專題2-8動(dòng)點(diǎn)軌跡方程五種題型匯總

。?？碱}型目錄

題型1直接法........................................................................2

題型2定義法........................................................................3

題型3相關(guān)點(diǎn)法......................................................................5

題型4交軌法........................................................................6

題型5參數(shù)法........................................................................8

但知識梳理

知識點(diǎn)一.直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

定義：如果動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡單明確，不需要特殊的

技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法.

知識點(diǎn)二.定義法求軌跡方程

若某動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合某一基本軌跡如直線、圓、圓錐曲線的定義，則可以利用所學(xué)過的圓的

定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義等直接寫出所求的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種

方法叫做定義法.這種方法要求題設(shè)中有定點(diǎn)與定直線及兩定點(diǎn)距離之和或差為定值的條件,

或利用平面幾何知識分析得出這些條件.

知識點(diǎn)三.相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程

若動(dòng)點(diǎn)P（x,y）的變動(dòng)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)Q（x°,y0）,而Q在某已知曲線F（x,y）=0（或具有某種

規(guī)律的圖形）上（這時(shí)把從動(dòng)點(diǎn)P叫做軌跡動(dòng)點(diǎn)，主動(dòng)點(diǎn)Q叫做點(diǎn)P的相關(guān)點(diǎn)），求出關(guān)系式

『°："：’、）、’（*）,并代入方程尸（久,丫）=0,得所求軌跡（或軌跡所在曲線）方程

f[/（x,y），5（x,y）]=o,這種求軌跡方程的方法叫做相關(guān)點(diǎn)法，又叫代入法、代換法或轉(zhuǎn)

移法.這是求軌跡方程的一種常用的重要方法.此法的關(guān)鍵是，構(gòu)建用軌跡動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)

O,y）表示其相關(guān)點(diǎn)Q的坐標(biāo)（而，y0）（即P向Q的轉(zhuǎn)移）的關(guān)系式（*）.

知識點(diǎn)四.交軌法求軌跡方程

定義：如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)是兩條動(dòng)曲線的交點(diǎn)，那么選取參數(shù)并把參數(shù)看成已知數(shù)，寫出這兩條

動(dòng)曲線的方程，再聯(lián)立兩動(dòng)曲線的方程消去參數(shù)或者動(dòng)曲線的方程與定曲線的方程聯(lián)立，

消去X或y,轉(zhuǎn)化為一元二次方程，再消去參數(shù)，便得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.這種求動(dòng)點(diǎn)的軌

跡方程的方法，我們稱之為交軌法.

知識點(diǎn)二.參數(shù)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

有時(shí)不容易得出動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿足的幾何條件，也無明顯的相關(guān)點(diǎn)，但卻較容易發(fā)現(xiàn)（或經(jīng)分析可

發(fā)現(xiàn)）該動(dòng)點(diǎn)常常受到另一個(gè)變量（角度，斜率，比值，解距或時(shí)間等）的制約，即動(dòng)點(diǎn)坐

標(biāo)（久,y）中的分別隨另一變量的變化而變化，我們稱這個(gè)變量為參數(shù)，由此建立軌跡的

參數(shù)方程，這種方法叫參數(shù)法（或設(shè)參消參法），如果需要得到軌跡的普通方程，只要消去

參數(shù)即可，在選擇參數(shù)時(shí)，選用的參變量可以具有某種物理或幾何性質(zhì)，如時(shí)間，速度，距

離，角度，有向線段的數(shù)量，直線的斜率及點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)等，也可以沒有具體的意義，還要

特別注意選定的參變量的取值范圍對動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)取值范圍的影響.

但題型分類_________________________________________________

題型1直接法

【方法總結(jié)】

直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟為：

第一步，根據(jù)已知條件及一些基本公式（兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、直線斜率

公式等.）

第二步，根據(jù)公式直接列出動(dòng)點(diǎn)滿足的等量關(guān)系式，從而得到軌跡方程.

【例題1]（23-24上?大興期中）已知等腰三角形4BC的頂點(diǎn)為4（4,2）,底邊的一個(gè)端

點(diǎn)為B（5,3）,則底邊的另一個(gè)端點(diǎn)C的軌跡方程為

【變式1-1]1.（23-24上?北京?期中）古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個(gè)命題：

平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)＞Q,k手1）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅

尼斯圓.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，4（-4,0）,B（2,0），點(diǎn)M滿足鑒=2,則點(diǎn)M的軌跡方程

\MD\

為

【變式1-1J2.（2324上?全國?課時(shí)練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為（-2,0）,（2,0）,

求點(diǎn)P的軌跡方程.

【變式1-1]3.（23.24上?全國?課時(shí)練習(xí)）已知兩條直線4：y=m，gy=內(nèi)，求到這

兩條直線距離相等的所有的點(diǎn)組成的軌跡方程.

【變式1-1]4.（23-24上?昆明?期中）若圓/+/_。久+2y+1=。與圓/+=1關(guān)

于直線y=x—1對稱,過點(diǎn)（-a,a）的圓P與y軸相切，則圓心P的軌跡方程為（）

A.y2—4%+4y+8=0B.y2—2%+2y+2=0

C.y2+4%—4y+8=0D.y2—2x—y—1=0

題型2定義法

【方法總結(jié)】

常見情形

1.到線段兩端點(diǎn)相等的點(diǎn)的軌跡是該線段的垂直平分線.

2.到角的兩邊相等的點(diǎn)的軌跡是該角的平分線及外角平分線.

3.平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是圓，定點(diǎn)為圓心，定長為圓的半徑.

4.平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)&,尸2的距離之和等于常數(shù)(IP&I+\PF2\=2a>\FrF2\,a

為常數(shù))的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以尸2為焦點(diǎn)，2a為長軸長的橢圓.

5.平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)&,尸2的距離之差的絕對值等于常數(shù)(=

2a<\FrF2\,a為常數(shù))的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以&,F2為焦點(diǎn)，2a為實(shí)軸長的雙曲線.

6.平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線2(/不經(jīng)過點(diǎn)F)距離之比對于常數(shù)e(e>0)的動(dòng)點(diǎn)的軌

跡是圓錐曲線.當(dāng)0<e<1時(shí)為橢圓；當(dāng)e>1時(shí)為雙曲線；當(dāng)e=1時(shí)為拋物線.其中，

定點(diǎn)F叫做圓錐曲線的焦點(diǎn)，定直線1叫做圓錐曲線的準(zhǔn)線.

【例題2](23-24上?全國?課時(shí)練習(xí)汜知42BC的三邊a,b,c成等差數(shù)列，且a>b>c,

A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1,0),(1,0),則頂點(diǎn)B的軌跡方程為

【變式2-1]1.(23-24上?上海?課時(shí)練習(xí))已知過拋物線y2=4x焦點(diǎn)F的直線交拋物線于

4B兩點(diǎn)，過原點(diǎn)。作而，使麗1AB,垂足為點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡方程.

【變式2-1]2.(22.23上?全國?課時(shí)練習(xí))求下列動(dòng)圓的圓心M的軌跡方程：

(1)與圓G：x2+(y-2)2=1和圓。2：/+(y+2)2=4都內(nèi)切；

(2)與圓G：(x+3)2+y2=9內(nèi)切,且與圓。2：(%-3)2+V=1外切；

2222

【變式2-l】3.(2L22?全國專題練習(xí)圮知兩圓Q：(x+4)+y=9,C2：(%-4)+y=

9,動(dòng)圓C與圓Ci外切，且和圓。2內(nèi)切，則動(dòng)圓C的圓心C的軌跡方程為()

A.藝—杵=1Q23)B.藝—次=1

79、797

c.杵—乃=1D.亡—妙=1(X23)

7997v7

【變式2-1]4.(22-23上廣州?期末)已知4(0,7),8(0,-7),C(12,2),以C為焦點(diǎn)的橢

圓過A、B兩點(diǎn)，則橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F的軌跡方程為()

A.外—葛=l(yw—1)B.y2-^=l(y>1)

c.5--=l(yw-4V3)D.5-=i(y24V3)

題型3相關(guān)點(diǎn)法

【方法總結(jié)】

相關(guān)點(diǎn)法解題步驟

一般分為三步：

第一步，設(shè)所求軌跡的點(diǎn),曲線上的動(dòng)點(diǎn)QOo，%）；

第二步，找出M@,y）與Q（%o，y0）的關(guān)系，由表示x°,y。,即出[案,1）'；

第三步，Q（久o，y°）滿足已知的曲線方程，將曲，見代人，消去參數(shù).對于不符合條件的點(diǎn)

要注意取舍.

而從動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y）來表達(dá)主動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)（“°,%）的方法較多，一般采用以下幾種方法進(jìn)

行轉(zhuǎn)移：

①利用定義；②利用參數(shù)；③利用向量；④利用相關(guān)公式；⑤利用對稱知識等.下面舉例

說明.

【例題3]（23-24上?南陽?階段練習(xí)）已知點(diǎn)P是圓。:/+外=4上的動(dòng)點(diǎn)，作PH1y軸

于點(diǎn)H,則線段PH的中點(diǎn)M的軌跡方程為（）

A.—+y2=1B.—+y2=1C.x2+—=1D.%2+—=1

4J16164

【變式3-1]1.（23-24上?臨夏?期中）已知圓C：/+*=3,直線I過點(diǎn)4（—2,0）.線段2B的

端點(diǎn)B在圓C上運(yùn)動(dòng)，則線段4B的中點(diǎn)M的軌跡方程為（）

A.（x—I）2+y2=|B.（x+l）2+y2=|

C.x2+（y—I）2=|D.（x+l）2+y2—

【變式3-1]2.（22-23上?全國?課時(shí)練習(xí)）設(shè)圓/+y2—2x+2y—2=。的圓心為A，點(diǎn)

P在圓上，則PA的中點(diǎn)M的軌跡方程是

【變式3-1]3.（2324全國?競賽）平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線「:必=4x,F為r的焦

點(diǎn)，a,B為r上的兩個(gè)不重合的動(dòng)點(diǎn)，使得線段4B的一個(gè)三等分點(diǎn)p位于線段。F上（含端

點(diǎn)），記Q為線段48的另一個(gè)三等分點(diǎn).求點(diǎn)Q的軌跡方程.

【變式3-1]4.（23-24上?上海?課時(shí)練習(xí)）已知曲線C:y2=x+1和定點(diǎn)4（3,1）,點(diǎn)B為曲

線C上任意一點(diǎn)，若族=2而，當(dāng)點(diǎn)B在曲線C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程.

2

【變式3-1]5.（2223?全國?課堂例題）橢圓:+外=1上有動(dòng)點(diǎn)P,點(diǎn)網(wǎng),心分別是橢圓

的左、右焦點(diǎn)，求4PF/2的重心M的軌跡方程.

【變式3-1]6.（23-24上?全國?課時(shí)練習(xí)）過點(diǎn)2（0,-2）的直線與拋物線y2=4%相交于兩

點(diǎn)P,Q,求以O(shè)P,OQ為鄰邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)M的軌跡方程.

【變式3-1]7.（2223?全國專題練習(xí)）一種作圖工具如圖1所示.。是滑槽4B的中點(diǎn)，短

桿ON可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，長桿MN通過N處較鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB

滑動(dòng)，且DN=0N=1,MN=3.當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)N繞。轉(zhuǎn)動(dòng)

一周（D不動(dòng)時(shí)，N也不動(dòng)），M處的筆尖畫出的曲線記為C.以。為原點(diǎn)，4B所在的直線

為無軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系.求曲線C的軌跡方程；

圖1圖2

題型4交軌法

【方法總結(jié)】

交軌法一般用于求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程.若動(dòng)點(diǎn)P是由兩動(dòng)曲線相交所得，其過程是

選出一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù)，求出兩動(dòng)曲線的方程或動(dòng)點(diǎn)P坐標(biāo)適合的含參數(shù)的等式，再消去參

數(shù)，即得所求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程.

【例題4】（2021?全國?課時(shí)練習(xí)）求兩動(dòng)直線y=依+1與>=-介-1的交點(diǎn)P的軌跡方

程.

【變式4-1】1.（2L22?全國專題練習(xí)）如圖，垂直于x軸的直線交雙曲線真-1于M、

N兩點(diǎn)，為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，求直線與&N的交點(diǎn)P的軌跡方程，并指出軌跡

的形狀.

【變式4-1]2.（2122?全國專題練習(xí)）設(shè)雙曲線G的方程為5-5=l（a>0,6>0）,人

B為其左、右兩個(gè)頂點(diǎn),P是雙曲線Ci上的任意一點(diǎn)，弓|QB1PB.QA1PA,4Q與BQ交于點(diǎn)

Q,求Q點(diǎn)的軌跡方程.

【變式4-1]3.（2122?全國專題練習(xí)）已知拋物線必=4x,過頂點(diǎn)的兩弦,。8互相

垂直，求以。4,OB為直徑的兩圓的另一交點(diǎn)的軌跡方程.

【變式4-l】4.(16口7上?通州?期中)已知正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別為。(0,0)4(1,0)鳳1,1),

C(0,l),點(diǎn)。，E分別在線段OC,AB上運(yùn)動(dòng)，且OD=BE,設(shè)4。與OE交于點(diǎn)G,則點(diǎn)G的軌

跡方程是().

A.y=x(l—x)(0<%<1)B.%=y(l—y)(0<y<1)

C.y=%2(0<%<1)D.y=1—x2(0<%<1)

【變式4-1】5.(2021?全國專題練習(xí))已知點(diǎn)P(-2,2)、Q(0,2)以及直線1：y=x，設(shè)長為魚

的線段48在直線I上移動(dòng)(如圖所示)，求直線P4和QB的交點(diǎn)M的軌跡方程.

22

【變式4-1]6.(2L22?全國專題練習(xí))如圖，P為橢圓Q:高+《=1上的動(dòng)點(diǎn)，過P作橢

OO

圓Q的切線交圓C2：x2+y2=24于M、N,過河、N作C2切線交于Q,求Q的軌跡方程.

題型5參數(shù)法

【方法總結(jié)】

參數(shù)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程一般步驟

第一步，選擇坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)PQ,y)；

第二步，分析軌跡的已知條件，選定參數(shù)(選擇參數(shù)時(shí)要考慮，既要有利于建立方程又要

便于消去參數(shù))；

第三步，建立參數(shù)方程；

第四步，消去參數(shù)得到普通方程；

第五步，討論并判斷軌跡.

常用的消參方法有：代人消參，加減消參，整體代換法，三角消參法(sin2e+cos20=1)

等.要特別注意：消參前后變量％,y的取值范圍不能改變.

【例題5-11(17-1