2025年中考數(shù)學一輪復習

第23講四邊形

一．選擇題（共10小題）

1．如圖，E是?ABCD的邊CD的中點，延長AE交BC的延長線于點F，若∠BAF＝90°，BC＝5，EF

＝3，則CD的長是（）

A．6B．8C．10D．12

2．如圖，在平面直角坐標系中，點A，B在第一象限，點C在x軸正半軸上，且AC與OB互相垂直平分，

D為垂足，連接OA，AB，BC．反比例函數(shù)＞的圖象經(jīng)過點D，與OA相交于E．若點B的

?

坐標為（8，4），則點E的坐標是（）?=?(?0)

A．，B．，C．，D．，

413134

3．在復(習2特殊3的2平)行四邊形時(4，3某小4組3同)學畫出了(如4下5關(guān)系4圖5，)組內(nèi)一名(同6學在3箭6頭)處填寫了它們之間

轉(zhuǎn)換的條件，其中填寫錯誤的是（）

A．①對角相等B．②有一組鄰邊相等

C．③有一組鄰邊相等D．④有一個角是直角

4．如圖，在正方形ABCD中，點E、點F分別是AB和BC邊的中點，連接DE、AF交于點P，連接CP

和DF，若∠BCP＝，則∠CPF的度數(shù)為（）

α

A．B．C．90°﹣D．90°﹣2

??

5．如圖4，5°四?邊2形ABCD中，4對5角°+線2AC、BD相交于點O，α下列條件不能判定這個α四邊形是平行四邊形的

是（）

A．AB∥DC，AD∥BCB．AB∥DC，AD＝BC

C．AO＝CO，BO＝DOD．AB＝DC，AD＝BC

6．如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，E是邊CD的中點，連接OE．若∠ABC＝50°，

∠BAC＝80°，則∠1的度數(shù)為（）

A．60°B．50°C．40°D．25°

7．如圖，平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點O為原點，點B（2，2），對角線的交點為M，CD平

分∠OCA，交OB于點D，交OA于點E，則點D的坐標為（）

A．，B．，C．，D．，

1122

8．如圖(，2在2矩)形ABCD中，A(B2＝2，2對)角線AC與B(D2相?交1于點2O?，1)AE垂(直2?平分2OB2于?點2E)，則BC的長

為（）

A．B．C．4D．2

9．我國2古5代園林連廊常采用八2角3形的窗戶設(shè)計，如圖1所示，其輪廓是一個正八邊形，從窗戶向外觀看，

景色宛如鑲嵌于一個畫框之中．圖2是八角形窗戶的示意圖，它的一個外角∠1的大小為（）

A．22.5°B．45°C．60°D．135°

10．如圖，某型號千斤頂?shù)墓ぷ髟硎抢盟倪呅蔚牟环€(wěn)定性，圖中的菱形ABCD是該型號千斤頂?shù)氖疽?/p>

圖，保持菱形邊長不變，可通過改變AC的長來調(diào)節(jié)BD的長．已知AB＝30cm，BD的初始長為30cm，

如果要使BD的長達到36cm，那么AC的長需要縮短（）

A．6cmB．8cm

C．D．

二．填(空30題（3?共356)小??題）(303?48)??

11．如圖，在矩形ABCD中，AD＝5，DC＝7，菱形EFGH的三個頂點E，G，H分別在矩形ABCD的邊

AB，CD，DA上，DH＝3，連接CF．當△FCG的面積為時，DG的長為．

5

12．如圖，正八邊形ABCDEFGH的對角線AF，HD交于點M，則∠AMH的度數(shù)是°．

13．如圖，在正方形ABCD中，點E為CD上靠近點D的三等分點，點F為BC的中點，以EF為直角邊，

點E為直角頂點向右構(gòu)造等腰Rt△EFG，連接AG、CG，則的值為．

??

??

14．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，E是線段AD上一動點，以E為直角頂點在EB的右側(cè)作

等腰三角形EBF，連接DF，當點F落在矩形ABCD的對角線上時，則DF的長

為．

15．如圖是由6個形狀、大小完全相同的菱形組成的網(wǎng)格，菱形的頂點稱為格點，已知菱形的一個角（∠

O）為60°，點A，B，C都在格點上，則sin∠ABC的值是．

三．解答題（共5小題）

16．如圖，在矩形ABCD中，E為AB邊上一點，EC平分∠DEB，F(xiàn)為CE的中點，連接AF，BF，過點E

作EH∥BC分別交AF，CD于G，H兩點．

（1）求證：AB＝DE；

（2）請判斷AF，BF的位置關(guān)系，并說明理由．

17．如圖，BD平分∠ABF，點A是射線BM上一點，過點A作AD∥BN交BG于點D，過A作AE⊥BN，

過點D作DF⊥BN．

（1）求證：四邊形AEFD是矩形；

（2）在BF上取點C使得CF＝BE，連接AC、CD．求證：AC⊥BD．

18．如圖，在?ABCD中，AE⊥BC于點E，延長BC至點F，使CF＝BE，連接DF，AF與DE交于點O．

（1）求證：四邊形AEFD為矩形；

（2）若AB＝3，OE＝2，BF＝5，求DF的長．

19．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，對角線AC，BD交于點O，AC平分∠BAD，過點C

作CE⊥AB，交AB的延長線于點E，連接OE．

（1）求證：四邊形ABCD是菱形．

（2）若AB＝5，BD＝6，求OE的長．

20．如圖，在矩形ABCD中，點F是BC上一點，且CF＝2BF，CE⊥AF，垂足為點E，∠BCE＝30°．

（1）求證：AE＝EF+CF；

（2）若AD＝6cm，點P是AD上一動點，以1cm/s的速度從點A運動到點D，問：點P運動多少秒四

邊形AFCP是菱形？請說明理由．

2025年中考數(shù)學一輪復習

第23講四邊形

一．選擇題（共10小題）

1．如圖，E是?ABCD的邊CD的中點，延長AE交BC的延長線于點F，若∠BAF＝90°，BC＝5，EF

＝3，則CD的長是（）

A．6B．8C．10D．12

【考點】平行四邊形的性質(zhì)．

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；運算能力；推理能力．

【答案】B

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，AB∥CD，證出∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF，由全等三角

形的性質(zhì)得出AE＝EF＝3，由平行線的性質(zhì)證出∠AED＝∠BAF＝90°，求出DE，即可得出CD的長．

【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF，

∵E是?ABCD的邊CD的中點，

∴DE＝CE，

在△ADE和△FCE中，

∠∠

，

???=?

∠?=∠???

∴?△?A=D?E?≌△FCE（AAS），

∴AE＝EF＝3，

∵AB∥CD，

∴∠AED＝∠BAF＝90°，

在△ADE中，AD＝BC＝5，

∴DE4，

2222

∴CD=＝2D?E?＝?8．??=5?3=

故選：B．

【點評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定方法、勾股定理；熟練掌握平行四邊形的性

質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．

2．如圖，在平面直角坐標系中，點A，B在第一象限，點C在x軸正半軸上，且AC與OB互相垂直平分，

D為垂足，連接OA，AB，BC．反比例函數(shù)＞的圖象經(jīng)過點D，與OA相交于E．若點B的

?

坐標為（8，4），則點E的坐標是（）?=?(?0)

A．，B．，C．，D．，

413134

【考(點2】菱3形2的)判定與性質(zhì)(4；反3比4例函3)數(shù)圖象上點(4的坐5標4特征5)．(636)

【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；矩形菱形正方形；應(yīng)用意識．

【答案】D

【分析】由中點坐標公式可求點D坐標，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可求k的值，將各選項坐標代入可求解．

【解答】解：∵AC與OB互相垂直平分，點B的坐標為（8，4），

∴點D的坐標為（4，2），

∴k＝4×2＝8，

∴只有選項D的坐標滿足k8，

46

故選：D．=6×3=

【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，菱形的性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題

的關(guān)鍵．

3．在復習特殊的平行四邊形時，某小組同學畫出了如下關(guān)系圖，組內(nèi)一名同學在箭頭處填寫了它們之間

轉(zhuǎn)換的條件，其中填寫錯誤的是（）

A．①對角相等B．②有一組鄰邊相等

C．③有一組鄰邊相等D．④有一個角是直角

【考點】平行四邊形的性質(zhì)．

【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力．

【答案】A

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和矩形、菱形、正方形的判定定理，對它們之間轉(zhuǎn)換的條件一一進行分

析，即可得出結(jié)果；

【解答】解：A、①，對角相等的平行四邊形，不一定是矩形，故該轉(zhuǎn)換條件填寫錯誤，符合題意；

B、②，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故該轉(zhuǎn)換條件填寫正確，不符合題意；

C、③，有一組鄰邊相等的矩形是正方形，故該轉(zhuǎn)換條件填寫正確，不符合題意；

D、④，有一個角是直角的菱形是正方形，故該轉(zhuǎn)換條件填寫正確，不符合題意；

故選：A．

【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形和菱形、正方形的判定，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握矩形、

菱形、正方形的判定定理；

4．如圖，在正方形ABCD中，點E、點F分別是AB和BC邊的中點，連接DE、AF交于點P，連接CP

和DF，若∠BCP＝，則∠CPF的度數(shù)為（）

α

A．B．C．90°﹣D．90°﹣2

??

【考4點5°】?正2方形的性質(zhì)；全45等°三+角2形的判定與性質(zhì)．αα

【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形；推理能力．

【答案】A

【分析】延長AF，DC交于G，證明△DAE≌△ABF（SAS），可得∠APE＝90°＝∠DPG，再證△ABF

≌△GCF（ASA），可得CP為Rt△DPG斜邊上的中線，故∠CPF＝∠G，即得∠CPF+∠CPF+（+90°）

＝180°，∠CPF＝45°．α

?

【解答】解：延長AF，?DC2交于G，如圖：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝AD＝BC＝CD，∠DAE＝∠B＝90°，

∵E，F(xiàn)是AB，BC的中點，

∴AEABBC＝BF，

11

∴△D=A2E≌△=A2BF（SAS），

∴∠ADE＝∠BAF，

∵∠ADE+∠AED＝90°，

∴∠BAF+∠AED＝90°，

∴∠APE＝90°＝∠DPG，

∵∠B＝∠GCF＝90°，BF＝CF，∠AFB＝∠GFC，

∴△ABF≌△GCF（ASA），

∴AB＝CG，

∴CG＝CD，

∴CP為Rt△DPG斜邊上的中線，

∴CPDG＝CG，

1

∴∠C=PF2＝∠G，

∵∠CPF+∠G+∠PCG＝180°，

∴∠CPF+∠CPF+（+90°）＝180°，

∴∠CPF＝45°；α

?

故選：A．?2

【點評】本題考查正方形性質(zhì)及應(yīng)用，涉及全等三角形判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等

三角形解決問題．

5．如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，下列條件不能判定這個四邊形是平行四邊形的

是（）

A．AB∥DC，AD∥BCB．AB∥DC，AD＝BC

C．AO＝CO，BO＝DOD．AB＝DC，AD＝BC

【考點】平行四邊形的判定．

【答案】B

【分析】利用平行四邊形的判定方法：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．（2）兩組對邊分

別相等的四邊形是平行四邊形．（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．（4）兩組對角分別相

等的四邊形是平行四邊形．（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形進行分析即可．

【解答】解：A、AB∥DC，AD∥BC可利用兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形判定這個四邊形是

平行四邊形，故此選項不合題意；

B、AB∥DC，AD＝BC不能判定這個四邊形是平行四邊形，故此選項符合題意；

C、AO＝CO，BO＝DO可利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判定這個四邊形是平行四邊形，

故此選項不合題意；

D、AB＝DC，AD＝BC可利用兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形判定這個四邊形是平行四邊形，

故此選項不合題意；

故選：B．

【點評】此題主要考查了平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定定理．

6．如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，E是邊CD的中點，連接OE．若∠ABC＝50°，

∠BAC＝80°，則∠1的度數(shù)為（）

A．60°B．50°C．40°D．25°

【考點】平行四邊形的性質(zhì)；三角形中位線定理．

【專題】多邊形與平行四邊形．

【答案】B

【分析】直接利用三角形內(nèi)角和定理得出∠BCA的度數(shù)，再利用三角形中位線定理結(jié)合平行線的性質(zhì)

得出答案．

【解答】解：∵∠ABC＝50°，∠BAC＝80°，

∴∠BCA＝180°﹣50°﹣80°＝50°，

∵對角線AC與BD相交于點O，E是邊CD的中點，

∴EO是△DBC的中位線，

∴EO∥BC，

∴∠1＝∠ACB＝50°．

故選：B．

【點評】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形中位線定理等知識，得出EO是△DBC的中位線是

解題關(guān)鍵．

7．如圖，平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點O為原點，點B（2，2），對角線的交點為M，CD平

分∠OCA，交OB于點D，交OA于點E，則點D的坐標為（）

A．，B．，C．，D．，

1122

(22)(22)(2?12?1)(2?22?2)

【考點】正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；坐標與圖形性質(zhì)．

【專題】矩形菱形正方形；圖形的相似；推理能力．

【答案】D

【分析】過點E作EF⊥AC于點F，過點D作DH⊥OA于點H，延長HD交BC于點G，根據(jù)點B的

坐標得出正方形的邊長，即可求出對角線AC的長，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出OC＝CF，OE＝EF，求

出AF的長即可得出OE的長，再根據(jù)正方形的性質(zhì)證得△BCD∽△OED，根據(jù)相似三角形對應(yīng)高之比

等于相似比即可求出DH的長，最后根據(jù)△DOH為等腰直角三角形即可得出點D的坐標．

【解答】解：過點E作EF⊥AC于點F，過點D作DH⊥OA于點H，延長HD交BC于點G，

∵四邊形OABC為正方形，

∴OA＝AB＝BC＝OC，∠OAB＝∠ABC＝∠BCO＝∠COA＝90°，∠OAC＝∠AOB＝45°，BC∥OA，

∵點B（2，2），

∴OA＝AB＝BC＝OC＝2，

由勾股定理得AC，

2222

∵CD平分∠OCA=，∠?C?OA+＝?∠?E=FC＝29+0°2，=22

∴∠OEC＝∠FEC，OE＝EF，

∴OC＝CF＝2，

∴AF＝AC﹣CF，

∵∠EFA＝90°，=∠2O2A?C＝245°，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴EF＝AF，

∴OE=22，?2

∵BC∥=O2A2，?D2H⊥OA，

∴DG⊥BC，

∴DG＝OC＝2，

∵BC∥OA，

∴△BCD∽△OED，

∴，

????

=

∴????，

22???

=

∴2DH2?2?，?

∵∠A=OB2＝?452°，

∴△ODH是等腰直角三角形，

∴OH，

∴點D=的2坐?標2為，，

故選：D．(2?22?2)

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，坐標與圖

形性質(zhì)，熟練掌握這些知識點是解題的關(guān)鍵．

8．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，對角線AC與BD相交于點O，AE垂直平分OB于點E，則BC的長

為（）

A．B．C．4D．2

【考2點5】矩形的性質(zhì)；線段2垂3直平分線的性質(zhì)．

【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力．

【答案】B

【分析】由矩形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)可證△AOB是等邊三角形，可得∠BAC＝60°，即可求

解．

【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AO＝BO＝CO＝DO，

∵AE垂直平分OB，

∴AB＝AO，

∴AB＝AO＝BO，

∴△AOB是等邊三角形，

∴∠BAC＝60°，

∴BCAB＝2，

故選：=B．33

【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性

質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．

9．我國古代園林連廊常采用八角形的窗戶設(shè)計，如圖1所示，其輪廓是一個正八邊形，從窗戶向外觀看，

景色宛如鑲嵌于一個畫框之中．圖2是八角形窗戶的示意圖，它的一個外角∠1的大小為（）

A．22.5°B．45°C．60°D．135°

【考點】平面鑲嵌（密鋪）；多邊形內(nèi)角與外角．

【專題】多邊形與平行四邊形；運算能力．

【答案】B

【分析】由多邊形的外角和定理直接可求出結(jié)論．

【解答】解：∵正八邊形的每一個外角都相等，外角和為360°，

∴它的一個外角∠1＝360°÷8＝45°．

故選：B．

【點評】本題考查了多邊形外角和定理，平面鑲嵌等知識點，掌握外角和定理是解題的關(guān)鍵．

10．如圖，某型號千斤頂?shù)墓ぷ髟硎抢盟倪呅蔚牟环€(wěn)定性，圖中的菱形ABCD是該型號千斤頂?shù)氖疽?/p>

圖，保持菱形邊長不變，可通過改變AC的長來調(diào)節(jié)BD的長．已知AB＝30cm，BD的初始長為30cm，

如果要使BD的長達到36cm，那么AC的長需要縮短（）

A．6cmB．8cm

C．D．

【考(點30】3多?邊3形6)；??三角形的穩(wěn)定性．(303?48)??

【專題】矩形菱形正方形；運算能力．

【答案】D

【分析】設(shè)AC與BD交于點O，A'C'于BD'交于點O'，由菱形的性質(zhì)得BOBD＝15cm，D'O'BD'

11

＝18cm，AC＝2AO，A'C'＝2A'O'，BD⊥AC，BD'⊥A'C'，在Rt△AOB中由勾股=定2理可求出AO=2cm，

則AC＝2AOcm，在Rt△A'O'D'中由勾股定理可求出A'O'＝24cm，則A'C'＝2A'O'＝48c=m1，5然3后再

求出AC﹣A'C='即30可3．

【解答】解：設(shè)AC與BD交于點O，A'C'于BD'交于點O'，如下圖所示：

依題意得：四邊形ABCD，四邊形A'BC'D'均為菱形，且AB＝A'D'＝30cm，BD＝30cm，BD'＝36cm，

∴BOBD＝15cm，D'O'BD'＝18cm，AC＝2AO，A'C'＝2A'O'，BD⊥AC，BD'⊥A'C'，

11

在Rt△=A2OB中，AB＝30cm=，2BO＝15cm，

由勾股定理得：AO（cm），

22

∴AC＝2AO=cm，?????=153

在Rt△A'O'D='中30，A3'D'＝30cm，D'O'＝18cm，

由勾股定理得：A'O'24（cm），

22

∴A'C'＝2A'O'＝48cm=，?'?'??'?'=

∴AC﹣A'C'cm，

即要使BD的=長(3達0到3?364c8m)，那么AC的長需要縮短cm．

故選：D．(303?48)

【點評】此題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)，靈活利用勾股定理進行計算是

解決問題的關(guān)鍵．

二．填空題（共5小題）

11．如圖，在矩形ABCD中，AD＝5，DC＝7，菱形EFGH的三個頂點E，G，H分別在矩形ABCD的邊

AB，CD，DA上，DH＝3，連接CF．當△FCG的面積為時，DG的長為7．

5?5

【考點】矩形的性質(zhì)；三角形的面積；菱形的性質(zhì)．

【專題】矩形菱形正方形；推理能力．

【答案】7．

【分析】作?FM5⊥DC，M為垂足，連接GE，可以證明△AHE≌△MFG，則FM＝HA＝2，即無論菱形

EFGH如何變化，點F到直線CD的距離始終為定值2．根據(jù)△FCG的面積就可以解出GC，DG的長．

【解答】解：作FM⊥DC，M為垂足，連接GE，

∵AB∥CD，

∴∠AEG＝∠MGE，

∵HE∥GF，

∴∠HEG＝∠FGE，

∴∠AEH＝∠MGF．

在△AHE和△MFG中，∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，

∴△AHE≌△MFG．

∴FM＝HA＝2，即無論菱形EFGH如何變化，點F到直線CD的距離始終為定值2．

因此S△FCG2GC，解得GC，

1

∴DG＝7=2．×=5=5

故答案為?：75．

?5

【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是了解無論菱形EFGH如何變化，點F到直線CD

的距離始終為定值2，難度不大．

12．如圖，正八邊形ABCDEFGH的對角線AF，HD交于點M，則∠AMH的度數(shù)是67.5°．

【考點】多邊形內(nèi)角與外角．

【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力．

【答案】67.5．

【分析】先求出∠AHG＝∠HAB＝135°，再根據(jù)正八邊形的性質(zhì)求出∠AHD和∠MAH，最后根據(jù)三角

形的內(nèi)角和即可求得．

【解答】解：∵八邊形ABCDEFGH為正八邊形，

∵∠AHG＝∠HAB＝180°﹣360°÷8＝135°，

∵正八邊形ABCDEFGH的對角線AF，HD，

∴∠AHD∠AHG＝67.5°，

1

∠FAB＝9=0°2，

∴∠MAH＝135°﹣90°＝45°，

∴∠AMH＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°．

故答案為：67.5．

【點評】本題主要考查多邊形內(nèi)角和外角，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正多邊形的性質(zhì)．

13．如圖，在正方形ABCD中，點E為CD上靠近點D的三等分點，點F為BC的中點，以EF為直角邊，

點E為直角頂點向右構(gòu)造等腰Rt△EFG，連接AG、CG，則的值為．

??585

??17

【考點】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形．

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；幾何直觀；運算能力；推理能力．

【答案】．

585

17

【分析】過點G作GM⊥CD于M，GM的延長線交AB于N，根據(jù)點E為CD上靠近點D的三等分點，

設(shè)DE＝2a，則EC＝4a，AB＝BC＝DC＝AD＝6a，BF＝CF＝3a，證明四邊形ANMD和四邊形BCMN

均為矩形，則MN＝AD＝6a，BN＝CM，再證明△FEC和△EGM全等得CF＝EM＝3a，EC＝GM＝4a，

則BN＝CM＝CE﹣EM＝a，GN＝GM+MN＝10a，AN＝AB﹣BN＝5a，然后由勾股定理分別求出

AG，CG，據(jù)此可得的值．

??

=55?=17?

【解答】解：過點G作GM⊥CD于?M?，GM的延長線交AB于N，如下圖所示：

∵點E為CD上靠近點D的三等分點，

∴設(shè)DE＝2a，則EC＝4a，

∴CD＝DE+EC＝6a，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB＝BC＝DC＝AD＝6a，∠ABC＝∠BCD＝∠D＝∠DAB＝90°，

∵點F在BC的中點，

∴BF＝CF＝3a，

∵GM⊥CD于M，GM的延長線交AB于N，

∴四邊形ANMD和四邊形BCMN均為矩形，

∴MN＝AD＝6a，BN＝CM，

∵△EFG為等腰直角三角形，且點E為直角頂點，

∴EF＝EG，∠FEG＝90°，

∴∠FEC+∠MEG＝90°，

∵∠BCD＝90°，GM⊥CD，

∴∠FCE＝∠EMG＝90°，

∴∠MEG+∠EGM＝90°，

∴∠FEC＝∠EGM，

在△FEC和△EGM中，

∠∠

，

???=???=90°

∠???=∠???

∴?△?F=E?C?≌△EGM（AAS），

∴CF＝EM＝3a，EC＝GM＝4a，

∴BN＝CM＝CE﹣EM＝4a﹣3a＝a，GN＝GM+MN＝4a+6a＝10a，

∴AN＝AB﹣BN＝6a﹣a＝5a，

在Rt△AGN中，由勾股定理得：AG，

22

在Rt△GCM中，由勾股定理得：CG=??+??=55?，

22

∴．=??+??=17?

??55?585

==

【點??評】此17題?主要考17查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理

等，理解正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運用勾股定

理進行計算是解決問題的關(guān)鍵．

14．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，E是線段AD上一動點，以E為直角頂點在EB的右側(cè)作

等腰三角形EBF，連接DF，當點F落在矩形ABCD的對角線上時，則DF的長為或6．

25

【考點】矩形的性質(zhì)；解直角三角形；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．

【專題】函數(shù)及其圖象；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；解直角三角形及其應(yīng)用；推理

能力．

【答案】或6．

【分析】2由“5AAS”可證△ABE≌△HEF，可得AB＝EH＝6，AE＝HF，分兩種情況討論，由銳角三角

函數(shù)可求解．

【解答】解：如圖，過點F作FH⊥AD于H，

∴∠FHE＝∠BEF＝90°＝∠BAE，

∴∠ABE+∠AEB＝90°＝∠AEB+∠FEH，

∴∠ABE＝∠FEH，

又∵BE＝EF，

∴△ABE≌△HEF（AAS），

∴AB＝EH＝6，AE＝HF，

設(shè)AE＝HF＝x，

∴DH＝12﹣6﹣x＝6﹣x，

當點F在BD上時，tan∠ADB，

????1

===

∴，????2

?1

=

∴6x＝??2，2

∴HF＝2，DH＝4，

∴DF2，

22

當點F=在?A?C上時+，??tan∠=DAC4+16=5，

????1

===

∴，????2

?1

=

∴6x＝+?6，2

∴HF＝6，DH＝0，

∴點F與點C重合，點H與點D重合，

∴DF＝6，

故答案為：或6．

25

【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等

知識，添加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．

15．如圖是由6個形狀、大小完全相同的菱形組成的網(wǎng)格，菱形的頂點稱為格點，已知菱形的一個角（∠

O）為60°，點A，B，C都在格點上，則sin∠ABC的值是．

21

7

【考點】菱形的性質(zhì)；解直角三角形．

【專題】矩形菱形正方形；運算能力．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】如圖，連接EA、EC，先證明∠AEC＝90°，E、C、B共線，再根據(jù)sin∠ABC，求出AE、

??

AB即可解決問題．=??

【解答】解：如圖，連接EA，EC，

設(shè)菱形的邊長為a，由題意得∠AEF＝30°，∠CEF＝60°，

∴AE＝2cos30°?aa，EC＝a，

則AC＝2a，=3

∴AE2+CE2＝AC2，

∴∠AEC＝90°，

∴∠ACE＝60°，

∴∠ACE＝∠ACG＝∠BCG＝60°，

∴∠ECB＝180°，

∴E、C、B共線，

在Rt△AEB中，sin∠ABC．

??3?21

===

故答案為：．??7?7

21

7

【點評】本題考查菱形的性質(zhì)，三角函數(shù)、特殊三角形邊角關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造

直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．

三．解答題（共5小題）

16．如圖，在矩形ABCD中，E為AB邊上一點，EC平分∠DEB，F(xiàn)為CE的中點，連接AF，BF，過點E

作EH∥BC分別交AF，CD于G，H兩點．

（1）求證：AB＝DE；

（2）請判斷AF，BF的位置關(guān)系，并說明理由．

【考點】矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．

【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形；推理能力．

【答案】（1）證明見解析；

（2）AF⊥BF，理由見解析．

【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得出AB∥CD，AB＝CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠DCE＝∠BEC，根據(jù)角

平分線的定義得出∠DEC＝∠BEC，于是有∠DCE＝∠DEC，根據(jù)等角對等邊得到CD＝DE，于是問題

得證；

（2）連接DF，先證△DCF和△ABF全等，再證∠DFC＝90°，即可得出AF，BF的位置關(guān)系．

【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∴∠DCE＝∠BEC，

∵EC平分∠DEB，

∴∠DEC＝∠BEC，

∴∠DCE＝∠DEC，

∴CD＝DE，

∴AB＝DE；

（2）解：AF⊥BF，理由：

如圖，連接DF，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，AB＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，

∵F為CE的中點，

∴BFCF＝EF，

1

∴∠F=BA2＝??∠=BEC，

∵AB∥CD，

∴∠DCE＝∠BEC，

∴∠DCF＝∠FBA，

在△DCF和△ABF中，

，

??=??

∠???=∠???

∴??△=DC?F?≌△ABF（SAS），

∴∠DFC＝∠AFB，

由（1）知CD＝DE，F(xiàn)為CE的中點，

∴DF⊥CE，

∴∠DFC＝90°，

∴∠AFB＝90°，

即AF⊥BF．

【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，

角平分線的定義，熟練掌握這些知識點是解題的關(guān)鍵．

17．如圖，BD平分∠ABF，點A是射線BM上一點，過點A作AD∥BN交BG于點D，過A作AE⊥BN，

過點D作DF⊥BN．

（1）求證：四邊形AEFD是矩形；

（2）在BF上取點C使得CF＝BE，連接AC、CD．求證：AC⊥BD．

【考點】矩形的判定與性質(zhì)．

【專題】矩形菱形正方形；幾何直觀；推理能力．

【答案】（1）證明見解析過程；

（2）證明見解析過程．

【分析】（1）先判定四邊形AEFD是平行四邊形，然后由AE⊥BN即可得解；

（2）先判定四邊形ABCD是平行四邊形，再由BD平分∠ABC和AD∥BC得出AD＝AB，證出四邊形

ABCD是菱形，進而即可得證．

【解答】證明：（1）∵AE⊥BN，DF⊥BN，

∴AE∥DF，

∵AD∥EF，

∴四邊形AEFD是平行四邊形，

∵AE⊥BN，

∴四邊形AEFD是矩形；

（2）∵四邊形AEFD是矩形，

∴AD∥EF，AD＝EF，

∵BE＝CF，

∴BC＝EF，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠DBC，

∵AD∥BC，

∴∠ADB＝∠DBC，

∴∠ABD＝∠ADB，

∴AD＝AB，

∴四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD．

【點評】本題主要考查了特殊四邊形的判定和性質(zhì)，角平線的性質(zhì)等知識點，熟練掌握其判定和性質(zhì)是

解決此題的關(guān)鍵．

18．如圖，在?ABCD中，AE⊥BC于點E，延長BC至點F，使CF＝BE，連接DF，AF與DE交于點O．

（1）求證：四邊形AEFD為矩形；

（2）若AB＝3，OE＝2，BF＝5，求DF的長．

【考點】矩形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．

【專題】矩形菱形正方形；推理能力．

【答案】（1）證明見解析；

（2）．

12

【分析5】（1）先證四邊形AEFD為平行四邊形，再證∠AEF＝90°，即可得出結(jié)論；

（2）由矩形的性質(zhì)得DF＝AE，AF＝DE＝4，再由勾股定理的逆定理得△BAF為直角三角形，∠BAF

＝90°，然后由面積法求出AE的長，即可得出答案．

【解答】（1）證明：∵BE＝CF，

∴BE+CE＝CF+CE，

即BC＝EF，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴AD＝BC＝EF，

又∵AD∥EF，

∴四邊形AEFD為平行四邊形，

∵AE⊥BC，

∴∠AEF＝90°，

∴平行四邊形AEFD為矩形；

（2）解：由（1）知，四邊形AEFD為矩形，

∴DF＝AE，AF＝DE＝2OE＝4，

∵AB＝3，DE＝4，BF＝5，

∴AB2+AF2＝BF2，

∴△BAF為直角三角形，∠BAF＝90°，

∴S△ABF，

11

∴AB×A=F2＝?B?F×?A?E，=2??×??

即3×4＝5AE，

∴AE，

12

=

∴DF＝A5E．

12

【點評】本=題5考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理以及三角形面積

等知識，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

19．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，對角線AC，BD交于點O，AC平分∠BAD，過點C

作CE⊥AB，交AB的延長線于點E，連接OE．

（1）求證：四邊形ABCD是菱形．

（2）若AB＝5，BD＝6，求OE的長．

【考點】菱形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．

【專題】矩形菱形正方形；推理能力．

【答案】（1）見解析；

（2）4．

【分析】（1）根據(jù)題意先證明四邊形ABCD是平行四邊形，再由AB＝AD可得平行四邊形ABCD是菱

形；

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出OB的長以及∠AOB＝90°，利用勾股定理求出OA的長，再根據(jù)直角三角

形斜邊中線定理得出OE＝AC，即可解答．

【解答】（1）證明：∵AB∥CD，

∴∠CAB＝∠DCA，

∵AC為∠DAB的平分線，

∴∠CAB＝∠DAC，

∴∠DCA＝∠DAC，

∴CD＝AD，

∵AB＝AD，

∴AB＝CD，

∵AB∥CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵AD＝AB，

∴平行四邊形ABCD是菱形；

（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD交于點O，

∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，

11

=??=??

∴OB3，22

1

在Rt△=A2O?B?中=，∠AOB＝90°，

∴OA，

2222

∵CE⊥=AB?，????=5?3=4

∴∠AEC＝90°，

在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，O為AC中點，

∴4．

1

【點??評=】2本?題?主=要??考=查了菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半等知識，

熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

20．如圖，在矩形ABCD中，點F是BC上一點，且CF＝2BF，CE⊥AF，垂足為點E，∠BCE＝30°．

（1）求證：AE＝EF+CF；

（2）若AD＝6cm，點P是AD上一動點，以1cm/s的速度從點A運動到點D，問：點P運動多少秒四

邊形AFCP是菱形？請說明理由．

【考點】矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定．

【專題】矩形菱形正方形；運算能力．

【答案】（1）見解答過程；

（2）點P運動4秒，四邊形AFCP是菱形．

【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD是矩形，得出∠B＝90°，通過已知條件證明△ABF≌△CEF（ASA），

再進行等量代換即可；

（2）設(shè)點P運動t秒，四邊形AFCP是菱形，根據(jù)四邊形AFCP是菱形，得出AP＝AF＝CF＝CP＝t，

根據(jù)題意列出方程解答即可．

【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B＝90°，

∵AF⊥CE，

∴∠E＝90°，

∵∠ECF＝30°，

∴，

1

∵C??F＝=22B?F?，

∴BF＝EF，

又∵∠AFB＝∠CFE，

∴△ABF≌△CEF（ASA），

∴AF＝CF，

∵AE＝EF+AF，

∴AE＝EF+CF；

（2）解：設(shè)點P運動t秒，四邊形AFCP是菱形，

∵四邊形AFCP是菱形，

∴AP＝AF＝CF＝CP＝t，

∵CF＝2BF，

∴，

1

∵A?D?＝=62，?

∴BC＝6，

∴，

1

?+?=6

即：2t＝4，

∴點P運動4秒，四邊形AFCP是菱形．

【點評】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解

答本題的關(guān)鍵．

考點卡片

1．坐標與圖形性質(zhì)

1、點到坐標軸的距離與這個點的坐標是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個方面：①到x軸的距離與縱坐標有關(guān)，到

y軸的距離與橫坐標有關(guān)；②距離都是非負數(shù)，而坐標可以是負數(shù)，在由距離求坐標時，需要加上恰當?shù)?/p>

符號．

2、有圖形中一些點的坐標求面積時，過已知點向坐標軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段長，是解決這類問

題的基本方法和規(guī)律．

3、若坐標系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標軸的輔助線用“割、補”法去解決問題．

2．反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征

反比例函數(shù)y＝k/x（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，

①圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy＝k；

②雙曲線是關(guān)于原點對稱的，兩個分支上的點也是關(guān)于原點對稱；

③在y＝k/x圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．

3．三角形的面積

（1）三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即S△底×高．

1

（2）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．=2×

4．三角形的穩(wěn)定性

當三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性．這一特性主

要應(yīng)用在實際生活中．

5．全等三角形的判定與性質(zhì)

（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，

關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件．

（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構(gòu)造三角

形．

6．角平分線的性質(zhì)

角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．

注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，

有時不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語言：如圖，∵

C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

7．線段垂直平分線的性質(zhì)

（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）

垂直平分線，簡稱“中垂線”．

（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的

距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的距

離相等．

8．等腰三角形的性質(zhì)

（1）等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．

（2）等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】

（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩

個元素當成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論．

9．等腰三角形的判定與性質(zhì)

1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的

重要手段．

2、在等腰三角形有關(guān)問題中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中

線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時，有時作哪條線都可以，有時不同的做法引起解

決問題的復雜程度不同，需要具體問題具體分析．

3、等腰三角形性質(zhì)問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的

思維定勢，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應(yīng)當優(yōu)先選擇簡便方法來解決．

10．勾股定理

（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．

（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．

（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a，b及c．

222222

（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理=c＞b?，?即?直角三=角?形?的?斜邊大=于該?直+角?三角形中的每一條直角

邊．

11．等腰直角三角形

（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．

（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的

所有性質(zhì)．即：兩個銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜

邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內(nèi)切圓的直徑（因為等腰直角三角形的兩個小角均為45°，高又垂

直于斜邊，所以兩個小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；

（3）若設(shè)等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑r＝1，則外接圓的半徑R1，所以r：R＝1：1．

12．三角形中位線定理=2+2+

（1）三角形中位線定理：

三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．

（2）幾何語言：

如圖，∵點D、E分別是AB、AC的中點

∴DE∥BC，DEBC．

1

=2

13．多邊形

（1）多邊形的概念：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形．

（2）多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．

（3）正多邊形的概念：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．

（4）多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，辨別凸多邊形可用兩種方法：①畫多邊形任何一邊所在的直線

整個多邊形都在此直線的同一側(cè)．②每個內(nèi)角的度數(shù)均小于180°，通常所說的多邊形指凸多邊形．

（5）重心