§2.1函數(shù)及其表示第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ基礎(chǔ)知識

自主學(xué)習(xí)課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)

函數(shù)映射兩個集合A，B設(shè)A，B是兩個________設(shè)A，B是兩個非空_____對應(yīng)關(guān)系f：A→B如果按照某個對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的

一個數(shù)x，在集合B中都存在

的數(shù)f(x)和它對應(yīng)如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的__

元素x，在集合B中都有

的元素y與之對應(yīng)1.函數(shù)與映射知識梳理非空數(shù)集每任何集合一個唯一確定唯一名稱稱

為從集合A到集合B的一個函數(shù)稱f：A→B為從集合A到集合B的一個映射函數(shù)記法函數(shù)y＝f(x)，x∈A映射：f：A→Bf：A→B2.函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數(shù)的

；與x的值相對應(yīng)的y值叫作

，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫作函數(shù)的

.(2)函數(shù)的三要素：

、

和

.(3)函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有

、

和

.定義域函數(shù)值值域定義域?qū)?yīng)關(guān)系值域解析法圖像法列表法3.分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因

不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的

，其值域等于各段函數(shù)的值域的

，分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù).對應(yīng)關(guān)系并集并集簡單函數(shù)定義域的類型(1)f(x)為分式型函數(shù)時，定義域為使分母不為零的實數(shù)集合；(2)f(x)為偶次根式型函數(shù)時，定義域為使被開方式非負的實數(shù)的集合；(3)f(x)為對數(shù)式時，函數(shù)的定義域是真數(shù)為正數(shù)、底數(shù)為正且不為1的實數(shù)集合；(4)若f(x)＝x0，則定義域為{x|x≠0}；(5)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于0且不等于1；【知識拓展】題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)對于函數(shù)f：A→B，其值域就是集合B.(

)(2)若兩個函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個函數(shù)相等.(

)(3)函數(shù)f(x)的圖像與直線x＝1最多有一個交點.(

)(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其對應(yīng)是從A到B的映射.(

)(5)分段函數(shù)是由兩個或幾個函數(shù)組成的.(

)基礎(chǔ)自測××√××123456題組二教材改編2.函數(shù)f(x)＝

＋log2(6－x)的定義域是________.3.函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖所示，那么，f(x)的定義域是______________；值域是_____；其中只有唯一的x值與之對應(yīng)的y值的范圍是___________.123456答案[－3,6)[－3,0]∪[2,3][1,5][1,2)∪(4,5]解析當(dāng)a≥0時，2a－2＝2，解得a＝2；當(dāng)a<0時，－a2＋3＝2，解得a＝－1.綜上，a的值為－1或2.故選B.解析123456答案題組三易錯自糾4.(2017·湖南湘潭一中、長沙一中等六校聯(lián)考)已知f(x)＝若f(a)＝2，則a的值為

A.2 B.－1或2C.±1或2 D.1或2答案√1234565.已知函數(shù)f(x)＝x|x|，若f(x0)＝4，則x0的值為___.解析當(dāng)x≥0時，f(x)＝x2，f(x0)＝4，即

＝4，解得x0＝2.當(dāng)x<0時，f(x)＝－x2，f(x0)＝4，即

＝4，無解，所以x0＝2.解析答案26.已知函數(shù)f(x)＝ax3－2x的圖像過點(－1,4)，則a＝____.解析123456－2答案解析由題意知點(－1,4)在函數(shù)f(x)＝ax3－2x的圖像上，所以4＝－a＋2，則a＝－2.題型分類深度剖析1.若函數(shù)y＝f(x)的定義域為M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2}，則函數(shù)y＝f(x)的圖像可能是

題型一函數(shù)的概念自主演練答案√解析解析A中函數(shù)的定義域不是[－2,2]，C中圖像不表示函數(shù)，D中函數(shù)值域不是[0,2]，故選B.2.有以下判斷：答案②f(x)＝x2－2x＋1與g(t)＝t2－2t＋1是同一函數(shù)；其中正確判斷的序號是________.②解析對于②，f(x)與g(t)的定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函數(shù)，故②正確；綜上可知，正確的判斷是②.函數(shù)的值域可由定義域和對應(yīng)關(guān)系唯一確定；判斷兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系是否相同，只要看對于函數(shù)定義域中的任意一個相同的自變量的值，按照這兩個對應(yīng)關(guān)系算出的函數(shù)值是否相同.思維升華命題點1求函數(shù)的定義域解析答案題型二函數(shù)的定義域問題多維探究A.(－∞，－4]∪[2，＋∞) B.(－4,0)∪(0,1)C.[－4,0)∪(0,1) D.[－4,0)∪(0,1]√故函數(shù)f(x)的定義域為[－4,0)∪(0,1)，故選C.(2)若函數(shù)y＝f(x)的定義域是[0,2018]，則函數(shù)g(x)＝

的定義域是

A.[－1,2017] B.[－1,1)∪(1,2017]C.[0,2018]

D.[－1,1)∪(1,2018]解析使函數(shù)f(x＋1)有意義，則0≤x＋1≤2018，解得－1≤x≤2017，故函數(shù)f(x＋1)的定義域為[－1，2017].所以函數(shù)g(x)有意義的條件是

解得－1≤x＜1或1＜x≤2017.故函數(shù)g(x)的定義域為[－1,1)∪(1,2017].解析答案√本例(2)中，若將“函數(shù)y＝f(x)的定義域為[0,2018]”，改為“函數(shù)f(x－1)的定義域為[0,2018]，”則函數(shù)g(x)＝

的定義域為________________.引申探究解析由函數(shù)f(x－1)的定義域為[0,2018].得函數(shù)y＝f(x)的定義域為[－1,2017]，則－2≤x≤2016且x≠1.所以函數(shù)g(x)的定義域為[－2,1)∪(1,2016].[－2,1)∪(1,2016]解析答案命題點2已知函數(shù)的定義域求參數(shù)范圍解析答案√解析要使函數(shù)的定義域為R，則mx2＋4mx＋3≠0恒成立，①當(dāng)m＝0時，顯然滿足條件；②當(dāng)m≠0時，由Δ＝(4m)2－4m×3＜0，(2)若函數(shù)f(x)＝

的定義域為{x|1≤x≤2}，則a＋b的值為___.解析函數(shù)f(x)的定義域是不等式ax2＋abx＋b≥0的解集.不等式ax2＋abx＋b≥0的解集為{x|1≤x≤2}，解析答案(1)求給定函數(shù)的定義域往往轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題，可借助于數(shù)軸，注意端點值的取舍.(2)求抽象函數(shù)的定義域：①若y＝f(x)的定義域為(a，b)，則解不等式a<g(x)<b即可求出y＝f(g(x))的定義域；②若y＝f(g(x))的定義域為(a，b)，則求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定義域.(3)已知函數(shù)定義域求參數(shù)范圍，可將問題轉(zhuǎn)化成含參數(shù)的不等式，然后求解.思維升華跟蹤訓(xùn)練

(1)(2017·江西九江七校聯(lián)考)函數(shù)y＝

的定義域是

A.(－1,3) B.(－1,3]C.(－1,0)∪(0,3) D.(－1,0)∪(0,3]解析答案∴函數(shù)的定義域為(－1,0)∪(0,3].√解析答案√解析由ax2－4ax＋2>0恒成立，解析[－1,2]答案∴y＝f(x)的定義域為[－1,2].1.已知

＝x2＋x－2，則f(x)＝____________________.題型三求函數(shù)解析式自主演練解析x2－2(x≥2或x≤－2)答案∴f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2).2.已知f(x)是二次函數(shù)且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，則f(x)＝__________.解析答案解析設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，解析答案函數(shù)解析式的求法(1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型，可用待定系數(shù)法；(2)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍；(3)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(4)消去法：已知f(x)與

或f(－x)之間的關(guān)系式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x).思維升華題型四分段函數(shù)多維探究解析命題點1求分段函數(shù)的函數(shù)值答案√解析命題點2分段函數(shù)與方程、不等式問題答案典例

(1)(2018屆東莞外國語學(xué)校月考)已知函數(shù)f(x)＝

且f(a)＝－3，則f(6－a)等于

√若a≤1，則2a－1－2＝－3，即有2a－1＝－1<0，方程無解；若a>1，則－log2(a＋1)＝－3，解得a＝7，解析(2)(2017·廣東汕頭、河北石家莊二中聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)＝

g(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時，g(x)＝x2－2x－5，若f(g(a))≤2，則實數(shù)a的取值范圍是

A.(－∞，－1]∪[0,2－1]B.[－1,2－1]C.(－∞，－1]∪(0,3]D.[－1,3]答案√解析∵g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴g(0)＝0，若x>0，則－x<0，g(－x)＝x2＋2x－5，∵g(－x)＝－g(x)，∴g(x)＝－x2－2x＋5，x>0，由題意，知f(－2)＝2，∴f(g(a))≤2即為f(g(a))≤f(－2).(1)分段函數(shù)的求值問題的解題思路①求函數(shù)值：當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.②求自變量的值：先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗.(2)分段函數(shù)與方程、不等式問題的求解思路依據(jù)不同范圍的不同段分類討論求解，最后將討論結(jié)果并起來.思維升華解析答案典例

(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝

則滿足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范圍是

解析分類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用思想方法思想方法指導(dǎo)答案√思想方法指導(dǎo)

(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，首先要確定自變量的范圍，通過分類討論求解；(2)當(dāng)給出函數(shù)值或函數(shù)值的取值范圍求自變量的值或自變量的取值范圍時，應(yīng)根據(jù)每一段解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值或取值范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的值或取值范圍.解析(1)令f(a)＝t，則f(t)＝2t，當(dāng)t<1時，3t－1＝2t，令g(t)＝3t－1－2t，得g′(t)>0，∴g(t)<g(1)＝0，∴3t－1＝2t無解.當(dāng)t≥1時，2t＝2t成立，由f(a)≥1可知，當(dāng)a≥1時，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.課時作業(yè)1.下列圖像可以表示以M＝{x|0≤x≤1}為定義域，以N＝{y|0≤y≤1}為值域的函數(shù)的是

基礎(chǔ)保分練12345678910111213141516解析A選項中的值域不對，B選項中的定義域錯誤，D選項不是函數(shù)的圖像，由函數(shù)的定義可知選項C正確.解析答案√2.(2018·鄭州調(diào)研)函數(shù)f(x)＝ln

＋

的定義域為

A.(0，＋∞) B.(1，＋∞)C.(0,1) D.(0,1)∪(1，＋∞)解析答案√123456789101112131415163.下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是

A.f(x)＝elnx，g(x)＝x答案12345678910111213141516√解析A，B，C的定義域不同，所以答案為D.解析A.－2 B.－3 C.9 D.－9解析答案12345678910111213141516√A.(x＋1)2(x≠1) B.(x－1)2(x≠1)C.x2－x＋1(x≠1) D.x2＋x＋1(x≠1)解析答案12345678910111213141516√6.如圖，△AOD是一直角邊長為1的等腰直角三角形，平面圖形OBD是四分之一圓的扇形，點P在線段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交弧DB于點Q，設(shè)AP＝x(0<x<2)，圖中陰影部分表示的平面圖形APQ(或APQD)的面積為y，則函數(shù)y＝f(x)的大致圖像是

解析答案12345678910111213141516√解析觀察可知陰影部分的面積y的變化情況為：(1)當(dāng)0<x≤1時，y隨x的增大而增大，而且增加的速度越來越快.(2)當(dāng)1<x<2時，y隨x的增大而增大，而且增加的速度越來越慢.分析四個答案中的圖像，只有選項A符合條件，故選A.12345678910111213141516A.2

B.4 C.6 D.8解析由當(dāng)x≥1時f(x)＝2(x－1)是增函數(shù)可知，若a≥1，則f(a)≠f(a＋1)，解析答案√12345678910111213141516答案12345678910111213141516解析√解析要使函數(shù)f(x)的值域為R，12345678910111213141516解析令

＋1＝t，則x＝(t－1)2(t≥1)，代入原式得f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，所以f(x)＝x2－1(x≥1).解析答案12345678910111213141516x2－1(x≥1)10.已知函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，則函數(shù)g(x)＝

f(x)的定義域是______.解析要使函數(shù)有意義，需f(x)>0，由f(x)的圖像可知，當(dāng)x∈(2,8]時，f(x)>0.解析12345678910111213141516(2,8]答案11.設(shè)函數(shù)f(x)＝

則使得f(x)≤2成立的x的取值范圍是_________.解析

當(dāng)x<1時，由ex－1≤2，得x≤1＋ln2，∴x<1；當(dāng)x≥1時，由

≤2，得x≤8，∴1≤x≤8.綜上，符合題意的x的取值范圍是x≤8.解析(－∞，8]答案1234567891011121314151612.已知函數(shù)f(x)＝

則f(f(－3))＝___，f(x)的最小值是________.解析∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg10＝1，∴f(f(－3))＝f(1)＝0