集合(4種核心題型+基礎保分練+綜合提

升練+拓展沖刺練)

m【考試提醒】

1.了解集合的含義，了解全集、空集的含義2理解元素與集合的屬于關系，理解集合間

的包含和相等關系.3.會求兩個集合的并集、交集與補集.4.能用自然語言、圖形語言、集

合語言描述不同的具體問題，能使用Venn圖表示集合間的基本關系和基本運算.

1.集合與元素

(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.

(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于,用符號2或生表示.

(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法.

(4)常見數(shù)集的記法

非負整數(shù)集

集合正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

(或自然數(shù)集)

符號NN*（或N+）ZQR

2.集合的基本關系

(1)子集：一般地，對于兩個集合4B,如果集合/中任意一個元素都是集合8中的元

素，就稱集合4為集合3的子集，記作/分(或82N).

(2)真子集：如果集合/=瓦但存在元素xdB,且連1，就稱集合N是集合8的真子

集,記作2(或BnZ).

(3)相等：若且四W，則4=2.

(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為0.空集是任何集合的子集,是任何非空

集合的真子集.

3.集合的基本運算

表示

未口舊口圖形語言記法

運

并集{xx￡4,或上￡5}

一

交集且x>5}

補集「⑷]C/

【常用結論】

1.若集合4有〃5巳1）個元素，則集合4有2”個子集，2〃一1個真子集.

2.AC\B=A<>A^B,AUB=A^B^A.

E3【核心題型】

題型一集合的含義與表示

解決集合含義問題的關鍵有三點：一是確定構成集合的元素；二是確定元素的限制條件;

三是根據(jù)元素的特征（滿足的條件）構造關系式解決相應問題.

【例1】下列四組集合中表示同一集合的為（）

A.W={（-1,3）},N={（3,-1）}B.M={-1,3},#={3,-1}

C.M=[^x,y）\y=JC+3@,N={x=x?+3x}D.M={0},N=0

【答案】B

【分析】根據(jù)集合元素的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】選項A：兩個集合中元素對應的坐標不同，A錯誤；

選項B：集合中的元素具有無序性，兩個集合是同一集合，B正確；

選項C：兩個集合研究的對象不同，一個是點集，一個是數(shù)集，C錯誤；

選項D：河是以0為元素的集合，N是數(shù)字0,D錯誤.

故選：B

【變式1】已知集合"。}={-1,0,1},若下列三個關系有且只有一個正確：①aw-1；

②b=T；③-0,則產(chǎn)_26+4C=（）

A.2B.3C.5D.8

【答案】B

【分析】根據(jù)集合相等的定義分類討論進行求解即可.

【詳解】假設①②6=T錯，③crO對，

因為{。,仇。}={-1,0,1},

所以有a=-1力=0,c=l,此時產(chǎn)一26+4c=-1+4=3;

假設①aw-1,③cwO錯，②6=T對，

因為aw-1錯，必有。=-1,而6=T,不符合集合元素的互異性，假設不成立；

假設②6=T,③c#0錯，①aw-l對，

因為cwO錯，所以c=0,

因為6=T錯，所以6W-1對，而。片-1對，因此只能。=6=1,不符合集合元素的互異

性，假設不成立，

綜上所述：/⑵一26+4C=3,

故選：B

【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用假設法、應用集合元素的互異性進行判斷.

【變式2］（23-24高三下?江西?階段練習）已知工=卜卜2-6+140},若2G/,且3e/,

則。的取值范圍是（）

「、（「）（明

A-510B.匕51司01C.仁5+ooJD.「。of

【答案】A

【分析】根據(jù)題目條件得到不等式，求出答案.

【詳解】由題意得4一2。+140且9-3a+l>0,—.

23

故選：A

【變式3］（23-24高三下?湖南長沙?階段練習）已知集合/=卜—341卜5={-1,0,1},

則集合的非空子集個數(shù)為（）

A.4B.3C.8D.7

【答案】B

【分析】由題意化簡集合A,得/口8={0,1},由此即可進一步求解.

【詳解】因為/={#2-2x40}=b|04xW2},5={-1,0,1},因此裕8={0,1}.

故該集合的非空子集個數(shù)為2?-1=3個.

故選：B.

題型二集合間的基本關系

（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合關系問題時，必須考慮空集的情況，否則易造成

漏解.

（2）已知兩個集合間的關系求參數(shù)時，關鍵是將條件轉化為元素或區(qū)間端點間的關系，進

而轉化為參數(shù)所滿足的關系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題.

【例21在集合/={-1,123,4,5,6}的子集中，含有3個元素的子集的個數(shù)為.

【答案】35

【分析】根據(jù)給定條件，利用子集的意義，借助組合列式計算即得.

【詳解】集合/=卜1,1,2,3,4,5,6}中有7個元素，

所以含有3個元素的子集的個數(shù)為C；=35.

故答案為：35

【變式1】（2024?海南?模擬預測）已知集合/={1,2,4},8={a,/},若N口8=8,則

a—.

【答案】2

【分析】根據(jù)交集結果可知結合子集關系分析求解.

【詳解】因為/口8=8,可得2=/,

可知且aw/,所以。=2.

故答案為：2.

【變式2】集合/={一3,間，B={m2+4m,-1},且4=8,則實數(shù)機=.

【答案】-1

\m=—1

【分析】根據(jù)集合關系/=8,可得2,。，從而可求解.

+4m=—3

【詳解】由題意得N=8,

[m=-1

則°，解得用=-1.

\m+4m=-3

故答案為：-1.

【變式3】若集合/={司弟-辦+1<0}=0,則實數(shù)。的值的集合為.

【答案】{a\0<a<4}

【分析】分。=0與兩種情況，結合根的判別式得到不等式，求出答案.

【詳解】當。=0時，/=何1<0}=0滿足題意；

I?>0

當"。時，應滿足-0,解得。<黑4；

綜上可知，a的值的集合為{司04?！?}.

故答案為：{H0<。<4}.

題型三集合的基本運算

命題點1集合的運算

【例3】（23-24iWi三下,江西,階段練習）已知集合/=卜|24兀+不<x<24兀+?-,左eZ

集合左兀+工<%<左兀+工，左

8=1%|cZ則/nB=（）

（CT兀2兀）,T71711,

A.I2kii+—,2kn+—I,左eZB.左兀H—,krjiH—,k￡Z

I43；

（2兀ci兀、，（171兀、，

C.2kjiH—,2kjiH—,k￡ZD.kitH—,kruH—,k￡Z

I63JI63）

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件把集合8寫成用2萬萬+。（左eZ）形式表示的集合，再與集合/求

交集即可.

+x

【詳解】依題意，B=卜|2阮+；<x<2加+三,左Gz|ojx|2kn<2左兀+手,左Gz|

_.II_T7i_727rjI

而A=jx|2左兀+—<x<2k7i+—GZ>,

所以/cB=卜|"兀+x<2t7r+；Aezj>=^2foi+^-,2A：7r+-1-^,keZ.

故選：A

【變式1]（2024?云南紅河?二模）設集合/={0,1,2},8={3,加}，若Zc8={2},則/u8=

（）

A.{0,1,2,3}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{2,3}

【答案】A

【分析】根據(jù)集合的運算性質(zhì)進行判斷即可.

【詳解】由/c3={2}得加=2,

所以3={2,3},A'UB=[0,1,2,3}.

故選：A.

【變式2]（23-24高一上?陜西寶雞?期中）已知

U=亂2,3,4,5,6,7},/={2,4,5},3={1,3,5,7},則/n（四8）=（）

A.{1,3,4}B.{3,4}C.{2,4,6}D.{2,4}

【答案】D

【分析】由已知集合的交集及補集定義運算即得.

【詳解】因。={1,2,3,4,5,6,7},4={2,4,5},3={1,3,5,7},

則。8={2,4,6},故（電8）={2,4}.

故選：D.

命題點2利用集合的運算求參數(shù)的值（范圍）

對于集合的交、并、補運算，如果集合中的元素是離散的，可用Venn圖表示；如果集

合中的元素是連續(xù)的，可用數(shù)軸表示，此時要注意端點的情況.

【例4】（2024?四川涼山?二模）已知集合/={y|y=x+l,-lWxWl},B=[x\x<a],若

=8,則。的取值范圍為（）

A.[0,2]B.[2,+co)C.(-0°,2]D.(-00,1]

【答案】B

【分析】求出函數(shù)值域化簡集合4再利用給定的運算結果，借助包含關系求解即得.

【詳解】A=[y\y=x+1,-1<x<l]=[0,2.],而3=（-<?,a],

由=得/三3,則a22,

所以。的取值范圍為[2,+oo）.

故選：B

【變式1]（2024?全國?模擬預測）已知集合么={-5,-1,1,5）,5=卜|℃<。+3},若/八3

中有2個元素，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.（-2,-1）B.[-2,-1]C.（-2,2]D.[-5,-1）

【答案】A

【分析】根據(jù)兩集合的元素特征和/C3中只有2個元素的要求，可得到關于。的不等

式組，解之即得.

【詳解】因為8={x[a<x<a+3},a+3-a=3,

又/={-5,-1,1,5},NcB中有2個元素，

f—5KQv—1

所以中的2個元素只能是-1/，則?~解得-2<a<-1.

[1<a+345

故選：A.

【變式2].已知集合4={x|-3<2x+l<7},8={小<-4或x>2},

C={x|3“-2cx<a+1}.

⑴求/n（”）；

（2）若“p：xf率（NU3）”是“q：xeC”的充分不必要條件，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】（1）卜|一2<xW2}

2

（2）-3<a<-y

【分析】（1）先求出集合A,再求出務—最后由交集的運算求出/n&8）；

（2）先求出/口3,再求出備再由充分不必要條件構造關于。的方程組，解

出即可.

【詳解】（1）因為/={x|-3<2x+l<7}={x|-2<x<3},又々8={x|-4#x2）,

所以/「&@=卜|一2<%￡2}.

(2)/uB={x[x<-4或x>-2},所以備(NU8)={x|-4#x-2},

因為5:x1條(/U3”是“q:xeC”的充分不必要條件，

則張(/UB"C,XC={x|3a-2<x<a+l),

[3(2-2<-42

所以，口、9^-3<a<--.

+1〉—23

題型四集合的新定義問題

解決集合新定義問題的關鍵

解決新定義問題時，一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義，緊扣題目所給定義，結合題目所給

定義和要求進行恰當轉化，切忌同已有概念或定義相混淆.

【例51(23-24高三下?上海?階段練習)對于全集R的子集/,定義函數(shù)以(x)=%彳€]

為N的特征函數(shù).設8為全集R的子集，下列結論中錯誤的是()

A.若則/.("W/G)B.加x)=l-力(尤)

c.￡tc8(x)=L(x)j(x)D.九￡x)=L(x)+/(x)

【答案】D

【分析】根據(jù)新定義進行驗證.

【詳解】選項A,A三B,若xe/,則xeB,此時為(x)=%(尤)=1,

若xeB且xe/,則力(x)=0,fB{x}=\,若尤任8,則尤任/,則力(x)=/(x)=0,所

以力(x)4/(x)成立，A正確;

選項B,由補集定義知xeZ時，xA>力⑴=1，片(x)=0,

同樣知尤任/時，XGA,〃X)=0,&X)=1,

所以心(x)=l-力(x),B正確;

選項C,xe/PlB時，必有xeZ且因此/4nB(》)=//工)=%。)=L

當xe/ClB時，xe/與xe3中至少有一個成立，

因此Zw(x)=°，而力(x)=0與/(尤)=0至少有一個成立，

綜上有￡點(0=力(》)?/。),c正確;

選項D,當力c_8/0時，若XEZCIB,貝（jxcZUB,xeA,xeB,

因此辦U5（x）=/Ax）=/（X）=i，此時z^a）=La）+/a）不成立，D錯誤.

故選：D.

0,X=03

【變式1］（2024?河南?模擬預測淀義sgn（尤）=,王?,若集合/=b|y=歲gn（x,

fl17J

則/中元素的個數(shù)為（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【分析】利用集合的新定義找到符合條件的元素個數(shù)即可.

【詳解】由題知〉的可能取值有-3,-2,-1,0,1,2,3,則集合/中有7個元素.

故選：B.

【變式2］（2024?黑龍江?二模）已知集合/={1,2},5={3,4},定義集合：

A^B=^x,y）\x^A,y^B},則集合/*8的非空子集的個數(shù)是（）個.

A.16B.15C.14D.13

【答案】B

【分析】先確定集合4*3有四個元素，則可得其非空子集的個數(shù).

【詳解】根據(jù)題意，A^B={（x,y）|xeA,yeB}={（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）},

則集合4*B的非空子集的個數(shù)是24-l=15.

故選：B

【變式3】已知實數(shù)集A滿足條件:若ae/,則則集合A中所有元素的乘積

\-a

為（）

A.1B.-1C.±1D.與。的取值有

關

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，遞推出集合N中所有元素，可得答案.

【詳解】由題意，若ae/,—EA,

1—CL

ya—1

1+-----

——^_±|=aeA,

a-\

1--------

a+\

綜上，集合/=

[a

所以集合4中所有元素的乘積為J']?二■?產(chǎn)=1.

\a）a+11-a

故選：A.

【課后強化】

【基礎保分練】

一、單選題

I.下列說法中正確的是（）

A.1與｛1｝表示同一個集合

B.由1,2,3組成的集合可表示為｛1,2,3｝或｛3,2,1｝

C.方程（》-1）2（尸2）=0的所有解的集合可表示為｛1,1,2｝

D.集合｛x[4<x<5｝可以用列舉法表示

【答案】B

【分析】根據(jù)集合的相關概念以及表示方法，對每個選項進行逐一分析，即可判斷選擇.

【詳解】對于A,1不能表示一個集合，故錯誤；

對于B,因為集合中的元素具有無序性，故正確；

對于C,因為集合的元素具有互異性，而｛1,1,2｝中有相同的元素，故錯誤；

對于D,因為集合｛x[4<x<5｝中有無數(shù)個元素，無法用列舉法表示，故錯誤.

故選：B.

2.（2024?福建廈門?二模）設集合/=｛-1,0,1｝,5=｛（xj,x2,x3,x4,x5）|x;eA,i=1,2,3,4,5｝,

那么集合8中滿足1引西|+國+國+周+同43的元素的個數(shù)為（）

A.60B.100C.120D.130

【答案】D

【分析】明確集合8中滿足14㈤+周+同+同+4區(qū)3的含義,結合組合數(shù)的計算,

即可求得答案.

【詳解】由題意知集合8中滿足長聞+聞+閭+闖+|當歸3的元素的個數(shù),

即指王廣2，%,匕,天中取值為-1或1的個數(shù)和為1或2或3,

故滿足條件的元素的個數(shù)為C：x2+C；x22+C；x23=10+40+80=130（個），

故選：D

3.集合M={xeN[0<x<3}的子集的個數(shù)是（）

A.16B.8C.7D.4

【答案】D

【分析】首先判斷出集合M有2個元素，再求子集個數(shù)即可.

【詳解】易知集合屈="eN[0<x<3}={1,2}有2個元素，

所以集合/的子集個數(shù)是2?=4.

故選：D.

4.（2024?浙江?模擬預測）已知全集

（/M）n2V={4},則McN=（）

A.0B.{4}C.{5}D.{1,2}

【答案】C

【分析】根據(jù)Venn圖，即可求解.

【詳解】如圖，畫出Venn圖，并將條件中的集合標在圖中，

如圖，集合McN={l,2,5}c{4,5}={5}.

故選：C

二、多選題

5.（2024?全國?模擬預測）設4,5,…，4（〃"）為集合S={1,2,…㈤的“個不同子

集，為了表示這些子集，作〃行"列的數(shù)陣，規(guī)定第i行第/列的數(shù)為%=,生/.則

下列說法中正確的是（）

A.數(shù)陣中第一列的數(shù)全是0,當且僅當4=0

B.數(shù)陣中第"列的數(shù)全是1,當且僅當4=5

c.數(shù)陣中第4行的數(shù)字和表明集合4含有幾個元素

D.數(shù)陣中所有的個數(shù)字之和不超過d-n+l

【答案】ABD

fO,zgAi

【分析】由集合的子集的概念和規(guī)定第i行與第7列的數(shù)為與對選項一一

判斷即可.

【詳解】選項A：數(shù)陣中第一列的數(shù)全是0,當且僅當1任4,2任4,…，"任4,4=0,

故A正確.

選項B：數(shù)陣中第"列的數(shù)全是1,當且僅當le4，2e4，…，neA”,：.An=S,

故B正確.

選項C：數(shù)陣中第/列的數(shù)字和表明集合4含有幾個元素，故C錯誤.

選項D：當4，4，…，4中一個為s本身，其余n-l個子集為S互不相同的n-l元

子集時，

數(shù)陣中所有的1個數(shù)字之和最大，且為“+（"7）2=/一〃+1,故口正確.

故選：ABD

6.（2024高三?全國?專題練習）由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學危機一直延續(xù)到19世紀，直到1872

年，德國數(shù)學家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)（史稱戴

德金分割），并把實數(shù)理論建立在嚴格的科學基礎上，才結束了無理數(shù)被認為“無理”的

時代，也結束了持續(xù)2000多年的數(shù)學史上的第一次大危機.所謂戴德金分割，是指將

有理數(shù)集Q劃分為兩個非空的子集"與N,且滿足MuN=Q,McN=0,"中的

每一個元素小于N中的每一個元素，則稱（W,N）為戴德金分割.試判斷下列選項中，

可能成立的是（）

A.M={x\x<0},N={x|x>0}是一個戴德金分割

B.M沒有最大元素，N有一個最小元素

C.M有一個最大元素，N有一個最小元素

D.A/■沒有最大元素，N也沒有最小元素

【答案】BD

【分析】根據(jù)戴德金分割的定義，結合選項，分別舉例，判斷正誤.

【詳解】對于A,因為M={x|x<0},"=所以MUN={X|XRO}HQ,故A

錯誤;

對于B,設M={x|x<O,xeQ},N={尤|x20,xeQ},滿足戴德金分割，

此時M沒有最大元素，N有一個最小元素為0,故B正確；

對于C,若M有一個最大元素，N有一個最小元素，

則不能同時滿足MUN=Q,MCN=0,故C錯誤；

對于D,設M=卜卜<V^XCQ},7V={x|x>V2,xeQ),滿足戴德金分害U,

此時M沒有最大元素，N也沒有最小元素，故D正確.

故選：BD.

三、填空題

7.已知集合/={1,2},3={1.3},且N=則。=.

【答案】2

【分析】根據(jù)集合自己的概念即可求解.

【詳解】：/={1,2},8={1,。,3},且

二集合A里面的元素均可在集合B里面找到，

。=2.

故答案為：2

四、解答題

8.已知集合B三U,全集U={1,2,3,4,5,6},且?/={1,3,4},5={3,5,6}

(1)求集合A；

(2)求ZcB.

【答案】(1){2,5,6}

⑵{5,6}

【分析】(1)根據(jù)補集的定義和運算即可求解;

(2)根據(jù)交集的定義和運算即可求解.

【詳解】(1)因為。={1,2,3,4,5,6},令4={1,3,4},

所以N={2,5,6}.

(2)8={3,5,6},由(1)知，

ns={5,6}.

9.已知集合/={1,4},5={1,4,5,6}.

（1）求4cB及；

⑵求句4

【答案】（l）/n2={l,4},/18={1,4,5,6}

（2）6^={5,6}

【分析】利用交集，并集及補集運算直接求解.

【詳解】（1）集合力={1,4},8={1,4,5,6},

故/口2={1,4},/u3={l,4,5,6}

⑵a/={5,6}.

【綜合提升練】

一、單選題

1.（2024高三,全國?專題練習）已知集合/=卜卜？—4.x—520},8=卜k—3<x<a+4},

若/UB=R,則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.[a\a>1}B.{a[l<a<2}

C.\a\a<2}D.{?|1<a<2}

【答案】D

【分析】先求出一元二次不等式的解集，依題借助于數(shù)軸得到關于。的不等式組，解之

即得.

【詳解】Vx2-4.X-5>0,.,.x<-1sKx5,^4={x|x<-l^x>5},

又,解得lVaV2.

[a+4>5

故選:D.

2.（23-24高三下?河南?階段練習）已知全集。={-2,-1,0,1,2},集合

/={一2,0},2=卜口-2x=q,則2（/u8）=（）

A.{-1,1,2}B.{-1,0,1}C.{1}D.{-1,1}

【答案】D

【分析】根據(jù)集合的并集與補集運算即可.

【詳解】因為/={-2,0},8={0,2},所以/。8={-2,0,2},又。={-2,7,0,1,2},

所以街（4U8）={-1,1}.

故選：D.

3.(23-24高三下?湖北?階段練習)已知集合4={1,2},8={0,2},若定義集合運算：

A*B=[z\z=xy,x&A,ye,則集合N*B的所有元素之和為()

A.6B.3C.2D.0

【答案】A

【分析】計算出z的所有取值即可得.

【詳解】x可為1、2,y可為0、2,有z=0、2、4,

故/*3={0,2,4},所以集合/*B的所有元素之和為6.

故選：A.

4.(2024?全國?模擬預測)已知集合。=2,A=[x\x=2k+\,k&7],

B=1x|x=4k+2,keZ|,則{x|x=4左，4wZ}=()

A.d(NcB)B.d(ZU8)C.務D.

【答案】B

【分析】分析集合/可知/={x|x=4左+1或4"3,左eZ},結合并集和補集的定義與運算

即可求解.

【詳解】對于集合/={小=2左+1,左eZ}中的元素，

當左二2%,時，％=4/+1；當左=2r+1,時，x=4，+3,

所以4u3={1%=4左+1或4左+2或4%+3,左wZ},

故用(/dB)={x|%=4k,左￡Z}.

故選：B.

5.設全集U=R,集合集合3=國欣21},貝1J/口(38)=()

A.(e,3)B.[e,3]C.[-2,e]D.(-2,e)

【答案】D

【分析】先求集合48,再結合集合間的運算求解.

【詳解】因為二V0等價于[。1)(：+2)40,解得一2<XV3,即/={H-2<XW3},

x+2x+2w0l)

又因為B={x|lnx21}={x|x2e},可得25={x|x<e},

所以/c（電8）=（-2,e）.

故選：D.

6.（2024?陜西咸陽?二模）已知集合/=,5=k|y=log2(d-16則

Nc(”)=()

A.(-1,4)B.[-1,4]C.(-1,5]D.(4,5)

【答案】B

【分析】計算出集合A、3后，借助補集定義及交集定義即可得.

【詳解】由五」，即*+1）（：-力0,解得TWX<5,故/=同一』<5},

由y=log2（%2—16）,可得16〉0,即x>4或xv—4,i^^B=[x\-4<x<4],

故Zc隔8）={x|-lWxV4}.

故選：B.

7.已知集合S是由某些正整數(shù)組成的集合，且滿足：若aeS,則當且僅當。=機+〃（其

中正整數(shù)加、“eS且加片"）或。=。+4（其中正整數(shù)。、qeS且pwq）.現(xiàn)有如下

兩個命題：①5eS；②集合{尤|無=3",〃eN*}qS.則下列判斷正確的是（）

A.①對②對B.①對②錯C.①錯②對D.①錯②錯

【答案】A

【分析】根據(jù)集合S的定義即可判斷①是假命題，根據(jù)集合S的定義先判斷5eS,3〃eS,

再由Vxe/,有尤=3〃+5,3〃eS,5eS且3〃*5,所以xeS,可判斷②是真命題.

【詳解】因為若aeS,則當且僅當”（其中且加="），或。=p+q（其中

p,q走S,p,qeZ且p*q）,

且集合S是由某些正整數(shù)組成的集合，

所以1ES,2婦5,

因為3=1+2,滿足a=P+4（其中°，4e5,°，4?2*且。*0）,所以3eS,

因為4=1+3,且1至S,3eS,所以4e5,

因為5=1+4,4",所以5eS,故①對；

下面討論元素3小>1）與集合S的關系,

當〃=1時，3e5；

當”=2時，6=2+4,2eS,4gS,所以6eS；

當〃=3時，9=3+6,3eS,6eS,所以9eS；

當”=4時，12=3+9,3eS,9eS,所以12eS；依次類推,

當"23時，3/z=3+3（M-1）,3eS,3（n-l）eS,

所以3〃eS,貝ij{x|x=3〃,“eN*}uS,故②對.

故選：A.

【點睛】關鍵點睛：本題解題的關鍵在于判斷1任$,2wS,3eS,4eS,再根據(jù)集合

S的定義求解.

8.已知函數(shù)了=卜]為高斯函數(shù)，表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，例如

[-0.5]=-1,[1.3]=1.^A={-2,-1,0,1},B=\yy=/(x)-1+/(l-x)-1,XWR],

則集合A,B的關系是()

A./cB={-2}B.八{TO/}

C./c8={-l,0}D./口8={0,1}

【答案】C

【分析】根據(jù)題意分別求出集合8=然后利用集合的交集運算從而求解.

4,

【詳解】由題意得〃x)=,所以

4工+2

x22_

y=/（）-1+/（I）-\+

224x+24x+22

11912

因為甲+2＞2,所以0＜不備＜5'所以不螢武刈,所以2，

21

------------G

4、+22

當二一J。，)時,12二一"

------------G041,0,此時y=0+（-1）=7,

4、+2124x+24"+22I

當「口時,12210,|\此時y=7+0=_l,

r------------G------------G

24、+24x+22

1221

----------=0,止匕時歹=0+0=0,

24"+24*+22

綜上：5={0,-1},所以4cB={-1,0},故C正確.

故選：C.

【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)高斯函數(shù)對了=/(x)-1+/(1-x)-^1-分情況討論具體的

2

取值求出集合5,從而求解.

二、多選題

9.若全集。={1,2,3,4,5,6},M={1,4},N={2,3},則集合竹⑹等于()

A.(物町U(UN)B.四(MUN)C.%,〃)ND.先N)“

【答案】BCD

【分析】根據(jù)交并補的混合運算逐個選項判斷即可.

【詳解】對A,4”={2,3,5,6},”={1,4,5,6},故(您M)U(州)={123,4,5,6},故A

錯誤；

對B,MUN={1,2,3,4},故令(MUN)={5,6},故B正確;

對C,令可={2,3,5,6},故。“嚴={5,6},故C正確；

對D,dN#1,4,5,6},故%={5,6},故D正確.

故選：BCD

19

10.(2024?遼寧遼陽一模)已知集合/={x|—eN,xeN},B={x[x2-6x<7},貝I")

X+1

A.Nc8={l,2,3,5}B./u8=(-1,7)U{11}

C.12g{^x-y\xeA,yeD.3aeA,^y\y=lg(x2-ax+9)j=R

【答案】BCD

【分析】求出集合42,根據(jù)集合的運算即可判斷A,B；結合尤-y<12,可判斷C；

由}|y=lg(x2-辦+9)}=R,結合判別式，可求得°的范圍，即可判斷D.

1?

【詳解】由題意得/={刈一eN,XGN)={0,1,2,3,5,11},5={xI-6%<7}=(-1,7),

X+1

故"c8={0,l,2,3,5},/口8=(-1,7)311}，A錯誤,B正確；

由于xeN/eB,故x-y<11-(-1)=12,則12e{x-y|xe/jeB},C正確；

若{引V=lg(x°-辦+9)}=R,則--ax+9能取到所有的正數(shù)，

即〃2_3620，則a26或aW—6,

即表￡4}Iy=lg(/-ax+9)}=R,D正確，

故選：BCD

11.已知集合4B滿足8={(x/,z)|x+y+z=ll,x,y,z〃},則下列說法正確的是()

A.若/={-2,0,1,13},則3中的元素的個數(shù)為1

B.若/={xlx=24+l#eN},則B中的元素的個數(shù)為15

C.若/=N+，則3中的元素的個數(shù)為45

D.若么=1'},則B中的元素的個數(shù)為78

【答案】BCD

【分析】對于A,由集合3的定義即可列舉出集合8中所有的元素即可判斷；對于B,

A中的元素均為正奇數(shù)，對x分類討論即可驗算；對于C,原問題等價于將11個大小

相同、質(zhì)地均勻的小球分給甲、乙、丙3個人，每人至少分1個，利用隔板法即可驗算；

對于D,原問題等價于將14個大小相同、質(zhì)地均勻的小球分給甲、乙、丙3個人，每

人至少分1個，利用隔板法驗算即可.

【詳解】由題意得2={(-2,0,13),(-2,13,0),(0,-2,13),(13,0,-2),(13,-2,0),(13,0,-2)},

所以3中的元素的個數(shù)為6,A錯誤.

由題意得A中的元素均為正奇數(shù)，在8中，

當x=l時，有(1,1,9),(1,3,7),(1,5,5),(1,7,3),(1,9,1)共5個元素，

當x=3時，有(3,1,7),(3,3,5),(3,5,3),(3,7,1)共4個元素，

當x=5時，有(5,1,5),(5,3,3),(5,5,1)共3個元素，

當x=7時，有(7,1,3),(7,3,1)共2個元素，

當x=9時，有(9,1,1)共1個元素，

所以3中的元素的個數(shù)為5+4+3+2+1=15,B正確.

8={(x,y,z)|x+y+z=ll,x,y,zeN+},可轉化為將11個大小相同、質(zhì)地均勻的小球分

給甲、乙、丙3個人，每人至少分1個，

利用隔板法可得分配的方案數(shù)為C；0=45,所以3中的元素的個數(shù)為45,C正確.

8={(x,y,z)|x+y+z=ll,x,y,zeN}={R,y,z)g+1+g+1+(+1/14,x+l,y+l,z+1eN

可轉化為將14個大小相同、質(zhì)地均勻的小球分給甲、乙、丙3個人，每人至少分1個，

利用隔板法可得分配的方案數(shù)為C：3=78,所以3中的元素的個數(shù)為78,D正確.

故選：BCD.

【點睛】關鍵點點睛：判斷CD選項的關鍵是將問題進行適當?shù)霓D換，并利用隔板法,

由此即可順利得解.

三、填空題

12.已知集合〃={-2,0,2,4},N=[x\x>m],若McN=M,則用的最大值為.

【答案】-2

【分析】依題意可得MqN,即可求出加的取值范圍，從而得解.

【詳解】因為河={-2,0,2,4},N={x|x?m}且McN=M,

所以MuN,則川4-2,所以用的最大值為-2.

故答案為：-2

13.（2024?廣東湛江一模）已知全集U為實數(shù)集R,集合/={小244},

5={x|log2x>2},則/U22=.

【答案】（-知4]

【分析】解不等式可分別求得集合48,根據(jù)并集和補集定義可得到結果.

【詳解】由-V4得：卜4x42,即4=[-2,2]；

由bg?x>2得：x>4,即3=（4,+8）,，務5=（-8,4],二/1^8=（-*4].

故答案為：（—8,4].

14.（2024?遼寧?一模）已知集合"=,舊=J-2/+3X+2卜N={尤eN|x>-2},則

M=,McN=.

【答案】|x|-1<x<2j{0,1,2}

【分析】首先解一元二次不等式求出集合"，再根據(jù)交集的定義計算可得.

【詳解】由-2X2+3X+220,即（2X+1）（尤-2）V0,解得-g〈xW2,

所以A/=[x|y=J-2x'+3x+2）=1x]VxV2；,

又"="€可尤>一2},所以MnN={0,l,2}.

故答案為：|x|-1<x<2j；{0,1,2）

四、解答題

15.（2024高三?全國?專題練習）己知集合4={小2—2工+a=0},8={1,2},且

求實數(shù)°的取值范圍.

【答案】[1,+oo）.

【詳解】解：若4=0,則/=4-4aV0,解得〃>1；

若1￡力，由1-2+。=0得〃=1,止匕時4={1},符合題意;

若2GN,由4—4+a=0得a=0,此時N={0,2},不符合題意.

綜上，實數(shù)。的取值范圍是[1,+oo).

【考查意圖】利用集合間的關系求參數(shù)的取值范圍.

16.(2024高三?全國?專題練習)已知集合/=任片一4工一5成},5={x|2x-6>0},M=

AQB.

(1)求集合M-,

(2)已知集合C={x|a—lSE7-a,a^R},若求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)[3,5]

(2)(—00,2]

【詳解】(1)由N-4X-5W0,得一1SE5,

所以/=[-1,5].

由2X一6沙，得史3,所以8=[3,+oo).

所以M=[3,5].

(2)因為AfnC=M,所以

a-1<3?

則，7?>5,解得-2.

a—1<7—o,

故實數(shù)。的取值范圍是(一8,2].

17.已知.為實數(shù)，設集合/={x12x+aVx”.

⑴設集合8={x|lgx=0},若求實數(shù)。的取值范圍.

(2)若集合N=R,求實數(shù)。的取值范圍；

【答案】(1)。43

(2)a<-l

【分析】(1)根據(jù)包含關系可得le/,故可求參數(shù)的取值范圍.

(2)根據(jù)解集為R可得判別式的符號，故可求參數(shù)的取值范圍.

【詳解】(1)8={1},因為故le/,故-2xl+aW1即。43.

(2)因為/=R,故一2x+aV-即x'+Zx-aNO在R上恒成立，

I^A^4+4a<0,Ha<-1.

/、f-1,xeM

18.對于集合M,定義函數(shù)為x=對于兩個集合定義集合

1,x

M田N=卜|京（尤）?以⑺=7}.已知集合4={1,3,5,7,9},5={2,3,5,6,9}.

(1)求力⑴與4(1)的值;

(2)用列舉法寫出集合A0B；

(3)用Card(M)表示有限集合“所包含元素的個數(shù).已知集合X是正整數(shù)集的子集，求

Card(X<8M)+Card(X?8)的最小值，并說明理由.

【答案】⑴〃⑴=-1,%(1)=1;

(2)^0S={1,2,6,7};

(3)4.

【分析】(1)根據(jù)給定的定義計算即得.

(2)求出/cB,再結合定義及運算寫出集合488.

(3)根據(jù)給定的定義分析得出取最小值的條件，即可求得答案.

【詳解】(1)依題意，Ic41e8,所以力⑴=一1,^(1)=1.

(2)由/={1,3,5,7,9},8={2,3,5,6,9},得Zc8={3,5,9},

因此屬于A不屬于3的元素為1,7,屬于B不屬于A的元素為2,6,

所以/③8={1,2,6,7}.

(3)依題意，對于集合C,X,

①若aeC且atX,則Card(C③(Xu{a}))=Card(Cg)X)-l,

②若atC且alX,則Card(C⑤(X3a}))=Card(C?X)+l,

因此要使?2出('區(qū)/)+?江(1(》區(qū)3)的值最小，3,5,9一定屬于集合X,

l,2,6,7是否屬于集合X不影響Card(X③N)+Card(X⑤8)的值，集合X不能含有/口3

之外的元素，

所以當X為集合{126,7}的子集與集合{3,5,9}的并集時，Card(X(8M)+Card(X<8)8)取

得最小值4.

【點睛】關鍵點點睛：涉及集合新定義問題，關鍵是正確理解給出的定義，然后合理利

用定義進行集合的分拆并結合集合元素的性質(zhì)、包含關系以及集合運算等知識綜合解

決.

19.對于數(shù)集'={-1,再,移…,％}，其中0<西<%<一<與，n>2,定義向量集

￥={乖=(s,f),seX,/eX},若對任意百eV,存在2eV,使得4?4=(),則稱X具

有性質(zhì)P.

⑴設X={T,1,2},請寫出向量集y并判斷X是否具有性質(zhì)尸(不需要證明).

⑵若且集合“具有性質(zhì)P,求X的值；

(3