(an－1－500)(n≥2)，因此數(shù)列{an－500}是以a1－500＝1000為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴an－500＝1000×2n－1，∴an＝1000×2n－1＋500.(1)∵a4＝1000×24－1＋500＝8500，∴該企業(yè)2014年年底分紅后的資金為8500萬元.(2)由an>32500，即2n－1>32，得n>6，∴該企業(yè)從2017年開始年底分紅后的資金超過32500萬元.探究提高

1.數(shù)列應(yīng)用題的常見模型(1)等差模型：當(dāng)后一個(gè)量與前一個(gè)量的差是一個(gè)常量時(shí)，該模型是等差模型，這個(gè)常量就是公差.(2)等比模型：當(dāng)后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)常數(shù)時(shí)，該模型是等比模型，這個(gè)常數(shù)就是公比.(3)遞推模型：當(dāng)題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，隨項(xiàng)的變化而變化時(shí)，應(yīng)考慮是an與an＋1之間的遞推關(guān)系，還是Sn與Sn＋1之間的遞推關(guān)系.2.解答數(shù)列應(yīng)用題的基本步驟(1)審題——仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意.(2)建?！獙⒁阎獥l件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語言，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，弄清數(shù)列的結(jié)構(gòu)和特征.(3)求解——求出該問題的數(shù)學(xué)解.(4)還原——將所求結(jié)果還原到實(shí)際問題中.【訓(xùn)練3】

(必修5P69T7)某牛奶廠2002年初有資金1000萬元，由于引進(jìn)了先進(jìn)生產(chǎn)設(shè)備，資金年平均增長率可達(dá)到50%.每年年底扣除下一年的