面積的存在性問題

1.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=|久2_|%一4與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y

軸交于點(diǎn)C.

⑴求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo);

⑵點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),在線段AB上以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，在線

段BC上以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時(shí)間為

t秒，求運(yùn)動時(shí)間為多少秒時(shí)，APBQ的面積最大，并求出最大面積；

⑶在(2)的條件下，當(dāng)APBQ面積最大時(shí)，在BC下方的拋物線上是否存在點(diǎn)M,使ABMC的面積是APBQ面

積的L6倍？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

2如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=?(m為常數(shù)m>l,x>0)的圖像經(jīng)過點(diǎn)P(m,l)和Q(l,m),直線PQ與x

軸、y軸分別交于C、D兩點(diǎn).點(diǎn)M(x,y)是該函數(shù)圖像上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)M分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別

為A、B.

(1)求/OCD的度數(shù)；

⑵當(dāng)m=3,l<x<3時(shí)存在點(diǎn)M使得△OPMsaocP,求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

圖1

⑶當(dāng)m=5時(shí)矩形OAMB與AOPQ的重疊部分的面積能否等于4.1?請說明你的理由.

3如圖1,拋物線y=/+版+5與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(5,0),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)為P.

(1)求拋物線的表達(dá)式并寫出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑵在x軸上方的拋物線上有一點(diǎn)D,若/ABD=/ABP,試求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

⑶設(shè)在直線BC下方的拋物線上有一點(diǎn)Q,若SABCQ=15,試求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

專題直擊

如圖，拋物線y=好—6%+5與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,設(shè)在直線BC下方的拋物線上有一點(diǎn)

Q,若SABCQ=15,試求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

4.如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)C在y軸右側(cè)沿拋物線.y=x2-6x+10滑動，在滑動過程中CD〃x軸，CD=1,

AB在CD的下方.當(dāng)點(diǎn)D在y軸上時(shí)AB落在x軸上.當(dāng)矩形ABCD在滑動過程中被x軸分成兩部分的面積比為1：

4時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

5.如圖，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(3,0),(0,1).點(diǎn)D是線段BC上的動點(diǎn)(與端點(diǎn)B、C不重

合)，過點(diǎn)D作直線y=-1+b交OA邊于點(diǎn)E.若矩形OABC關(guān)于直線DE的對稱圖形為四邊形0小正￡1,試

探究四邊形OiAiB1cl與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出重疊部分的面積；若改變，請

說明理由.

6如圖，已知扇形AOB的半徑為2,圓心角/AOB=90。，點(diǎn)C是弧AB上的一個(gè)動點(diǎn),(CD1OA于D,CE

±OB于E,求四邊形ODCE的面積的最大值.

B

7.如圖，二次函數(shù)y=(%+m)2+k的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,-4).

(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑵設(shè)直線AM與y軸交于點(diǎn)C,求ABCM的面積；

(3)在拋物線上是否還存在點(diǎn)P,使得SAPMB=SABCM,如存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理

由.

8如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=x+3的圖像與y軸相交于點(diǎn)A,二次函數(shù).y=-x2+bx+c的圖像

經(jīng)過點(diǎn)A、B(1,O),D為頂點(diǎn).

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)將上述二次函數(shù)的圖像沿y軸向上或向下平移，使點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)C在一次函數(shù)y=x+3的圖賃上,求平移

后所得圖像的表達(dá)式；X

(3)設(shè)點(diǎn)P在一次函數(shù)y=x+3的圖像上，且SAABP=2SAABC,求點(diǎn)P的坐標(biāo)./一十

9.(1)如圖1,已知平行四邊形ABCD,如果直線1同時(shí)平分平行四邊形ABCD的周長和面積，那么直線1一定

經(jīng)過哪個(gè)確定的點(diǎn)？

⑵如圖2,已知等腰梯形ABCD,如果直線1同時(shí)平分等腰梯形ABCD的周長和面積，那么直線1也經(jīng)過一個(gè)

確定的點(diǎn)嗎？

(3)如圖3,已知梯形ABCD,是否存在直線1同時(shí)平分梯形ABCD的周長和面積？如果存在,那么直線1也經(jīng)

過一個(gè)確定的點(diǎn)嗎？

⑷如圖4,在AABC中,NC=9(T,AC=6,BC=8,設(shè)直線1與斜邊AB交于點(diǎn)E,與直角邊交于點(diǎn)F,設(shè)AE=x,是否存

在直線1同時(shí)平分AABC的周長和面積？若存在直線1,求出x的值；若不存在直線1,請說明理由.

10.如圖1,已知邊長為2的正方形ABCD中，AC為對角線，點(diǎn)E在線段AC上(點(diǎn)E與點(diǎn)A、C不重合)，過點(diǎn)

E作EFLBC,垂足為點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)ED和DF.

(1)說明AEFD與AEFC的面積相等；

⑵設(shè).AE=x,SAEDF=y(SAEDF表示AEDF的面積),求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

(3)當(dāng)AEDC為等腰三角形時(shí).求線段AE的長.

11.如圖1,在正方形ABCD中，AB=4,點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AB上的一個(gè)動點(diǎn)，作EGXAM交

AM于點(diǎn)G,EG的延長線交線段CD于點(diǎn)F.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，求證:BM=CF;

⑵設(shè)BE=x,梯形AEFD的面積是y,求y與x的函數(shù)解析式，并寫出定義域.

備川圖

12.如圖1.在矩形ABCD中,AB=1,對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作EFXAC分別交射線AD與射線CB于

點(diǎn)E和點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)CE、AF.

(1)如圖,求證:四邊形AFCE是菱形;

⑵當(dāng)點(diǎn)E、F分別在邊AD和BC上時(shí),如果設(shè)AD=x，菱形AFCE的面積是y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫

出x的取值范圍；

(3)如果AODE是等腰三角形，求AD的長度.

13.如圖1.在梯開?ABCD中,AD〃BC,AB=CD,BC=10,對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,且AC_LBD.設(shè)AD=X,AAOB

的面積為y.

(1)求/DBC的度數(shù)；

⑵求y關(guān)于X的函數(shù)解析式，并寫出自變量X的取值范圍；

(3)如圖2,設(shè)點(diǎn)P、點(diǎn)Q分別是邊BC、AB的中點(diǎn)，分別聯(lián)結(jié)OP、OQ、PQ.如果AOPQ是等腰三角形，求AD

的長.

14.如圖1,已知正方形ABCD的邊長為3,菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、G、H分別在正方形的邊AB、CD、

DA上,AH=1,聯(lián)結(jié)CF.

⑴當(dāng)DG=1時(shí)，求證:菱形EFGH為正方形；

(2)設(shè)DG=x,AFCG的面積為y,寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出x的取值范圍；

⑶當(dāng)DG=竽時(shí)，求NGHE的度數(shù)

DGD

備用圖

15.如圖1,已知在等腰梯形ABCD中,AD〃BC,AD=AB=CD=6厘米NB=60。.點(diǎn)P在邊AD上以每秒2厘米的

速度從點(diǎn)D出發(fā),向點(diǎn)A運(yùn)動，?點(diǎn)Q在邊AB上以每秒1厘米的速度從點(diǎn)B出發(fā),向點(diǎn)A運(yùn)動.已知P、Q兩

點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動.設(shè)兩個(gè)點(diǎn)運(yùn)動的時(shí)間為t秒，聯(lián)結(jié)PC、QD.

(1)如圖1,若四邊形BQDC的面積為S平方厘米，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式并寫出函數(shù)定義域；

⑵若PC與QD相交于點(diǎn)E,且/PEQ=60。,求t的值

16.如圖1,在梯形ABCD中,AD〃BC,AC=BC=4,/D=9(T,M、N分別是AB、DC的中點(diǎn)，過點(diǎn)B作BE,AC交

射線AD于點(diǎn)E,BE與AC交于點(diǎn)F.

(1)當(dāng)/ACB=3O。時(shí)，求MN的長;

(2)設(shè)線段CD=x,四邊形ABCD的面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式及其定義域；

⑶聯(lián)結(jié)CE,當(dāng)CE=AB時(shí)，求四邊形ABCE的面積.

17.如圖1,在梯形ABCD中,AD//BC,ZB=90°,NC=45°,AB=8,BC=14,點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上,EF〃

AD,點(diǎn)P與AD在直線EF的兩側(cè),/EPF=90。,PE=PF.射線EP、FP與邊BC分別相交于點(diǎn)M、N,設(shè)AE=x,MN=y.

(1)求邊AD的長;

⑵如圖，當(dāng)點(diǎn)P在梯形ABCD內(nèi)部時(shí)，求y關(guān)于

⑶如果MN的長為2,求梯形AEFD的面積.圖1

18如圖1梯形ABCD中,/BCD=90。,AD=2,BC=4,CD=4次,對角線AC、BD相交于點(diǎn)0點(diǎn)E為BD上一動

點(diǎn)(不與點(diǎn)B、D重合).聯(lián)結(jié)AE、CE.設(shè)DE=x,AAED的面積為y.

(1)求y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

⑵當(dāng)AE=CE時(shí)，求x的值；

⑶當(dāng)x取何值時(shí)，AAOD與AEOC面積相等？寫出你的猜想，并證明你的結(jié)論.

19如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,4),點(diǎn)B是x軸上一點(diǎn)，以AB為邊.在AB的一側(cè)作正方

形ABCD,對角線AC、BD相交于點(diǎn)E,過點(diǎn)C向x軸作垂線，垂足為F,點(diǎn)G是OF的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)EG.

(1)如果點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),求點(diǎn)C的坐標(biāo);

⑵當(dāng)點(diǎn)B在x軸正半軸上時(shí)，如果點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,0),ABEG的面積為S,寫出S關(guān)于a的函數(shù)解析式及定

義域；

⑶當(dāng)ABEG的面積為|時(shí)，求線段EG的長.

1.滿分解答

⑴由y=|%2-|x-4=|(x+2)(x-3工得A(-2,0),B(3,0),C(0,-4).

⑵如圖2.在RtABOC中,OB=3,OC=4,所以BC=5,sinz5=

作QH_Lx軸于H在RtABQH中，QH=BQ-sinzB="

所以SPBQ=-QH=|(52t)x|t=-|(t2-|t)?

當(dāng)t=3時(shí)，APBQ的面積最大，最大值為Tx[(|)2-g)]=1

⑶如圖3,過點(diǎn)M作y軸的平行線交BC于N.

由B(3,0)、C(0,-4]得直線BC的解析式為y=^x-4.

設(shè)%(%，]%一4),加卜，|一一|久一4),那么NM=-|x2+2%.

所以SMBC=SMBN+SMCN=^NM.OB=|(—1%2+2久)=—x2+3%.

解方程-x2+3x=1,6x三，整理，得x2-3x+2=0.

4

解得x=l,或x=2.所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,-4)或((2--|).

考點(diǎn)伸展

第⑶題中，△MBC面積的最大值是多少呢？

由S=r2+3久=一(久一I?+*可知當(dāng)x=時(shí)，AMBC的取得最大值，最大值為△MBCt這是一個(gè)典型

結(jié)論，當(dāng)點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)時(shí)，△MBC的面積最大.

2.滿分解答

(1)如圖2,作PP1±x軸于P,作QQ'±y軸于Q：設(shè)PP與QQ交于點(diǎn)K.由tan/KQP=黑=二=1,得/

QK771—1

KQP=45°.所以/OCD=45°.

⑵如圖3,當(dāng)m=3時(shí).y=1,P(3,1),Q(l,3).所以O(shè)P=V10.

由直線PQ的解析式y(tǒng)=-x+4得C(4,0).所以0C=4.

如果△OPMs^ocP,那么黑=等=箸所以?！?竇=5=*

由M（x-：）,OM2=爭得上2+0=

整理，得4x4-25/+36=0.解得%2=4,或x2=

4

所以x=2,或x=|.所以M色|),或(|,2).

檢驗(yàn)：當(dāng)Mg2)時(shí)，=孚

所以"=9十同=漁產(chǎn)=四+四=竺

OP24CP24

所以器豐署所以M(|，2)要舍去.所以符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)是(Q|).

⑶如圖4,設(shè)MA與OP交于點(diǎn)G,MB與OQ交于點(diǎn)H.

由"=注=3得G4=工。4=；所以S。4G

OAOP'51552510

由些=空=L,得HB=l0B=1所以s=lx-xi=-^.

OBOQr5"5x。叫2xx2x2

y2t

所以重疊部分的面積s=S^AMB-S0AG-S0BH=5----,

解方程5—=養(yǎng)整理，得%4-9%2+25=0.

因?yàn)锳=81-100<0,所以此方程無實(shí)數(shù)根.所以重疊部分的面積不能為4.1.如圖5,當(dāng)x>5時(shí)，重疊部分的面積

小于AOPP的面積，所以不可能為4.1.當(dāng)0<x<l時(shí)，重疊部分的面積小于ACIQQ，的面積，所以不可能為4.1.

考點(diǎn)伸展

第(3)題情景下，重疊部分的面積的最大值是多少呢？

由S=5—高—與=—.(/+-50)=—5-1。+為一50+1。］=—白(久—3)+4,可知重疊部分

102xz10\X2/10L\x2/」10\X/

面積的最大值為4.

3.滿分解答

(1)將點(diǎn)B(5,0)代入y=x2+bx+5彳導(dǎo).解得b=-6.

所以y=%2-6%+5=-(%-3)2-4,頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,-4).

(2)如圖2，作DN±x軸于N.設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)M.

由tan/ABD=tan/ABP,得—=—.

BNBM

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為3/—6久+5)那么=；=2.

5—%2

解得X=-1.所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,12).

(3)由B(5,0)、C(0,5),可知BC=5近，直線BC與x軸負(fù)半軸的夾角為45。.

設(shè)BC邊上的高為h,那么SBCQ=jx5V2/i=15解得h=3a.

如圖3，設(shè)y軸上點(diǎn)C下方的點(diǎn)G到直線BC的距離(GH=3企,那么CG=6,G(0,-1)過點(diǎn)G作BC的平行

線與拋物線的交點(diǎn)就是要求的點(diǎn)Q,這條直線為y=-久-1.解方程組［，=2一”］,得［J-2或:A所

(y=%—6%+5,(y——J,(y——4.

以<?(2，—3)或(3,—4).

4.滿分解答

當(dāng)x=l時(shí),y=x2-6x+10=5,所以BC邊的長為5.

如圖1,當(dāng)矩形ABCD在x軸上方部分的面積與這個(gè)矩形面積的比為1：5時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1.

2

解方程x—6x+10=1,得Xi=x2—3.

此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,1).

如圖2,當(dāng)矩形ABCD在x軸上方部分的面積與這個(gè)矩形面積的比為4：5時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為4.

解方程x2-6x+10=/得/=3+板,％2=3-

此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3+V3-4)或(3-百，4).

5.滿分解答

如圖1,因?yàn)樗倪呅蜲iAiBiCi與矩形OABC關(guān)于直線DE對稱，因此DM=DN,那么重疊部分是鄰邊相等的平行

四邊形，即四邊形DMEN是菱形.

作DHLOA,垂足為H.

由于CD=2b-2QE=2b,所以EH=2.

設(shè)菱形DMEN的邊長為m.

在RtADNH中,DH=1,NH=2-m,DN=m,所以I2+(2-m)2=/解得m=~.

4

所以重疊部分菱形DMEN的面積為-|

4

6.滿分解答

如圖1,圖2,設(shè)矩形ODCE的對角線交于點(diǎn)F,那么OF=1為定值.

作OH_LDE于H,那么OH<OF.

因?yàn)镈E=2為定值，因此當(dāng)0H與OF相等時(shí)(如圖3),ADOE的面積最大，最大值為1.所以矩形ODCE的面

積的最大值為2.

7.滿分解答

(1)由y=(%-I)2-4=x2-2x-3=(%+1)(%-3),得A(-l,0),B(3,0).

(2)因?yàn)锳、M到y(tǒng)軸的距離相等，所以C是AM的中點(diǎn).所以C(0,-2).

因止匕SBCM=SBCA=5aB-OC--x4x2=4.

⑶過點(diǎn)C作BM的平行線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)都是符合條件的點(diǎn)P.設(shè)P(x,r-2%-3),由PC

〃BM狷/CPE=/BMF.所以g=言解方程/=-3+2=:得％=2土遮所以P(2+遍，2+2遙)或

(2-V5-2-2A/5).

8.滿分解答

(1)由y=x+3得A(0,3).

(b=-2

將A(0,3)、B(l,0)分別代入y^-x2+bx+g得｛1』二’?解得I=3.

所以二次函數(shù)的解析式為y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,頂點(diǎn)為D(-l,4).

(2)如圖1,當(dāng)x=-l時(shí),y=x+3=2.

所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1,2).

所以平移后的拋物線的解析式為.y=-0++2=-%2—2x+1.

⑶如圖2,AABP與AABC是共底三角形,AB是公共的底邊.

當(dāng)SABP=2S.C時(shí)，點(diǎn)P到直線AB的距離等于點(diǎn)C到直線AB的距離的2倍.

所以PA=2PC.因此xp=±2xc=±2(如圖3).

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,5)或(-2,1).

9.滿分解答

⑴如圖1,直線1一定經(jīng)過平行四邊形的對角線的交點(diǎn).

⑵如圖2,直線1一定經(jīng)過梯形中位線的中點(diǎn).

⑶如圖3,如果直線1經(jīng)過梯形中位線的中點(diǎn)，并且與兩底相交，那么直線1平分梯形的面積，但不一定平分

梯形的周長.當(dāng)?shù)妊菪螘r(shí)，直線1同時(shí)平分周長和面積.

D

圖1圖3

(4)AABC的周長為24,面積為24.

如圖4,點(diǎn)F在AC上，假設(shè)直線EF同時(shí)平分4ABC的周長和面積，那么AE=x,AF=12-xtEG=^x.

解方程!(12-%)x|x=12彳導(dǎo)%=6±V6.

當(dāng)％=AE=6—V6,AF=12—%=6+顯,,此時(shí)點(diǎn)F不在AC上.所以取X=6+V6.

如圖5,點(diǎn)F在BC上，假設(shè)直線EF同時(shí)平分4ABC的周長和面積，那么AE=x,BE=10-x,BF=12-(10-x)=2+x,EH=

|(10-x).

方程|(2+%)x|(10-x)=12整理，得/-8x+20=0.此方程無實(shí)數(shù)根.

10.滿分解答

⑴如圖2,因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以/BCD=90。.

因EF_LBC,所以/EFC=90。.所以EF//DC.

由平行線間的距離處處相等，得AEFD與AEFC為同底等高三角形.

所以AEFD與AEFC的面積相等.

⑵如圖2,因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以/ACB=/ACD=45。.圖2

在RtAABC中,AB=BC=2,所以.AC=2V2.

所以.EC=AC-AE=2^2-x.

在RtAEFC中,^ACB=45。,EC=2&-久，設(shè).EF=FC=m.

由勾股定理，得病+zn2=（2y/2-%）整理，得2m2=（2A/2-x）.

所以/=6守.

所以y=SEDF=SECF=/F*FC=|m2=仁與"=\x2-V2x+2.

自變量的取值范圍是（0<x<2A/2.

⑶分三種情況討論AEDC為等腰三角形.

①如圖3,當(dāng)CD=CE時(shí),CE=2.所以.AE=AC-CE=2y/2-2,

②如圖4,當(dāng)EC=ED時(shí),/EDC=NECD=45。.所以/ADE=45。.

所以DE為等腰直角三角形ADC的角平分線.

由等腰三角形三線合一，AE=EC=V2.

③如圖5,當(dāng)DC=DE時(shí),NDEC=NECD=45。.

此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，不符合題意，舍去.

11.滿分解答

(1)如圖2,由正方形ABCD彳導(dǎo)AB=BC,NABC=/C=90。.

所以N2+N3=90°.

因?yàn)镋G_LAM,所以/EGA=90。.

所以/1+/3=90。.

所以/1=/2.

在AABM與ABCFC|：I,Z1=Z2,AB=BC,ZABC=ZC,^TIUAABM^ABCF.^TI^BM=CF.

圖3

(2)如圖3,過點(diǎn)E作EH±DC于H得矩形BCHE.

所以EH=BC=AB,CH=BE,ZEHF=90°.

由⑴，得N1=N2.

在AABM與AEHF中

所以HF=BM=2.

因?yàn)锽E=x，所以AE=4-x,DF=DC-CH-HF=2-x.

所以y=\(。4+4E)?4。=[(2—x+4—十)?4=-4x+12,定義域是0<x<2.

12滿分解答

⑴因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形.所以O(shè)A=OC,DA〃CB.

所以Nl=/2.

在AAOE和ACOFZ1=Z2,OA=OC,ZAOE=ZCOF,^LUAAOE^ACOF.^IUOE=OF.

又因?yàn)镋FLAC,所以四邊形AFCE是菱形.

圖3

⑵設(shè)菱形的邊長為m.

在RtADEC中,EC=m,DE=x-m,DC=l,由勾股定理得((%-m)2+I2=m2.

整理，得一2久m+x2+1=0.解得m=匚口.

2x

所以y=s=AE-AB=m要■.定義域是x>0.

(3)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以O(shè)C=OD,N5=/6.

當(dāng)AODE是等腰三角形時(shí)，分兩種情況討論.

①如圖4,當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時(shí)，AODE為鈍角三角形，所以只可能存在EO=ED.此時(shí)，Z3=Z4.

因?yàn)?ADC=90。,所以N3+N5=90。.

因?yàn)?EOC=90°,所以N4+/7=90°.

根據(jù)等角的余角相等相N5=N7.所以/5=/6=/7=60。,/3=30。.

在RtZiADB中,/3=6(T,AB=l,所以BD=2.所以.AD=V3.

②如圖5,當(dāng)點(diǎn)E在線段AD的延長線上時(shí)，AODE為鈍角三角形，所以只可能存在DO=DE.此時(shí),/8=/4.

因?yàn)?EDC=90。,所以N8+/EMD=90。.

因?yàn)?EOC=90。,所以N6+/OMC=90。.

根據(jù)等角的余角相等，得.N8=N6.所以Z4=Z5=Z6=48.因?yàn)橐?。。=45+N6,所以乙4。。=2/4.所以

3/4=90。,N4=30。在Rt△4DC中，Z6=Z4=30°,DC=1,設(shè)AD=a,CD=2a而勾股定理，得+拶=

(2以,解得a1=—當(dāng)(不符合題意，舍去),a2=當(dāng)所以AD=當(dāng)

E

13滿分解答

(1)如圖3,過點(diǎn)D作DK〃AC交BC延長線于點(diǎn)K彳導(dǎo)平行四邊形ADKC.

所以AC=DK,AD=CK=x.

由等腰梯形的對角線相等，得AC=BD.所以BD=DK.

又AC_LBD,所以NBOC=90。.

所以NBDK=90°,/DBC=45°.

(2)如圖3,過點(diǎn)D作DNLBC于N,過點(diǎn)O作OHLBC于H.

由(1),在等腰直角三角形DBK中，DN=抑=/x+10).

在等腰直角三角形OBC中，0H=加=5.

所以SABC=|sC-D/V=ixl0x|(x+10)=|(x+10)

SB0C=jBC-O//=|xl0x5=25.

所以y=SABC-SBOC=［久,自變量的取值范圍是x>o且X力10.

⑶如圖4.過點(diǎn)A作AMJ_BC于M.

由⑵在RtABND中，DN=BN=-(x+10),所以AC=BD=—(x+10).

在RtAABM中，AM=DN=^(x+10),BM=CN或(10-久),所以AB=DC=^-Vx2+100.

在AABC中,PQBAABC的中位線，PQ=+10).

在RtAAOB中,OQ是斜邊上的中線，。Q=2ZB=f?Vx2+100.

在等腰直角三角形BOC中，OP==5.

如圖5,AOPQ是等腰三角形，分三種情況討論.

①當(dāng)PQ=PO時(shí)，+10)=5,解得x=10V2-10.此時(shí)AD=10V2-10.

2

②當(dāng)OQ=OP時(shí)，乎-V%+100=5,解得小=-10,%2=10(均不符合題意，舍去).

③當(dāng)QO=QP時(shí)，￥.Vx2+100=彳(％+10),解得x=0(不符號題意，舍去).

綜上所述，如果AOPQ是等腰三角形，AD=10V2-10.

14.滿分解答

(1)如圖2,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以/D=/A=90。.

因?yàn)樗倪呅蜤FGH是菱形，所以HG=EH.

在RtADGH^W中,HG=EH,DG=AH=1,所以Rt△DGH=Rt△AHE,所以N1=N2.

因?yàn)镹2+N3=90。,所以Z1+Z3=90。.所以/GHE=90。.

所以菱形EFGH為正方形.

圖2圖3

⑵如圖3,過點(diǎn)F作DA的平行線，交DC延長線于M.

所以FM1DC,ZM=NA=90°.

因?yàn)檎叫蜛BCD和菱形EFGH,所以HE=FG,DC〃AB,GF〃HE.

所以乙MGF=Z^EH.^TIUAHAEAFMG,MF=AH=1.

所以y=|GC-MF=|(3-久)，定義域?yàn)?<x<V6

⑶過點(diǎn)G作GKLAB于K.

在RtADGH中，DH=2,DG=誓，所以HG=收+(竽?=率.

在Rt△AHE中，AH=1,HE=HG=率，所以AE=J(穿了—1?=乎.

在Rt△GKE中，GK=DA=3,KE=AE-DG-所以GE=^32+=號.

所以HE=HG=GE,AGHE是等邊三角形.所以.乙GHE=60°.

15.滿分解答

(1)如圖2.過點(diǎn)A作AG±BC于G.過點(diǎn)D作DHLBC于H得到矩形AGHD.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為等腰梯形，所以/C=/B=60o,NBAD=/ADC=120。.

在RtAABG中,/B=60°,AB=6cm,所以NBAG=30°,BG=3cm,AG=3V3cm.

同理可得,CH=3cm,BC=3+6+3=12cm.

2

所以S梯形ABCD=^AD+BC)?4G=*6+12)?3魂=2743cm.

如圖3,過點(diǎn)D作DMLAB交BA延長線于點(diǎn)M.

在RtAADM中，Z.MAD=NB=60。,4。=6cm,所以AM=3cm,MD=3值cm.因?yàn)锽Q=tcm,所以AQ=(6-t)

cm.

所以SAQD=-MO=|(6-t)-3V3=誓(6-t)cn?2.

+1873)cm2.

S=S四邊形BQ/x：=5梯形八收力—S&AQD=27①一苧（6-，）=（苧z

所以

定義域是0<t<3.

(2)如圖4,在AEDC中，因?yàn)?DEC=NPEQ=60。,所以/1+/3=120。.

又因?yàn)?ADC=/2+/3=120。,所以/l=/2.

在△4QD和△DPC中,N4=^ADC,AD=DC,Z1=N2,所以△AQD=△DPC.所以AQ=DP.所以6-t=2t.

解得t=2.

BC

圖4

16.滿分解答

(1)如圖2,因?yàn)锳D〃:BC,所以NCAD=NACB=30。.

在RtAACD中,NCAD=3(F,AC=4,所以CD=2.

由勾股定理，得力。=2V3.

如圖3,因?yàn)镸N是梯形ABCD的中位線,所以MN=）AD+BC）=|（2遍+4）=舊+2.

⑵如圖4,在RtAACD中,AC=4,CD=x,由勾股定理得.AD=VIE所以y=^rcie46^=|(^+^)-

CD=|x(V16—x2+4)=|xV16—x2+2%.定義域是0<x<4,

圖4

⑶如圖5,當(dāng)CE=AB時(shí).四邊形ABCE是等腰梯形.

此時(shí)對角線BE=AC=4.

【方法一】如圖5,過點(diǎn)E作AC的平行線交BC的延長線于點(diǎn)H.所以四邊形ACHE是平行四邊形.

所以AE=CH.根據(jù)等底等圖的三角形面積相等，得SAABE=SAECH.

所以$四邊形ABCE=SEBH-

因?yàn)锽E_LAC,所以BE±EH.

所以△是等腰直角二角形,SEBH=8.所以S；力汨=8.

【方法二】如圖6,因?yàn)锽E1AC,

所以$四邊形ABCE=SABC+SAEC=lAC^BF+^)=|XC-BE=|X4X4=8.

圖5圖6

17.滿分解答

(1)如圖2,作DD'_LBC于D：

在RtADD'C中，ZC=45°,DD'=4B=8,所以D'C=8.

所以.AD=BC-D'C=14-86.

⑵如圖3,過點(diǎn)F作AB的平行線交AD的延長線于點(diǎn)A；交BC于點(diǎn)B.

在等腰直角三角形DA'F中，A'D=A'F=2E=x.

在等腰直角三角形FB'C中，B'C=B'F=BE=8—x.

過點(diǎn)P作PQLEF于Q,PQ交AD于G,交BC于H.

在等腰直角三角形PEF中，PQ=|FF=|(6+%).

在等腰直角三角形PMN中，PH==|y.

由GH=GQ+PQ+PH=8彳導(dǎo)x+1(6+x)+|y=8.

整理彳導(dǎo)y=-3x+10.定義域是|<%<y.

定義域是這樣確定的：

當(dāng)MN=y=O時(shí)，由-3x+10=0,得x=如圖4所示).

當(dāng)MN=y=AD=6時(shí)，由-3x+10=6,得x=[(如圖5所示).

(3)MN=2存在兩種情況：

①如圖6,當(dāng)點(diǎn)P在梯形內(nèi)部時(shí),MN=2.

解方程-3x+10=2得光=*

圖4圖5

此時(shí)在梯形AEFD中，2E=|,4D=6,EF=6+：=與

所以梯形AEFD的面積為等.

②如圖7,當(dāng)點(diǎn)P在梯形外部時(shí),MN=2.

由GH=GQ+PQ-PH=8彳導(dǎo)%+1(6+x)-|y=8.

整理彳導(dǎo)y=3x-10.

解方程3x-10=2彳導(dǎo)x=4.

此時(shí)在梯形AEFD中,AE=4,AD=6,EF=6+4=10.所以梯形AEFD的面積為32.

圖6圖7

18滿分解答

(D如圖2,在R3BCD中,BC=4,CD=4e，所以BD=8,/BDC=30。.

由ZkAED和AABD是等高三角形，可得醇=黑=*

^ABDHD?

因?yàn)镾ABD=|71￡)-CO=jX2X4V3=4遍，所以SAED=苧.

定義域是0<x<8.

圖2

⑵如圖3,在RtADEM中,/BDC=30。,DE=x，所以EM=^x,DM=yx.

如圖4,作EN1.AD于N,作EMXDC于M.

在RtAAEN中，NE=DM=~x,NA=EM-AD=^x-2,所以AE2=(fx)+Qx-2丫=x2-2x+4.

在R3EMC中，EM=^x,MC=DC-DM=4舊一與x,所以CE?=+（4V3-yx）=%2-12%+48.

因?yàn)锳E=CE,所以.AE2=CE2.

所以x2—2x+4=x2-12x+48.解得x=y.

（3）【方法一】①如圖5,當(dāng)點(diǎn)E在OB上