第14講函數(shù)模型及其應(yīng)用1/34考綱要求考點分布考情風(fēng)向標(biāo)1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)增加特征，知道直線上升、指數(shù)增加、對數(shù)增加等不一樣函數(shù)類型增加含義．2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用函數(shù)模型)廣泛應(yīng)用上海春季考查相同三角形與二次函數(shù)型；陜西考查相同三角形與二次函數(shù)型；湖南考查指數(shù)函數(shù)型；北京考查二次函數(shù)型；上?？疾槎魏瘮?shù)型；北京考查平均改變率；四川考查指數(shù)函數(shù)型；四川考查指數(shù)函數(shù)型及對數(shù)運算因為概率統(tǒng)計應(yīng)用題及線性規(guī)劃應(yīng)用題存在，函數(shù)模型應(yīng)用題極少在全國卷中出現(xiàn)，但在其它省份屢見不鮮．復(fù)習(xí)時應(yīng)重點關(guān)注：(1)考查二次函數(shù)模型建立及最值問題．(2)考查分段函數(shù)模型建立及最值問題．(3)考查指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)、“對勾”型函數(shù)模型建立及最值問題2/34常見函數(shù)模型一次函數(shù)模型y＝ax＋b(a≠0)反百分比函數(shù)模型二次函數(shù)模型y＝ax2＋bx＋c(a≠0)指數(shù)函數(shù)模型y＝N(1＋p)x(x＞0，p≠1)(增加率問題)對數(shù)函數(shù)模型y＝blogax(x＞0，a＞0，且a≠1)冪函數(shù)模型y＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0)對勾函數(shù)模型分段函數(shù)模型略1.常見幾個函數(shù)模型3/34函數(shù)y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上單調(diào)性單調(diào)_________單調(diào)遞增單調(diào)遞增增加速度越來越快越來越______相對平穩(wěn)圖象改變隨x值增大，圖象與y軸靠近平行隨x值增大，圖象與_______軸靠近平行隨n值改變而不一樣2.三種函數(shù)模型性質(zhì)比較遞增慢x4/341.某一個商品降價10%后，欲恢復(fù)原價，則應(yīng)提價()A.10%B.9%C.11%D.100 9%D5/34加油時間加油量/升加油時累計里程/千米年5月1日1235000年5月15日4835600

2.(年北京)某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時情況.

注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛旅程.在這段時間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為()A.6升C.10升B.8升D.12升6/34

解析：因為第一次油箱加滿，所以第二次加油量即為該段時間內(nèi)耗油量，故耗油量V＝48升.而這段時間內(nèi)行駛里程數(shù)s＝35600－35000＝600(千米).所以這段時間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為

48600×100＝8(升).故選B.答案：B7/34＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，3.若用長度為24材料圍一個矩形場地，中間加兩道隔墻，要使矩形面積最大，則隔墻長度為()AA.3B.4C.6D.12解析：設(shè)隔墻長為x(0＜x＜6)，矩形面積為y，y＝x×24－4x

2∴當(dāng)x＝3時，y最大.8/34

4.某市出租車收費標(biāo)準(zhǔn)以下：起步價為8元，起步里程為3km(不超出3km按起步價收費)；超出3km但不超出8km時，超出部分按2.15元/km收費；超出8km時，超出部分按2.85元/km收費，另外每次乘坐需付燃油附加費1元.現(xiàn)某人乘坐一次出租車付費22.6元，則此次出租車行駛了_________km.9/34解析：設(shè)出租車行駛了xkm，付費y元，由題意，得當(dāng)x＝8時，y＝19.75＜22.6，所以由8＋2.15×5＋2.85×(x－8)＋1＝22.6，得x＝9.答案：910/34

考點1正百分比、反百分比和一次函數(shù)類實際問題 例1：(1)某電信企業(yè)推出兩種手機(jī)收費方式：A

種方式是月租20元，B

種方式是月租0元.一個月當(dāng)?shù)鼐W(wǎng)內(nèi)打出電話時間t(單位：分鐘)與打出電話費s(單位：元)函數(shù)關(guān)系如圖)2-14-1，當(dāng)打出電話150分鐘時，這兩種方式電話費相差(

圖2-14-1A.10元B.20元C.30元D.40元11/34答案：A12/34

(2)(年湖北荊州沙市中學(xué)統(tǒng)測)成城市某物流企業(yè)為了配合“北改”項目順利進(jìn)行，決定把三環(huán)內(nèi)租用倉庫搬遷到北三環(huán)外重新租地建設(shè).已知倉庫每個月占用費y1

與倉庫到車站距離成反比，而每個月車載貨物運費y2

與倉庫到車站距離成正比.據(jù)測算，假如在距離車站10千米處建倉庫，這兩項費用y1，y2

分別是2萬元和8萬元，那么要使這兩項費用之和最)小，倉庫應(yīng)建在離車站( A.5千米處

C.3千米處B.4千米處D.2千米處13/3414/34∴兩項費用之和：

∴倉庫應(yīng)建在離車站5千米處，可使這兩項費用之和最小，最小為8萬元.

答案：A15/34函數(shù)綜合題型，處理這類問題首先考慮基本不等式，當(dāng)基本不等式中等號不成立時要利用函數(shù)單調(diào)性求最值，當(dāng)然也可以利用導(dǎo)數(shù)求最值.16/34考點2二次函數(shù)類實際問題

例2：某企業(yè)生產(chǎn)A，B

兩種產(chǎn)品，依據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，A產(chǎn)品利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖2-14-2(1)；B

產(chǎn)品利潤與投資算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2-14-2(2).(注：利潤和投資單位：萬元)(1)(2)圖2-14-217/34(1)分別將A，B

兩種產(chǎn)品利潤表示為投資函數(shù)關(guān)系式；(2)已知該企業(yè)已籌集到18萬元資金，并將全部投入A，B兩種產(chǎn)品生產(chǎn).①若平均投入生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，可取得多少利潤？②問：假如你是廠長，怎樣分配這18萬元投資，才能使該企業(yè)取得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元？18/3419/34此時x＝16,18－x＝2.所以當(dāng)A，B

兩種產(chǎn)品分別投入2萬元、16萬元時，可使該企業(yè)取得最大利潤，為8.5萬元.20/34

【規(guī)律方法】二次函數(shù)是我們比較熟悉函數(shù)模型，建立二次函數(shù)模型能夠求出函數(shù)值域或最值.處理實際中優(yōu)化問題時，一定要分析自變量取值范圍.利用配方法求最值時，一定要注意對稱軸與給定區(qū)間關(guān)系：若對稱軸在給定區(qū)間內(nèi)，可在對稱軸處取一最值，在離對稱軸較遠(yuǎn)端點處取另一最值；若對稱軸不在給定區(qū)間內(nèi)，最值在區(qū)間端點處取得.另外，在實際問題中，還要考慮自變量為整數(shù)問題.21/34

【互動探究】

1.某廠有許多形狀為直角梯形鐵皮邊角料，如圖2-14-3，為降低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用，當(dāng)截取矩形面積最大時，矩形兩邊長x，y應(yīng)為()A.x＝15，y＝12B.x＝12，y＝15C.x＝14，y＝10D.x＝10，y＝14圖2-14-322/34答案：A23/34考點3分段函數(shù)類實際問題

例3：國家要求個人稿費納稅方法為：不超出800元不納稅；超出800元而不超出4000元按超出部分14%納稅；超出4000元按全稿酬11.2%納稅，若某人共納稅420元，)則這個人稿費為( A.3000元

C.3818元B.3800元D.5600元24/34解析：由題意可建立納稅額y關(guān)于稿費x函數(shù)解析式為顯然由0.14(x－800)＝420，可得x＝3800.故選B.答案：B25/34

【規(guī)律方法】分段函數(shù)主要是每一段自變量改變所遵照規(guī)律不一樣，能夠先將其看成幾個問題，將各段改變規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量范圍，尤其是端點值取舍，結(jié)構(gòu)分段函數(shù)時，要力爭準(zhǔn)確、簡練，做到分段合理、不重不漏.26/34月份用氣量/m3煤氣費/元一月份44二月份2514三月份3519【互動探究】2.(年北京西城區(qū)二模)某市家庭煤氣使用量x(單位：已知某家庭

年前三個月煤氣費以下表：若四月份該家庭使用了20m3

煤氣，則其煤氣費為()A.11.5元B.11元C.10.5元D.10元27/34解析：依據(jù)題意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，答案：A28/34

難點突破 ⊙指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型 例題：某企業(yè)為了實現(xiàn)

年1000萬元利潤目標(biāo)，準(zhǔn)備制訂一個激勵銷售人員獎勵方案：銷售利潤到達(dá)10萬元時，按銷售利潤進(jìn)行獎勵，且獎金數(shù)額y(單位：萬元)隨銷售利潤x(單位：萬元)增加而增加，但獎金數(shù)額不超出5萬元，同時獎金數(shù)額不超出利潤25%，現(xiàn)有三個獎勵模型：y＝0.025x，問其中是否有模型能完全符合企業(yè)要求？說明理由. (參考數(shù)據(jù)：1.003600≈6，e＝2.71828…，e8≈2981)29/34解：由題意，符合企業(yè)要求模型只需滿足：當(dāng)x∈[10,1000]時，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)最大值不超出5；③y≤x·25%.對于y＝0.025x，易知滿足①；但當(dāng)x>200，y>5；不滿足公司要求；對于y＝1.003x，易知滿足①；但當(dāng)x>600時，y>6,不滿足企業(yè)要求；30/3431/34

【互動探究】

3.(年四川)某食品保鮮時間y(單位：小時)與儲備溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系y＝ekx＋b(e＝2.718…為自然對數(shù)底數(shù)，k，b為常數(shù)).若該食品在0℃保鮮時間是