專題1-4棱臺相關(guān)解答題十大題型匯總

6?？碱}型目錄

題型1平行關(guān)系......................................................................1

題型2垂直關(guān)系......................................................................2

題型3長度面積高度問題.............................................................2

題型4距離體積問題.................................................................5

題型5線線、線面角問題.............................................................7

題型6二面角問題..................................................................10

題型7線面角與動點問題............................................................12

題型8二面角與動點問題............................................................14

題型9體積與動點問題..............................................................17

題型10最值取值范圍問題...........................................................18

U題型分類

題型1平行關(guān)系

【例題1】（2023?全國?高三專題練習）如圖，四棱臺48CD-EFGH的底面是菱形，且nBAD=

T,DH，平面ABC。,EH=2,DH=3,AD=4.

（1）求證：4E〃平面BDG；

⑵求三棱錐F-BDG的體積

【變式1-1]（2023?全國?高三專題練習）如圖，已知四棱臺4BCD-ABiGA中,AB//CD,

AD1AB,

是的中點.證明：||平面。.

CG=CB=CD=2AB=2C1A,EBCAXECC/i

題型2垂直關(guān)系

【例題2]（2023秋?高二課時練習）在三棱臺4/iG—ABC中“BAC=90。,4A，平面

ABC.A^A=V3,AB=AC=2ale1=2,D為BC的中點.證明：平面1平面BCC/i.

【變式2-1]（2023?全國?高一專題練習）如圖，在三棱臺ABC-DEF中，CF,平面DEF,

AB±BC.

（1）設(shè)平面ACECI平面DEF=a,求證:DFlIa;

⑵若EF=CF=2BC試問在線段BE上是否存在點G使得平面DFG，平面CDE?若存在，

請確定G點的位置；若不存在，請說明理由.

題型3長度面積高度問題

【例題3]（2022秋?河南溪河?高二校考階段練習）如圖，四棱臺ABCD-AiBiJDi的底面

是矩形，平面ABCD,平面ABBiAi,AB=2AiBi=2,AAi=2,8%=愿.

B

(1)求證：DC±AAi;

(2)若二面角B-CCi-D的二面角的余弦值為-察,求AD的長.

【變式(2023?全國?高二假期作業(yè))如圖，在三棱臺DEF-力BC中,AB=BC^CA=

2DF=2.FC=\,AACF=Z.BCF=90°,G為線段AC中點，H為線段8c上的點,BD〃平

面FGH.

(1)求證：點”為線段BC的中點；

(2)求三棱臺DEF-4BC的表面積.

【變式3-1]2.(2022?上海?高二專題練習)如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器I和正

四棱臺形(正四棱錐被平行于底面的平面截去一個小正四棱錐后剩下的多面體)玻璃容器n

的高均為32cm，容器工的底面對角線AC的長為10V7cm，容器口的兩底面對角線EG、

的長分別為14cm和62cm.分別在容器I和容器口中注入水，水深均為12cm.現(xiàn)有一根玻

璃棒I,其長度為40cm.(容器厚度，玻璃棒粗細均忽略不計)

容器II

(1)求容器工、容器口的容積；

(2)①將I放在容器I中，I的一端置于點A處，另一端置于側(cè)棱CG上,求I沒入水中部分

(水面以下)的長度；

②將I放在容器口中,I的一端置于點E處，另一端置于側(cè)棱GG]上,求I沒入水中部分(水

面以下)的長度.

【變式3-1]3.(2023秋?四川成都?高三樹德中學?？计谀?如圖，在四棱臺4BCD-

4出6。1中,底面四邊形ABC。為菱形，44==1,Z.ABC=600.1平面

ABCD.

(1)若點M是力。的中點，求證：GM1ArC；

(2)棱BC上是否存在一點E，使得二面角E-AD1-。的余弦值為I?若存在，求線段CE的

長；若不存在，請說明理由.

【變式3-1]4.(2020?全國?高三專題練習)如圖所示，正四棱臺2C'的高是17cm,兩底

面的邊長分別是4cm和16cm.

(1)求這個棱臺的側(cè)棱長和斜高.

(2)求該棱臺的側(cè)面積與表面積.

題型4距離體積問題

【例題4](2022秋?全國?高三統(tǒng)考階段練習)在四棱臺4BCD-4/停/1中，底面ABCD是

正方形，且側(cè)棱BBi1底面ABCQBBi=BC=2B?=8,。,乙尸分別是8。,。名,。6的中點.

⑵求直線股到平面481cl的距離.

【變式4-1】L(2023?全國?高三專題練習)如圖，四棱臺4BCD-力/iC/i的上、下底面

分別是邊長為1和2的正方形，=2,且1底面ABCD,點P,Q分別在棱，

BC上,PQ〃平面28B14，點M在棱A4上,PM//AD.

⑴證明：PQ//BM；

⑵若平面PDQ與平面AQD所成的銳二面角的余弦值為等,求三棱錐A-QDP的體積.

【變式4-1]2.（2023秋?湖北隨州?高三隨州市曾都區(qū)第一中學校考開學考試）在三棱臺

ABC-DEF中，G為AC中點，AC=2DF,AB1BC,BC1CF.

B

（1）求證：BC，平面DEG；

⑵若ZB=BC=21AB，平面EFG與平面ZCFD所成二面角大小為:，求三棱錐E-DFG

的體積.

【變式4-1]3.（2022?全國?模擬預測）如圖所示，四棱臺ABC。-a/iG%的上下底面均

為正方形，側(cè)面與底面垂直，BB]=CC1-BQ=38c.

(1)求證：平面4。。送11平面ABBMi；

(2)已知四棱臺ABCD-a/QDi的體積為26W.給出以下兩個問題：

①求異面直線BC和的距離

②求41到平面CDD1G的距離.

請從以上兩個問題中選取一道進行求解.

注：若兩個問題均求解，則按第一個問題計分.

【變式4-1]4.(2022?全國?高三專題練習)已知四棱臺力BCD-A/iG5的下底面是邊長

為4的正方形,^i=4,S.AA1l^ABCD，點P為。。i的中點,點Q在BC上,BQ=3QC,

與面4BCD所成角的正切值為2.

(1)證明：PQ//^ArABB1；

(2)求證：ABr1面PBC,并求三棱錐Q-PBZ的體積

題型5線線、線面角問題

【例題5】(2023?全國?高三專題練習)如圖,在四棱臺4BCD-4/16必中,底面ABCD

為平行四邊形，平面力1平面ABCD,DD]=DA=4祖==2,ABAD=去

若求直線與平面所成角的正弦值.

(2)=BrC,8GA/C

【變式5-1]1.(2023?全國?高二專題練習)如圖，在三棱臺2BC-A/iG中,BALBC,

平面平面，二面角的大小為

4//A_LABCBi-BC-245°,AB=2,BC=ArBr=AA1=1.

(2)求異面直線與所成角的余弦值.

【變式5-1]2.(2023?全國?高三專題練習)如圖，在正四棱臺ABC。-&B1GA中，AB=

(1)求正四棱臺的高；

(2)求直線BA與平面BCG%所成角的正弦值.

【變式5-1]3.(2023春?高二課時練習)如圖，在三棱臺力8c-DEF中，平面BCFE1平

面ABC,^ACB=90°,BE==FC=1,BC=2,4C=3.

(1)求直線BD與平面ABC所成角的正弦值；

(2)求點E到平面BCD的距離.

【變式5-1J4.(2023秋?高二單元測試應(yīng)三棱臺ABC—A/G中,BBi1平面ABC,乙4BC=

90°,48=BC=4,4/1=2,BB1=242.

(1)證明:BCi1ArC.

(2)求直線與平面4CC14所成角的正弦值.

【變式5-1]5.(2022?全國?高三專題練習)如圖，在三棱臺ABC-A1B1C1中，MBC為

等邊三角形，AA1,平面ABC,將梯形AA1C1C繞AA1旋轉(zhuǎn)至AA1D1D位置，二面角

D1-AA1-C1的大小為30°.

A

D

⑴證明:Al,Bl,Cl,DI四點共面，目A1D1L平面ABB1A1;

⑵若AA1=A1C1=2AB=4，設(shè)G為DD1的中點，求直線BB1與平面AB1G所成角的正

弦值.

題型6二面角問題

【例題6】(2023?河北保定?河北省唐縣第一中學?？级?如圖，在三棱臺ABC-DEF中，

側(cè)面ABED與ACFD均為梯形，ABllDE,ACllDF,AB±BE,且平面ABED,平面ABC,

AC±DE.已知AB=BE=AC=1,DE=DF=2.

BE

(1)證明：平面ABED,平面ACFD;

(2)求平面BEFC與平面FCAD的夾角的大小.

【變式6-1]1.(2022?全國模擬預測)如圖,在三棱臺ABC-DEF中，側(cè)面ABEO與4CFD

均為梯形,4B||DE,AC||DF,AB1BE，且平面ABED1平面ABC,AC1DE.已知AB=BE=

AC=1,DE=DF=2.

F

(1)證明：平面2BED1平面ACFD；

(2)求銳二面角B—FC—4的值.

【變式6-1J2.(2022秋?全國?高二專題練習及口圖，在四棱臺4BCD—A/iGA中=2,

AZ=1,四邊形ABCD為平行四邊形，點E為棱BC的中點.

(2)若四邊形ABCD為正方形,AA.1平面ABCD,ArA=AB=2,求二面角41一DE—C的

余弦值.

【變式6-1]3..(2022?全國?高三專題練習)如圖，在四棱臺力BCD-4/164中，底面四

邊形ABCD為菱形,AABC=60°,AA1=人向=^AB=1,AA11平面4BCD.

(1)若點M是4。的中點，求證：CW〃平面488出

(2)求直線GM與平面2。道所成角的余弦值；

⑶棱BC上存在點E，使得CE=1-f,求平面應(yīng)4。1與平面4。道的夾角的正弦值.

【變式6-1]4.(2022?湖北武漢?校聯(lián)考模擬預測)如圖所示,在三棱臺ABC-4當前中,

出，分別為瓦的中點.

BC1BB1,AB1BBr,AB=BC=BBr=24D,EC),4

(2)型ABC=120°,求平面4/C和平面4/iC所成銳二面角的余弦值.

【變式6-1]5.(2021?全國?校聯(lián)考模擬預測)在棱臺ABC。-a/iGDi中，側(cè)面44氏41

底面,四邊形與四邊形都是正方形，且=由當=

4BCD4BCD/B42,=BB1=

yJ17.

(1)過點兒作平面a，使得平面a〃平面GCDDi,確定平面a與直線BC的交點M的位置，

并說明理由；

(2)若點0為棱力B的中點，求平面4OC與平面DCG,所成銳二面角的余弦值.

題型7線面角與動點問題

【例題7](2023?全國?高二專題練習)如圖，在四棱臺2BCD-4/iGDi中，底面4BCD是

菱形，梯形底面.設(shè)。為。的

/.BAD=j,14BCD,CD=CQ=DD1=3,CR=1C

中占

I八、、?

（2）DDI上是否存在一點M，使得4M與平面BDD/i所成角余弦為（,請說明理由.

【變式7-1]1.（2023春?全國?高一專題練習）如圖，在三棱臺ABC-&B1G中，4祖與

、都垂直，已知

&C/C]48=3,ArA=AC=5.

（1）求證：平面//C1平面ABC；

⑵直線與底面力BC所成的角的大小。為多少時，二面角4-AC-B的余弦值為答?

14

⑶在（2）的條件下，求點C到平面為48%的距離.

【變式7-1]2.（2022秋?遼寧沈陽?高二沈陽市第十中學?？茧A段練習）如圖，在四棱臺

力中,底面為矩形，平面必。平面。,且

BCD4411CC/iCG=CD=DD1=

1

5c也=L

(1)證明：AD1平面CCiA。；

(2)若&C與平面CC/i。所成角為T,求點。到平面4&C的距離.

【變式7-1]3.(2023?全國?高三專題練習)四棱臺被過點。的平面截去一部分后得

到如圖所示的幾何體，其下底面四邊形A8C。是邊長為2的菱形/BAD=60°,BB1，平面

ABCD,BB]=2.

⑴求證：平面ABiC_L平面BBi。；

(2)若與底面48CD所成角的正切值為2,求二面角4-BD-G的余弦值.

【變式7-1]4.(2023?全國?高三專題練習)如圖，已知四棱臺2BCD-a/iG4的上、下

底面分別是邊長為2和4的正方形，&4=4,且1底面A8CD，點P,Q分別在棱。必、

(1)若P是。劣的中點，證明：4%1PQ；

(2)若PQ〃平面ABB14,二面角P-QD—4的余弦值為],求四面體ADPQ的體積.

題型8二面角與動點問題

【例題8](2023?廣東惠州統(tǒng)考一模)如圖，在四棱臺2BCD—&&。也中，底面4BCD是

菱形，AA±=&Bi=1,2B=2,4ABe=60°,，平面ABC。.

Bk--------------

(1)若點M是4。的中點，求證：CW||平面A4//；

(2)棱BC上是否存在一點E，使得二面角E-。的余弦值為：?若存在，求線段CE的長；

若不存在，請說明理由.

【變式8-1]1.(2023?全國模擬預測)如圖，在三棱臺ABC-DEF中，平面DEBA,平

面ABC,平面DFCA,平面ABC,AB:BE:DE=4:5:1.

(1)求證：AD^BC;

⑵若AABC是等邊三角形，試問：棱BE上是否存在一點H，使得二面角H-AC-B的平

面角為gD?若存在tlD，求出器的值；若不存在，請說明理由.

【變式8-1]2.(2022?全國?高三專題練習)如圖，在四棱臺力BCD-4當心必中，底面四

邊形力是矢巨形,平面。平面。,平面，平

BCDAB=2BC=2A1B1=2,A11fMJ_ABCAiBiBA

面4BCD.

4A

⑴求證：AA11平面ABCD；

(2)若二面角力-BBi—。的大小為7,求四棱臺4BCD-的高.

O

【變式8-1]3.(2022秋?湖南郴州?高二湖南省資興市立中學?？计谀?如圖，在四棱臺

ABCD-中,底面ABCD是正方形,DDr_L平面ABCD,A1B1=DDr=AAB,Ae

⑵若二面角B-ADr-。的大小為30°,求4的值

【變式8-1]4.(2023秋?黑龍江綏化?高二?？奸_學考試)在四棱臺ABCD-&B1G/中，

AA1，平面ABCD,AB"CD,AACD=90°,BC=y[2,AC=y/6,CD=1,AM1CCX,垂足

為M.

(1)證明：平面28MJ_平面CDDLG；

(2)若二面角B-AM-。正弦值為手，求直線力C與平面CDAG所成角的余弦.

題型9體積與動點問題

【例題9】（2023?全國?高二專題練習）如圖，在四棱臺4BCD-4B1G4中,AB〃CD，DA=

DC=2,AB=CR=1,/.ADC=120°,皿￡M=ABrBA=90°.

（1）證明：平面AGCD1平面ABC。；

⑵若四棱臺4BCD-的體積為學,求直線叫與平面48心所成角的正弦值.

4

【變式9-1]1.（2023?全國?高三專題練習）如圖，在三棱臺ABC-DEF中，AC=4,8C=

2,EF=1,DE=V5,AD=BE=CF.

（1）求證：平面4BEDJ_平面ABC；

⑵若四面體BCDF的體積為2,求二面角E-BD-尸的余弦值.