高數(shù)一下試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題5分，共30分）

1.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x，則f'(x)=_______。

A.3x^2-3

B.3x^2+3

C.3x^2

D.3x

2.下列函數(shù)中，可導(dǎo)函數(shù)是_______。

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=√x

D.f(x)=e^x

3.若函數(shù)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則f(x)在x=a處_______。

A.必有極值

B.必有拐點(diǎn)

C.必有切線

D.必有極值和拐點(diǎn)

4.若函數(shù)f(x)在x=a處連續(xù)，則f(x)在x=a處_______。

A.必有極值

B.必有拐點(diǎn)

C.必有切線

D.必有極值和拐點(diǎn)

5.設(shè)函數(shù)f(x)=x^2，則f''(x)=_______。

A.2

B.2x

C.2x^2

D.2x^3

二、填空題（每題5分，共20分）

6.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x，則f'(1)=_______。

7.若函數(shù)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則f(x)在x=a處的導(dǎo)數(shù)為f'(a)=_______。

8.若函數(shù)f(x)在x=a處連續(xù)，則f(x)在x=a處的極限為f(a)=_______。

9.設(shè)函數(shù)f(x)=e^x，則f'(x)=_______。

10.若函數(shù)f(x)=ln(x)，則f''(x)=_______。

三、計(jì)算題（每題10分，共30分）

11.求函數(shù)f(x)=x^3-3x在x=2處的導(dǎo)數(shù)。

12.求函數(shù)f(x)=x^2-4x+3的極值。

13.求函數(shù)f(x)=e^x-x的拐點(diǎn)。

四、證明題（每題10分，共20分）

14.證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f'(x)≠0，則f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)。

15.證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f''(x)>0，則f(x)在區(qū)間[a,b]上為凹函數(shù)。

五、應(yīng)用題（每題10分，共20分）

16.一物體從靜止開始沿直線運(yùn)動(dòng)，其加速度a(t)=2t^2，求物體在t=2秒時(shí)的速度。

17.某商品的需求函數(shù)為Q=100-2P，其中P為價(jià)格，求該商品的需求彈性。

六、綜合題（每題10分，共20分）

18.已知函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+9x，求f(x)的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)。

19.某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其成本函數(shù)為C(x)=2x^2+4x+1，其中x為生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量。求該工廠生產(chǎn)100個(gè)產(chǎn)品時(shí)的平均成本和邊際成本。

試卷答案如下：

一、選擇題（每題5分，共30分）

1.A.3x^2-3

解析思路：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，對函數(shù)f(x)=x^3-3x求導(dǎo)，得到f'(x)=3x^2-3。

2.B.x^2

解析思路：函數(shù)f(x)=x^2在定義域內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)f'(x)=2x。

3.C.必有切線

解析思路：函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)，則在該點(diǎn)必存在切線。

4.D.必有極值和拐點(diǎn)

解析思路：函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)，則在該點(diǎn)必存在極限。

5.A.2

解析思路：對函數(shù)f(x)=e^x求導(dǎo)，得到f'(x)=e^x，因此f''(x)=e^x，當(dāng)x=0時(shí)，f''(x)=1。

二、填空題（每題5分，共20分）

6.3

解析思路：對函數(shù)f(x)=x^3-3x求導(dǎo)，得到f'(x)=3x^2-3，將x=1代入得到f'(1)=3。

7.f'(a)

解析思路：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)，則在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為f'(a)。

8.f(a)

解析思路：根據(jù)極限的定義，函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)，則在該點(diǎn)的極限為f(a)。

9.e^x

解析思路：對函數(shù)f(x)=e^x求導(dǎo)，得到f'(x)=e^x。

10.1/x^2

解析思路：對函數(shù)f(x)=ln(x)求導(dǎo)，得到f'(x)=1/x，再對f'(x)求導(dǎo)，得到f''(x)=-1/x^2。

三、計(jì)算題（每題10分，共30分）

11.3

解析思路：對函數(shù)f(x)=x^3-3x求導(dǎo)，得到f'(x)=3x^2-3，將x=2代入得到f'(2)=3。

12.極大值：5，極小值：-1

解析思路：對函數(shù)f(x)=x^2-4x+3求導(dǎo)，得到f'(x)=2x-4，令f'(x)=0，解得x=2，將x=2代入f(x)得到極大值5；將x=2代入f'(x)得到f''(x)=2，因?yàn)閒''(x)>0，所以x=2是極小值點(diǎn)，極小值為f(2)=-1。

13.拐點(diǎn)：(1,-2)

解析思路：對函數(shù)f(x)=e^x-x求導(dǎo)，得到f'(x)=e^x-1，令f'(x)=0，解得x=0，將x=0代入f(x)得到拐點(diǎn)(0,1)；再對f'(x)求導(dǎo)，得到f''(x)=e^x，因?yàn)閒''(x)>0，所以x=0是拐點(diǎn)，拐點(diǎn)為(0,1)。

四、證明題（每題10分，共20分）

14.（略）

15.（略）

五、應(yīng)用題（每題10分，共20分）

16.8

解析思路：根據(jù)加速度與速度的關(guān)系，a(t)=dv/dt，對a(t)=2t^2積分得到v(t)=t^3+C，因?yàn)槲矬w從靜止開始運(yùn)動(dòng)，所以C=0，當(dāng)t=2時(shí)，v(2)=8。

17.需求彈性：-1

解析思路：需求彈性E=(dQ/dP)*(P/Q)，對需求函數(shù)Q=100-2P求導(dǎo)得到dQ/dP=-2，代入E得到E=-1。

六、綜合題（每題10分，共20分）

18.極大值點(diǎn)：(2,5)，拐點(diǎn)：(1,-2)

解析思路：對函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+9x求導(dǎo)，得到f'(x)=3x^2-12x+9，令f'(x)=0，解得x=1和x=3，將這兩個(gè)點(diǎn)代入f(x)得到極大值點(diǎn)(2,5)；再對f'(x)求導(dǎo)，得到f''(x)=6x-12，令f''(x)=0，解得x=2，將x=2代入f(x)得到拐點(diǎn)(1,-2)。

19.平均成本：2.5，邊際成本：5

解析思路：平均成本AC=C(x)/x，邊