高中高三月考七數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中個(gè)，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A. B.15 C.30 D.3603.已知，向量，且，則在上的投影向量為（）A. B.5 C. D.4.已知兩個(gè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別是，且，則（）A B. C. D.5.某電視臺(tái)計(jì)劃在春節(jié)期間某段時(shí)間連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中3個(gè)不同商業(yè)廣告和3個(gè)不同的公益廣告，要求第一個(gè)和最后一個(gè)播放的必須是公益廣告，且商業(yè)廣告不能3個(gè)連續(xù)播放，則不同的播放方式有（）A.144種 B.72種 C.36種 D.24種6.若存在直線與曲線，都相切，則a的范圍為（）A. B. C. D.7.如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)為截面上的動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度是（）A. B. C. D.18.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?dǎo)數(shù)為，若當(dāng)時(shí)，，且對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，則不等式的解集為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.袋子中有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中隨機(jī)取出兩個(gè)球，設(shè)事件“取出的球的數(shù)字之積為奇數(shù)”，事件“取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)”，事件“取出的球的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則（）A.事件與是互斥事件 B.事件與是對(duì)立事件C.事件與是互斥事件 D.事件與相互獨(dú)立10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.C.函數(shù)的圖象與直線的相鄰兩交點(diǎn)間的距離為D.11.已知為拋物線的焦點(diǎn)，直線過(guò)且與交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，則（）A.過(guò)點(diǎn)且與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條B.當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，C.為鈍角三角形D.的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知隨機(jī)變量，且正數(shù)滿足，則的最小值為_____________.13.在中，，已知點(diǎn)、，則點(diǎn)到直線的最大距離為______．14.如圖，已知，是雙曲線C：左、右焦點(diǎn)，P，Q為雙曲線C上兩點(diǎn)，滿足，且，則雙曲線C的離心率為________．四、解答題（本大題共5小題）15.如圖1，在矩形ABCD中，，將沿著BD翻折到的位置，得到三棱錐，且平面ABP，如圖2所示.（1）求證：平面平面ABD；（2）求直線AB與平面BPD所成角的正弦值.16.一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n．如果n=3，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)；如果n=4，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過(guò)檢驗(yàn)．假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為50%，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立（1）求這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)概率；（2）已知每件產(chǎn)品檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．17.已知橢圓：（）中，點(diǎn)，分別是的左、上頂點(diǎn)，，且的焦距為．（1）求的方程和離心率；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率不為零的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，若，求的值．18.已知數(shù)列滿足，且，．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：數(shù)列中任意不同的三項(xiàng)都不能構(gòu)成等差數(shù)列．19.已知函數(shù)，．（1）證明：．（2）證明：．（3）若，求的最大值．

高中高三月考七數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中個(gè)，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先求出復(fù)數(shù)，從而可求出其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.【詳解】由，得，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，故選：D2.在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A. B.15 C.30 D.360【答案】B【解析】【分析】先求出的展開式的通項(xiàng)，令，求出代入通項(xiàng)即可求出答案.【詳解】的展開式的通項(xiàng)為：，令，解得：，所以常數(shù)項(xiàng)為：.故選：B.3.已知，向量，且，則在上的投影向量為（）A. B.5 C. D.【答案】C【解析】【分析】借助向量垂直可得，結(jié)合投影向量定義計(jì)算即可得解.【詳解】由，則有，即，則，故.故選：C.4.已知兩個(gè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別是，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)出兩個(gè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，在兩個(gè)等差數(shù)列中，前項(xiàng)和分別是，，對(duì)于一般等差數(shù)列前項(xiàng)和為二次型函數(shù)：（為常數(shù)），∴設(shè)，，為常數(shù)∴，故選：B.5.某電視臺(tái)計(jì)劃在春節(jié)期間某段時(shí)間連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中3個(gè)不同的商業(yè)廣告和3個(gè)不同的公益廣告，要求第一個(gè)和最后一個(gè)播放的必須是公益廣告，且商業(yè)廣告不能3個(gè)連續(xù)播放，則不同的播放方式有（）A.144種 B.72種 C.36種 D.24種【答案】B【解析】【分析】將第一個(gè)和最后一個(gè)先安排為公益廣告，然后由商業(yè)廣告不能3個(gè)連續(xù)播放，將其排成一列，之間有兩個(gè)空，將剩下的公益廣告插進(jìn)去即可.【詳解】先從3個(gè)不同的公益廣告中選兩個(gè)安排到第一個(gè)和最后一個(gè)播放有種方法，然后將3個(gè)不同的商業(yè)廣告排成一列有種方法，3個(gè)不同的商業(yè)廣告之間有兩個(gè)空，選擇一個(gè)將剩下的一個(gè)公益廣告安排進(jìn)去即可，所以總共有：種方式.故選:B6.若存在直線與曲線，都相切，則a的范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)分別求得與相切的切線方程，可得，進(jìn)而可得有解，從而利用導(dǎo)數(shù)可求的范圍.【詳解】設(shè)直線與相切于點(diǎn)，因?yàn)椋郧芯€方程，即，設(shè)直線與相切于點(diǎn)，因?yàn)椋郧芯€方程，即，，所以有解，令，，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以，所以，的范圍?故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查曲線公切線相關(guān)問(wèn)題的求解，求解曲線公切線的基本思路是假設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求得兩曲線的切線方程，根據(jù)切線方程的唯一性構(gòu)造方程組來(lái)進(jìn)行求解.7.如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)為截面上的動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度是（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】連接，利用線面垂直的判定推理證得平面即可確定點(diǎn)的軌跡得解.【詳解】在棱長(zhǎng)為1的正方體中，連接，由平面，平面，得，而，平面，則平面，又平面，于是，同理，而平面，因此平面，因?yàn)?，則平面，而點(diǎn)為截面上的動(dòng)點(diǎn)，平面平面，所以點(diǎn)軌跡是線段，長(zhǎng)度為.故選：B8.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?dǎo)數(shù)為，若當(dāng)時(shí)，，且對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)題意，可證為上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又由轉(zhuǎn)化為，即，即可得解.【詳解】因?yàn)椋O(shè)，則，即為上的偶函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，即，所以，即，解?故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題意，設(shè)，研究函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，從而求解不式.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.袋子中有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中隨機(jī)取出兩個(gè)球，設(shè)事件“取出的球的數(shù)字之積為奇數(shù)”，事件“取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)”，事件“取出的球的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則（）A.事件與是互斥事件 B.事件與是對(duì)立事件C.事件與是互斥事件 D.事件與相互獨(dú)立【答案】AB【解析】【分析】利用互斥，對(duì)立，相互獨(dú)立的概念逐一判斷.【詳解】對(duì)于AB：取出的球的數(shù)字之積為奇數(shù)和取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)不可能同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)發(fā)生，故事件與是互斥事件，也是對(duì)立事件，AB正確；對(duì)于C：如果取出的數(shù)為，則事件與事件均發(fā)生，不互斥，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，則，即事件與不相互獨(dú)立，D錯(cuò)誤；故選：AB10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.C.函數(shù)的圖象與直線的相鄰兩交點(diǎn)間的距離為D.【答案】ABD【解析】【分析】A由圖象可確定，即可判斷選項(xiàng)正誤；BD驗(yàn)證是否滿足選項(xiàng)描述即可判斷選項(xiàng)正誤；C解方程，驗(yàn)證相鄰根的差值即可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】由圖可得，，，因，取，對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，則，，即，故B正確；對(duì)于C，令或，得或，其中，分別取，得相鄰的三個(gè)根為，則相鄰根的差值即的圖象與直線的相鄰兩交點(diǎn)間的距離為或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，則，故D正確.故選：ABD11.已知為拋物線的焦點(diǎn)，直線過(guò)且與交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，則（）A.過(guò)點(diǎn)且與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條B.當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，C.為鈍角三角形D.的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】由拋物線的定義及點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離可求解拋物線的方程，判斷點(diǎn)與拋物線的位置關(guān)系即可判斷A；聯(lián)立直線與拋物線方程，得韋達(dá)定理，即可根據(jù)弦長(zhǎng)公式求解面積，利用焦半徑公式即可求解B；根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解C；根據(jù)焦半徑公式，結(jié)合基本不等式即可求解D.【詳解】如圖①所示，因?yàn)?，所以，解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.對(duì)于A，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，故點(diǎn)在拋物線的外部，所以與僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條，故A正確；對(duì)于B，由拋物線的方程可知，焦點(diǎn)，設(shè)的方程為，聯(lián)立消去，整理得，所以，又，所以，解得，則，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由選項(xiàng)B可知，所以，故為鈍角，所以為鈍角三角形，故C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)B可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故D正確.故選：ACD.圖①三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知隨機(jī)變量，且正數(shù)滿足，則的最小值為_____________.【答案】9【解析】【分析】利用正態(tài)分布對(duì)稱性可得，再由基本不等式中“1”的妙用求最小值.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，正數(shù)滿足，有對(duì)稱性可知，即，所以；當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：913.在中，，已知點(diǎn)、，則點(diǎn)到直線的最大距離為______．【答案】【解析】【分析】分析可知點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓（除去長(zhǎng)軸的端點(diǎn)），求出橢圓的方程，數(shù)形結(jié)合可得出點(diǎn)到直線距離的最大值.【詳解】在中，，由正弦定理可得AC+AB=2所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓（除去長(zhǎng)軸的端點(diǎn)），設(shè)橢圓的方程為，則，，所以，，故橢圓的方程為，如下圖所示：由圖可知，點(diǎn)到直線距離的最大值為.故答案為：.14.如圖，已知，是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，P，Q為雙曲線C上兩點(diǎn)，滿足，且，則雙曲線C的離心率為________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義和性質(zhì)分析可得，進(jìn)而可得，結(jié)合勾股定理運(yùn)算求解.【詳解】延長(zhǎng)與雙曲線交于點(diǎn)，因?yàn)?，根?jù)對(duì)稱性可知，設(shè)，則，可得，即，所以，則，，即，可知，在中，由勾股定理得，即，解得.故答案為：四、解答題（本大題共5小題）15.如圖1，在矩形ABCD中，，將沿著BD翻折到的位置，得到三棱錐，且平面ABP，如圖2所示.（1）求證：平面平面ABD；（2）求直線AB與平面BPD所成角的正弦值.【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）由平面ABP可得，進(jìn)而可證平面，即可得面面垂直；（2）利用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，進(jìn)而可求線面夾角.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槠矫鍭BP，平面ABP，可得，，由題意可知：，且，平面，可得平面，由平面ABD，所以平面平面ABD.【小問(wèn)2詳解】由題意可知：，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)椋?，解得，所以直線AB與平面BPD所成角的正弦值為.16.一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n．如果n=3，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)；如果n=4，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過(guò)檢驗(yàn)．假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為50%，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立（1）求這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)的概率；（2）已知每件產(chǎn)品檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）記該批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)為事件A；則；（2）X的可能取值為400、500、800；，，，則X的分布列為X

400

500

800

P

【解析】【詳解】(1)設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A，第一次取出的4件產(chǎn)品中全為優(yōu)質(zhì)品為事件B，第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件C，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件D，這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)為事件E，∴P(E)＝P(A)P(B|A)＋P(C)P(D|C)＝.(2)X的可能取值為400，500，800，并且P(X＝400)＝1－，P(X＝500)＝，P(X＝800)＝＝，∴X的分布列為X

400

500

800

P

EX＝400×＋500×＋800×＝506.25.17.已知橢圓：（）中，點(diǎn)，分別是的左、上頂點(diǎn)，，且的焦距為．（1）求的方程和離心率；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率不為零的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，若，求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由的值，可得，的關(guān)系，再由焦距可得的值，又可得，的關(guān)系，兩式聯(lián)立，可得，的值，即求出橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，消元、列出韋達(dá)定理，求出直線，的斜率之和，由題意整理可得參數(shù)的值，進(jìn)而求出直線的斜率的大?。拘?wèn)1詳解】由題意可得，，可得，，可得，可得，，解得，，所以離心率，所以橢圓方程為，離心率；【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，【小問(wèn)3詳解】【小問(wèn)4詳解】由題意設(shè)直線的方程為，則，設(shè)，，聯(lián)立，整理可得，顯然，且，，直線，的斜率，，則，因，即，解得，所以直線的斜率．即的值為3．18.已知數(shù)列滿足，且，．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：數(shù)列中任意不同的三項(xiàng)都不能構(gòu)成等差數(shù)列．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)已知條件，根據(jù)等比數(shù)列的定義證得數(shù)列是等比數(shù)列；（2）利用累乘法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）利用裂項(xiàng)求和法求得，利用反證法證得數(shù)列中任意不同的三項(xiàng)都不能構(gòu)成等差數(shù)列．【小問(wèn)1詳解】已知，則.又，，所以.那么（常數(shù)）.所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，等式兩邊同時(shí)除以得：.設(shè)，則，且.所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.所以.因?yàn)?，所?【小問(wèn)3詳解】已知，則..所以.假設(shè)數(shù)列中存在不同的三項(xiàng)，，（，）構(gòu)成等差數(shù)列，則，即，兩邊同時(shí)乘以得：.因?yàn)?，，所以，，則是倍數(shù)，除以余，等式不成立.所以假設(shè)不成立，即數(shù)列中任意不同的三項(xiàng)都不能構(gòu)成等差數(shù)列.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列，通常從數(shù)列的遞推關(guān)系出發(fā)，