重難點(diǎn)13極化恒等式與等和（高）線定理【四大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1利用極化恒等式求值】....................................................................3

【題型2利用極化恒等式求最值（范圍）】.........................................................5

【題型3利用等和線求基底系數(shù)和的值】...........................................................8

【題型4利用等和線求基底系數(shù)和的最值（范圍）】...............................................11

?命題規(guī)律

1、極化恒等式與等和（高）線定理

極化恒等式是平面向量中的重要等式，是解決平面向量的數(shù)量積問題的重要工具，有平行四邊形模型

和三角形模型兩大重要模型，可以建立起向量與幾何長度之間的等量關(guān)系；等和（高）線定理是平面向量

中的重要定理，由三點(diǎn)共線結(jié)論推導(dǎo)得出，在求基底系數(shù)和的值、最值（范圍）中有著重要作用.

?方法技巧總結(jié)

【知識點(diǎn)1極化恒等式】

1.極化恒等式的證明過程與幾何意義

（1）平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和:

DC

A。B

|a+S|2+|a-fe|2=2(|a|2+|S|2).

證明：不妨設(shè)4B=B,貝?。軳C=a+B,

DB=a-bf

明2=￡=(a+@叩『+204+,①，

|DS2=DB2=(a-b)2=ff-2a-b+|S|2@,

①②兩式相加得：

珂+阿=2(@+附=2網(wǎng)+研］.

(2)極化恒等式：

上面兩式相減，得：a,b=*+『（力）2--------極化恒等式

平行四邊形模式：a-s=^[|^c|2-|z）B|2].

2.幾何解釋：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平

方差的

4

（1）平行四邊形模型：向量的數(shù)量積等于以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線長”與“差對角

線長”平方差的:，即＞加=;[（0+辦）2-（。一q2]（如圖）.

（2）三角形模型：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長與第三邊長的一半的平方差，即4?%=

而2—笳1M為2c的中點(diǎn)X如圖）.

極化恒等式表明，向量的數(shù)量積可以由向量的模來表示，可以建立起向量與幾何長度之間的等量關(guān)

【知識點(diǎn)2等和（高）線定理】

1.等和（高）線定理

（1）由三點(diǎn)共線結(jié)論推導(dǎo)等和（高）線定理：如圖，由三點(diǎn)共線結(jié)論可知，若蘇=4方+〃方U,〃CR）,

則2+^=1,由△CM3與AOAB相似，必存在一個(gè)常數(shù)k,kGR,使得OP'^kOP,貝|

OP'=kOP=kAOA+k/j.OB,又OP'=xOA+yOB（x,^GR）,■'-x+y=kX+k^.=k；反之也成立.

（2）平面內(nèi)一個(gè)基底｛3,為｝及任一向量而，OP'=AOA+,uOB^eR）,若點(diǎn)尸在直線AB上或在平

行于的直線上，貝以+〃=4定值）；反之也成立，我們把直線以及與直線N8平行的直線稱為等和（高）

線.

①當(dāng)?shù)群途€恰為直線時(shí)，仁1；

②當(dāng)?shù)群途€在。點(diǎn)和直線AB之間時(shí)，任(0,1)；

③當(dāng)直線48在。點(diǎn)和等和線之間時(shí)，蛇(1,+8)；

④當(dāng)?shù)群途€過。點(diǎn)時(shí)，k=0；

⑤若兩等和線關(guān)于。點(diǎn)對稱，則定值左1，左2互為相反數(shù);

⑥定值k的變化與等和線到。點(diǎn)的距離成正比.

?舉一反三

【題型1利用極化恒等式求值】

【例1】(2024?貴州畢節(jié)?三模)如圖，在△4BC中，。是BC邊的中點(diǎn)，E,尸是線段4D的兩個(gè)三等分點(diǎn),

若瓦？?a=7,~BE-~CE=2,則而?麗=()

【解題思路】利用幾何關(guān)系將麗,d配，屈均用品,而表示出來，進(jìn)而將瓦m,前?在表示成與麗，配相

關(guān)，可以求出而2=1,阮2=8,同時(shí)所，療的數(shù)量積也可用而，阮表示，即可求出結(jié)果.

【解答過程】依題意，。是BC邊的中點(diǎn)，E,尸是線段4。的兩個(gè)三等分點(diǎn)，

則說-CA=(|BC-ZD)?(-耳—拘=當(dāng)星=如①:二翳=7,

BE-CE^Qsc-1AD)?(-3阮-1而)=第正—次2=16咒-痔=2,

因此前2=1,昵2=8,BF-CF^(^BC-FD)■(W阮-麗)=亞產(chǎn)=4x^-8=一1

故選：B.

【變式1-1](23-24高三上?福建廈門?期末)如圖，BC、OE是半徑為1的圓O的兩條直徑，BF=2FO,

則而?麗=()

n

.30814

A.-B.-C.—D.--

【解題思路】根據(jù)題意，得到而■FE=-（OE+OF）-（OE-OF）,進(jìn)行求解即可.

【解答過程】因?yàn)閳A半徑為18C是直徑，BF=2F0,

所以［0尸|=［,

根據(jù)向量加法和減法法則知：FD=OD-OF^FE=OE-OF,

又DE是直徑，所以礪=-而,|而|=|而|=1,

則麗?~FE=（OD-OF）-（OE-OF）=（-OF-OF）-（OE-OF）

=-（0E+OF）-（OE-OF）=|函2_|函2=1-1=

故選B.

【變式1-2］（2024高三?江蘇?專題練習(xí)）如圖，在平面四邊形4BCD中，。為AD的中點(diǎn)，且。4=3,OC

=5.若麗?麗=—7,則前?比的值是9.

【解題思路】根據(jù)平面向量的線性表示與數(shù)量積運(yùn)算，利用歷?而=（而+而）?（而+而），求出|礪|=|

前1=4,再利用前?玩=（前+沅）?（前+赤），運(yùn)算可求出結(jié)果.

【解答過程】在平面四邊形48CD中，。為3。的中點(diǎn)，且。4=3,。。=5,.?.赤+前=6,

若麗?麗=一7,

貝心而+礪）,（河+前）^Ad2+AO-OD+AO-OB+OBOD^AO2+OA-（OD+OB）-OB2=32-

OB2=-7,

■.OB2=16,\OB\=\OD\=4,

.??麗?比=（BO+OC）-（DO+OC）=BO-DO+m）-OC+ODOC+OC2^-BO2+OC-（BO+OD）+

OC2=-42+0+52=9.

故答案為：9.

【變式1-3]（23-24高二下?湖南長沙?開學(xué)考試）如圖，在平行四邊形N8CD中，4B=1,AD=2,點(diǎn)、E,

F,G,〃分別是48,BC,CD,ND邊上的中點(diǎn)，則而?麗+而?薜等于_1_

【解題思路】在平行四邊形/BCD中，取HF的中點(diǎn)。根據(jù)相等向量和向量的加法運(yùn)算法則及數(shù)量積運(yùn)算

求解.

【解答過程】如圖：

在平行四邊形/BCD中，取“尸的中點(diǎn)O,

貝廊.麗=麗?麗=(前+網(wǎng).(前+而)=EO2-OH2=l-(i)2=*GHHE^GHGF{GO+0H)

■(GO+OF)==GO2-OH2=l-Q)2=l，

則麗.的+麗.砥=|.

故答案為：

【題型2利用極化恒等式求最值（范圍）】

【例2】（2024高三?全國?專題練習(xí)）半徑為2的圓。上有三點(diǎn)4、B、C滿足D1+南+*=0,點(diǎn)P是圓內(nèi)

一點(diǎn)，則西?麗+麗?西的取值范圍為（）

A.[-4,14）B.[0,4）C.[4,14]D.[4,16]

【解題思路】設(shè)。4與BC交于點(diǎn)D,由初+荏+前=6得四邊形。BAC是菱形，。是對角線中點(diǎn)，PA^O^B

，定用麗和其他向量表示并計(jì)算數(shù)量積后可得同-PO+PB-PC=2\PD\2-4,由點(diǎn)與的位置關(guān)系可得|PO|的

取值范圍，得結(jié)論.

【解答過程】如圖，。4與BC交于點(diǎn)。，由反+而+前=。得：OB+AC^O,

A

所以四邊形。BAC是菱形，且。4=。8=2,貝BD=DC=W，

由圖知麗=麗+而，PC=PD+DC,而麗=一衣，

.-.PB-PC=PD2-DB2=\PD\2-\DB\2=\PD\2-3,

同理同=而+礪，PO=PD+DO,而礪=一而，

.-.R4-P0=~PD2-DO2=\PD\2-\DO\2=\PD\2-1,

：^A-PO+PB-PC=2\PD\2-4,

???點(diǎn)P是圓內(nèi)一點(diǎn)，則04|而|<3,..44同?麗+而?無<14,

故選：A.

【變式2-1](23-24高一下?江蘇南通?期中)正三角形2BC的邊長為3,點(diǎn)。在邊4B上，且麗=2瓦5,三角

形2BC的外接圓的一條弦MN過點(diǎn)。，點(diǎn)P為邊BC上的動點(diǎn)，當(dāng)弦MN的長度最短時(shí)，兩?麗的取值范圍是

()

A.[—1,5]B.[—1,7]

C.[0,2]D.[1,5]

【解題思路】設(shè)。為△ABC外接圓的圓心，結(jié)合垂徑定理和正弦定理，可得MN=2VL再由極化恒等式推

出麗?麗=而2_河：于是問題轉(zhuǎn)化為求|而|的取值范圍，然后結(jié)合三角函數(shù)知識與余弦定理，即可得

解.

【解答過程】解：設(shè)。為△ABC外接圓的圓心，

因?yàn)槎?2瓦5,所以O(shè)D=Ic=l,

當(dāng)弦MN的長度最短時(shí)，MNLOD,

在△4BC中，由正弦定理知，外接圓半徑R=g.照=/*=遮，即。M=g,

所以MN=2MD=270M2—OD2=2(V3)2-12=2VL

因?yàn)椋▋?而）2=（PM-P/V）2+4PM■麗，即（2而『=麗之+4詢.而，

所以麗■麗=~PD2-^NM2=PD2-^?（2V2）2=PD2-2,

因?yàn)辄c(diǎn)P為線段上的動點(diǎn)，

所以當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合（DQ1BC）時(shí)，聞Imin=\DQ\=|BD|sin60。=2x孚=K;

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí),\PD\max=\CD\,

在△BCD中，由余弦定理知，

-1

\CD\2=\BC\2+\BD\2-2\BC\'\BD\cosz.ABC=9+4-2x3x2x-=7,

所以I而lmax=|C0=V7，

綜上，I而|e[6,V7],

--------?------->------->2

所以PM?PN=PD-2e[1,5].

【變式2-2](2024?重慶?模擬預(yù)測)己知△。48的面積為1/B=2,動點(diǎn)P,Q在線段4B上滑動，且|PQ|

=1,則歷?麗的最小值為|.

【解題思路】根據(jù)題意，記線段PQ的中點(diǎn)為H,由54。48=1且48=2,可得點(diǎn)。到直線4B的距離為d=l,

由麗■OQ=^[(OP+OQ)2-(OP-OQ)2],根據(jù)向量的運(yùn)算代入求解即可.

【解答過程】記線段PQ的中點(diǎn)為H,點(diǎn)。到直線2B的距離為d,

則有S^CMB,d=1,解得d=l,

由極化恒等式可得：

1

OPOQ=-[(OP+0Q)2_(0P_OQ)2]

4

=OH2-PH2=OH2-7>d2c=I

444

故答案為：

【變式2-3](23-24高三上?上海浦東新?階段練習(xí))在面積為2的平行四邊形中4BCD中，點(diǎn)尸

是4D所在直線上的一個(gè)動點(diǎn)，則麗之+而2_而同的最小值為2a.

【解題思路】取BC的中點(diǎn)Q,連接PQ,利用極化恒等式可得麗之+麗之-麗麗=|可2+||國之，

結(jié)合基本不等式與四邊形面積可得最小值.

【解答過程】取BC的中點(diǎn)Q,連接PQ,則麗+元=2而，RB-PC=i[(PB+PC)2-(PB-PC)2]=i(4|PQ|2-|CB|2

)，

PB2+PC2-PB-PC=(P5+PC)2-3P5-PC=4|FQ|2-1(4|PQ|2-|CB|2),

232J3

=|而|+-|BC|>2\PQ\-^-\BC\^\PQ\-\BC\^SABCD=2y/3

4L

當(dāng)且僅當(dāng)|PQ|/|BC|且PQ1BC時(shí)取等號，

故答案為：2V3.

【例3】(2024?四川成都?模擬預(yù)測)如圖，在平行四邊形ABCD中，BE=|BC,DF^E,若萬=2而+〃

311

A.-B.——C.-D.0

【解題思路】由已知結(jié)合向量的線性運(yùn)算及平面向量基本定理即可求解.

【解答過程】在平行四邊形48CD中，BE*C,DF^^DE,

所以赤=AD+l)F=AD+^DE=Ai)+|(OC+~CE)

=AD+l(AB-|XD)=^AB+9

若/F=XAB+[1AD,貝！J/l=[/=-,則2+//=-.

4L

故選：A.

【變式3-1](2023?河北滄州?模擬預(yù)測)在△川(?中，BE=^EC^BF=|(sl+BC),點(diǎn)P為4E與BF的交點(diǎn),

AP=XAB+iiAC,則4+〃=()

113

A.0B.—C."D.—

4Z4

【解題思路】利用平面向量基本定理得到布=(l-k)AB4-jkAC,AP=|mXC+jnAB,從而列出方程組，

求出得到4=5=；,求出答案.

【解答過程】因?yàn)?=*瓦？+麗)，所以尸為4C中點(diǎn)，

B,P,F三點(diǎn)共線，故可設(shè)麗=左而，即而一同=k(而-屈)，

整理得Q^kAF+(l-fc)4S=(l-fc)XB+jfcXC,

因?yàn)殄?界，所以版—屈=冠—冠，即族=次+|同，

4BE三點(diǎn)共線，

可得4P=mAE-mQxC+-Xsj=^mAC+^mAB,

(―=1-kk=-

所以丸j，解得

—=-km=-

32.4

13

A+-

可得而=次方+次，貝0=1■,”4-4-

故選：D.

【變式3-2](23-24局一上?江蘇常州?期末)在平行四邊形48CD中，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在線段DC上，且

CF=2DF.若冠=4屈+4而，*均為實(shí)數(shù)，則4+4的值為_弓_.

【解題思路】設(shè)通=五,而=加結(jié)合幾何性質(zhì)用乙石表示荏,Q,結(jié)合已知條件，構(gòu)造方程組，即可求解尢〃的

值，即可求解.

【解答過程】解：設(shè)荏=%而=石，

???在平行四邊形28。。中，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在線段DC上，且CF=2DF,

■.AE=a+^b,AF=^a+b,

■.■AC=AAE+11AF,均為實(shí)數(shù)，AC=a+b,

??AC=a+b=A((i+—b)+/z(-cz+b),

2+^=143

?應(yīng)=1，解得4=利=引

2r

7

???A+jtz=-.

故答案為：

【變式3?3】（23-24高一上?江蘇蘇州?期末）如圖，在矩形A8C0中，M,N分別為線段BC,的中點(diǎn)，若

拓7=汨前+而麗，^2eR-則及+蒞的值為_|一

【解題思路】利用向量的線性運(yùn)算及平面向量基本定理即可求解.

【解答過程】因?yàn)镸,N分別為線段BC,C。的中點(diǎn)，

所以麗=柒=^（AD-AB）=^AD-^AB,

AM=AB+JM=AB+^AD,

~BN=JC+CN=AD-^AB,

--->--->--->-->1--->--->1-->

所以MN=711aM+42BN=21Q4B++A2(AD-^AB)

=（汨一孤）布+&i+A2）M

A1-1A2=--Ai=-1

所以｛1i1_i2,解得｛._35,

22

21~2~5

2

所以A

4]+2=--+-=5:

所以汨+七的值為?

故答案為：

【題型4利用等和線求基底系數(shù)和的最值（范圍）】

【例4】（2024?山東煙臺三模）如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓0,P為圓。上任一點(diǎn)，若麗=x

AB+yAC,貝|2光+2y的最大值為（）

84

A.-B.2C.-D.1

【解題思路】等和線的問題可以用共線定理，或直接用建系的方法解決.

【解答過程】

作8C的平行線與圓相交于點(diǎn)尸，與直線48相交于點(diǎn)￡,與直線NC相交于點(diǎn)尸,

設(shè)而=4而+〃而，則2+4=1,

.BC//EF,...設(shè)若=爺=匕則k€[0志

：.AE=kAB,AF=kAC,AP=XAE-\-fiAF=AkAB

.,-%=Ak,y=i1k

o

：.2x+2y=2"+〃)k=2k<-

故選：A.

【變式4-1]（23-24高三上?河北滄州?期中）如圖，△BCO與的面積之比為2,點(diǎn)尸是區(qū)域ABCD內(nèi)

任意一點(diǎn)（含邊界），且而=4萬+〃標(biāo)（/teR）,貝設(shè)+〃的取值范圍是（）

/D

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,3]D.[0,4]

【解題思路】根據(jù)題意，將圖形特殊化，設(shè)4。垂直平分BC于點(diǎn)。，的。。=22。，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)4重合和點(diǎn)P與

點(diǎn)。重合時(shí)，分別求得;1+〃的最值，即可求解.

【解答過程】根據(jù)題意，將圖形特殊化，設(shè)4。垂直平分BC于點(diǎn)0,

因?yàn)椤鰾CD與△4BC的面積之比為2,則。。=24。，

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)4重合時(shí)，可得Q=G,此時(shí)2=〃=0,即4+〃的最小值為0；

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，可得Q=3而=3X頡+|ZC）=|而+1尼，

此時(shí)％=〃=5，即2+〃，此時(shí)為最大值為3,

所以4+〃的取值范圍為[0,3].

故選：C.

【變式4-2]（23-24高一下?福建泉州?階段練習(xí)）在△4BC中，M為2C邊上任意一點(diǎn)，N為線段上任

意一點(diǎn)，若麗=4屈+〃而（九”€R）,則4+//的取值范圍是—但JJ一.

【解題思路】根據(jù)題意，設(shè)麗=雨而，然后分t=0與0<tWl討論，結(jié)合三點(diǎn)共線定理代入計(jì)算，即可得

到結(jié)果.

【解答過程】

當(dāng)t=0時(shí)，AN=0,所以；l詬+〃/=6,

所以a=〃=o,從而有a+〃=o；

當(dāng)OVtWl時(shí)，因?yàn)橛?%同+〃元（A,〃￡R）,

所以t宿=2而+門前，即前=癡+團(tuán)，

因?yàn)镸、B、C三點(diǎn)共線，所以（+3=1,即4+“=te（0,1].

綜上，2+〃的取值范圍是[0,1].

故答案為：[0,1].

【變式4-3]（23-24高一下?廣西桂林?期末）已知。為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且4a+8而+5無=6,點(diǎn)M在△OBC

內(nèi)（不含邊界），若前=4萬+出后，貝IM+〃的取值范圍是_（1|二）_.

【解題思路】設(shè)而=加行+九而，根據(jù)題意結(jié)合平面向量基本定理可得而=方布+源？，設(shè)麗=x5^+y

o<X+y<

和

且X>o整理可得詢=（A±,±y）AB+信—Q+Uy）而進(jìn)而可得結(jié)果.

y>o+X

【解答過程】設(shè)4。=mAB+nACfmfnER,即。A=-AO=-mAB-nAC,

可得。B=OA+AB=(^l—m)AB—nAC,OC=OA+AC=—mAB+(1—n)i4C,

因?yàn)?瓦？+8礪+50C=0,

即4(—77148—714。)+8[(l—m)AB—TiAC]+5[—mAB+(1—n)/ic]=0,

整理可得(8-17瓶)超+(5-17n)^4C=0,且荏不共線，

則8-17m=5—17九=0,解得血=*i=*

即而=.荏+秀,OB=^AB-^AC^OC=-^AB+^AC,

_?_>[0<x+y<1

又因?yàn)辄c(diǎn)M在△OBC內(nèi)(不含邊界)，T^OM=xOB+yOC,x,y6R,且x>0

Iy>0

可得說=信X——y)AB+(-Q+^y)AC,

則俞=萬+而?=信+.X—-癖+俱-也+冷）福

.8,98

A=------1------X--------y1q4

可得“=￥_￥X+也，可得4+〃=F+E（久+y），

了1717十17"

且0<%+y<l,可得4+〃=||+*（刀+丫）€（||,1）,

所以4+4的取值范圍是（1|,1）.

故答案為：倍,1）.

?過關(guān)測試

一、單選題

1.（2024?四川綿陽?三模）如圖，在△&8C中，AF=BF=6,EF=S,則瓦？?麗=（）

【解題思路】根據(jù)極化恒等式，結(jié)合已知數(shù)據(jù)，直接求解即可.

【解答過程】因?yàn)槲辶?（苧）2-（呼）1

故。.四二占譬）2一（均匣f=25_36二一11.

故選：A.

2.（2024?陜西西安一模）在△ABC中，點(diǎn)。是線段4C上一點(diǎn)，點(diǎn)P是線段BD上一點(diǎn)，且而=瓦?，AP=

^AB+AAC,貝狀=（）

【解題思路】依題意可得而=2而，即可得到而=|荏+22而，再根據(jù)平面向量共線定理的推論得到■!

+22=1,解得即可.

【解答過程】因?yàn)辂?方，所以而=冠，即就=2前,

又Q=I瓦+2就，所以Q二|9+24而，

因?yàn)辄c(diǎn)P是線段8。上一點(diǎn)，即8、P、。三點(diǎn)共線,

所以：+24=1,解得4=5

36

故選：A.

3.（2024高三?全國?專題練習(xí)）在△4BC中，。是BC邊上的中點(diǎn)，且族=癡，AF=2AE,AB-AC=6,

FB-FC=-2,則麗.前=（）

1

A.-1B.2C.——D.1

【解題思路】

利用向量的線性運(yùn)算及向量的數(shù)量的運(yùn)算律即可求解.

【解答過程】

AB-AC=（AD+DB）-（^AD-DB）=[AD^-[DBF=6,

同理可得麗?無=何12T函2=_2,

又族而=2族，

所以|而「=9|而『，所以|而『=1,|而『=3,

麗.麗=|麗--1函2=4師『一切a2=4x1-3=1.

故選：D.

4.（2024?陜西榆林?三模）在△ABC中，E在邊BC上，且EC=3BE,D是邊4B上任意一點(diǎn)，AE與CD交于點(diǎn)

P,若而=萬且+）7萬，貝i」3x+4y=（）

33

A.B.-C.3D.-3

744

【解題思路】利用向量的線性運(yùn)算，得而=方+而=t不+而，再利用平面向量基本定理，可得

x=t,y=-1t,然后就可得到結(jié)果.

【解答過程】???4、PE三點(diǎn)共線，設(shè)麗=成5(0<t<l),

則而=次+麗=河+癡=癖司=tCA+(^-^t)CB,

X"CP=xCA+yCB,所以x=t,y=：—+,即3x+4y=3.

故選：C.

5.(23-24高三下?湖南長沙?階段練習(xí))向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和

對角線”與“差對角線”平方差的四分之一，即如圖所示，a-b=前可2一就「)，我們稱為極化恒等式.已

知在△ABC中，M是BC中點(diǎn)，AM=3,SC=10,則說?而=()

C_D

A.-16B.16C.-8D.8

【解題思路】可以把三角形補(bǔ)形為平行四邊形，布=|?而，利用已知條件求解即可.

【解答過程】由題設(shè)，△4BC可以補(bǔ)形為平行四邊形4BDC,

由已知得|通|=3』說|=10,AB-4C=i(4|XM|2-|BC|2)=5X(36—100)=-16.

故選：A.

6.(2024?全國?模擬預(yù)測)如圖，在△ABC中，AN=tNC>0),而=4麗。>0),若而=|前一次，

則4+t的值為()

【解題思路】表達(dá)出赤，利用平面向量基本定理求出入如即可求出4+t的值.

【解答過程】由題意及圖可得，

?.麗=XPN,

.?.而=同+而=同+白麗=四+含(一同+砌=普+媽，

A+12+1、71+A1+A

???俞=麗(七＞0),

.AM=~AP=I----------------'Tr

?.4V—-1+a十(l+OCl+A)716,

???而=/-次=河-X-荏+而）=癡+家，

"I^A=P（1+O（1+A）=P解得：，=3,t=2,A+t=5,

故選：C.

7.（23-24高三上?山東濰坊?期末）已知正方形48co的邊長為2,MN是它的內(nèi)切圓的一條弦，點(diǎn)尸為正

方形四條邊上的動點(diǎn)，當(dāng)弦兒W的長度最大時(shí)，兩?西的取值范圍是（）

A.[0,1]B.[0,V2]

C.[1,2]D.[-1,1]

【解題思路】作出圖形，考慮P是線段4B上的任意一點(diǎn)，可得出|前|€[1,魚],以及兩=所+而，PN=

P0-0M,然后利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律可求得兩?兩的取值范圍.

【解答過程】如下圖所示：

考慮P是線段48上的任意一點(diǎn)，~PM=P0+0M,PN=P0+0N=P0-0M,

圓。的半徑長為1,由于P是線段48上的任意一點(diǎn)，則|麗

所以，~PM-~PN=（P0+W）-（P0-0M）=PO2-OM2e[0,1].

故選：A.

8.（2024?河北滄州?三模）對稱美是數(shù)學(xué)美的重要組成部分，他普遍存在于初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的各個(gè)分

支中，在數(shù)學(xué)史上，數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)發(fā)展的動力.如圖，在等邊△A8C中，AB=2,以三條邊為直徑向外作三

個(gè)半圓，M是三個(gè)半圓弧上的一動點(diǎn)，若前=4刀+〃而，則4+〃的最大值為（）

【解題思路】過點(diǎn)M作MP〃BC,設(shè)Q=k荏，AQ=kAC,得到前=(fc-i)屈+ky照，再由前=49+〃

AC,求得4+〃=卜一1,結(jié)合圓的性質(zhì)，當(dāng)PM與半圓BC相切時(shí)，k最大,分別求得AB/E的長，即可求解.

【解答過程】如圖所示，過點(diǎn)M作MP〃BC,交直線4B/C于點(diǎn)P,Q,

^AM=xAP+yAQ,可得x+y=l.

設(shè)而=k荏，AQ^kAC,則前=前一同=(/cx—1)同+ky通，

因?yàn)锽MAAB所以4+〃=kx—1+kyk—1,

由圖可知，當(dāng)PM與半圓BC相切時(shí)，k最大,

又由4B=2,BE=W=軍，可得2E=2+乎=^|^,

3333

所以上=器=竽，即k最大為手，所以4+4的最大值為噌

/io333

9.(23-24高一下?江蘇南京?期中)在△力BC中，點(diǎn)D是線段BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M是線段4D的中點(diǎn)，若存

在九〃eR使前=4萬+〃而，則4,4的取值可能是()

A1313

B.A=1心=—-

9273

c-2=R=gD-a=R=g

【解題思路】令麗=tn而且me[0,1],根據(jù)向量對應(yīng)線段的位置、數(shù)量關(guān)系用同，正表示前，進(jìn)而得到加

與九4關(guān)系，最后求尢四范圍和數(shù)量關(guān)系，即可得答案.

【解答過程】令麗=小前且爪e[0,1]，而前=*瓦？+而）=*瓦？+mBC）,

又^^BA+AC,則前=+m（BA+AC）]=—等荏+揪,

Q__l+m

所以11J.——，貝以e[—1,一m，〃e[0,寸且4+4=-],

故A、C滿足，B、D不滿足.

故選：AC.

10.（23-24高一下?四川成都?階段練習(xí)）如圖，正方形ZBCD中，E為4B中點(diǎn)，M為線段4）上的動點(diǎn)，若

~BM=XBE+liBD,則4+〃的值可以是（）

【解題思路】設(shè)病=k而，其中OWkWL利用平面向量的線性運(yùn)算可得出,求出％+〃的取

值范圍，即可得出合適的選項(xiàng).

【解答過程】因?yàn)椤霸诰€段力。上，設(shè)施=k而，其中OWkWl,則前一瓦？=k（麗一瓦J）,

所以，BM=（l-/c）BX+kBD,

因?yàn)镋為B4的中點(diǎn)，對瓦？=2下，所以，BM=2（l-ie）BE+kBD,

又因?yàn)榍?2麗+4而且瓦而不共線，則，芳），

所以，2+-2（l-fc）+k=2-ke[1,2],故ACD選項(xiàng)滿足條件.

故選：ACD.

11.（23-24高一下?陜西西安?階段練習(xí)）（多選）如圖，在四邊形力BCD中，ZB=6O°,AB=3,BC=6,

-------?>>><2

且力D=4BC(aeR),AD-AB=則()

A.AB-BC=9B.實(shí)數(shù)2的值為:

C.四邊形ABC。是梯形D.若M,N是線段BC上的動點(diǎn)，且|而|=1,則麗?麗的

最小值為受

【解題思路】利用數(shù)量積的定義，結(jié)合已知條件，計(jì)算判斷AB；取4=1說明判斷C；取MN的中點(diǎn)E,利

用數(shù)量積的運(yùn)算律建立函數(shù)關(guān)系并求出最小值.

【解答過程】對于A,AB-BC=\AB\|BC|cosl20°=3X6X（-|）=-9,A錯(cuò)誤；

對于B,由而=2品，得AD//BC,乙4=120。，此時(shí)2＞0,

AD-AB=\AD\\AB\cosA=3|AD|cosl20°=-|,貝“而|=1=芻麗|,即4=3B正確；

對于C,由選項(xiàng)B得￡）=3/，即有力＜BC,則四邊形ABCD是梯形，C正確；

對于D,取的中點(diǎn)E,連接DE,則麗?麗=（屁+前）?（反+前）

=DE-EM=DE-i由4V/BC,得點(diǎn)。到直線BC距離等于點(diǎn)4到直線BC距離ABsin60°=竽,

即I方lmin=竽，所以麗?麗的最小值為（竽＜一:=裝，D正確.

三、填空題

12.（2024?新疆?二模）在等腰梯形4BCD中，版=2比，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，若標(biāo)=4荏+〃而，則

a+〃=

5

-5—,

【解題思路】

連接CF,依題意可得CMFC。,利用平面向量基本定理，將族用血和前表示出來即得.

【解答過程】

如圖，取48的中點(diǎn)尸，連接CF,則由題意可得CFIIAD,且=

■■-AE=AB+JE=AB+^BC=AB+^（FC-FB>）=AB+^（AD-^AB）=^AB+^AD,

>1=*〃=9+〃=I

故答案為：?

13.（23-24高一下?黑龍江大慶?期末）如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E,F是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)

BA-CA=S,BF-CF^-2,則戰(zhàn)?瓦的值是|.

o

【解題思路】將瓦紅X,而，療均用前,而表示出來，進(jìn)而將麗?G5,麗?#表示成與麗，前相關(guān)，可以求出

前2=（,點(diǎn)2=奈同時(shí)而?屈可用而，而表示，即可求出結(jié)果.

oZ

【解答過程】因?yàn)辂?瓦=（碗-而）?（-短-而）=跡產(chǎn)=跡產(chǎn)=5,

2244

BF-CF^（|BC-|XD）-（-|fiC-|XD）=4而：-2=_2,

因此而2=（,前2=言，BE-CE=（家-前）?（-家-麗）=4前2-阮2=16%-阮2=]

oZ2.Z44o

故答案為：f.

o

14.（23-24高三?廣東陽江?階段練習(xí)）在面積為2的平行四邊形4BCD中，點(diǎn)P為直線4。上的動點(diǎn)，則麗?無

+品2的最小值是2點(diǎn).

【解題思路】根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算律，可得而?西+舐2=所2+加2,進(jìn)而根據(jù)基本不等式即可求解

最值.

【解答過程】取BC的中點(diǎn)Q,連接PQ,

因?yàn)槠叫兴倪呅?BCD,面積為2,所以國||阮I(lǐng)22,PC+PB=2PQ^B-PC=\

［麻+麗）2—麻―麗月，

2

.-.PBPC+BC2=1［（PC+而）2_（而—而）2］+BC2=PQ2+1BC>2卡麗2.前222日此時(shí)所1BC,

且國|=孚國，

故答案為:2舊.

四、解答題

15.（23-24高一下?甘肅白銀?階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABC。中，4C與8。相交于點(diǎn)0.E是線段0。

的中點(diǎn)，4E的延長線與CD交于點(diǎn)F.

C

（1）用荏，前方表示族；

（2）若赤=%同+〃而，求；1+〃的值.

【解題思路】（1）根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算即可得解；

（2）由三角形相似得赤=冠，再根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算和平面向量基本定理即可得解.

【解答過程】（1）由題意得，ED=：BD,

-*-t-*-*-*-?

所以4E=AD+DE=AD+^DB=AD+^（AB-AD）=^AB+

(2)如圖，因?yàn)镈C〃/IB,

所以DF〃4B,

所以△DEF與△BEA相似,

所以出=竺=工

771人4BBE3'

所以而=摘，

所以赤=前+方=而+^^,

因?yàn)槌?%9+〃彳5,

所以4=7=1,

所以;I+〃=(

16.(23-24高一下?江蘇蘇州,期中)閱讀一下一段文字：Q+Bp=@2+2日.加+彳，(五一勵(lì)2=42一2五?B+

b2,兩式相減得(d+B)2—(d—1)2=4濟(jì)片濟(jì)+B)2—(d—5)2］我們把這個(gè)等式稱作“極化恒等式”，它

實(shí)現(xiàn)了在沒有夾角的參與下將兩個(gè)向量的數(shù)量積運(yùn)算化為“?！钡倪\(yùn)算.試根據(jù)上面的內(nèi)容解決以下問題：如

圖，在A42C中，。是2c的中點(diǎn)，E,尸是上的兩個(gè)三等分點(diǎn).

A

(1)若/。=6,BC=4,求福?女的值；

(2)若荏?*=4,FB-FC=-1,求麗?前的值.

【解題思路】(1)根據(jù)“極化恒等式”列出式子計(jì)算即可

(2)設(shè)AD=3m,BC=2n(m>0,n>0),根據(jù)題目所給條件和“極化恒等式”列出關(guān)于的方程組，解

出小刀，再根據(jù)“極化恒等式”計(jì)算出麗?前的值

【解答過程】(1)AB-AC=^[(AB+AC)2-(AB-AC)2]=AD2-^B2=36-4=32

(2)設(shè)4。=3m,BC=2n(m>0,n>0)

■■■AB-AC=4,由(1)知而2一癖2=4,即97n2一九2=4①

■.■FB-FC^-l，同理可得而2一灑2=一1,即瓶2_n2=_1②

由①②解得m2=1,n2=卷

?-?EB-EC=ED2-^BC2=4nl2f2=當(dāng)弋=I

4ooo

17.(23-24高一上?遼寧大連?期末)在三角形ABC中，AB^a,AC=b,~BE^2EC,0為線段AC上任意一

點(diǎn)，BD交4E于0.

⑴若麗=2DA.

①用無石表示旅；

②若而=4荏，求4的值；

(2)若B。=+yBC,求《+每/的最小值.

【解題思路】⑴①利用向量的幾何運(yùn)算求解；②設(shè)所=士而(0<[<1),然后用荏，正表示與，然通過

AO=XAE,將而也用同，尼表示，然后利用系數(shù)對應(yīng)相等列方程組求解；

(2)設(shè)南=爪族(0<小<1),將耐用瓦?，而表示，然后利用系數(shù)對應(yīng)相等將x,y用：m表示，然后利用基本

不等式求最值.

【解答過程】(1)①因?yàn)榍?2就，所以前=|近，

故在△4BE中，族=方+而=屈+河=荏+|(4C-AB)=AB-^AB+我=冠+1而=歟+1稅

②因?yàn)锽,0,。三點(diǎn)共線，設(shè)前=t詼(O<t<l),

所以而=AB+^O=AB+tBD=AB+t(AD-AB)=(l-t)^45+tAD,

因?yàn)槎?2而，所以同=次，所以彩=(l-t)布+7

1_t—_

又由①及已知，而=2族=冠+浜，所以]=丁，

＜3-T

解得4=*

(2)因?yàn)槠?2就，又40,E三點(diǎn)共線，設(shè)前=m族(0＜?。?),

所以B。=BA+AO=BA+mAE=BA+m(^BE—BA)=BA+m^BC—BA^-+粵BC,

又因?yàn)?。=