專題01集合

【知識點梳理】

1、元素與集合

（1）集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.

（2）元素與集合的關系：屬于或不屬于，數學符號分別記為：e和―

（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖圖）.

（4）常見數集和數學符號

數集自然數集正整數集整數集有理數集實數集

符號NN*或N.ZR

說明：

①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不

在這個集合中就確定了.給定集合/={1,2,3,4,5},可知leZ，在該集合中，6^A,不在該集合中；

②互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的；也就是說，集合中的元素是不重復出現的.

集合/={a,b,c}應滿足wc.

③無序性：組成集合的元素間沒有順序之分.集合Z={1,2,3,4,5}和8={1,3,5,2,4}是同一個集合.

④列舉法

把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“{卜'括起來表示集合的方法叫做列舉法.

⑤描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法.

具體方法是：在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎

線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.

2、集合間的基本關系

（1）子集（sz/6sef）：一般地，對于兩個集合/、B，如果集合/中任意一個元素都是集合5中的元

素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合/為集合5的子集，記作4口8（或33/）,讀作“/包

含于5”（或“5包含/”）.

（2）真子集（propersubset）：如果集合2口5,但存在元素且我們稱集合/是集合

5的真子集，記作/U8（或5*/）.讀作“/真包含于5”或“8真包含/

（3）相等：如果集合/是集合5的子集（AqB,且集合8是集合/的子集（BjA）,此時，集

合力與集合8中的元素是一樣的，因此，集合/與集合5相等，記作/=

（4）空集的性質：我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作0；。是任何集合的子集，是任何非

空集合的真子集.

3、集合的基本運算

(1)交集:一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合,稱為/與5的交集,記作A^B,

即ZPl8={x|xe4且xeB}.

(2)并集:一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合，稱為A與B的并集,記作ZU8,

即ZU3={x|xe4或xeB}.

(3)補集：對于一個集合力,由全集。中不屬于集合力的所有元素組成的集合稱為集合/相對于全

集。的補集，簡稱為集合/的補集，記作的/,即

4、集合的運算性質

(1)AC\A=A,AH0=0，A^B=B[\A.

(2)A\JA=A,A\J0=A,A\JB=B\JA.

(3)/n(C/)=0,A\J(CuA)=U,Cu(CuA)=4.

【方法技巧與總結】

(1)若有限集/中有〃個元素，則/的子集有2"個，真子集有2"-1個，非空子集有2"-1個，非空

真子集有2"-2個.

(2)空集是任何集合/的子集，是任何非空集合5的真子集.

(3)/05。/。5=/。05=50。*口5.

(4)Cu(/n3)=(C/)U(CG),Q(NU5)=(C/)n(GB).

【典型例題】

例1.(2024?河南?高三專題練習)已知集合/={xeZ|f-8<0},8=*12尤-1>0},則/口8=()

A.{0,1,2}B.{1,2,3}C.{1,2}D.{0,1}

【答案】C

【解析】由題意，得/={xeZ|-2亞<》<2亞}={-2,-1,0,1,2},B={x\x>^\,故/口8={1,2}.

故選：C.

例2.(2024?全國?模擬預測)已知集合。=卜€(wěn)兇-1。<8},/={1,2,3},5={3,4,5,6}則a(/。0=()

A.{7}B.{0,7}C.{7,8}D.{0,7,8}

【答案】B

【解析】由題意得，U={0,1,2,3,4,5,6,7},4J8={1,2,3,4,5,4，則電(4U8)={0,7},

故選:B.

例3.(2024?江西?高三校聯考階段練習)已知集合/={xe用肛=12,yeN},5={巾^^a-3)<3},則/「B=

()

A.{123,4,6}B.{3,4,6}C.{4,6,12}D.{4,6}

【答案】D

【解析】/={xwNW=12,yeN}={l,2,3,4,6』2},

由log2a-3）<3,得0<圖-3<2、，解得3cx<11,

即8={x[3<x<ll},所以/08={4,6}.

故選：D

例4.（2024?重慶沙坪壩?高三重慶南開中學?？计谀┰O集合N={x|log2（x+2）V2,xeZ},則集合A的真子

集個數為（）

A.32B.31C.16D.15

【答案】D

【解析】由bg2（尤+2）V2得0<x+244,解得-2<xV2,

又；xeZ,A={-1,0,1,2},

由集合中共有4個元素，故A的真子集個數為24-1=15.

故選：D.

例5.（2024?四川成都?高三四川省成都列五中學?？计谀┰O集合

A=\x=a+—,aeZ,B=|x=-+—,&ezj>,貝（|集合A、B的關系是（）

A.5AB.ABC.A=BD.AcB=0

【答案】B

【解析】集合/==a+="與,

I6J16J

集合8=,|x=Dez[="x=eZj,

因為aeZ,6a+1表示被6除余1的數，beZ,36+1表示被3除余1的數，

所以AB.

故選：B.

例6.（2024?云南大理?統考模擬預測）已知{+依2-4工+1=。}={6},其中Q/ER,貝ijb=（）

A.0B.—或；C.gD.一

4224

【答案】B

【解析】由題意知：6為方程分2一4x+l=0的根，

當。=0時，b=—；

4

當"0時，二次方程有兩個相同的根，則有]"「功+1：°,止匕時6=上

16—4〃=02

故選:B.

例7.（2024?四川瀘州?高三四川省瀘縣第一中學校考期末）設全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合

4={-3,-2,2},8={-3,-2,1},則Q（/U8）=（）

A.{-2,-1,1,2,3}B.{-2,-1,0,3）

C.{-1,0,3}D.{-1,0}

【答案】C

【解析】由題意可知2={-3,-2,1,2},所以G（/u8）={T,0,3}.

故選：C

例8.（多選題）（2024?黑龍江牡丹江?高三牡丹江市第二高級中學?？茧A段練習）設集合A={X|X2-2X-3=0）,

5={x|ax-3=0},若3g/,則〃的取值可能是（）

A.-3B.1C.-1D.0

【答案】ABD

【解析】因為/={#2-2X-3=0}={-1,3},

所以-1^5或或3=0,

所以Q=-3或。=1或Q=0,

故選：ABD.

例9.（多選題）（2024?江蘇揚州?高三統考階段練習）已知全集為U,4,8是U的非空子集，且力=電3,

則下列關系一定正確的是（）

A.3xeU,xAeB

B.\/xeA,x^B

C.A^xeB

D.3x^U.x^A^xeB

【答案】AB

【解析】因為/之23,所以ZcB=0,

則力且xeB,PxsA，x更B,故AB正確；

若A是的真子集，則ZuBwU,貝e/且故C錯誤；

因為4c5=0,所以不存在力且xeB,故D錯誤.

故選：AB.

例10.（2024?陜西商洛?高三陜西省山陽中學校聯考期末）設集合/={o,l,/},若a-le/,則實數。=.

【答案】2

【解析】當"1=0時，。=1,此時/={0,1,1},不符合條件；

當"1=1時，a=2,此時/={0,1,4},符合條件；

若4-1=。2,即Q2_Q+1=（）,無實根，不符合條件.

所以a=2.

故答案為：2.

例11.（2024?安徽?高三池州市第一中學校聯考開學考試）已知集合

M={xeN|（x+2）（x-3）<0},N=f-2,-1,0,1,2},則McN=.

【答案】{0,1,2}

【解析】因為Af={xeN|（x+2）（尤-3）<0}={xeN|-2<x<3}={0,1,2},

又N={-2,-l,0,l,2},所以MCN={0,L2}.

故答案為：{0,1,2}

例12.（2024?河南?高三專題練習）已知集合/=3y=2x+±x<0},B^{x\x<m},若/口8=/,則實數

X

m的取值范圍為.

【答案】（-2行,+8）

【解析】由集合A中，當x<0時，y=2x+1=-[（-2x）+±]V-2行，當且僅當-2x=,，即工=一"時等號

X（-X）-X2

成立，

故4={y|y=2x+',x<0}={y[yV-2后}.因為/口8=/,所以所以加>-2行，故實數機的取值范

X

圍為（-2行,+00）.

故答案為：（-2血,+00）.

例13,（2024?山東泰安?高三?？计谀┮阎?。卜{o,/,“+H，則42022+62023=.

【答案】1

【解析】易知awO.丁，={o,/,a+計，

=0,即6=0,

a

??a2-1>a=±1.

又由集合中元素的互異性，知awl,

??ci~—1,

故產+產3=（一1產+o2O23=i.

故答案為：1

【過關測試】

一、單選題

1.(2024?海南省直轄縣級單位?高三嘉積中學校考開學考試)集合/={刃/-2》-3>0},集合

則&4)13=()

A.(-1,3)B.0(1,3)

C.(0,3]D.(-1,1)

【答案】C

【解析】解X2-2X-3>0，得X>3或X<-1,

故N={x|X。-2x-3>o}={x|x>3或x<—1},

則&/={x|-1WxV3},而8={x\2x>1}={x|x>0},

故低4)15=(0,3],

故選：C

2.(2024糊北襄陽―高三棗陽一中校聯考期末)已知集合/=卜卜2一公-840},8=卜”<8},則/口8=()

A.{x|-2<x<4}B.{x|-4<x<2}

C.1x|-2<x<3}D.{x|-4<x<3}

【答案】C

【解析】/={X卜2一2》一840}={尤卜24尤三4},

2=卜,<8}={邛<3},

貝I|/C2=3-24X<3}.

故選：C.

3.(2024?四川成都?高三成都七中?？奸_學考試)已知集合/={xeZ,一2X-15<0},5={xeR|x-1<0),

則/n(金8)的真子集的個數為()

A.9B.8C.7D.6

【答案】C

[解析]由題意N={xeZ|x2_2x_15<0}={reZ|x+3)(r-5)<0}

={xeZ|-3<x<5)={-2,-l,0,l,2,3,4},

5=eR|x-1<O}={x|x<1},故Q^B={x|x>1},

故/nG8)={2,3,4},則/na8)的真子集的個數為23-l=7，

故選：C

4.(2024?重慶?高三重慶八中?？奸_學考試)已知集合Z={1,2,3,4,5},8={1,2,3,6,7},記全集/=4UB,則

鳥/=()

A.(1,2,3}B.{4,5}C.{6,7}D.",5,6,7}

【答案】C

【解析】全集/=/U8={l,2,3,4,5,6,7},則》/={6,7}.

故選：C.

5.(2024?重慶?高三重慶一中?？奸_學考試)已知集合/B={^X2-2X>0},則(

A.AaBB.A^Bc.A=BD.ZUB=R

【答案】B

【解析】解得x<0或x",

XXx[xwO

所以Z={x|x<0或x22}.

X2-2X=X(X-2)>0,解得X<0或X>2,

所以8={x|x<0或x>2}.

所以/qB選項正確，其它選項錯誤.

故選：B

6.(2024?江蘇常州?高三統考期末)設集合/={x*=x},5={x|liu<0},則人8=()

A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(0,1)

【答案】A

【解析】由方程V=x解得x=0或x=l,得/={(M},

不等式lnr<0解得0cx<1,得8={x|0<x<l},

所以八8=[0』.

故選：A.

7.(2024?河南?高三校聯考期末)設集合/={x|log3X<l},5={X|X2+2X-8<0},則/。篩5)=

A.(-^,-4]u[2,3)B.(0,2)C.(2,3)D.[2,3)

【答案】D

【解析】Slog3x<1,BPlog3x<log33,

解得0<x<3,所以/={x[0<x<3},

又，+2x-8<0，解得一4<x<2,所以8={x[-4<x<2},

則6R3=1x|x<-4ngx>2},所以/n(6R8)={x|2Vx<3}.

故選：D.

8.(2024?云南大理?統考模擬預測)已知{xlar，-4x+l=0}={6},其中a,6eR,則6=()

A.0B.—或；C.gD.一

4224

【答案】B

【解析】由題意知：6為方程"2_4》+1=0的根，

當a=0時，b=；；

當心0時，二次方程有兩個相同的根，則有卜'：:4?十:。，此時。=上

[16-4°=02

故選:B.

9.(2024吶蒙古包頭?高三統考期末)已知全集"={0,1,2,3,4},集合/={1,4},5={1,2,3},則(午/)八3=

()

A.{2,3}B.{1,4}C.{1}D.{0,1}

【答案】A

【解析】全集U={01,2,3,4},集合4={1,4},則》4={0,2,3},而8={1,2,3},

所以包N)c5={2,3}.

故選:A

10.(2024?山東威海?高三統考期末)設集合/={x||x-l|》l},B={xfx2-x-2<0},則()

A.(-2,0)B.(-1,0)

C.(-2,0]D.(-1,0]

【答案】D

【解析】由題意得：/={x|xN2或x40},5={x|-l<x<2},

所以NcB={x|-l<xV0}.

故選：D

11.(2024?山東聊城?高三統考期末)已知全集U=R,集合/={x|x(x-3)>0},5={x|log2(x-1)<2),則

圖中陰影部分所表示的集合為()

A.{x|3<x<5}B.{x|0<x<3}C.{x[l<x<3}D.{x|l<x<3}

【答案】D

【解析】x(x-3)>0=>x<0或x>3,所以/=(-oo,0)“3,+oo),

log2(x-1)<2=log24,所以0<x-l<4nl<x<5,所以8=(1,5),

圖中陰影部分是由在3中不在/中的元素構成的集合，所以為{x[l<x<3},

故選：D.

12.(2024?全國?高三校聯考期末)2023年春節(jié)影市火爆依舊，《無名》《滿江紅》《交換人生》票房不斷刷新,

為了解我校高三2300名學生的觀影情況，隨機調查了100名在校學生，其中看過《無名》或《滿江紅》的

學生共有80位，看過《滿江紅》的學生共有60位，看過《滿江紅》且看過《無名》的學生共有50位，則該

校高三年級看過《無名》的學生人數的估計值為()

A.1150B.1380C.1610D.1860

【答案】C

【解析】以集合A表示調查的100名在校學生看過《無名》的學生構成的集合，

集合B表示調查的100名在校學生看過《滿江紅》的學生構成的集合，如下圖所示：

所以，調查的100名在校學生看過《無名》的學生人數為20+50=70,

所以，該校高三年級看過《無名》的學生人數的估計值為2300x合70=1610,

故選：C.

13.(2024?吉林長春?長春吉大附中實驗學校?？寄M預測)某單位周一、周二、周三開車上班的職工人數分

別是15,12,9.若這三天中只有一天開車上班的職工人數是20,則這三天都開車上班的職工人數的最大值

是()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

周三

作出韋恩圖,如圖,

a+b+c+x=15

b+d+e+x=\2〃+2Z?+2。+d+2e+f+3x=36

由題意得Q，則有

c+e+fr+x=9a+d+f=20

q+d+f=20

所以26+2c+2e+3x=16W2(6+c+e)+3x=16,

因此要讓x最大，貝！J2（6+c+e）需要最小,

若2（6+c+e）=0,則x=g不滿足題意，

若2（6+c+e）=2,則x=g不滿足題意，

若29+c+e）=4,貝鼠=4滿足題意，

所以這三天都開車上班的職工人數的最大值是4,

故選:B.

二、多選題

14.（2024?海南省直轄縣級單位?高三校聯考階段練習）圖中陰影部分所表示的集合是（）

A.MIB.NIc.河曲（必用）D.（w）n（陰

【答案】AC

【解析】如圖，

對于A,⑦"二①十④，則Mn^N=④，故A正確；

對于B,毛"=①+②，則=②，故B錯誤；

對于c,③，e（MnN）=①+②+④，故Mn^（NnM）=④，故c正確；

對于D,（癮⑷也/六①，故D錯誤，

故選：AC.

15.（2024?福建福州?高三校聯考期末）已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7},集合/={xeN|x<5},8={1,3,5,7},

則圖中陰影部分所表示的集合為（）

A.{0,2,4}B.{254}

c.㈤D.(枷)n(Q)

【答案】AC

【解析】由圖可知陰影部分所表示的集合為力「(d8),故C正確；

因為/={xeN|x<5}={0,1,2,3,4},

所以d8={0,2,4,6},所以幺口(d8)={0,2,4},故A正確.

故選：AC.

16.(2024?重慶?校聯考三模)已知全集U的兩個非空真子集/,3滿足(5Z)U3=8,則下列關系一定正確

的是()

A.AcB=0B.A(~)B=B

C.ADB=UD.(”)U/=N

【答案】CD

【解析】令。={1,2,3,4},N={2,3,4},5={1,2},滿足(a/)U8=8,但故工,

B均不正確；

由(5力)U8=3,知e/qB,U=NU(dZ)=(/U8),/口3=0,

由用N=知為8=/,二(dB)U/=",故C,。均正確.

故選：CD.

17.(2024?河北張家口?高三?？计谀?設全集U=R,集合Z={y|y=x-2,xeR},集合

5={x|x2+x-2<0,xeR},貝!]()

A.^05=(0,1)B./U-8)

c.zn")=(o,E)D./U9RB)=R

【答案】AB

【解析】={y\y=x~2,xeR}=(0,+co),S={x|x2+x-2<0,xeR}=^2,1),

AS=(0,1),即A正確；/口3=(-2,內)，即B正確；

^n(^5)={x|x>0}n{x|x>l^x<-2}=[L+<?),即C錯誤；

/u(4B)={x|x>0}u(x|x>lsS(x<-2}=(-oo,-2]u(tt+oo),即D錯誤；

故選：AB.

18.（2024?浙江臺州?高三臺州一中?？计谀┮阎狝1,N,P為全集。的子集，且滿足=P=下列

結論不正確的是（）.

A.揚VPB.（M”）nN=0

C.（獷）9=0D.羸尸U”

【答案】ACD

【解析】作出Venn圖，由圖可得寤。尸，寤尸1°河，（6/）門河=0正確，=0錯誤.

故選：ACD.

19.（2024?江蘇宿遷?高三沐陽縣修遠中學?？茧A段練習）已知/、N均為實數集R的子集，且Nn4M=0,

則下列結論中正確的是（）

A.M^\N=0B.M\J\N=R

C.RN=RMD.RN=RM

【答案】BD

【解析】?：：.N^M,

若N是〃的真子集，則MnaNw。，故A錯誤；

由N=M可得MUA<N=R,故B正確；

由NqM可得網衛(wèi)RM,故C錯誤，D正確.

故選：BD.

20.（2024?河北衡水?高三河北武強中學?？奸_學考試）已知集合/={尤k2-3x+240},S={x|2<2'<8）,

則下列判斷正確的是（）

A.AuB=BB.（”）U"=R

C.Ac\B=[x\\<x<2}D.健R/）={X|X?1或x>2}

【答案】CD

【解析】由/_3X+240,即(尤-2)(X-1)V0,解得14X42,

所以“=卜卜2-3什240}=1|1VXV2},

又2<2Y8,即21<2匕23,所以1<XW3,

所以8={x[2<2*48}={x|l<x43},

所以Nu3={x|lV尤V3},故A錯誤；

/cB={x[l<xV2},故C正確；

又<3=(-叫l(wèi)]U(3,+s),所以園8)U/=(-叱2]U(3,+s),故B錯誤；

44=(V,1)U(2,+8),所以(七3)口(R/)=(-8,1]U(2,+8),故D正確；

故選：CD

三、填空題

21.(2024?福建三明?高三福建省大田縣第一中學?？计谀?某班有45名同學參加語文、數學、英語興趣小

組.已知僅參加一個興趣小組的同學有20人，同時參加語文和數學興趣小組的同學有9人，同時參加數學和

英語興趣小組的同學有15人，同時參加語文和英語興趣小組的同學有11人，則同時參加這三個興趣小組的

同學有人.

【答案】5

【解析】以集合A、8、C表示分別參加語文、數學、英語興趣小組的學生，如下圖所示：

設同時參加這三個興趣小組的同學有x人，由圖可得20+(9-x)+(ll-x)+(15-x)+x=55-2x=45,解得

x=5.

故答案為：5.

22.(2024糊北十堰?高三哪陽中學?？计谀?已知集合/="))|尤-y=l},8={(x/)|(尤-2『+(y+3)2=9),

則/c3的子集個數為.

【答案】4

【解析】集合A表示直線》->=1上點的集合，集合B表示圓(x-2『+(y+3)2=9上點的集合.

圓（尤-2『+（y+3）2=9的圓心坐標為（2,-3）,半徑為3,

12+3-11廠

點（2,-3）至[]直線無一y=1的距離為"+（_]『=2Y2<3,

所以直線x-y=l與圓（x_2『+（y+3）2=9相交，

所以NcB共有2個元素，所以NcB的子集個數為2?=4.

故答案為：4.

23.（2024?四川內江?高一統考期末）已知集合”={xeN|2x-3<2},則M的非空子集的個數是.

【答案】7

【解析】〃={xeN|2x-3<2}=[eNr<"1,2},

集合"中有3個元素，

則M的非空子集的個數是23-1=7.

故答案為：7.

24.（2024?上海浦東新?高三上海市建平中學校考期末）已知集合”={1,。},8={2,可，若/