2025高考數(shù)學三輪沖刺-“8+3+3”小題速練（10）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的.

1.某籃球興趣小組7名學生參加投籃比賽，每人投10個，投中的個數(shù)分別為8,5,7,

5,8,6,8,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（）.

A5,7B.6,7C.8,5D.8,7

2.圓心在V軸上，半徑為1,且過點（1,2）的圓的方程是（）

A.爐+什-2)2=1B.x2+(y+2)2=1

C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)-=1

3.記S,為等差數(shù)列｛%,｝的前九項和，若。3+%=35,則$6=()

A.20B.16C.14D.12

4.如圖，將正四棱臺切割成九個部分，其中一個部分為長方體，四個部分為直三棱柱，四

個部分為四棱錐.已知每個直三棱柱的體積為3,每個四棱錐的體積為1，則該正四棱臺的

體積為（）

5.古希臘數(shù)學家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長

22

與短半軸長的乘積.如圖，K，工為橢圓E：三+六=1（?！?］〉0）的左、右焦點，中

心為原點，橢圓E的面積為石兀，直線x=4上一點P滿足△耳尸耳是等腰三角形，且

/耳與尸=120。,則E的離心率為（)

12

c.D.

55

jr

6.如圖，在邊長為2的菱形A5c。中，/DAB=—，點、E,尸分別在邊CB,CD上,

3

—.—?13

且CE=C尸,若A石?A/=—,則跖=（）

2

123

A.—B.—C.1D.一

232

7.如圖，在正方體ABC?！狝耳GA中，AB=2,P是正方形ABC。內(nèi)部（含邊界）的一

—>1—>

個動點，若DP=DB,則三棱錐p-Bgc外接球的表面積為（）

A.8不B.67rC.4后兀D.47r

8.方程2cos2%cos2x-cos-------=cos4%—l所有正根的和為(

IIx))

A.810TIB.1008TTC.1080TTD.1800TT

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.函數(shù)/(x)=2sin120x+3(O<o<l)的圖象如圖所示，將其向左平移看個單位長

度，得到y(tǒng)=g(x)的圖象，則下列說法正確的是()

A.0=；B.函數(shù)Ax)的圖象關(guān)于點對稱

C.函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=g對稱D.函數(shù)y=+在-上

單調(diào)遞減

_2+j

10.已知復數(shù)Z0滿足i3z0=----，貝IJ()

l-2i

3

A.z0的實部為不

4

B.z0的虛部為彳

C.滿足：|z|<|zo|的復數(shù)z對應的點所在區(qū)域的面積為兀

3

D.z0對應的向量與x軸正方向所在向量夾角的正切值為二

4

11.在平面直角坐標系中，圓。：/+產(chǎn)=1,點尸為直線/:x—y—2=0上的動點,

則()

A.圓。上有且僅有兩個點到直線/的距離為g

B.已知點M（3,2）,圓。上的動點N,則歸刈+|/訓的最小值為，萬-1

C.過點P作圓C的一條切線，切點為Q,NOPQ可以為60。

D.過點尸作圓C的兩條切線，切點、為M,N,則直線MV恒過定點

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

c、

12.2+-（光—2y）6的展開式中J/的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）

2

13.如圖，圓錐底面半徑為:，母線為=2,點6為乃1的中點，一只螞蟻從4點出發(fā)，沿

圓錐側(cè)面繞行一周，到達8點，其最短路線長度為，其中下坡路段長為

14.設嚴格遞增的整數(shù)數(shù)列％,外，…，4o滿足4=1，的）=4。.設/為4+出，

a2+a3,69+。20這19個數(shù)中被3整除的項的個數(shù)，則/"的最大值為,使

得f取到最大值的數(shù)列｛為｝的個數(shù)為

參考答案與詳細解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的.

1.【答案】D

【解析】數(shù)據(jù)由小到大排列為5,5,6,7,8,8,8,

因此，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為8,中位數(shù)為7.

故選：D.

2.【答案】A

【解析】因為圓心在y軸上，所以可設所求圓的圓心坐標為(。力)，

則圓的方程為V+(y—勿2=1,又點(1,2)在圓上，

所以1+(2—>)2=1,解得人=2,

所以所求圓的方程為Y+(y—2)2=1.

故選：A

3.【答案】D

【解析】???{%}是等差數(shù)列，

a.a,r

%+%=2%=1。，a5=5,所以。6==7,

/.公差d=a6-a5=2,

%=%—4d——3,

6x5

??.S6=6x(-3)+-^-x2=12,

故選：D.

4.【答案】C

【解析】設每個直三棱柱高為。，每個四棱錐的底面都是正方形，設每個四棱錐的底面邊

長為

設正四棱臺的高為/?,因為每個直三棱柱的體積為3,每個四棱錐的體積為1，

1,,.

—abn=3

,2

則，可得a2b2k2=人.執(zhí)=八義3=36,可得°%=12,

—b2h=1

[3

所以，該正四棱臺的體積為v="/j+dxB+dxln12+16=28.

故選：C.

5.【答案】B

【解析】由題可知，V57T=nab）即"=逐，心是以月「=120。為頂角的等

腰三角形，

則有：閨閭=儼閶，ZP耳耳=/8。耳=30。，N且PA=30。，

所以照|=2|叫=2（4-c）=8-2c,又因為上q=2c,即2c=8—2c,c=2,

ab=\/5a=A/5

可得：\c=2,解得

c=2,故禺心率為e――————

71a5

a2=b2+c2b-\

故選：B.

6.【答案】C

【解析】設礪=4反（0＜彳＜1）,可得麗=%反，

有北=通+2配=通+；1礪，AF=AD+ADC=AD+AAB

故AEAF=（AB+2AD）（2AB+AD）

=A|AB|2+（22+l）AB-AD+2|A0j2=42+2（A2+1）+42=2A2+82+2,

—.—，131319

又由AE-AP=」，＜223+82+2=—,解得2=—,2=--（舍），

2222

故E,F為邊CB,8的中點，所以△CEF為等邊三角形，故￡r=1.

故選：C.

7.【答案】A

—?1—?

【解析】若OP=—則尸為中點，^PBC為等腰直角三角形，外接圓半徑為

2

|BC=L三棱錐尸-33。外接球的球心到平面P3C的距離為3臺4=1,則外接球的半

徑為0，所以三棱錐P-530外接球的表面積為8兀，A選項正確；

故選：A

8.【答案】C

【解析】2cos2xcos2x-cos'。"兀=cos4x-1=2cos22x-2,

、IX力

’2014兀2、

令a=cos2x,b=cos貝!]2a(a—b)=2a~—2,即ab=1,

所以a=1/=1或a=—13=—1,

(2014712)

當a=l,b=l時，即cos2x=l,cos=1,

\xJ

所以x=E，左€4》=也在AeZ,

因為1007=1x19x53,所以％=兀/9兀,53兀,1007兀，

當。=-13=-1時，即cos2x=-l,cos---------=-1,

Vx)

(2左+1)兀2014/4028兀,“

mx=----------,k€Z,x=-7-------；—=---------K€L

則2(2.+1)兀2^+11

2

4028

因為2/+1是奇數(shù),所以布也是奇數(shù)’不成立;

所以方程所有正根的和為：兀+1珈+53兀+1007兀=108071,

故選：C

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.【答案】ABD

【解析】函數(shù)/(x)=2sin|2Ox+(J,當J=2sin|等+與J=2,

,,CD71兀兀~1,77r

此t時----1———2kit,kGZ,co——F6k,左￡Z,

3322

71]

因為O〈69vl,所以o=e，所以/(%)=2sin%+耳卜故A正確;

[—=2sin，1+1]=2sin0=0,所以/(x)關(guān)于點[一土。]對稱，故B正確;

71

函數(shù)圖象向左平移四個單位長度后得到g(%)=2sin+—=2cos%,

63

g(x)=2cosx,當x=￡時，g(x)=2cosf=J§\所以函數(shù)y=g(x)的圖象不關(guān)于直

66

7T

線X=—對稱，故C錯誤；

6

1c兀、cII兀兀1c兀兀5兀「八

22%H-2COS2xH當％￡,一時，2%HG—,CZ0,71

(3)I3)[99」3]99J-L

(71]7171

所以函數(shù)g2%+§在一§,§上單調(diào)遞減，故D正確.

故選：ABD

10.【答案】AC

r鏟去匚[出?3—2+i(―2+i)(l+2i)—2—4i+i+2i2—4—3i

【解析】由iz°二-----=------—----=---------------=-------,

0l-2il-4i255

-4-3i-4-3i-4i-3i234.

則z0=---------1

-5i--5i255

34

所以Z。的實部為w，虛部為-二，故A正確，B錯誤;

則忖<聞=1,設2=。+歷，

22

則目=，/+/Wl,gpa+/,<1，

所以復數(shù)Z對應的點所在區(qū)域是以原點為圓心，1為半徑的圓內(nèi)的區(qū)域(包括圓),

則所在區(qū)域的面積為Ttxl?=兀，故C正確；

如圖,Zo對應的向量為。P=

4

__54

則向量9k與X軸正方向所在向量夾角的正切值為方=3,故D錯誤.

5

故選：AC.

11.【答案】ABD

=A/2

【解析】選項A,由題意知，圓心(0,0)到直線的距離為4=圓的半徑

為1，

由亞-1〈工〈行+1,

2

如圖可知與直線I平行且與直線/距離為1的其中一條直線r與圓相交，有兩個公共點,

另一條直線〃與圓相離，即圓上有且僅有兩個點到直線/的距離為故A正確;

選項B,設點M(3,2)關(guān)于直線x—y—2=0的對稱點M'(x,y),

3+x2+y

-----------------------2=U

22x=4

則C，解得,即M'(4,l),

V—2=1

—xl=—1b

、%—3

則歸閭+|PN|=|之以—1=742+12-1=717-1,

即|PM|+|PN|的最小值為舊―1,故B正確;

1

選項C,由切點為Q,NOQP=90。，則在RMOQP中，sinNOPQ=jj=西,

當最小時，sinNOP。取最大值，NOPQ最大,

過點0作OPU/,垂足為作,此時|。尸|最小,最小值為10Pl=2S

即sin/OPQ最大值為立，NOPQ最大為45。，不可能為60。，故C錯誤;

2

選項D,設點POo，%）,切點加（為，%）,陽々,丫2），

可得切線方程為+=1,由點P在切線上，得了1%+%%=1,

同理可得無2%+%%=1，

故點,必）,N（尤2,%）都在直線+%丁=1上，

即直線MN的方程為xox+yoy=\,

又由點「（后,%）在直線/:x—y-2=0上，則y0=x0-2,

代入直線方程整理得（x+y）xo-2y-l=O,

x+y=0X~2fl1

由〈"解得〈，，即直線MV恒過定點不一7,故D正確.

—2y—1=01122）

故選：ABD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.【答案】—40

［解析］的通項公式為=仁嚴〈_2才=&(_2y尤6-，y,

24

令r=2得，T3=Cg(-2)x/=60//,止匕時60x4y2-2=i20x4/,

令r=3得，立=或(—2)、3y3=_i60尤3y3,此時一iGOdy5。j=—160//,

故x4y2的系數(shù)為120-160=-40

故答案為：-40

13.【答案】①.夕②.二Z

7

【解析】如圖，將圓錐側(cè)面沿母線序剪開并展開成扇形,

4Ji27r

易知該扇形半徑為2,弧長為一，故圓心角//加=——,

33

最短路線即為扇形中的直線段/昆由余弦定理易知

屈=VB42+PB2-2PA-PBcosZAPB=^

c"PBA=PB?AB「PA2=近

2PBBA7

過戶作46的垂線，垂足為必

當螞蟻從/點爬行到〃點的過程中，它與點尸的距離越來越小，故'為上坡路段,

當螞蟻從〃點爬行到8點的過程中，它與點尸的距離越來越大，故物為下坡路段,

下坡路段長奶=陽cos/加=&".

故答案為：V7，—.

7

14.【答案】①.18②.25270

【解析】第一個空，設某個數(shù)除以。余數(shù)為沙，則稱該數(shù)模。余力（”，力均為整數(shù)，且

b<a）,

為了讓盡可能多的相鄰兩數(shù)之和被3整除，則要盡量多地出現(xiàn)相鄰兩數(shù)一個模3余1,一

個模3余2這樣的組合，這樣它們之和才會被3整除.

而％=1,。2。=40均為模3余1,則不可能有19組上述組別，最多出