拋物線的幾何性質3/11/2025結合拋物線y2=2px(p>0)的標準方程和圖形,探索其的幾何性質:(1)范圍(2)對稱性(3)頂點類比探索x≥0,y∈R關于x軸對稱,對稱軸又叫拋物線的軸.拋物線和它的軸的交點.3/11/2025(4)離心率(5)焦半徑(6)通徑始終為常數(shù)1通過焦點且垂直對稱軸的直線，與拋物線相交于兩點，連接這兩點的線段叫做拋物線的通徑。|PF|=x0+p/2xOyFP通徑的長度：2P思考：通徑是拋物線的焦點弦中最短的弦嗎？3/11/2025特點1.拋物線只位于半個坐標平面內,雖然它可以無限延伸,但它沒有漸近線;2.拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心;3.拋物線只有一個頂點、一個焦點、一條準線;4.拋物線的離心率是確定的,為1;5.拋物線標準方程中的p對拋物線開口的影響.P越大,開口越開闊3/11/2025圖形方程焦點準線范圍頂點對稱軸elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤

0x∈R(0,0)x軸y軸13/11/2025例題例1.頂點在坐標原點,對稱軸是坐標軸,并且過點M(2,)的拋物線有幾條,求它的標準方程,例2.斜率為1的直線L經(jīng)過拋物線的焦點F,且與拋物線相交于A,B兩點,求線段AB的長.當焦點在x(y)軸上,開口方向不定時,設為y2=2mx(m≠0)(x2=2my(m≠0)),可避免討論y2=4x焦點弦的長度3/11/2025練習:1.過拋物線的焦點,作傾斜角為的直線,則被拋物線截得的弦長為y2=8x2.過拋物線的焦點做傾斜角為的直線L,設L交拋物線于A,B兩點,(1)求|AB|;(2)求|AB|的最小值.3/11/2025方程圖形范圍對稱性頂點焦半徑焦點弦的長度

y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO關于x軸對稱

關于x軸對稱

關于y軸對稱

關于y軸對稱（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）3/11/2025例3.過拋物線焦點F的直線交拋物線于A,B兩點,通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D,求證:直線DB平行于拋物線的對稱軸.xOyFABD練習:P68T33/11/2025yOxBA3/11/20253/11/20253/11/2025等腰直角三角形AOB內接于拋物線y2=2px(P>0),O為拋物線的頂點,OA⊥OB,則ΔAOB的面積為A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p23/11/2025

1、已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，焦點在直線3x-4y-12=0上，那么拋物線通徑長是

.2、一個正三角形的三個頂點，都在拋物線上，其中一個頂點為坐標原點，則這個三角形的面積為

。3/11/2025例2、已知直線l：x=2p與拋物線=2px(p>0)交于A、B兩點，求證：OA⊥OB.證明：由題意得，A(2p,2p),B(2p,-2p)所以=1，=-1因此OA⊥OB推廣1若直線l過定點(2p,0)且與拋物線=2px(p>0)交于A、B兩點，求證：OA⊥OB.xyOy2=2pxABL:x=2pC(2p,0)xyOy2=2pxABlC(2p,0)證明：設l的方程為y=k(x-2p)或x=2p

所以OA⊥OB.代入y2=2px得，可知又3/11/2025直線l過定點(2p,0)推廣2：

若直線l與拋物線=2px(p>0)交于A、B兩點，且OA⊥OB，則__________

xyOy2=2pxABlC(2p,0)驗證：由得所以直線l的方程為即而因為OA⊥OB，可知推出，代入得到直線l

的方程為所以直線過定點（2p,0).高考鏈接：過定點Q（2p,0)的直線與y2=2px（p＞0）交于相異兩點A、B，以線段A