2025年高考數(shù)學(xué)第一次模擬考試（北京卷02）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng):

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.已知全集。=區(qū)，N={x|-3<x<l},B={x\0<x<2},則圖中陰影部分表示的集合為（）

C.{x\-3<x<2}D.{x|0<x<1}

2.若復(fù)數(shù)Z滿足z=則復(fù)平面內(nèi)表示Z的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知直線2x—y=0與圓°：（工_2）2+3+1）2=9相交于43,則△/8C的面積等于（）

A.273B.275c.4GD.475

4.己知尸是拋物線產(chǎn)=12x上的動(dòng)點(diǎn)，”是拋物線的準(zhǔn)線/上的動(dòng)點(diǎn)，N（0,4）,貝1］戶叫+|尸叫的最小值是

)

A.5B.4c.4V2D.372

5.在△NBC中，內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,己知

(sin^-sm5)(/>+a)=c(sin5+sinC),則△4BC面積的最大值為()

A-IB-T

6.已知函數(shù)/(x)=x3-2x,x”x2eR,貝1]"再=0"是=0"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要

條件

7.如圖，三棱柱ABC-/4。中，E,尸分別是/瓦/C的中點(diǎn)，平面跖Gg將三棱柱分成體積為匕，匕（左

為匕，右為匕）兩部分，則%:匕=（）

A.5:6B.3:4C.1:2D.5:7

8.春天是一個(gè)美麗、神奇，充滿希望的季節(jié)，我們每個(gè)人都應(yīng)當(dāng)保持像春天一樣朝氣蓬勃的生命力，去創(chuàng)

造屬于我們自己的美好生活.隨著2022年春天的深入，某池塘中的荷花枝繁葉茂，已知每經(jīng)過一天的生長,

荷葉覆蓋水面面積都是前一天的:倍，若荷葉20天可以完全長滿池塘水面，則當(dāng)荷葉剛好覆蓋水面面積一

4

半時(shí)，荷葉大約生長了（參考數(shù)據(jù)1g2。0.3）（）

A.15天B.16天C.17天D.18天

一3

9.已知函數(shù)/（x）h（2"T）x+"X'l在區(qū)間（_9+8）上對任意的國力馬，都滿足〃再）[〃%）<0,則實(shí)

ax,x<l再一々

數(shù)。的取值范圍是（）.

A.1B.C.[o,][*]

10.已知等差數(shù)列｛%｝和等比數(shù)列｛々｝,%=4=-4,@=2,%=砌,加€田，貝嗨足句,也“>1的數(shù)值機(jī)（）

A.有且僅有1個(gè)值B.有且僅有2個(gè)值

C.有且僅有3個(gè)值D.有無數(shù)多個(gè)值

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分.

22

1L已知雙曲線1的虛軸長為2,則雙曲線C的漸近線方程是

12.已知，+止）展開式中的第4項(xiàng)是一次項(xiàng)，貝心=,展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是

13.A42c中，AC=BC,乙BAC=60°,。為2c中點(diǎn)，￡1為4B中點(diǎn)，M為線段CE■上動(dòng)點(diǎn)，麗.互3=4,

則|/。1=；下7.而的最小值為.

14.我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在所著的《詳解九章算法》一書中用如圖所示的三角形解釋二項(xiàng)展開式的系數(shù)規(guī)

律，現(xiàn)把楊輝三角中的數(shù)從上到下，從左到右依次排列，得數(shù)列：1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,

6,4,1,…，記作數(shù)列｛%｝,貝U%4=若數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為Sn,貝97=

1

11

121

1331

14641

15.已知曲線C：4x|x|-5HM=20,點(diǎn)出0,3）,&（°，-3）,則下列結(jié)論正確的有

①.曲線C關(guān)于直線了=一丫對稱

②.曲線C上存在點(diǎn)使得|孫1TM詞=4

③.直線y與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)

④.曲線C上第一象限內(nèi)的點(diǎn)到直線J=言工與y=一半x的距離之積為定值

三、解答題：本題共5小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.（滿分13分）在△ASC中，內(nèi)角4氏。的對邊分別為Q也c.已知cos24=cos_8cosC-sinBsinC.

⑴求角A的大?。?/p>

⑵已知a=6,c=2A/3.求AABC的面積.

17.(滿分14分)羨除是《九章算術(shù)》中記載的一種五面體.如圖，五面體/BCD環(huán)是一個(gè)羨除，其中四邊

形48co與四邊形/DE尸均為等腰梯形，且￡F/父D〃5C,AD=4,EF=BC=AB=2,ED=回,M為4D

中點(diǎn)，平面8CEF與平面N0EF交于跖.

⑴求證：9〃平面CDE；

(2)已知點(diǎn)。是線段4E上的動(dòng)點(diǎn)，從條件①、條件②中選擇一個(gè)作為已知，求直線與平面板所成角

的正弦值的最大值.

條件①：平面40斯，平面/BCD；

條件②：EC=2.43.

18.(滿分13分)隨著“中華好詩詞”節(jié)目的播出，掀起了全民誦讀傳統(tǒng)詩詞經(jīng)典的熱潮.某社團(tuán)為調(diào)查大學(xué)

生對于“中華詩詞"的喜好，從甲、乙兩所大學(xué)各隨機(jī)抽取了40名學(xué)生，記錄他們每天學(xué)習(xí)"中華詩詞"的時(shí)

間，按照[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]分組，并整理得到如下頻率分布直方圖:

頻率/組距

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

O102030405060分鐘/天

圖1：甲大學(xué)圖2：乙大學(xué)

根據(jù)學(xué)生每天學(xué)習(xí)"中華詩詞"的時(shí)間，可以將學(xué)生對于"中華詩詞"的喜好程度分為三個(gè)等級:

學(xué)習(xí)時(shí)間：(分鐘/天)^<2020白<50出50

等級一般愛好癡迷

(1)從甲大學(xué)中隨機(jī)選出一名學(xué)生，試估計(jì)其“愛好”中華詩詞的概率；

⑵從這兩組"癡迷"的同學(xué)中隨機(jī)選出2人，記忑為選出的兩人中甲大學(xué)的人數(shù)，求忑的分布列和數(shù)學(xué)期望

￡信)；

⑶試判斷選出的這兩組學(xué)生每天學(xué)習(xí)"中華詩詞”時(shí)間的平均值又甲與田乙的大小，及方差與si的大小.(只

需寫出結(jié)論)

19.(滿分15分)已知函數(shù)/(x)=(x+a)lnx.

(1)若a=-l,證明：/(x)>0:

(2)若過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線能與曲線y=/(x)相切，求。的取值范圍.

20.(滿分15分)已知幺(2,1)是橢圓￡：［+《=1(q>6>0)上的一點(diǎn)，且E的離心率為"，斜率存在且

ab2

不過點(diǎn)A的直線