重難點04指、對、塞數(shù)比較大小問題【八大題型】

【新高考專用】

從近幾年的高考情況來看，指、對、累數(shù)的大小比較是高考重點考查的內(nèi)容之一，是高考的熱點問題,

往往將幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等混在一起，進行排序比較大小，主要涉及指數(shù)與對數(shù)的

互化、運算性質(zhì)，以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，一般以選擇題或填空題的形式

考查.這類問題的主要解法是利用函數(shù)的性質(zhì)與圖象來求解，解題時要學會靈活的構(gòu)造函數(shù).

?知識梳理

【知識點1指、對、塞數(shù)比較大小的常用方法】

1.單調(diào)性法：當兩個數(shù)都是指數(shù)募或?qū)?shù)式時，可將其看成某個指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)或累函數(shù)的函數(shù)

值，然后利用該函數(shù)的單調(diào)性比較，具體情況如下：

①底數(shù)相同，指數(shù)不同時，如小和產(chǎn),利用指數(shù)函數(shù)y=優(yōu)的單調(diào)性；

②指數(shù)相同，底數(shù)不同時，如尤;和甘，利用癌函數(shù)y=x〃單調(diào)性比較大小;

③底數(shù)相同，真數(shù)不同時，如log”再和log“無2，利用指數(shù)函數(shù)log“x單調(diào)性比較大小.

2.中間值法：當?shù)讛?shù)、指數(shù)、真數(shù)都不同時，要比較多個數(shù)的大小，就需要尋找中間變量0、1或者

其它能判斷大小關(guān)系的中間量，然后再各部分內(nèi)再利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小，借助中間量進行大小關(guān)系的

判定.

3.作差法、作商法：

(1)一般情況下，作差或者作商，可處理底數(shù)不一樣的對數(shù)比大小；

(2)作差或作商的難點在于后續(xù)變形處理，注意此處的常見技巧與方法.

4.估算法:

(1)估算要比較大小的兩個值所在的大致區(qū)間；

(2)可以對區(qū)間使用二分法(或利用指對轉(zhuǎn)化)尋找合適的中間值，借助中間值比較大小.

5.構(gòu)造函數(shù)法：

構(gòu)造函數(shù)，觀察總結(jié)“同構(gòu)”規(guī)律，很多時候三個數(shù)比較大小，可能某一個數(shù)會被可以的隱藏了“同構(gòu)”

規(guī)律，所以可能優(yōu)先從結(jié)構(gòu)最接近的的兩個數(shù)來尋找規(guī)律，靈活的構(gòu)造函數(shù)來比較大小.

6.放縮法：

(1)對數(shù)，利用單調(diào)性，放縮底數(shù)，或者放縮真數(shù)；

(2)指數(shù)和幕函數(shù)結(jié)合來放縮；

(3)利用均值不等式的不等關(guān)系進行放縮.

?舉一反三

【題型1利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小】

【例1】（2024?四川資陽?二模）已知。=4°汽b=30-4,c=ln2,則（）

A.c<a<bB.c<b<a

C.a<c<bD.a<b<c

2_1

【變式1-1]（2024?天津河西?三模）若a=logM，b=（近）3,c=3,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.b<a<cB.a<c<bC.c<a<bD.a<b<c

【變式1-2]（2024?寧夏石嘴山?模擬預測）已知a=log56,b=log2V8,c=Ve,則a,b,c大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

105

【變式1-3]（2024?全國?模擬預測）已知a=22]b=log215,c=5,則a,的大小關(guān)系為（）

A.b<a<cB.b<c<aC.a<b<cD.c<b<a

【題型2中間值法比較大小】

【例2】（2024?遼寧?模擬預測）設a=0.5可匕=log23,c=logell,則（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b

1

【變式2-1］（2024?陜西銅川?模擬預測）已知。=（：）之前=log65,c=logsG,則（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

【變式2-2］（2024?山東濰坊?二模）已知a=eT,b=Iga,c=e。，貝I（）

A.b<a<cB.b<c<a

C.a<b<cD.c<b<a

【變式2-3］（2024?天津北辰?三模）已知a=0.53,，b=log090.3,c=logi|,則Q,b,c的大小關(guān)系為（）

32

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

【題型3特殊值法比較大小】

O3

【例3】（2024?陜西商洛?模擬預測）設a=logo,50.6,b=0A9-fc=0.6-。巴則a,b,c的大小關(guān)系是

（）

A.c>b>aB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

【變式3-1］（2024?江西上饒?模擬預測）設（5。=2/=1084,。=（3三，則有（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

_i

【變式3-2］（2024.天津和平?一模）設0"=2"=.3-.9］=（，*則有（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

03

【變式3-3］（2024?天津和平?三模）設a=0.42,fo=logo43,c=4,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

【題型4作差法、作商法比較大小】

【例4】（2024?湖南岳陽?二模）設a=log??,b=log35,c=log58,則（）

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

【變式4-1］（2024.陜西西安.模擬預測）若。=0.3仆5,5=108312二=10826,￡/=#|,則有（）

A.a>b>cB.b>a>d

C.c>a>bD.b>c>a

【變式4-2］（2024.貴州六盤水.模擬預測）若。=竽，6=與，c=野，則（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【變式4-3](2024.全國.模擬預測)若a=2°”,b=3S25,c=logo70.5,則a,hc的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【題型5構(gòu)造函數(shù)法比較大小】

【例5】（23-24高二下?云南玉溪?期中）已知實數(shù)a,b,c滿足2。+a=2,28+6=有，c=logi63,貝U（）

A.c<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

【變式5-1］（2024.全國.模擬預測）已知a=Ing,b=ln7xln2,。=器則（）

A.b<c<aB.b<a<cC.a<b<cD.a<c<b

【變式5-2］（2024.全國.模擬預測）設a=5"b=：,c=log45,則。，b,c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

c

【變式5-3］（2024?河南?模擬預測）已知實數(shù)a,4c滿足小+log2a=0,2023'=log2023^=log7V6,則

（）

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

【題型6數(shù)形結(jié)合比較大小】

【例6】（2024.河南.模擬預測）已知a=In/r,）=log37i,c=S?ln2,則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【變式6-1］（2024?江西贛州?二模）若log?%=log4y=logs2<一1，則（）

A.3x<4y<5zB.4y<3x<5zC.4y<5z<3xD.5z<4y<3%

【變式6-2］（2024?江西?模擬預測）若碇。=〃昉（。>0）,則（）

A.a<bB.a=bC.a>bD.無法確定

c

【變式6-3］（2024?全國?模擬預測）已知a=Q）=logab,a=logic,則實數(shù)a,4c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【題型7利用基本不等式比較大小】

【例7】（23-24高一下?湖南長沙?開學考試）已知a=log32,b=log43,c=log54,則（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.a>c>b

【變式7-1］（2024?云南?模擬預測）已知a=logi69,b=log2516,c=e-2,則（）

A.b>a>cB.b>c>a

C.c>b>aD.c>a>b

【變式7-2］（2024?湖南?模擬預測）已知a=log32,b=logs3,c=loggS,則下列結(jié)論正確的是（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.b<c<a

i

4

【變式7-3］（2024?河南鄭州?模擬預測）已知a=log35,b=2Q）,c=31og72+log87,貝!J（）

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.c>a>b

【題型8放縮法比較大小】

【例8】（2024?四川樂山?三模）若a=log32,b=log43,c=e-2,則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.b<c<aB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【變式8-1］（23-24高二上?安徽?階段練習）已知￡1=舊一717"=63］=10853-|10835,貝1］（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<a<b

【變式8-2］（2024?全國?模擬預測）已知a=log2mb=ln4,c=0.6-15,則（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<a<b

i

【變式8-3］（2024?河南鄭州?模擬預測）已知a=log35,b=2c=31og72+log87,貝!J（）

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.c>a>b

6和雷朝匹瀚人__________

一、單選題

1.（2024.福建泉州.一模）若實數(shù)Q>6>0,則下列不等式一定不成立的是（）

A.0.3。<0.38B.Iga>IghC.<-----D.>VF

a-1b-1

040

2.（2024?四川眉山?一模）若a=logs#】，b=log050.2,c=41,則（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.a>c>b

02

3.（2024?寧夏吳忠?一模）已知a=0.23/=3,C=log0.23,則（）

A.a>c>bB.a>b>c

C.b>a>cD.c>b>a

4.（2024.四川宜賓.一模）已知a=|,b=V3,c=出普，則（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

5.(2024?四川雅安?一模)下列不等式成立的是()

23

4

A.GF<QB.log25<log412C.log73>yD.(應了。>3.9

6.(2024?四川成都?模擬預測)已知a,b為實數(shù),則使得“a>6>0”成立的一個必要不充分條件為()

11

A.->-B.ln(a+1)>ln(b+1)

C.a3>b3>0D.yja—1>y/b—1

7.(2024?全國?模擬預測)已知函數(shù)f(%)=眇2-2%,記-=/(R)g32)*=f(logs?)?c=f(log75),則()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

2

8.(2024.江蘇徐州?模擬預測)已知偶函數(shù)/(%)在(一8,0］上單調(diào)遞增，a=f(Ti-\b=/(-log25),c=

/(log21)'則()

A.b>a>cB.c>b>a

C.a>c>bD.a>b>c

二、多選題

9.（2024?河南洛陽?模擬預測）下列正確的是（)

A2~~0,。1>2-0Q01

B.log2V3>log2n-1

-001

C.logi,85<logj.75D.log33.01>e

10.(2024.貴州?模擬預測)已知0<a<b<l,m>1,貝i|()

A.am<bmB.ma>mb

C.logma>logmhD.logam>log^m

11.（2024.吉林.模擬預測）若b>a>0,則下列不等式成立的是（）

211

<<<<

a2B.--

A.a匕

log2log2bba2