北京市平谷區(qū)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末考試

數(shù)學(xué)

2025年1月

一、選擇題(本題共16分，每小題2分)

下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題意的.

1.在中，NC=90°,AC=4,AB=5,則sinA的值是

443

A.B.C.D.

3545

2.如圖，直線/l〃/2〃/3，直線4,/5被直線/1、b、，3所截，截得的線段分別

為AB,BC,DE,EF,若AB=4,BC=6,DE=3,則EF的長(zhǎng)是

992

(A)—(B)—(C)—(D)4

243

3.在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y=2X2先向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下

平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后所得到的拋物線的表達(dá)式為

A.y-2(X-3)2+4B.y-2(x-3)2-4

C.J=2(X+3)2+4D.y=2(x+3)2-4

4.如圖，點(diǎn)A、B、C為。。上三點(diǎn)，ZACB=30°,A8=3,弧AB的長(zhǎng)是

371c

A.B.-7iC.—D.27r

42

5.如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)E是CD邊上一點(diǎn)，CE=2,以CE為一邊

作正方形CEMN,連接AM交CD于點(diǎn)H,則DH的長(zhǎng)為

42

A.-B.1C.3D.-

33

6.點(diǎn)A(1,yi),B(3,>2)是反比例函數(shù)y=-色圖象上的兩點(diǎn)，那么巾，”的大

x

小關(guān)系是()

A.yi>y2B.yi—yiC.yi<y2D.不能確定

7.加工爆米花時(shí)，爆開(kāi)且不糊的粒數(shù)的百分比稱(chēng)為“可食用率”.在一定條件下,

可食用率P與加工時(shí)間t(分鐘)滿(mǎn)足的函數(shù)關(guān)系式為：

0=。產(chǎn)+初+。(a，0),如圖記錄了三次相同條件下實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函

數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時(shí)間為

A.3.5分鐘B.3.75分鐘

C.4分鐘D.4.25分鐘

8.如圖，等邊AABC中，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合），連接AD,以AD為邊作等邊4AED.給

出如下三個(gè)結(jié)論：，

①BE=DC;②△DBES/\ADC；（3）-<S^ADE<1

4S-ABC

上述結(jié)論一定正確的是

（A）①（B）①③/

（C）②③（D）①②③SV

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

L3D

9.函數(shù)y=，2x—4的自變量尤的取值范圍是_____.

K

...m2m2m

10.右=,則=____.

n3m+n

n.如圖，身高1.6米的小林從一盞路燈下5處向前走了8米到達(dá)點(diǎn)。處時(shí),發(fā)現(xiàn)'、、、n

自己在地面上的影子CE長(zhǎng)2米，則路燈的高AB為_(kāi)____米.

12.如圖，在。0中，AB是。。的直徑，C,D,E是。。上的點(diǎn),如果NA0C+B

ZE0D=180°,0D=5,DE=6,那么AC的長(zhǎng)為_(kāi)________________.

13.若拋物線y=kx2+2x-l的頂點(diǎn)在%軸上，則k的值為_(kāi)____.

14.如圖，點(diǎn)A、2在雙曲線5上，過(guò)點(diǎn)A作ACLx軸于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)B作BDLy軸于點(diǎn)D,連接

OA、OB,設(shè)AOBD的面積為Si.設(shè)AOAC的面積為S2,則Si__S2（填“>,<,或="）.

15.中國(guó)古代建筑中的斜脊結(jié)構(gòu)，既有利于排水，又有利于保溫，是古代工匠智慧的體現(xiàn).如圖，房屋的屋

頂截面結(jié)構(gòu)為等腰三角形，若斜脊AB的坡度i為1：2,房子側(cè)寬BC為12米，則斜脊AB的長(zhǎng)為米.

16.周末，明明要去科技館參觀，該科技館共有A、B、C、D、E、F六個(gè)展館，各展館參觀所需要的時(shí)間如

下表，其中展館B和展館E設(shè)有特定時(shí)間段的專(zhuān)業(yè)講解，若明明準(zhǔn)備9：00進(jìn)科技館，12：00離開(kāi)（各展

館之間轉(zhuǎn)換時(shí)間忽略不計(jì)）.

（1）若不考慮專(zhuān)業(yè)講解的情況下，明明最多可以參觀完一個(gè)展館；

（2）若B、E展館必須參觀且正好趕上專(zhuān)業(yè)講解，本著不浪費(fèi)時(shí)間的原則，請(qǐng)給出最合理的參觀順序

展館ABCDEF

專(zhuān)業(yè)講解無(wú)9：30-11：00每半小時(shí)一無(wú)無(wú)10：00-12：00每1小時(shí)一無(wú)

場(chǎng)，共3場(chǎng)場(chǎng)，共2場(chǎng)

參觀所需時(shí)間（分603045156090

鐘）

三、解答題（本題共68分，第17、18、19、20、21、22題，每小題5分；第23、24、25、26題，每小題

6分；第27、28題，每小題7分）解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.

17.計(jì)算：2sin45°+[g]

18.如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，于點(diǎn)E,點(diǎn)E恰為AO中點(diǎn)，CFLA8于點(diǎn)F當(dāng)

BF=2,AD=6時(shí)，求AB的長(zhǎng).

19.已知：如圖，△ABC中，AB=AC,AB>BC.

求作：線段8。，使得點(diǎn)。在線段4c上，且

2

作法：①以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓；

②以點(diǎn)C為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交。A于點(diǎn)尸

（不與點(diǎn)B重合）;

③連接8尸交AC于點(diǎn)D

線段8。就是所求作的線段.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）;

（2）完成下面的證明.

證明：連接尸C.

'：AB=AC,

...點(diǎn)C在。A上.

:點(diǎn)P在。A上，

：.ZCPB=-ZBAC（）（填推理的依據(jù)）.

2

,:BC=PC,

：.ZCBD=.

，ZCBD=-ABAC.

2

20.已知二次函數(shù)幾組x與y的對(duì)應(yīng)值如下表:

???…

X-i01234

…

y???830-10m

（1）直接寫(xiě)出m的值，m=

（2）求此二次函數(shù)的表達(dá)式.

21.唐代李皋發(fā)明了“槳輪船”，這種船是原始形態(tài)的輪船，是近代航行模式之先導(dǎo).如圖，某槳輪船的輪子

被水面截得的弦過(guò)O作半徑OCL弦AB于點(diǎn)D,若輪子的半徑為5米，弦長(zhǎng)為8米，依題意補(bǔ)全

圖形，并求輪子的吃水深度CC為多少米.

22.湖光塔坐落在平谷區(qū)金海湖中心島的山頂，七層八角形樓閣式建筑掛滿(mǎn)風(fēng)鈴，微風(fēng)吹過(guò)，玲聲悠揚(yáng)，是

金海湖景區(qū)的主要景觀之一.某校組織九年級(jí)學(xué)生到金海湖景區(qū)參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，數(shù)學(xué)小組的同學(xué)最初的

目標(biāo)是測(cè)量湖光塔的高度，但是他們通過(guò)網(wǎng)絡(luò)搜索發(fā)現(xiàn)，網(wǎng)上可以查到湖光塔的塔高為30米，所以他們

把任務(wù)確定為測(cè)量湖光塔所在的中心島小山的高度，數(shù)學(xué)小組設(shè)計(jì)的方案如圖所示，他們?cè)邳c(diǎn)C處用測(cè)角

儀測(cè)得塔頂A的仰角為45。，此時(shí)，由于樹(shù)木的遮擋，看不清塔底，他們延水平方向向后走64米在點(diǎn)。處

用測(cè)角儀測(cè)得塔底B的仰角為26.50.請(qǐng)根據(jù)他們網(wǎng)上查到的數(shù)據(jù)和測(cè)量數(shù)據(jù)求中心島小山BE的高度約為

多少米.（參考數(shù)據(jù):sin26.5°?0.45;cos26.50°0.89;tan26.5080.50;)

23.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=g：+l(kwO)與雙曲線y=9(x>0)的交點(diǎn)是A(a,3).

x

(1)求a和女的值;

(2)當(dāng)x>3時(shí)，對(duì)于x的每個(gè)值，函數(shù)y=既大于函數(shù)y=9(x>0)的值，又小于函數(shù)

x

y="+l的值，直接寫(xiě)出m的取值范圍.

24.如圖，已知△ABC中，AB=BC,點(diǎn)D是BC邊上一

點(diǎn)，連接AD,以AD為直徑畫(huà)。O,與AB邊交于點(diǎn)

E,與AC邊交于點(diǎn)F,EF=AF,連接DE.

(1)求證：BC是。O的切線；

3

(2)若，C=10,cosZAFE=-i求的長(zhǎng).

25.某客運(yùn)站為了了解早高峰時(shí)間段運(yùn)營(yíng)情況，有效的緩

解該時(shí)段乘客的等待時(shí)間，對(duì)早上6:00-8:00時(shí)間段內(nèi)，客運(yùn)站累計(jì)候車(chē)人數(shù)和累計(jì)承載人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，為

了便于記錄，將早上6:00開(kāi)始每10分鐘記作一個(gè)單位時(shí)間，記為時(shí)間x(0WxW12),累計(jì)候車(chē)人數(shù)記為

yi,累計(jì)承載人數(shù)記為yz.

下面是他們的調(diào)查過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：

(1)他們調(diào)取了客運(yùn)站該時(shí)段內(nèi)累計(jì)候車(chē)人數(shù)yi與累計(jì)承載人數(shù)y2隨x的變化而變化的有關(guān)數(shù)據(jù)：

時(shí)間段0123456789101112

累計(jì)候車(chē)人數(shù)yi(萬(wàn)人)0.51.11.62.22.93.64.25.15.76.06.36.56.6

累計(jì)承載人數(shù)丫2(萬(wàn)人)0.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.5m6.5

(1)補(bǔ)全表格，m的值為；

(2)通過(guò)分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫(huà)yi與x.y2與x的關(guān)系，在給出的平面直角坐標(biāo)系中，補(bǔ)全表中

各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，畫(huà)出這兩個(gè)函數(shù)的圖象;

(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù)與函數(shù)圖象，解決下列問(wèn)題：

①大約一點(diǎn)一分時(shí)，客運(yùn)站滯留人數(shù)最多；

②客運(yùn)站將在滯留乘客人數(shù)達(dá)到0.5萬(wàn)人及以上的時(shí)間段增派車(chē)次緩解供需壓力，公司約在一點(diǎn)—分

至一點(diǎn)—分時(shí)間段增派車(chē)次更合理.

26.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)y=X?_2w?x+加2一4.

(1)當(dāng)m=l時(shí)，求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)將拋物線在x軸上方的部分沿x軸翻折，其余部分保持不變，得到的新函數(shù)記為G,若點(diǎn)A(xi，

yi),B(X2，＞2)是函數(shù)G圖象上的兩點(diǎn)，若對(duì)于任意的-2a1＜-1,X2=-l,都有“＜乃,求m的取值范圍.

27.Rt^ABC中，ZACB=90°NB=a,點(diǎn)D是AB邊中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重

合)，連接DE,將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a,得到線段DF,連接EF、AF.

(1)如圖1,若a=30°,點(diǎn)F剛好落在BC邊上，BE=1,則AF=，AC=；

(2)判斷AF、BE和BC的數(shù)量關(guān)系，從圖2、圖3中任選一種情況進(jìn)行證明.

28.我們給出如下定義：在平面內(nèi)，已知點(diǎn)M和圖形G,點(diǎn)M到圖形G上所有點(diǎn)的距離的最小值稱(chēng)作點(diǎn)

M到圖形G的距離.

(1)平面直角坐標(biāo)系下，已知點(diǎn)P(0,3),以O(shè)為圓心，1為半徑畫(huà)圓，則點(diǎn)P到。。的距離為;

(2)平面直角坐標(biāo)系下，已知點(diǎn)P(0,3),在平面內(nèi)有一個(gè)矩形ABC。，A(-2,1),B(2,1),D(-2,-1).

①當(dāng)矩形繞著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)尸到矩形的距離d的取值范圍為.

②若M為矩形ABCD上一點(diǎn)，連接OM,以0M為直徑畫(huà)圓，記作圓G,則點(diǎn)P到圓G的距離d的取值

范圍為.

參考答案

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）

題號(hào)12345678

答案DADACCBB

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

題號(hào)910111213141516

答案x>2488—1=3A/54;F-B-E

J

三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分；第23-26題，每小題6分；第27、28題，每小題7

分）解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.

17.解：

=2X^+3+V2-1-3A/2...........................................................................................................4

=2-A/2..............................................................................................................................................5

18.解：???四邊形ABC。是平行四邊形

AZD=ZB,AD=BC,AB=DC..........................................................................................1

?.*CE±ADCF±AB

:.NCED=NCFB=90°..................................................................................................................2

???ACDE?ACBF

................3

CDDE

>>?-----=..........4

BCFB

u

：AD=BC=6fE是AD中點(diǎn)

??.DE=3

?CD_3

??.AB=CD=9................................

19.

...............................................................................................................................................................2

圓周角定理.........................................................4

ZCPB.............................................................5

20.解：

(1)3............................................................1

（2）由表中數(shù)據(jù)可知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,T）,

.2

.,?設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2>—l（awO）

..................................................................3

?.?拋物線過(guò)點(diǎn)（3,0）,

.,.a（3-2>-1=0

..................................................................4

解得a=l,

???拋物線的解析式為y=（x-2）2-l.

..................................................................5

法2：

（2）由表中數(shù)據(jù)可知拋物線與y軸交點(diǎn)為（0,3）,

**?設(shè)拋物線的解析式為y=ax?+bx+3（a工0）

..................................................................3

：拋物線過(guò)點(diǎn)（T,8）,（1,0）

.a—b+3=8

a+b+3=0

..................................................................4

解得a=l,b=-4.

拋物線的解析式為y=x?-4x+3.

..................................................................5

21.依題意補(bǔ)全圖形1

---------ee-------------

解：：半徑OC，弦AB于點(diǎn)D,AB=8

；.BD=4.......................................................................................................................................2

連接OB...............................................................................................................................................3

VOB=5

由勾股定理OD=3.............................................................................................................................4

.*.CD=5-3=2........................................................................................................................................5

；?吃水深度為2米.

22.解：

由題意，ZAED=90°,ZACE=45°,ZBDE=26.5°,AB=30,CD=64..........................1

設(shè)BE=x,則EC=x+30......................................................................................................................2

Vtan26.5°?0.50

x

土0.504

x+30+64

解得xa94.........................................................................................................................5

答：小山高度約為94米.

23.(1)；雙曲線y=9(x>0)過(guò)點(diǎn)A(a,3)

X

Aa=2............................................................................................................................................1

???直線y=+l過(guò)點(diǎn)A(2,3)

：.k=l............................................................................................................................................2

2

(2)-#m1..................................................................................................................................6

3

(一個(gè)界值1分，符號(hào)完全正確滿(mǎn)分)

24.(1)證明

TAD為。。的直徑，

AZAED=90°........................................................................................................1

VBA=BC

JNBAONBCA

VEF=AF

AZBAC=ZFEA......................................

JNBCA=NFEA

ZDEF=ZDAC

???ZDAC+ZBCA=ZDEA+ZAEF=90

AAD±BC

???BC為。。的切線....................................3

(2)?.?BC為。0的切線

.,.ZADE+ZBDE=90°

:.NB+NBDE=90°

???NB=NADE

3

*.*cosZAFE=—

5

3

cosZB=—

5

?BD_3

**AB-5

?BD_3

，9~L0~~5

ABD=6........................................................................................................................4

由勾股，AD=8

VBC=10

ADC=10-6=4.........................................................................................................5

由勾股

AC=4^/5........................................................................6

25.(1)61

(3)①7點(diǎn)20分.......................................4

②6點(diǎn)45分至7點(diǎn)45分

..............................................................................................................................6

26.解：

(1)當(dāng)m=l時(shí)，y=x2-2x-3

令y=o,得y=2兀-3

解得4=3,%2=T

???拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)(3,0)和(-1,0)

....................................................................................................................................................................................2

(2)由y=x2-2mx+m2-4=(x-m)2-4

I.拋物線的頂點(diǎn)為(m,-4),

拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=m.

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