積分學(xué)不定積分定積分定積分

第一節(jié)一、定積分問(wèn)題舉例二、定積分的定義三、定積分的性質(zhì)定積分的概念及性質(zhì)

一、定積分問(wèn)題舉例1.曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線軸，以及兩直線所圍成,求其面積A.矩形面積梯形面積及x

解決步驟:1)

分割在區(qū)間[a,b]中任意插入n–1個(gè)分點(diǎn)用直線將曲邊梯形分割成n個(gè)小曲邊梯形,2)

近似在第i個(gè)窄曲邊梯形作以為底,為高的小矩形,并以此小矩形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積得上任取其面積為且

4)取極限令則曲邊梯形面積3)求和

2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng),且求在運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過(guò)的路程s.解決步驟:1)分割將它分成在每個(gè)小段上物體2)近似得已知速度n個(gè)小段經(jīng)過(guò)的路程為

3)求和4)取極限上述兩個(gè)問(wèn)題的共性:解決問(wèn)題的方法步驟相同:“分割,近似,求和,取極限”所求量的結(jié)構(gòu)式相同:和式的極限

二、定積分定義任一種分法任取，如果和式的極限I存在,則稱此極限I為函在區(qū)間上的即也稱f(x)在[a,b]上可積.記作數(shù)作乘積之和，記定積分,

積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和

定理1.定理2.且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)（1）可積函數(shù)的充分條件:在可積對(duì)定積分定義的說(shuō)明：（2）定積分的結(jié)果是一個(gè)數(shù)值（3）定積分與分割的方法及點(diǎn)的取法無(wú)關(guān)（4）定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)（5）定積分與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān),即

定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負(fù)值各部分面積的代數(shù)和

例1.利用定義計(jì)算定積分解:將[0,1]n等分,分點(diǎn)為取

三、定積分的性質(zhì)(設(shè)所列定積分都存在)(k為常數(shù))

注意：當(dāng)a,b,c

的相對(duì)位置任意時(shí),例如則有

6.

若在[a,b]上則推論1.若在[a,b]上則7.設(shè)則推論2.

8.

積分中值定理則至少存在一點(diǎn)使證:則由性質(zhì)7可得根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理,使因此定理成立.

說(shuō)明:可把故它是有限個(gè)數(shù)的平均值概念的推廣.因?yàn)?/p>

內(nèi)容小結(jié)1.定積分的定義—乘積和式的極限2.定積分的性質(zhì)3.積分中值定理連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值公式

作業(yè)

P1642;3;5(2,3);6(1,2)

第二節(jié)

二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)三、牛頓–萊布尼茲公式一、引例第二節(jié)微積分基本公式

一、引例在變速直線運(yùn)動(dòng)中,已知位置函數(shù)與速之間有關(guān)系:物體在時(shí)間間隔內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程為這種積分與原函數(shù)的關(guān)系在一定條件下具有普遍性.由路程函數(shù)的意義，路程也可表示為度函數(shù)所以

二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)則變上限函數(shù)證:則有定理1.若可導(dǎo)，且

例1.（1）（2）（3）（4）（5）

變限函數(shù)求導(dǎo)的結(jié)論:

例2.

求解:原式例3.確定常數(shù)a,b,c的值,使解:原式=

c≠0,故又由～,得

例4.證明在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù).證:只要證

則變上限函數(shù)定理2.若說(shuō)明:1)定理2證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.同時(shí)為通過(guò)原函數(shù)計(jì)算定積分開(kāi)辟了道路.

三、牛頓–萊布尼茲公式(牛頓-萊布尼茲公式)

證:根據(jù)定理2,故因此得記作定理3.函數(shù),則一個(gè)

例5.

解:例6.

解:例7.

例8.

解:不正確本例不屬于定積分解:例9.

解:例10.計(jì)算正弦曲線與x軸所圍成的面積.解:

內(nèi)容小結(jié)則有1.微積分基本公式積分中值定理微分中值定理牛頓–萊布尼茲公式2.變限積分求導(dǎo)公式

作業(yè)P1711(2,3,4,6);2;4;5(2,3);第三節(jié)

備用題解：1.設(shè)求定積分為常數(shù),設(shè),則故應(yīng)用積分法定此常數(shù).

二、定積分的分部積分法第三節(jié)不定積分計(jì)算一、定積分的換元法換元積分法分部積分法定積分計(jì)算定積分的換元法和分部積分法

牛頓-萊布尼茲公式

例1.計(jì)算解:令則∴原式=

又解令則∴原式=且

一、定積分的換元法

定理1.設(shè)函數(shù)單值函數(shù)滿足:1)2)當(dāng)t在之間變化時(shí)，則是連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，且實(shí)質(zhì)：在換元的同時(shí)將積分限作相應(yīng)的改變，這樣在求出t的原函數(shù)后代入t的積分限求值。

說(shuō)明:1)換元中強(qiáng)調(diào)的是

與a對(duì)應(yīng)，

與b對(duì)應(yīng)，不一定有

<

2)必需注意換元必?fù)Q限,原函數(shù)中的變量不必代回.3)換元積分中做好三件事：，實(shí)際上，當(dāng)換元關(guān)系是減函數(shù)時(shí)，將有

>

①尋找換元關(guān)系②求dx的形式③積分限相應(yīng)的改變按不定積分中換元關(guān)系的方法確定根據(jù)積分限的變化或被積函數(shù)的變化確定

例2.計(jì)算解:令則∴原式=且

例3.計(jì)算解:令則∴原式=且配元不換限

例4.已知解:令，則∴原式=且，求a.由，得

例5.計(jì)算解:

原式=

例6.證:(1)若(2)若偶倍奇零

二、定積分的分部積分法

定理2.

則證:

例7.

計(jì)算解:原式=

例8.

證明證:令

n為偶數(shù)

n為奇數(shù)則令則

由此得遞推公式于是而故所證結(jié)論成立.

內(nèi)容小結(jié)基本積分法換元積分法分部積分法換元必?fù)Q限配元不換限邊積邊代限

重要結(jié)論是偶函數(shù)是奇函數(shù)

n為偶數(shù)

n為奇數(shù)作業(yè)P1781(1,3,5,7,9,11);

2(3,4,6,7);3(2,3);4(2);第四節(jié)

二、無(wú)界函數(shù)的反常積分第四節(jié)定積分積分限是有限數(shù)被積函數(shù)在積分區(qū)間上有界推廣一、無(wú)窮限的反常積分反常積分(廣義積分)反常積分

一、無(wú)窮限的反常積分引例.曲線和直線及x軸所圍成的開(kāi)口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為

定義1.

設(shè)若存在,則稱此極限為f(x)在記作這時(shí)稱反常積分收斂;如果上述極限不存在,就稱反常積分發(fā)散.類似地,若則定義上的反常積分,

則定義(c為任意取定的常數(shù))等式右邊只要有一個(gè)極限不存在,就稱發(fā)散.并非不定型,說(shuō)明:上述定義中若出現(xiàn)它表明該反常積分發(fā)散.

引入記號(hào)則有類似牛–萊公式的計(jì)算表達(dá)式:

例1.計(jì)算反常積分解:思考:分析:原積分發(fā)散!注意:對(duì)反常積分,只有在收斂的條件下才能使用“偶倍奇零”的性質(zhì),否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

例2.證明積分證:當(dāng)p=1時(shí)有當(dāng)p≠1時(shí)有當(dāng)p>1時(shí)收斂;

p≤1時(shí)發(fā)散.因此,當(dāng)p>1時(shí),反常積分收斂,其值為當(dāng)p≤1時(shí),反常積分發(fā)散.

二、無(wú)界函數(shù)的反常積分引例:曲線所圍成的開(kāi)口曲邊梯形與x軸,y軸和其含義可理解為面積A可記作直線的

定義2.

設(shè)而在點(diǎn)a的右鄰域存在,這時(shí)稱反常積分收斂;如果上述極限不存在,就稱反常積分發(fā)散.類似地,若而在b的左鄰域內(nèi)無(wú)界,若極限數(shù)f(x)在[a,b]上的反常積分,記作則定義則稱此極限為函內(nèi)無(wú)界,

而無(wú)界點(diǎn)常稱為瑕點(diǎn)(奇點(diǎn)).在點(diǎn)c的鄰域內(nèi)無(wú)界,則定義

若瑕點(diǎn)公式的計(jì)算表達(dá)式:則也有類似牛–萊若

b為瑕點(diǎn),則若a為瑕點(diǎn),則則可相消嗎?

下述解法是否正確:,∴積分收斂例3.計(jì)算反常積分解:顯然瑕點(diǎn)為

a,所以原式例4.討論反常積分的收斂性.所以反常積分發(fā)散.解:

例5.證明反常積分證:當(dāng)q=1時(shí),當(dāng)q<1時(shí)收斂;q≥1時(shí)發(fā)散.當(dāng)q≠1時(shí)所以當(dāng)

q<1時(shí),該廣義積分收斂,其值為當(dāng)

q

≥1

時(shí),該廣義積分發(fā)散.

例6.討論反常積分解:的收斂性.

內(nèi)容小結(jié)1.反常積分積分區(qū)間無(wú)限被積函數(shù)無(wú)界定積分的極限2.兩個(gè)重要的反常積分

P1871(1,2,3,5)作業(yè)習(xí)題課

習(xí)題課定積分

一、與定積分概念有關(guān)問(wèn)題的解法二、有關(guān)定積分計(jì)算和證明的方法一、與定積分概念有關(guān)問(wèn)題的解法1.用定積分概念與性質(zhì)求極限2.用定積分性質(zhì)估值3.與變限積分有關(guān)的問(wèn)題

例1.解:因?yàn)闀r(shí),所以利用夾逼準(zhǔn)則得

解：原式例2.

解：將數(shù)列適當(dāng)放大和縮小，以簡(jiǎn)化成積分和：已知利用夾逼準(zhǔn)則可知例3.

例4.證明證:令則令得故

例5.求可微函數(shù)f(x)使其滿足解:兩邊對(duì)