微專題11導(dǎo)數(shù)解答題之極最值問題

［秒殺總結(jié)］

1、利證數(shù)求函數(shù)的極最值問題.解題方法是利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性關(guān)系確定單調(diào)區(qū)間，從而求得極

最值.只是對含有參數(shù)的極最值問題，需要對導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行二次討論，對導(dǎo)函數(shù)或其中部分函數(shù)再一次求

導(dǎo)，確定單調(diào)性，零點(diǎn)的存在性及唯一性等，由于零點(diǎn)的存在性與參數(shù)有關(guān)，因此對函數(shù)的極最值又需引

入新函數(shù)，對新函數(shù)再用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求值、證明等操作.

【典型例題】

例1.（2024?山東濟(jì)南?一模）己知函數(shù)〃x）=e2x+e'—or.

⑴當(dāng)"=3時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）討論/'（x）極值點(diǎn)的個數(shù).

【解析】（1）當(dāng)。=3時，〃x）=e2，+e'-3x定義域?yàn)镽,

又尸（x）=2e2*+e-3,

所以_f（x）=（2e工+3）（e工一1）,

由解得尤＞0,此時“X）單調(diào)遞增；

由_f（x）＜0,解得x＜0,此時/（x）單調(diào)遞減，

所以/'（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為（o,+8）,單調(diào)遞減區(qū)間為

（2）函數(shù)的定義域?yàn)镽,

由題意知，r（x）=2e2，+e，-。，

當(dāng)a40時，所以/⑺在R上單調(diào)遞增，

即/⑺極值點(diǎn)的個數(shù)為。個；

當(dāng)〃〉0時，易知1+8〃＞0,

故解關(guān)于r的方程2/+-=0得，土正量，/=二1七互電,

1424

所以尸（x）=2@F）（e，-2），

-r-t—1+J1+8a—1+1八-1-J1+81.

又右=---------->-----=0,t.=----------<0,

24414

所以當(dāng)xAlnr2時，f^x)>0,即/（同在（歷5+?））上單調(diào)遞增,

當(dāng)x＜如々時，r（x）＜。，即/（x）在（-°°,1必2）上單調(diào)遞減,

即“X）極值點(diǎn)的個數(shù)為1個.

綜上，當(dāng)aWO時，“X）極值點(diǎn)的個數(shù)為。個；當(dāng)4＞0時，“X）極值點(diǎn)的個數(shù)為1個.

例2.（2024?湖南邵陽?二模）設(shè)函數(shù)/（x）=7%（x+l）e',根＞0.

⑴求的極值；

⑵若對任意有by(x)W2e"恒成立，求加的最大值.

【解析】(1)f(.X)=m(x+2)ex,m>0.

令尸(x)>0,得x>—2,令/(x)<0,得x<-2.

故/(X)在(-8,-2)單調(diào)遞減，在(-2,+8)單調(diào)遞增.

二/⑺在x=-2處取得極小值f(-2)=~,無極大值.

(2)對V%￡(-l,+8)恒成立，即lnmW2e"—ln(x+l)—%對Vx￡(-l,+8)恒成立.

令g(%)=—In(x+1)-%￡(-1,十⑹,則只需Inm<g即可.

g，(x)—2e*------1,x￡(―1,+“).

易知y=2e[y=--^-1,均在(-1,+力)上單調(diào)遞增，

故g，(x)在(-1,+向上單調(diào)遞增且g'(O)=0.

.?.當(dāng)xe(-1,0)時，g'(x)<0,g(%)單調(diào)遞減;

當(dāng)尤e(0,+oo)時，g，(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

:遭⑺血!=g(°)=2.故In機(jī)<2=lne2,，0<〃zWe2，故加的最大值為e?.

例3.(2024?廣東深圳?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(尤)=空二其中aeR.

ex

(1)當(dāng)。=1時,求曲線在(o"(o))處的切線方程：

(2)求證：“X)的極大值恒為正數(shù).

_rr-..(4x—a)e，'—e'_u,x+cT)—+(ci+4)x—2a

【解AT1析】(1)xf(x)=----------------------=-----------------，

當(dāng)a=l時，f(x)=~2x'+5x~2,尸(0)=-2,

ex

又；f(0)=l,故曲線y=/(x)在(o,/(o))處的切線方程為2x+y-1=0；

/C、+(Q+4)%—2Q(—2x+Q)(X—2)

⑵.J(x)=----------------=--------------=。，

ee

解得知石=2,

若〃>4,當(dāng)xv2或時，/\x)<0,當(dāng)2<%<刊時，/\x)>0,

22

所以〃X)在(-8,2),遞減，［嗎］遞增，

故極大值為了>0

e-

若。=4,則/'(x)V0,

所以函數(shù)單調(diào)遞減，無極大值;

若a<4,當(dāng)或x>2時，/'(%)<0,當(dāng)1<x<2時，/'(x)>0,

所以小)在［-《J，(2,+s)遞減，g，2)遞增，

故極大值7(2)=/>0,

e

綜上，“X)的極大值恒為正數(shù).

例4.(2024?遼寧?一模)已知函數(shù)f(x)=21nx-2(a-l)x-ax2(tz>0).

(1)當(dāng)〃=1時，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(2J(x))處的切線/的方程；

(2)討論了⑺的極值.

2

【解析】(1)當(dāng)〃=1時,/(x)=21nx-x2,求導(dǎo)得/(x)=——2%,則八2)=-3,而/(2)=2比2-4,

x

所以/的方程為y~(21n2—4)=—3(%—2),即3x+y—21n2—2=0.

(2)函數(shù)的定義域?yàn)?0,+s),求導(dǎo)得廣(元)=1—2(“一1)—2依=—2汽+1)(?-1),

XX

而4>0,則當(dāng)xe(0,：)時，/")>。，當(dāng)xe(：+8)時，八龍)<0,

因此了⑺在(0,-)上單調(diào)遞增,在d,+w上單調(diào)遞減，

aa

所以當(dāng)尤=工時，/(X)取得極大值/'(1)=2111,+工一2,無極小值.

aaaa

例5.(2024.浙江金華.模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=(cosx-l)e：

⑴求函數(shù)〃x)在x=0處的切線方程；

(2)當(dāng)xe(O,?i)時，求函數(shù)的最小值.

【解析】⑴由/(x)=(cosx-l)eT,

"廣⑺=（Tinx）e~：osx-1）4-sinx-cosx+1

'RY

所以〃0)=0,r(o)=o,

函數(shù)/(x)在x=0處的切線方程y=0

,(._(-sinx)ex-(cosx-l)ex_-sinx-cosx+1

⑵gy=?

令y=-sinx-cosx+\=-在sin+：J+1,

當(dāng)0<無<二時，-<x+-<—,則一點(diǎn)4-0sin［x+0<-l,

2444I

所以y=—sinx—cosx+1=-^2sin、+￡j+l<0,所以/'(x)<0,

■rr

所以〃x)在。，5單調(diào)遞減；

當(dāng)5<x<?i時，—<%+—<—,貝ij-1<0sin［x+乙］W1,

2444V4)

止匕時y=-sinx-cosx+l=-0sin［x+：］+l>0,

所以在3n單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=］時，函數(shù)/'(X)取得最小值；

所以當(dāng)x?0㈤時，函數(shù)/(元)的最小值為f［T=-e^

例6.(2024?高三?浙江?階段練習(xí))已知函數(shù)/(尤)=ln尤-加，其中aeR.

(1)若曲線y=/(x)在x=l處的切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求。的值；

(2)是否存在實(shí)數(shù)。，使得了⑴在x?0,e］上的最大值是-3?若存在，求出。的值;若不存在，說明理由.

【解析】(1)f\x)=--a,貝!!/'(1)=1一°,/(1)=一。，

故曲線>=/(%)在％=1處的切線為>+〃=(>。)(九—1),

即y=(一)%—1,

當(dāng)a=l時，此時切線為y=-l,不符合要求

當(dāng)awl時，令x=0,有>=一1,

令y=。，有無=---,故----=-1,即a=2,故〃=2

l—a1—a

,?,,_〃/、11—cix

(2)j(x)=lnx-ax,「./(%)=---a=--------,

xx

①當(dāng)?！?時，/(%)在(0,e］上單調(diào)遞增，

4

.."(%)的最大值是/(e)=l—ae=-3,解得〃=—>0,舍去；

e

②當(dāng)。>0時，由/(%)=,一。=^—―=0,得1=」，

xxa

當(dāng)0<，<e,即時，時，/(%)>0;x￡(，,e1時，f(x)<0,

ae<a)\a)

???/。)的單調(diào)遞增區(qū)間是(o,：］,單調(diào)遞減區(qū)間是

2

又了(九)在(0,e］上的最大值為-3,/./(x)max=f=-1-Intz=-3,/.?=e；

11

當(dāng)eV—,即—時，/(%)在(0,e］上單調(diào)遞增，「./QOmax=/(e)=l—〃e=—3,

ae

41

解得〃=—〉—，舍去.

ee

綜上所述，存在。符合題意，此時〃=e2

例7.(2024?北京?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=a(x+：-

(1)求〃x)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；

⑵討論的單調(diào)區(qū)間；

⑶若對任意xe(l,+?O,都有〃x)Wln2-1,求。的最大值.(參考數(shù)據(jù)：In2ao.7)

【解析］(1)/(%)=+-Inx^,f'(x)=a"-'［—］=。+1)(:1)5x),又

/(l)=-p1(i)=o,

故"X)的圖象在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程為y=。，即y=

(2)/(x)=----八八-----,又x>0,x+l>0,

x

貝UaVO時，當(dāng)x?0,l),/(無)>0,>=〃力單調(diào)遞增；當(dāng)xe(l,w),/(x)<0,y=〃x)單調(diào)遞減;

0<a<l時，當(dāng)x?0,a),f\x)<0,y=〃x)單調(diào)遞減；當(dāng)x?a,l),/(x)>0,y=〃x)單調(diào)遞增;

當(dāng)無?l,+oo),f\x)<0,y=/(x)單調(diào)遞減；

a=l時，當(dāng)xe(0,4<o),y(x)<0,y=/(x)在(0,+co)單調(diào)遞減；

a>l時，當(dāng)x?0,l),/(x)<0,y=〃x)單調(diào)遞減；當(dāng)xe(l,a),f\x)>0,y=/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(a,4w),/(x)<0,y=/(x)單調(diào)遞減.

綜上所述：當(dāng)aVO,/(尤)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1),單調(diào)減區(qū)間為(1,內(nèi))；

當(dāng)0<a<l,“X)的單調(diào)減區(qū)間為(0,。),(1,內(nèi)),單調(diào)增區(qū)間為(a,l)；

當(dāng)0=1,/(X)的單調(diào)減區(qū)間為(0,y)，沒有單調(diào)增區(qū)間；

當(dāng)a>l,“X)的單調(diào)減區(qū)間為(0,1),(a,y),單調(diào)增區(qū)間為(1,a).

(3)若對任意都有/■(x)?ln2—l,則〃x)在(1,+⑹上的最大值/⑺1mx<ln2—l；

由(2)可知，當(dāng)a>l,/(x)在(1,。)單調(diào)遞增，在(。,水?)單調(diào)遞減，

/(X)=/(a)ualaH----2^—ci^—InaJ=In—2a+1；

■^-m^x)=\nx+—x1-2x+\,x>\,貝！|“/(x)=—+x-2>2.—-x-2=0,

2xVx

故y二加(%)在(1,+QO)單調(diào)遞增，Xm(2)=ln2+2-4+l=ln2-l,則m(2)<ln2-l；

故當(dāng)〃=2時，/(x)max=lna+gQ2—2a+lWln2-l,

也即當(dāng)a=2時，對任意%￡(l,+oo),都有/(x)Wln2-l.

故〃的最大值為2.

例8.(2024.天津河?xùn)|.一模)已知函數(shù)=1儀且(%)=%-山-1.

⑴求函數(shù)“可在點(diǎn)(I"⑴)處的切線方程；

⑵求函數(shù)g(X)的最小值；

(3)函數(shù)尸(%)=/(x)-mg(x)(m>2),F(1)=F(^)(n1),證明：VxG(l,n],(m-l)lnx>x-l.

【解析】(1)

r211

/(X)=y-llU,f\x)=X~~,切線斜率為(⑴=0,/(1)=-

故切線方程為y-；=0(%-1),即＞=：?

(2)g(x)=x-lnx-l,令/(%)=1」=0,可得％=1,

x

當(dāng)x?0,l),g<x)<0；xe(l,-H3o),g'^x)>0,

故g(左)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增,

故函數(shù)g(x)的最小值g(l)=o.

r21是

(3)F(x)=--lnx-m(x-lnx-l),由/(1)=/(〃)，5=萬一111〃一機(jī)(〃一In〃一1)①

欲證明VxG(l,n],(m-l)lnx>x-l,只需要——,

令G(x)=^^,lnx-l+—

(1，〃］

Inx(lax)2

111r_1

令A(yù)(x)=ln%_l+_,A(x)=-----=-->0

XXXX

/、/\lux—1H—

A(x)在區(qū)間(1,〃)上單調(diào)遞增，則A(X)＞{1)=0,故G0)=_____上＞0；

(inx)2

則G(x)在區(qū)間(1同上單調(diào)遞增，只需證明Vx€(l,"],(根一1)＞二，

Inn

由①可矢口(幾21)=(m-l)(zz-l-lnn)，

由(2)可知〃一1一111〃>0,(冽-1)=-^^-----——-,

'72(n-l-lnw)

只需證明(m-1)=-7>:匚，

2(〃一1—hvz)ln〃

化簡為：1吁黜］>0成立即可，令B(x)=ln%_2［餐

則B\x)=7>。,B(x)在區(qū)間(1,n\上單調(diào)遞增,

x(x+l)

故3(x)>3⑴=0,所以1吁21＞。得證.

例9.(2024?北京石景山?一模)已知函數(shù)/卜)=祀氣。＞0).

⑴求曲線y=/⑺在點(diǎn)(0,〃。))處的切線方程；

(2)求/■(%)在區(qū)間[-1』上的最大值與最小值；

(3)當(dāng)。=1時，求證：/(x)21nx+x+l.

【解析】(1)

/'(x)=(l+w)e*-(0)=1,/(0)=0,

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(oj(o))處的切線方程為'=壬

(2)/,(x)=(l+ox)ear,a＞0

當(dāng)0＜aWl時，((無)2。在區(qū)間上恒成立，“X)在區(qū)間上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)“X)的最小值為〃-1)=-片：最大值為〃l)=e“，

當(dāng)a>l時，y(x)=0,得苫=—e(—1,0),

a

尸(X)在區(qū)間-1,-：］小于0,函數(shù)“X)單調(diào)遞減，

廣⑺在區(qū)間-大于0,函數(shù)“X)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/⑺的最小值為

kcij

〃T=—eTf(l)=ea,顯然所以函數(shù)的最大值為〃l)=e。，

綜上可知，當(dāng)0<。41時，函數(shù)/(%)的最小值為/(-1)=-6",最大值為了⑴=巴

當(dāng)。>1時，函數(shù)〃x)的最小值為弁-3=-'，最大值為〃1)=日

(3)當(dāng)〃=1時，f(x)=xex,即證明不等式Alnx+%+1,

^g(x)=xex-lnx-x-l,x>0,g，(x)=(工+1)1—J,

■^7z(x)=ex--,x>0,/ir(x)=ex+^->0,

所以/z(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，并且//1)=&-2<0,/z(l)=e-l>0,

所以函數(shù)Mx)在g，l)上存在唯一零點(diǎn)飛,使方［)=爐，-J=0,

即g，(％)=0,則在區(qū)間(0,1),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

在區(qū)間(%,+℃),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

所以g(x)的最小值為-lnx0-^-l,

由/i(xo)=e?-,=0,得/6'。=1,且

冗0

所以g(%)=0,

所以g(x)=xe*-lnx—%—120,即/(x)21nx+x+l.

【過關(guān)測試】

1.(2024?廣東汕頭?一模)已知函數(shù)4%)=ax_1_(a+l)lnx(awR).

x

⑴當(dāng)。=-1時，求曲線y=在點(diǎn)(3(e))處的切線方程；

(2)若/(%)既存在極大值，又存在極小值，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【解析】(1)當(dāng)。=—1時，函數(shù)/。)=-工一工，求導(dǎo)得尸(幻=3-1,則尸七)=3-1,而”e)=_e-L

xxee

所以曲線y=/(元)在點(diǎn)(e"(e))處的切線方程為y-(-e二)=(1-l)(x-e),即y=(4-l)x-2

eeee

(2)函數(shù)/(%)=以一(〃+l)lnx的定義域?yàn)?0,+oo),

x

求導(dǎo)得廣⑴=〃+二上二加一”1)%+1=(")(D,

XXX2X

當(dāng)時，ax-1<0,由/'(%)>0,得Ovxvl,由/'(%)<0,得%>1,

則函數(shù)“元)在(0,1)上遞增，在(1,內(nèi))上遞減，函數(shù)〃九)只有極大值/⑴，不合題意；

當(dāng)。>0時，由廣。)=。，得尤=i或尤=!，

a

①若即〃>1,由r(x)>0,得0〈尤〈4或X>1,由廣。)<0,得［<尤<1,

aaa

則函數(shù)/(x)在(0,-),(1,+<?)上遞增，在d,1)上遞減，

aa

因此函數(shù)/(X)的極大值為/d),極小值為了⑴，符合題意；

a

②若L>i,即由廣。)>0,得o<x<i或x>L由尸。)<。，得i<x<L

aaa

則函數(shù)/(尤)在(0,1),(-,+?)上遞增，在?！?上遞減，

aa

因此函數(shù)/a)的極大值為了⑴，極小值為了2)，符合題意；

a

③若工=1,即a=l,由廣(》)2。在(0,+⑹上恒成立，得"X)在(0,+⑹上遞增，

a

函數(shù)〃為)無極值，不合題意，

所以a的取值范圍為(。，1)51,+⑹.

2.(2024?高三?江蘇蘇州?階段練習(xí))已知函數(shù)g(x)=/+辦2+6x(“,beR)有極值，與函數(shù)〃x)=(x+a)e”

的極值點(diǎn)相同，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

⑴直接寫出當(dāng)。=1時，函數(shù)/'(x)在彳=1處的切線方程；

(2)通過計(jì)算用。表示b；

(3)當(dāng)a>0時，若函數(shù)刊x)=〃x)—g(x)的最小值為加⑷，證明：

【解析】(1)當(dāng)a=l時，/(x)=(x+l)e\r(%)=(x+2)e\

從而/(l)=2e,7'⑴=3e,

所以函數(shù)/(x)在x=l處的切線方程為y=3e_r-e；

(2)因?yàn)?'(x)=(尤+a+l)e"令f'(x)=Q,得x=-a-1,

當(dāng)時，/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x>—a-1時,f^x)>0,/(%)單調(diào)遞增，

故X=F-1是函數(shù)/(X)的極小值點(diǎn)；

又因?yàn)間'(x)=3%2+2ar+Z?,

所以且'(-〃-1)=3(〃+1)2一2a(Q+l)+b,

整理得一4。一3,

又當(dāng)0=-々2一4〃一3時，g'(x)=3尤2+2ov—(a+l)(a+3)=(x+a+l)(3元一a—3),

若要使得函數(shù)g(%)=/+雙2+陵￡R)有極值，

則還需即aw-。，

32

綜上所述，h=-a2—4a—3,

(3)H^jF(x)=/(x)-g(x)=(x+?)ex-(x3+ax2+bx^,且由(2)可知g'(x)=(x+a+l)(3%—a—3),

所以F(x)=/'(%)—g'(x)=(x+a+l)e*—(%+a+l)(3x—a—3)=(x+Q+l)(e*—3?X+Q+3),

令7z(x)=eX-3x+a+3,貝|/Z(x)=e%-3,

令//(x)=0,得至Ij%=ln3,

當(dāng)犬vln3時，/zr(x)<0,/z(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)％>ln3時，”(兀)>0,,(%)單調(diào)遞增，

所以"(xj疝n=〃(ln3)=e*—3X+Q+3=3(2—ln3)+a>a>0,

所以,(九)>0,

從而令尸〈力=0,得犬=-a-1,

當(dāng)xv—a—1時，尸(x)<0,〃力單調(diào)遞減，

當(dāng)x>—a—1時，F(xiàn)(x)>0,/⑺單調(diào)遞增，

所以M(〃)=尸(％)min=/(―Q—1)=_。一"T_[(_。-1)3+〃(―Q—1)+b(-a—1)J=—e~a~i—(^a+1)2(a+2),

令，=—a—1,則，<—1,記根—e’—〃(i—v—i,

則irt(%)=—e'+3〉—2t,tv—1,

因?yàn)橐籩—i<-e?<0,3〃—2%>5,

所以加⑺〉0,加⑺單調(diào)遞增，

177

所以〃z(f)<_eT_2<_§_2=_§,即

3.(2024?內(nèi)蒙古赤峰?一模)已知函數(shù)/(彳)=(工+”1-6”.

⑴當(dāng)0=1時，求曲線y=/(x)在點(diǎn)處的切線方程;

(2)當(dāng)a=2時，求函數(shù)“X)的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑶若函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,1)上只有一個極值點(diǎn)，求a的取值范圍.

【解析】(1)當(dāng)。=1時，/(x)=—,貝I］尸(x)=e'(x「D,

XX

所以，/(l)=e,廣⑴=0,

故當(dāng)0=1時，曲線y=/(x)在點(diǎn)處的切線方程為y-e=o,即了=6.

(2)當(dāng)a=2時，/5)=［：+1卜=區(qū)產(chǎn)，該函數(shù)的定義域?yàn)閧x|xwo},

(x+2)xe'-(x+l)ev(x2+x-l)e%

由r(x)>o,即/+》一1>0,解得x<-上手或尤〉與L

因此，當(dāng)a=2時，函數(shù)/(尤)的單調(diào)遞增區(qū)間為

⑶法I：因?yàn)?⑺=則八x)=］+”>:卜=吐身胃)￡

令g(尤)=(°-1)%2+%一1,因?yàn)楹瘮?shù)〃X)在(0,1)上有且只有一個極值點(diǎn)，

則函數(shù)g(x)在(0,1)上有一個異號零點(diǎn)，

當(dāng)4=1時，對任意的X?O,1),g(x)=x-l<0恒成立，無零點(diǎn)，故不符合題意;

當(dāng)時,函數(shù)g(x)=(a-l)1+x-1在(0,1)上單調(diào)遞增,

因?yàn)間(O)=T<。，只需g(l)=。一1>0,故“>1符合題意;

當(dāng)時，函數(shù)g(x)的圖象開口向下，對稱軸為直線x=-J不>0,

因?yàn)間(0)=T<0,只需g⑴=a—1>0,故a<1不符合題意，舍去

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是+少).

法n：令(a-1)/+%_1=o,

貝！|。-1=3一工有根，令f='e(l,+oo),

x~xx

設(shè)g⑺=產(chǎn)一，Ze(l,+oo),

又函數(shù)對稱軸為f=g,則te(l,+x)時，g⑺單調(diào)遞增,

所以g?)>g(l)=o，即q_l>0,

4.(2024.四川成都.二模)已知函數(shù)/(x)=(x+a)lnx的導(dǎo)函數(shù)為尸(x).

⑴當(dāng)0=1時，求尸(X)的最小值；

(2)若/'(X)存在兩個極值點(diǎn)，求。的取值范圍.

【解析】(1)

當(dāng)。=1時，"X)=(x+l)lnx,xe(0,+<o),/,(x)=ln.r+-+l,

111X—\

令函數(shù)/i(x)=lnx+-+l,X￡(0,+oo),則有hr(x]=-----=——,

XXXX

當(dāng)xe(O,l)時，//(x)<0,/?(x)為減函數(shù)；當(dāng)xe(l,+oo)時，〃(x)>0,/z(x)為增函數(shù),

所以/的同=〃。)=2,即尸(x)的最小值為2；

(2)因?yàn)閤e(0,+oo),有尸(x)=lnx+@+l,

令g(x)=1f(x),有==

①當(dāng)aWO時，因?yàn)閤-a>0,所以g'(x)>0,即尸(力在(。,+“)上為增函數(shù)，

所以至多存在一個％e(0,+oo),使得/'(x)=0,故/(%)不存在兩個極值點(diǎn)，

②當(dāng)a>0時，解g，(x)=O,得x=a,

故當(dāng)xe(O,a)時,g<x)<0,/'(尤)為減函數(shù),當(dāng)時用)，g'(x)>0,

f'(x)為增函數(shù),所以/'⑺二=/'(a)=lna+2,

(i),當(dāng)lna+2?0,即。2屋時，f'(x)>/'^>0,/⑺在(0,+。)上為增函數(shù),

故“X)不存在極值點(diǎn)，

(ii).當(dāng)lna+2v0,即Ovave、時,

2,2、2,r\

又因?yàn)?<幺<〃，所以rk=lnkH---nl=21na-ln2H---Fl,

22Jlaa

又由第(1)問知InxH---Fl>2,故21nad—22,所以/'1二~123—ln2>0,

xaI2J

又因?yàn)?>。，又r(l)=a+l>0,

所在eE]、，，，%2￡(。，1)使得/'(X)=°，

且〃工)在(。，石)，(w,y)上為增函數(shù)，在(%,%2)上為減函數(shù)，

所以芯，4分別是丁=/(力的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，

綜上所述，a的取值范圍為(0,尸).

5.(2024?高三?浙江湖州?期末)已知函數(shù)/(x)=ln<ix+(ax—a-l)e*T-ax(a>0).

(1)是否存在實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)/(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；

⑵若函數(shù)“X)存在極大值極小值N,證明：M+N<7.(其中e72.71828是自然對數(shù)的底數(shù))

【解析】⑴因?yàn)閍>0,則/(x)的定義域?yàn)楣?0,收)，

廣(%)二—F1+(QX-a-1_Q=—a+l)e"’1

進(jìn)一步化簡得：尸(2=(依-1)卜t-J

令g⑴=4一,g，(x)=j+5>。，則g(%)在x?(。,y)上單調(diào)遞增，

且g(l)=0,所以xe(O,l)時，g(x)<0,xe(l,+8)時，g(x)>0

要使得/'(尤)單調(diào)遞增，則「(“上。在xe(0,y)上恒成立

當(dāng)a=］時一,尸(x)=-JN0恒成立

當(dāng)0<“<1時，1<1,當(dāng)時，/'(x)<。，不合題意

當(dāng)”>1時，!<1,當(dāng)xef尸(x)<0,不合題意

綜上：a=l.

(2)由(1)可得a>0且awl,極值點(diǎn)為工與1,

a

(］、--1--i

以M+N=/(1)+fI—I-ln〃-1-〃+(-a)e"-1—ln〃-a-ae"-2

/、L/、1幻1、門Vi-i、

^^/z(a)=lriQ_a_ciQa_2,//(〃)=—1-ea_aca［——j——1J+1

當(dāng)0<a<l時,〃⑷>0,〃(a)單調(diào)遞增

當(dāng)aZl時，〃(a)20,〃(a)單調(diào)遞減，

所以/z(a)</z(l)=T,即Af+N<T成立.

6.(2024?云南大理?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=a/-lnx,aeR.

⑴討論函數(shù)"X)的單調(diào)性；

⑵設(shè)a>o,g(x)=/(x)+6x,且x=l是g(x)的極值點(diǎn),證明：

⑴尤=1時，g(無)取得極小值；

(ii)lna+2b<0.

【解析】(1)函數(shù)/(x)=--1IU-的定義域?yàn)?。,+刈，求導(dǎo)得/(幻=2狽」=生二

XX

當(dāng)aVO時，(。)<0恒成立，/⑺在(0,+⑹上單調(diào)遞減，

當(dāng)。>0時，由/'(x)<0,得0<工(叵，由廣(幻>0,得x>叵,

2a2a

即函數(shù)/⑺在(0.叵)上單調(diào)遞減，在(叵,80)上單調(diào)遞增，

2a2a

所以當(dāng)aWO時，函數(shù)/⑺在(0,+刈上單調(diào)遞減，

當(dāng)。>0時，函數(shù)Ax)在(0,叵)上單調(diào)遞減，在(叵,+00)上單調(diào)遞增.

2a2a

(2)函數(shù)且(%)=/(%)+法=以2-血+法的定義域?yàn)?0,+00),求導(dǎo)得g'(x)=2ax-，+b,

x

由x=l是g(%)的極值點(diǎn),得g")=2〃—1+6=0,即。=1—2〃，

/.、，/、小I1c2tzx2+(l-2a)x—l(2ax+l)(x-1)

(i)g(x)=2ax----F1-2a=------------------------=-------------------，

XXX

而a>0,則當(dāng)0vx<l時,g'(x)<O,g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>l時，g'(x)〉O,g(無)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)X=1時，g(x)取得極小值.

(ii)h{a)=Ina+2Z>=ln?+2-4a,a>0,求導(dǎo)得//⑷=1-4,

a

當(dāng)0<a<，時，h\a)>o,當(dāng)a>J_時，〃(“)<(),則函數(shù)/i(a)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(L+8)上單調(diào)遞

4444

減，

因止匕//(a)<〃(；)=l-ln4<0,所以Ina+28<0.

7.(2024?高三?北京昌平?期末)已知函數(shù)〃x)=fe"-x+l.

(1)求曲線y=/⑺在(2,/(2))處的切線方程；

⑵設(shè)函數(shù)g(x)=/'(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間;

⑶判斷極值點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由.

【解析】(1)由題意知/(x)=de2T-x+l,定義域?yàn)镽,所以/(同=(-/+29/:1,

所以直線的斜率％=/'(2)=-1,八2)=3,

所以切線方程為>=T+5,即x+y-5=0.

(2)由(1)知8(%)=y(%)=(-彳2+2無)62-*-1,所以g'(x)=(*2_4x+2)e2T,

令g'(x)=O,即f-4x+2=0,解得x=2-0或尤=2+0，

當(dāng)xe卜co,2-0),g'(x)>0,

當(dāng)xe（2-0,2+@,g[x）＜0,

當(dāng)xe（2+忘,+co）,g'（x）＞0,

所以g（x）在卜町2-忘），（2+夜,+8）單調(diào)遞增，在（2-62+@單調(diào)遞減.

（3）2個極值點(diǎn)，理由如下：

由（2）知當(dāng)無＜2-后時，g（x）在區(qū)間卜叫2-a）上單調(diào)遞增，

g（2-A/2）=（2-V2）e^-l＞|e-l＞0,g（0）=-l＜0,

所以存在唯一占e（0,2-虎），使g&）=0；

2--\/2＜%＜2+四時，g（x）在區(qū)間（2-0,2+0）上單調(diào)遞減，

g（2-夜）＞0,g（2+&）＜g⑵=一1＜0,

所以存在唯一％e（2-&,2+&）,使81）=0；

當(dāng)x＞2+0時，（一/+2了）＜0,e2T＞0,所以g（尤）=（一/+2了戶-，一1＜。

所以g（x）在區(qū)間（2+忘,十00）無零點(diǎn)；

綜上，當(dāng)xe（fo,xj,g（x）=/'（x）＜0,

當(dāng)X?4X2），g（x）=/'（x）＞。，

當(dāng)x《X2，+co）,g（x）=r（x）＜0,

所以當(dāng)尤=%時，/（X）取到極小值；當(dāng)x=z時，/（X）取到極大值；

故“X）有2個極值點(diǎn).

8.（2024?高三?北京房山?期末）已知函數(shù)〃x）=Y+a1e:

⑴當(dāng)a=0時，求曲線y=/（x）在點(diǎn)。，/⑴）處的切線方程；

（2）當(dāng)。=1時，求函數(shù)“X）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（3）若函數(shù)/（x）在區(qū)間（0,1）上只有一個極值點(diǎn)，求。的取值范圍.

【解析】（1）當(dāng)。=0時、/（尤）=?，則尸（力=」（：-1）,所以，/（l）=e,/'⑴=0,

故當(dāng)0=0時，曲線y=/（x）在點(diǎn)（I/⑴）處的切線方程為y-e=o,gpy=e.

（2）當(dāng)a=l時，〃x）=R+l卜=但羋，該函數(shù)的定義域?yàn)閧巾#0},

）+2）-—（尤+1）1=（丁+尤-1）。',

由廣々x),。，即/+x-l＞0,解得彳＜一^^或尤

因此，當(dāng)a=l時，函數(shù)“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為卜鞏-，叵J、［與^+刃］

(3)因?yàn)椤▁)=R+a，e)則/'⑴"卜,二卜=("+「卜’

令g(x)=o?+x-l,因?yàn)楹瘮?shù)〃x)在(0,1)上有且只有一個極值點(diǎn)，

則函數(shù)g⑺在(0,1)上有一個異號零點(diǎn),

當(dāng)a=0時，對任意的xe(O,l),g(x)=x-l＜0,不合乎題意；

當(dāng)。＞0時,函數(shù)g(x)=^+xT在(0,1)上單調(diào)遞增，

因?yàn)間(0)=_l＜0,只需g(l)=a＞0,合乎題意；

當(dāng)。＜0時，函數(shù)g(x)的圖象開口向下，對稱軸為直線尤=-《＞0,

因?yàn)間(O)=T＜。，只需g⑴=a＞。，不合乎題意，舍去.

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是(0,+@).

2

9.(2024?高三?全國?專題練習(xí))已知/(幻=］丁-2/+5+4,g{x)=e-^~x+f(x),

⑴若八刈在x=1+應(yīng)處取得極值，試求c的值和/(%)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)如圖所示，若函數(shù)y=/(x)的圖象在［a,0連續(xù)光滑，試猜想拉格朗日中值定理：即一定存在ce(db),

使得尸(c)="?一"")，利用這條性質(zhì)證明：函數(shù)＞=g(x)圖象上任意兩點(diǎn)的連線斜率不小于2e-4.

b-a

9.

【解析】（1）因?yàn)?-2/+6+4,貝!J/（尤）=2/—4x+c,

依題思9有f'（y+*\/2）=0>即c=-2（1+A/2）2+4（1+5/2）=—2.

2

=

以f(%)=§d—2f—2,x+4ff\x)2爐—4x-2,

令廣(%)＞0,得x＜l—0或x＞l+0,

令八無)＜0,得1一垃＜工＜1+也,

所以了⑺在(-00』-應(yīng)］和口+a,+00)上單調(diào)遞增，在(I-應(yīng),1+后)上單調(diào)遞減,

所以C=-2滿足題意，同時，/(X)的單調(diào)增區(qū)間為和口+&,+00);

(2)猜想如下：

因?yàn)樽?一"互表示的/(X)兩端點(diǎn)連線的斜率,

而由題可知，〃力上必然存在點(diǎn)cw(a,6),使得其切線的斜率為左,即左=/'(c),

所以一定定存在ce(。，3,使得廣(。)=要二以Q；

b-a

證明如下：

9

因?yàn)間(x)=e-/(x)=e-J-2X2-2X+4,

貝I]g'(x)=e，+e"+2x2-4x-2=e*+<+2(x-l)「-42￡+2x0-4=2e-4.

由猜想可知，對于函數(shù)y=g(x)圖象上任意兩點(diǎn)A,8,

在A8之間一定存在一點(diǎn)C(c,g'(c)),使得g'(c)=KAB,

又g'(x)±2e-4,故有K.B=g'(c)Z2e-4.

10.(2024.高二.浙江溫州?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=lnx+g尤2-a尤有兩個極值點(diǎn)為/々(為<%2)，aeR.

(1)當(dāng)。=|時，求/(%)-/(%)的值；

⑵若(e為自然對數(shù)的底數(shù))，求/(%)-/(不)的最大值.

【解析】(1)易知函數(shù)"x)=lnx+g尤?-ax的定義域?yàn)?0,+%)，

則f(x)」+…/一依+1,

XX

因此可知當(dāng)或xe(2,+⑹時，/'(x)>0；當(dāng)年仁乂]時，廣(“<0；

所以/'(X)在(0,；]和(2,+8)上單調(diào)遞增，在2)上單調(diào)遞減；

可得x=；和尤=2是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，又占<%,所以％=^,毛=2；

所以可得/(%)-/(占)=/(2)-/(；]=ln2+2-5-[ln；+：-[]=21n2-3,

J\Zo4yo

即當(dāng)a時，〃尤2)-〃％)=21n2-

2o

(2)易知〃%)-/。)=山"5(后一引一。(尤2一%)，

又/3=/一：+1,所以占,超是方程/一依+1=。的兩個實(shí)數(shù)根,

由韋達(dá)定理可得玉+%=4X1X2=1，

=ln&_」*_x；)=ln衛(wèi)_L_L(考一無;)=in%_，(三一土〕,

v77

x12%2x{x21再21玉％,

設(shè)匕=，，由z"為可得土=f2e,令g⑺=lnr-1卜-1］,

xi玉2vt)

則g，⑺3斗+：］=一R-<0,所以g⑺在［e,+s)上單調(diào)遞減，

t21t)2%

可得g⑺海仁)=1-1，一］=1一“*,

N\CJ乙4c

故可知/(電)-/(%)的最大值為1-'+丁.

22e

11.(2024?高三?河南周口?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=ae,i+ln尤-(a+l)x.

(1)當(dāng)。=1時，證明：函數(shù)了⑺在(0,+8)上單調(diào)遞增；

(2)若x=l是函數(shù)/(盼的極大值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【解析】(1)因?yàn)椤?1,所以/(x)=e、i+lnx-2x,且知/'(x)=e*T+工-2,

x

要證函數(shù)/(X)單調(diào)遞增，即證/'(X)*。在(0,+8)上恒成立，

設(shè)g(無)=/-+工-2,尤>0,貝Ug'(x)=ei-±,注意y=ei,y=-二在(0,+<?)上均為增函數(shù)，故g'(x)在

x尤-尤

(0,+8)上單調(diào)遞增，且g'(l)=0,于是g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,他))上單調(diào)遞增,g(x)上g⑴=0,即

因此函數(shù)/(x)在(。,+勸上單調(diào)遞增；

(2)由f\x)=aex14----a—1,有f'(X)=0,

x

令h(x)=aex~l+--a-\,所以h'(x)=ae%-1-與，

xx

①當(dāng)aW0時，h'(x)=ae--3<0在(0,+co)上恒成立，

因此/'(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

注意到廣⑴=0,故函數(shù)Ax)的增區(qū)間為(0,1),減區(qū)間為(1,+8),

此時尤=1是函數(shù)/(X)的極大值點(diǎn)；

②當(dāng)a>0時，y=ae"，y=-與在（0,+s）上均為單調(diào)增函數(shù)，

尤

故"⑺在（0,+功上單調(diào)遞增，注意到“⑴=a-l,

若〃⑴<0,即0<a<1時，此時存在"（1,”），使〃（"）=0,

因此/'（x）在（0,n）上單調(diào)遞減，在（"，叱）上單調(diào)遞增，

又知/（1）=0,則/（X）在（0,1）上單調(diào)遞增,在（L"）上單調(diào)遞減,

此時尤=1為函數(shù)fM的極大值點(diǎn)，

若〃⑴>0,即a>l時，此時存在機(jī)e（0,l）,使/0）=0,因此/'（x）在（0,加）上單調(diào)遞減，在（機(jī),+8）上單

調(diào)遞增，又知r⑴=0,則Ax）在（九1）上單調(diào)遞減，在（1,+◎上單調(diào)遞增，此時尤=1為函數(shù)/CO的極小值

點(diǎn).

當(dāng)。=1時，由（1）可知/（X）單調(diào)遞增，因此x=l非極大值點(diǎn)，

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍為

12.（2024?高三.遼寧朝陽?階段練習(xí)）已知函數(shù)/?（耳=辦2；.+4（4€1t）-

⑴若a=0,求函數(shù)〃