重難點15平面向量中的最值與范圍問題【十大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1定義法求最值（范圍）問題】..........................................................4

【題型2基底法求最值（范圍）問題】..........................................................4

【題型3坐標(biāo)法求最值（范圍）問題】..........................................................5

【題型4與平面向量基本定理有關(guān)的最值（范圍）問題】.........................................6

【題型5與數(shù)量積有關(guān)的最值（范圍）問題】....................................................7

【題型6與模有關(guān)的最值（范圍）問題】........................................................8

【題型7平面向量中參數(shù)的最值（范圍）問題】..................................................8

【題型8極化恒等式】.........................................................................9

【題型9矩形大法】..........................................................................10

【題型10等和（高）線定理】....................................................................11

?命題規(guī)律

1、平面向量中的最值與范圍問題

平面向量中的范圍、最值問題是高考的熱點問題，也是難點問題，此類問題綜合性強(qiáng)，體現(xiàn)了知識的

交匯組合；其基本題型是根據(jù)已知條件求某個變量的范圍、最值，比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系

數(shù)的范圍等.

?方法技巧總結(jié)

【知識點1平面向量中的最值與范圍問題的解題策略】

1.平面向量中的最值（范圍）問題的兩類求解思路：

（i）“形化”，即利用平面向量的相關(guān)知識將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后結(jié)合平面圖

形的特征直接進(jìn)行判斷；

（2）“數(shù)化"，即利用平面向量的坐標(biāo)運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方

程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識來解決.

2.平面向量中的最值（范圍）問題的常用解題方法：

（1）定義法

①利用向量的概念及其運算將所求問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到相應(yīng)的等式關(guān)系；

②運用基木不等式、二次函數(shù)求其最值（范圍）問題，即可得出結(jié)論.

（2）坐標(biāo)法

①建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，把幾何圖形放在坐標(biāo)系中，就賦予了有關(guān)點與向量具體的坐標(biāo)；

②將平面向量的運算坐標(biāo)化，進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算；

③運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法如：二次函數(shù)、基本不等式、三角函數(shù)等思想方法來求解最值(范圍).

(3)基底法

①適當(dāng)選取一組基底，利用基底轉(zhuǎn)化向量；

②寫出向量之間的聯(lián)系，根據(jù)向量運算律化簡目標(biāo)，構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的關(guān)系式來進(jìn)行求解；

③運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法如：二次函數(shù)、基本不等式、三角函數(shù)等思想方法來求解最值(范圍)，

即可得出結(jié)論.

【知識點2極化恒等式】

1.極化恒等式的證明過程與幾何意義

(1)平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和:

|￡+斤+耳_斤=2(|浦+時).

證明：不妨設(shè)在=￡,而=3,貝!］又=%+B,DB=a-b,

匹卜定=R+.第2+2a4+W①，

|喝2=麗?=(1可=@-2屋3+同2②，

①②兩式相加得：

\AC［+\DB［=2(@+W卜2(畫2+1石0.

(2)極化恒等式：

上面兩式相減，得：［君=+一--------極化恒等式

平行四邊形模式：=「-|0同［.

2.幾何解釋：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平

方差的

4

(1)平行四邊形模型：向量的數(shù)量積等于以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線長”與“差對角

線長”平方差的;，即:.I=(如圖).

⑵三角形模型：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長與第三邊長的一半的平方差，即

/2一應(yīng)聲（〃為2C的中點X如圖）.

極化恒等式表明，向量的數(shù)量積可以由向量的模來表示，可以建立起向量與幾何長度之間的等量關(guān)

系.

【知識點3矩形大法】

1.矩形大法

矩形所在平面內(nèi)任一點到其對角線端點距離的平方和相等.

即：已知點。是矩形/BCD與所在平面內(nèi)任一點，可以得到：O^+OC2=OB2+OD2.

【知識點4等和（高）線定理】

1.等和（高）線定理

⑴由三點共線結(jié)論推導(dǎo)等和（高）線定理：如圖，由三點共線結(jié)論可知，若蘇=%51+〃加U,〃eR）,

則%+〃=1,由AOAB與LOAE相似，必存在一個常數(shù)k,keR,使得OP'^kOP,則

OP'=kOP=k^OA+k^iOB,又OP'=xOA+yOB(x,yGR),-'-x+y=k^+k/i=k；反之也成立.

（2）平面內(nèi)一個基底｛51,而｝及任一向量而，OP'=XOA+//O3（/,Z/eR）,若點P在直線N8上或在平

行于N8的直線上，貝IU+〃=M定值）；反之也成立，我們把直線48以及與直線N8平行的直線稱為等和（高）

線.

①當(dāng)?shù)群途€恰為直線時，k=\-,

②當(dāng)?shù)群途€在。點和直線之間時，蛇（0,1）；

③當(dāng)直線4B在。點和等和線之間時，任（1,+8）；

④當(dāng)?shù)群途€過。點時，A=0；

⑤若兩等和線關(guān)于。點對稱，則定值左1，左2互為相反數(shù)；

⑥定值k的變化與等和線到0點的距離成正比.

?舉一反三

【題型1定義法求最值（范圍）問題】

【例1】（24-25高三上?廣東?開學(xué)考試）已知單位向量無修的夾角為泰則|瓦-1（互-五）|（teR）的最小值為

()

A.|B.爛C.1D.1

Z24

【變式1-1]（23-24高一下?安徽蕪湖?期中）如圖，已知點G是△4BC的重心，過點G作直線分別與ZB,AC

兩邊交于M,N兩點，設(shè)彳而=%同，AN=yAC,貝!|x+4y的最小值為（）

A.9B.4C.3D.|

【變式1-2]（23-24高一下?陜西西安?階段練習(xí)）點。是△ABC所在平面內(nèi)一點，若出+方+而=0,AM

=久屈，AN=yAC,MO=AON,貝by的最小值為（）

124

A.-B.1C.-D.-

【變式1-3]（23-24高一下?上海?期末）已知向量2,注，滿足同=同=1,a-b=-|,c=xa+yb

（x、y￡R,y>0）,則下列四個命題中，正確命題的個數(shù)是（）.

①若x=l,則目的最小值為冬

②若久=1，則存在唯一的力使得方?工=0；

③若晅|=1,貝放+y的最小值為一1；

④若?=1,貝皈?c+c?石的最小值為一看

A.1B.2C.3D.4

【題型2基底法求最值（范圍）問題】

【例2】（23?24高一下?重慶巴南?階段練習(xí)）在矩形ZBCD中，已知瓦F分別是BC,CD上的點，且滿足族=麗

存=2萬.若點P在線段BD上運動，且”=〃!E+m4/”,〃ER）,則1+4的取值范圍為（）

A[一級]B.[|,|]C.[|,1]D,[-1.|]

【變式2-1]（23-24高一下?浙江?期中）如圖，在四邊形48CD中，AB\\CD,AB=2CD,P為線段CD上一個

動點（含端點），AC=mDB+nAPf則m+九的取值范圍是（）

A.（0,1]B.[2,3]C.[1,2]D.[2,4）

【變式2-2]（23-24高一下?河南?階段練習(xí)）已知口45。。中，點尸在對角線4。上（不包括端點4C）,

點。在對角線5。上（不包括端點3,。），若羽=九荏+%而，而=超四+〃2前，記2周一〃1的最小

17

值為次，彳+丁的最小值為〃，則（）

19-19

AA.m=n=-B.m=n=-

oZ4Z

19-19

C.m=~-,n=-D.m=--,n=-

【變式2-3]（23-24高三下?云南?階段練習(xí)）已知。為△ABC的內(nèi)心，角/為銳角，sin&=q，若而=〃

O

AB+AAC,貝!J〃+a的最大值為（）

A.-ZB.74C.~5D.6

【題型3坐標(biāo)法求最值（范圍）問題】

【例3】（2024?河北滄州?一模）如圖，在等腰直角△2BC中，斜邊48=4a,點。在以8c為直徑的圓上

運動，貝獷話+而|的最大值為（）

A.4V6B.8C.6V3D.12

【變式3-1]（2024?四川成都三模）在矩形48CD中，48=5,2。=4,點E滿足2族=3而，在平面48CD

中，動點P滿足無?麗=0,則麗.加的最大值為（）

A.V41+4B.V41-6C.2V13+4D.2413—6

【變式3-2]（2024?湖南永州?三模）在△48C中，N"B=120。，|XC|=3,|BC|=4,DC-~DB^0,^\\AB+AD\

的最小值為（）

A.6V^—2B.25/19—4C.3V3-1D.V19-2

【變式3-3]（2024?貴州貴陽?一模）如圖，在邊長為2的正方形4BCD中.以C為圓心，1為半徑的圓分別

交CD,BC于點E,F.當(dāng)點尸在劣弧EF上運動時，麗?市的取值范圍為（）

A.[1_-JB.[1-2^2,-1]

C.[-1,1-V2]D.[1-2vxi-

【題型4與平面向量基本定理有關(guān)的最值（范圍）問題】

【例4】（2024?四川遂寧?模擬預(yù)測）在△4BC中，點歹為線段2C上任一點（不含端點），^AF=xAB+2y

AC（x>0,y>0）,貝嶺+：的最小值為（）

A.3B.4C.8D.9

【變式4-1]（23-24高一下?廣西南寧?階段練習(xí)）在△ABC中，點。滿足麗=2沆，過點。的直線分別交

射線ZB,AC于不同的兩點跖N.設(shè)前='荏，麗=/，則在+九的最小值是（）

323

A.3B.1C.—D.—

loIO

【變式4-2]（23-24高一下?安徽六安?期末）在△A8C中，已知布?前=9,sinB=cosZsinC,SAABC=6,P

為線段4B上的一點，且而="嗇+嚕j，貝嶺+和勺最小值為（）

【變式4-3]（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖所示，在△ABC中，M為線段8c的中點，G為線段4M上一點，

AG=2GM,過點G的直線分別交直線AB,4C于P,Q兩點.設(shè)屈=%而（久>。），左=y湎（y>0）,則京+崇

的最小值為（）

A

C36

D.

【題型5與數(shù)量積有關(guān)的最值（范圍）問題】

【例5】（2024?陜西渭南?二模）已知菱形4BCD的邊長為LcosNB4D=初1為菱形的中心，E是線段AB上的

動點，則麗?麗的最小值為（）

【變式5-1]（2024?重慶?模擬預(yù)測）如圖，圓。內(nèi)接邊長為1的正方形4BCD,P是弧BC（包括端點）上一

A.[1符B.[1,呼C.[1,用D.片,1]

【變式5-2]（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）如圖，在平面四邊形4BCD中，△4BD為等邊三角形,

CB=CD=2BD=2,當(dāng)點E在對角線AC上運動時，無?麗的最小值為（）

【變式5-3]（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖，已知正六邊形2BCDEF的邊長為2,對稱中心為。，以。為圓心

作半徑為1的圓，點M為圓。上任意一點，則而?屈的取值范圍為（）

E

C.[—8,0]D.[-6^/3^,0]

【題型6與模有關(guān)的最值（范圍）問題】

【例6】（2024?安徽六安?模擬預(yù)測）已知平面向量入b,不滿足同=1,㈤=8，a-b=-l，（a-c^-c）

=30°,則?的最大值等于（）

A.2V7B.V7C.2V3D.3V3

【變式6-1］（2024?湖南長沙?三模）在平行四邊形4BCD中，AC=2BD=4,點P為該平行四邊形所在平面

內(nèi)的任意一點，貝1||訶|2+|麗仔+|而『+|而『的最小值為（）

A.6B.8C.10D.12

【變式6-2］（23-24高一下?天津?期末）如圖，在△4BC中，己知2B=2,AC=3,NA=120。，E,F分別

是力B,AC邊上的點，且族=久而，AF=yAC,且2久+y=l,若線段EF,BC的中點分別為M,N,則|而

|的最小值為（）

A.孝B.啜C.fD.需

【變式6-3］（23-24高一下?廣東廣州?期末）已知平面向量出b,e,且同=1,同=2.已知向量后與］所成

的角為60°,且后一同卻%|對任意實數(shù)唯成立，則同+磯+跟一同的最小值為（）

A.V3+1B.2V3C.V3+V5D.2V5

【題型7平面向量中參數(shù)的最值（范圍）問題】

【例7】（23-24高一下?甘肅隴南?期末）已知平面向量為而滿足同=同=4,|4=21=-8,若E=4五+〃

貝眨4+〃的取值范圍是（）

A.[-竽，陷B.上亨,亨]C.卜亨，亨]D.[-2V6,2V6]

【變式7-1]（23-24高一下?黑龍江哈爾濱?期末）在△48C中，AB=6/C=8,48"=9/是N84C的平分

線上一點，且4/=8，若△ABC內(nèi)（不包含邊界）的一點D滿足而=%四+"，則實數(shù)x的取值范圍是

（）

A-。，月B.（得給C.（-1）1）D.（一/

【變式7-2]（23-24高一下?四川成都?期末）在直角梯形4BCD中，AB1AD,DC//AB,AD=DC1,AB=2.E.F

分別為4B/C的中點，點P在以力為圓心，4D為半徑的圓弧0E上運動（如圖所示）.若麗=4而+〃而，

其中無“ER,則22—〃的取值范圍是（）

C.[—1,2]D.[—2,2]

【變式7-3]（23-24高一下?安徽蕪湖?階段練習(xí)）如圖扇形20B所在圓的圓心角大小為g,P是扇形內(nèi)部（包

括邊界）任意一點，^OP=xOA+yOB,那么2（x+y）的最大值是（）

OA

A.2B.V3C.4D.2V3

【題型8極化恒等式】

【例8】（2024?重慶?模擬預(yù)測）已知△Q4B的面積為1/8=2,動點P,Q在線段AB上滑動，且|PQ|=1,則

OP■麗的最小值為.

【變式8-1]（2024?山東?模擬預(yù)測）邊長為1的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓，MN是內(nèi)切圓的一條弦，點P為正方

形四條邊上的動點，當(dāng)弦MN的長度最大時，兩?西的取值范圍是.

【變式8-2]（2024?湖北省直轄縣級單位?模擬預(yù)測）如圖直角梯形/BCD中，斯是CD邊上長為6的可

移動的線段，2。=4,AB=8V3,8c=12,則而?前的取值范圍為.

【變式8-3］（23-24高一下?廣東潮州?階段練習(xí)）閱讀以下材料，解決本題：我們知道①@+石）2=原+2a

——2-2772T272tt_?->2_?-*2

-b+b；②（五一B）=a2-2a-b+b.由①■②得（2+B）—（a—fe）=?Bo五?/=（°+“）一（。一>）,我們把最

4

后推出的式子稱為“極化恒等式”，它實現(xiàn)了沒有夾角參與的情況下將兩個向量的數(shù)量積化為“?！钡倪\算.如

圖所示的四邊形2BCD中，BD=8AB-AD=48,E為BD中點.

（1）若COSAB2D=百，求△4BD的面積；

⑵若2族=詼，求而?麗的值；

（3）若P為平面4BCD內(nèi)一點，求麗?（麗+而）的最小值.

【題型9矩形大法】

【例9】（2024?浙江紹興?一模）已知向量五，b,E滿足同二歷尸五七=2,（a-c）-（h-2c）0,則后一耳的

最小值為

V7-V3「V3

A.宇DB-CTD.日

【變式9-1］（23-24高三下?四川成都?階段練習(xí)）已知單位向量乙君滿足|22一引=2,若存在向量不，使得

（工―2①?0—3）=。，則間的取值范圍是（）

A?悸，苧+1]B.印—1月c.悸—1,苧+1]D.[V6-1.V6+1]

【變式9-2]（23-24高三上?四川資陽?階段練習(xí)）已知。為單位向量，向量反滿足：（a-e）-（a-5e）=0,則|五+。|

的最大值為（）

A.4B.5C.6D.7

【變式9-3]（23-24高三上?貴州貴陽?階段練習(xí)）已知平面向量五，b,c,滿足|可=|瓦=港B=2,且

（a—2c）-（h-c）=0,貝！J|五一百的最小值為（）

【題型10等和（高）線定理】

【例10】（23-24高一下?重慶?階段練習(xí)）在平行四邊形4BCD中，E為CD的中點，BF=^BC,AF與BE交于

點G,過點G的直線分別與射線BA,BC交于點M,N,BM^ABA,BN^fiBC,貝壯+2〃的最小值為（）

A.1B.1C.|D.|

【變式10-1]（23-24高三上?河南?階段練習(xí)）對稱性是數(shù)學(xué)美的一個重要特征，幾何中的軸對稱，中心對

稱都能給人以美感，在菱形48C。中，乙48。=120°,以菱形4BCD的四條邊為直徑向外作四個半圓，P是這

四個半圓弧上的一動點，^DP=WA+nDC,則2+〃的最大值為（）

3S

A.5B.3C.-D.-

【變式10-2]（23-24高一下?四川綿陽?期中）在扇形。力B中，AAOB=60°,C為弧4B上的一動點，若覺=x

OA+yOB,貝歸久+y的取值范圍是.

【變式10-3]（23-24高二上?上海浦東新?階段練習(xí)）正六邊形/8CDE/中，P是△CDE內(nèi)（包括邊界）的

動點，設(shè)而=m同+n而，（m,nG/?）,則m+n的取值范圍是.

?過關(guān)測試

一、單選題

1.（2024?江蘇泰州?模擬預(yù)測）在平行四邊形4BCD中4=45。/3=1/。=魚，^AP=AB+xAD{x6/?）,

則|赤|的最小值為（）

A.|B.掾C.1D.V2

2.（2024?寧夏銀川?模擬預(yù)測）在△ABC中，~BD=2DC,過點。的直線分別交直線45、4C于點E、F,且

AE=mAB,AF=nAC,其中m>0,n>0,則m+2?i的最小值為（）

O

A.2B.V2C.3D.-

3.（2024?廣東東莞?模擬預(yù)測）己知在同一平面內(nèi)的三個點4B,C滿足|4B|=2,2-窖>1,貝日尼+麗|

|C4|\CB\

的取值范圍是（）

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,V3]D.[0,2V3]

4.（2024?天津河北?二模）△4BC是等腰直角三角形，其中AB12&|同|=1,P是△A8C所在平面內(nèi)的一

點，^CP=XCA+MCB（4N0,〃NO且4+2〃=2）,則8?在而上的投影向量的長度的取值范圍是（）

A.（0,用B.惇,1]C.[1,V2]D.[V2,2]

5.（2024?安徽蕪湖?三模）已知。C:久2+y2-10%+9=0與直線/交于4B兩點，且。C被/截得兩段圓弧的

長度之比為1:3,若。為OC上一點，則瓦[?麗的最大值為（）

A.18V2+12B.16V2+16C.12&+20D.10V2+24

6.（2024?河北滄州?三模）對稱美是數(shù)學(xué)美的重要組成部分，他普遍存在于初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的各個分

支中，在數(shù)學(xué)史上，數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)發(fā)展的動力.如圖，在等邊△A8C中，AB=2,以三條邊為直徑向外作三

個半圓，M是三個半圓弧上的一動點，若前=4萬+〃n，貝〃的最大值為（）

A.|B.苧C.1D.|

7.（2024?湖北?模擬預(yù)測）向量區(qū)加滿足（五,刃）=也\b\=|V3,且VteR,不等式區(qū)+時2歷-團(tuán)恒成立.函

數(shù)/（*）=I.一田+|口一同（比6R）的最小值為（）

A.1B.1C.V3D.V5

8.（2024?四川成都?三模）已知正方形ABCD的邊長為1,M,N分別是邊AB,AD上的點（均不與端

點重合），記△4MN,△CMN的面積分別為Si，S2.若Si=|加?同川而?詬|,則S2的取值范圍

是（）

A.|）B.[V2-1,C,[i,|）D.[V2-1,I）

二、多選題

9.（2024?浙江寧波?二模）若平面向量五，立滿足向=1,回=1,同=3且3?工=B則（）

A.B+3+耳的最小值為2

B.B+B+W的最大值為5

C.忖一刃+才|的最小值為2

D.忸―辦+工|的最大值為履

10.（2024?山西晉中?模擬預(yù)測）在△ABC中，。為邊4C上一點且滿足而=河，若P為邊上一點，且

滿足而=4屈+〃尼，九〃為正實數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

1

A.川的最小值為1B.加的最大值為五

C?抖擊的最大值為12D.抖5的最小值為4

A3MA

11.（2024,山東濰坊?二模）已知向量2,b,工為平面向量，同=L同=2,a-b=0,\c-a\=貝!]

（）

A.1<|C|<|B.五>白―勵的最大值為當(dāng)空

Z4

C.—1<b-c<1D.若才=2花+曲，則4+〃的最小值為1—當(dāng)

三、填空題

12.（2024?四川宜賓?模擬預(yù)測）己知點。,48在同一平面內(nèi)且力為定點，