高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義及高頻考點(diǎn)歸納與方法總結(jié)(新高考通用)

函數(shù)的奇偶性、周期性和對(duì)稱性(精講)

考點(diǎn)歸納

①函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用

②函數(shù)的周期性

③函數(shù)的對(duì)稱性

★④函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

、必備知識(shí)整合

一、函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點(diǎn)

如果對(duì)于函數(shù)“X)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有/(-X)=/(X),

偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱

那么函數(shù)/(X)就叫做偶函數(shù)

如果對(duì)于函數(shù)/(X)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有

奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

那么函數(shù)“X)就叫做奇函數(shù)

注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)前提條件是：對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)X,-X也

在定義域內(nèi)(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱).

二、函數(shù)的對(duì)稱性

(1)若函數(shù)y=/(x+a)為偶函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)關(guān)于x=a對(duì)稱.

⑵若函數(shù)y=〃x+a)為奇函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱.

(3)若/(x)=/(2a-x),則函數(shù)/(x)關(guān)于x=a對(duì)稱.

(4)若/(x)+/(2(7-x)=26,則函數(shù)/(x)關(guān)于點(diǎn)(a,6)對(duì)稱.

三、函數(shù)的周期性

(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)y=/(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有

/(x+T)=/(%),那么就稱函數(shù)y=/(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)/(%)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么稱這個(gè)最小整數(shù)叫做/(x)

的最小正周期.

常用結(jié)論

1.奇偶性技巧

(1)若奇函數(shù)y=/(x)在x=0處有意義，則有/(0)=0；

(2)對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：

①奇土奇=奇；

②偶土偶=偶；

③奇±偶=非奇非偶；

④奇乂(一)奇=偶；

⑤奇X(4-)偶=奇；

⑥偶X(+)偶=偶.

(3)常見(jiàn)奇偶性函數(shù)模型

奇函數(shù)：

a

①函數(shù)或函數(shù)f(x)=m(S.

a-1a+1

②函數(shù)/(x)=±⑷一/).

③函數(shù)/(x)=logfl葉依=bg0(1+用。)或函數(shù)/(x)=log“三士=log。(1一-如-)

x-mx-mx+mx+m

2

④函數(shù)/(X)=10ga(Jx2+1+%)或函數(shù)f(x)=10gfl(V%+1-%).

注意：關(guān)于①式，可以寫成函數(shù)〃x)=7"+0L(XHO)或函數(shù)〃x)=m-用L(meR).

a-1。+1

偶函數(shù)：

①函數(shù)/0)=±(優(yōu)+°7).

②函數(shù)/(x)=bg0(*+D-等.

③函數(shù)〃［劉)類型的一切函數(shù).

2.周期性技巧

函數(shù)式滿足關(guān)系(D周期

f(x+T)=f(x)T

f(x+T)=-f(x)2T

〃=』;〃-上

x+7)x+7)=2T

〃x)f(x)

f(x+T)=f(x-T)2T

f(x+T)=-f(X-T)4T

\f{a+x)=f{a-x)

2(b-a)

\f(b+x)=f(b-x)

[f{a+x)=f{a-x)

2a

[/(x)為偶函數(shù)

{f{a+x)=-f{a-x)

2(b-a)

f(b+^=-f(b-x)

f(a+x)=-/(a-x)

2a

〃x)為奇函數(shù)

f{a+x)=f{a-x)

4(6-d)

f(b+x)=-f(b-x)

\f{a+x)=f{a-x)

1/(x)為奇函數(shù)4。

f(a+x)=-f(a-x)

4。

/(x)為偶函數(shù)

3.函數(shù)的的對(duì)稱性與周期性的關(guān)系

(1)若函數(shù)y=/(x)有兩條對(duì)稱軸x=a,x=b(a<b),則函數(shù)/(x)是周期函數(shù)，且7=2。-°)；

(2)若函數(shù)y="x)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心(a,c),(6,c)(a<6),則函數(shù)y=/(x)是周期函數(shù)，且7=2(6-。)；

(3)若函數(shù)/=/(外有一條對(duì)稱軸工=0和一個(gè)對(duì)稱中心(6,0)(0<6),則函數(shù)y=/(x)是周期函數(shù)，且

T=4(b-a).

4.對(duì)稱性技巧

(1)若函數(shù)y=/(x)關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則/(?+%)=/(a-x).

(2)若函數(shù)y二”好關(guān)于點(diǎn)^^①對(duì)稱，貝ij/(a+x)+/(a-x)=26.

(3)函數(shù)y=/(a+x)與y=/(a-x)關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)y=/(a+x)與y=-/(a-x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

二、考點(diǎn)分類精講

【題型一函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用】

觸類旁通

1.判斷函數(shù)奇偶性的方法

(1)定義法：

(3)性質(zhì)法:

在公共定義域內(nèi)有：奇土奇=奇，偶土偶=偶，奇義奇=偶，偶、偶=偶，奇義偶=奇.

2.已知函數(shù)奇偶性可以解決的三個(gè)問(wèn)題

:將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上

i的函數(shù)值求解

話容錄蒞面工的百菱曾套花畫百加百同

；上，再利用奇偶性求出

闞用番死素藪獲錄落「短藜冗排￡

,(—％)=o得到關(guān)于參數(shù)的恒等式，由系

:數(shù)的對(duì)等性得參數(shù)的方程或方程(組)，

;進(jìn)而得出參數(shù)的值

【典例1】(2023高三?全國(guó)?專題練習(xí))判斷下列函數(shù)的奇偶性.

R1

⑴/(x)=x+--；

x-2

⑵〃x)=lg(4-x2).

(3)f(x)=Jx2-1+yjl-x2;

-+2x+1,x>0

(4)/(無(wú))=

x2+2x-l,x<0

【答案】(1)非奇非偶函數(shù)

(2)偶函數(shù)

(3)偶函數(shù)

(4)奇函數(shù)

【分析】由奇偶函數(shù)的定義判斷(1)(2)(3),由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱判斷(4).

【詳解】(1)原函數(shù)的定義域?yàn)椴凡菲?},關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，

從而函數(shù)/(x)為非奇非偶函數(shù).

(2)由4-/>()得一2<X<2,即函數(shù)的定義域是舊-2Vx<2},

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.又f(f)=lg(4-(r)2)=lg(4T)=/(x),

因此函數(shù)是偶函數(shù).

(3)〃x)的定義域?yàn)閧-1,1},關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

X/(-l)=/(l)=O,/(-1)=-/(1)=0,所以既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

(4)如圖，作出函數(shù)/(x)的圖象，由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特征知函數(shù)/(x)為奇函數(shù).

【典例2】已知“X)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)xNO時(shí)，/(尤)=/+2X-3.

⑴求/(x)的解析式；

(2)若/(加+1)</(2機(jī)-1),求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

x2+2x-3,x>0

【答案】(1)/(6=

x2-2x-3,x<0

(2乂加加v0或加>2}

【分析】(1)利用偶函數(shù)的定義以及已知的解析式，求解即可；

(2)利用偶函數(shù)的定義將不等式變形，然后利用單調(diào)性求解不等式即可.

【詳解】(1)當(dāng)x<0時(shí)，.?.-%>(),

f(x)=f(-x)=(-x)2+2.(-x)-3=x2-2x-3,

由I、IA、R+2^-3,X>0

所以小"0-2x_3,x<。；

(2)當(dāng)尤20時(shí)，/(x)=x2+2x-3=(x+l)--4,

因此當(dāng)x20時(shí)，該函數(shù)單調(diào)遞增，

因?yàn)椤癤)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)xNO時(shí)，該函數(shù)單調(diào)遞增，

所以由/(加+1)</(2根-1)等價(jià)于/(帆+1|)</(|2吁1|),

所以帆+1|<|2加-1|,

因此(機(jī)+1)2<(2俏_1『，

HPnr-2m>0,解得加>2或加<0,

所以實(shí)數(shù)相的取值范圍是{優(yōu)何<0或加>2}.

■題型訓(xùn)練■

一、單選題

1.(2024?北京通州?二模)下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減的是()

A./(x)=^-^-B./(x)=-x3C.〃x)=tanxD.〃x)=logjx|

【答案】B

【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)可判斷A、D錯(cuò)誤；由奇函數(shù)的性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)可得B正確；由正切函數(shù)的定義域可

得C錯(cuò)誤.

【詳解】A：因?yàn)?(-"=二匕=占片-/(切，所以不是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

B：因?yàn)榈亩x域?yàn)镽,

又/(-x)=-(-x)3=x3=-/(x),所以“X)是奇函數(shù)，

又r(X)=-3,<o在(0,+")恒成立,

所以/(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減，故B正確;

C：由正切函數(shù)的定義域可得函數(shù)/(X)=tanx在(0,+。)上不連續(xù),

所以“X)在區(qū)間(0,+司上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；

D：因?yàn)?(r)=log/T=logJx|*/(x),所以〃x)不是奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤；

22

故選：B.

—1

2.(23-24高三下?河北滄州?階段練習(xí))若P：4=1,1：函數(shù)/(無(wú))=111=11為奇函數(shù)，貝壯是9的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】將左值代入函數(shù)〃x),根據(jù)奇函數(shù)的定義式/(幻+/(-幻=0是否成立來(lái)判斷充分性；由奇函數(shù)的

定義式/(x)+[(-x)=0來(lái)構(gòu)造方程求參數(shù)k的值，從而判斷必要性.

【詳解】因?yàn)樽?1,所以〃x)=ln=,

x+1

所以/(x)+/(-尤)=1113+111^^=1111=0,

x+1-x+1

所以此時(shí)“X)是奇函數(shù)，

所以p是q的充分條件.

若/(x)是奇函數(shù)，則/(x)+/(-x)=In=+ln=In號(hào).主?=0=lnl,

即一左2/+1=公一》2,所以r=1,即，±1

所以p是q的不必要條件.

綜上得：p是q的充分不必要條件.

故選：A.

3.(2024?河北保定?二模)函數(shù)/(%)=上Jcos2x的部分圖象大致為()

l+ex

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷即可.

【詳解】設(shè)g（x）=23,則g（T）=E9=W?=-g（x），

所以g（x）為奇函數(shù)，

設(shè)力（X）=cos2x,可知訪（X）為偶函數(shù)，

所以/（x）=Wcos2x為奇函數(shù)，則B,C錯(cuò)誤，

易知/（0）=0,所以A正確，D錯(cuò)誤.

故選:A.

4.（2024?安徽淮北?二模）若函數(shù)/3="+111（廿+1）是偶函數(shù)（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.!B.--C.-D.--

22ee

【答案】B

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義，得出-"+ln（er+1）="+ln（e*+1）,利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)整理成（2a+l）x=0,

分析即得.

【詳解】依題意，/（一x）=/（x）,即-ax+ln（eT+l）=ax+ln（e，+l）,

整理得：2ax+lne=0,即2辦+Ine*=0,則有（2a+l）x=0,

e-A+1

因x不恒為0,故必有24+1=0,解得，a=--.

2

故選：B.

5.（2024?云南貴州?二模）若函數(shù)/（尤）的定義域?yàn)镽且圖象關(guān)于V軸對(duì)稱，在［0，+￥）上是增函數(shù)，且

/（-3）=0,則不等式;'（工人。的解是（）

A.（一雙-3）B.（3,+e）

C.（-3,3）D.（-雙-3）u（3,+8）

【答案】C

【分析】先分析不等式在［0，+8）上的解，再根據(jù)對(duì)稱性得出不等式在上（-8,0）的解即可.

【詳解】因?yàn)?(無(wú))在［0，+⑹上是增函數(shù)且/(-3)=0,所以〃可<0在［0，+⑹范圍內(nèi)的解為［0,3).

因?yàn)楹瘮?shù)“X)在定義域R上圖象關(guān)于了軸對(duì)稱，所以/'(x)<0在(-%0)內(nèi)的解為(-3,0),所以不等式

/(力<0在區(qū)內(nèi)的解為(-3,3).

故選：C

二、多選題

6.(2024?廣東茂名?二模)已知函數(shù)/'(x)為R上的奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增.若〃2a)+/(a-2)>0,則

實(shí)數(shù)。的取值可以是()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】CD

【分析】先利用函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，將不等式/(2a)+/(叱2)>0轉(zhuǎn)變?yōu)?2a)>〃2-a),再利用函數(shù)

/'(X)在R上單調(diào)遞增，將不等式/■(2a)>/(2-a)轉(zhuǎn)變?yōu)?a>2-°,求解即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(無(wú))是奇函數(shù)，

則不等式/(2。)+〃。-2)>0,可變形為/(2a)>-/(叱2)=/(2-a),

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)在R上單調(diào)遞增，

貝!I不等式/(2。)>/(2-。)成立，則2a>2-°,

2

解得。>§,1,2符合題意，

故選：CD.

7.(2024?浙江杭州?二模)已知函數(shù)/(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x均滿足2〃尤)+/(/_1)=］,則()

A./(r)=/(x)B./(V2)=l

C./(-1)=1D.函數(shù)/(x)在區(qū)間(行，省)上不單調(diào)

【答案】ACD

【分析】令x等價(jià)于r,貝！)2〃-冷+/［2-1)=1,可推導(dǎo)出/'(f)=/(x),進(jìn)而可判斷A,利用賦值法可

判斷B,C；先算出滿足x=x-l的x值，由此可得=/（應(yīng)）=；,即可判斷D.

\7

【詳解】對(duì)于A,令x等價(jià)于f,貝！]2〃-幻+/（/-1）=1,

所以/（T）=/（X）」一/（；T），故A正確；

對(duì)于B,令x=l,貝!)2/⑴+/(0)=1,

令尤=0,則2/(0)+〃1)=1,解得：〃0)=〃1)=，

令x=4i,2/(V2)+/(l)=l,則“&)=:故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,由A知，/(-x)=/(x),所以/(-l)=/(l)=g,故C正確;

對(duì)于D,令x=Y-1,所以x2-x-l=0,解得：尤=上咨，

2

令工=匕叱，貝必"1+751+5

=1,

2~~2

27

所以/[與5]='因?yàn)樯鲜謤（拒，6卜/[?手>/（后）=；，

所以函數(shù)/（X）在區(qū)間（亞，行）上不單調(diào)，故D正確.

故選：ACD.

填空題

3"-尤,x<0

8.（2024?上海崇明?二模）已知函數(shù)了=<為奇函數(shù)，則〃2）=

f(x),x>0

【答案】-y19/-2^1

【分析】考查分段函數(shù)奇偶性，先根據(jù)函數(shù)奇偶性求出函數(shù)解析式即可求出函數(shù)值.

/、3X—<0/、

【詳解】令g（x）=〃\n，則由題意g（x）為奇函數(shù)，

JI0C）,X>U

所以當(dāng)x>0時(shí)，-x<0,

此時(shí)g(-尤)=3一工-(-x)=3T+x=-g(x)ng(x)=-3-，-X，

故g(x)=Em,所以〃2)=-3--2=-^.

19

故答案為：-~.

9.(23?24高三上?云南昆明?階段練習(xí))/(%)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)%>0時(shí)，〃x)=2'+l,貝曦<0時(shí),

/(x)=?

【答案】-2r-1

【分析】由x<0時(shí)，得到-x>0,從而/'(r)=2f+1,再利用〃x)為定義在R上的奇函數(shù)求解.

【詳解】解：當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,

則/(-力=2-，+1,

因?yàn)?(x)為定義在R上的奇函數(shù),

所以H-l.

故答案為：-2^-1

10.(2024?云南?模擬預(yù)測(cè))若/(x)=ln(l+乙)為奇函數(shù)，則6=.

【答案】-1

【分析】

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)令1+三>0，求出函數(shù)的定義域，又奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得到方程，求出6

的值，再代入檢驗(yàn).

【詳解】

對(duì)于函數(shù)/(x)=ln]+D，

2

令1+------>0,解得x>-b^x<-b-2

x+b9

所以函數(shù)〃動(dòng)的定義域?yàn)?^,-匕2川(-6,心)，

又/(x)為奇函數(shù)，所以-6-6-2=0,所以6=-1,

此時(shí)/(x)=ln(l+2)=ln(言〉定義域?yàn)閥(1,+⑹，

且/(-x)=ln[三口=ln]￡|1/1用=-/(x),滿足〃x)為奇函數(shù).

故答案為：-1

11.（2024?陜西西安?三模）已知函數(shù)/⑺=土+式行]-》），若/■（。-1）+/（2/）>2,則。的取值范

圍為?

【答案】[心

【分析】構(gòu)造奇函數(shù)，結(jié)合其單調(diào)性解不等式即可.

【詳解】由條件知xeR,令g（x）=/（x）-l=￡21+ln（J?7I-x）-l,

貝!]g（-x）=:]+ln（JA2+1+0-1=±~~+ln^VJC+1+j,

易知g（x）+g（-x）=0,即g（x）為奇函數(shù),

又〃x）=W+lj/21],

e+1+1+xj

21

易知>1彳/=~/亍^在％>0時(shí)單調(diào)遞減，

e+1Vx+l+x

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及奇函數(shù)的性質(zhì)得g（x）=/（x）-1在R上單調(diào)遞減，

對(duì)于/（。—1）+/（2。2）〉20g（q—l）+g（2/）〉0og（Q—i）>g（_2q2）,

所以〃-1<—Id1=4￡（-1；）,

故答案為：[-1,;]

四、解答題

12.（23-24高三上?江蘇常州?期末）已知定義在區(qū)間上的函數(shù)/（為）=言為奇函數(shù).

⑴求函數(shù)/（無(wú)）的解析式；

（2）判斷并證明函數(shù)/（無(wú)）在區(qū)間（-1,1）上的單調(diào)性.

【答案】（1）/卜）=品，（一1<X<1）

⑵函數(shù)/（x）=在區(qū)間上為增函數(shù),證明見(jiàn)解析.

【分析】（D依題意函數(shù)圖象必過(guò)原點(diǎn)，由此求出“值即得解析式

(2)運(yùn)用定義法的步驟證明函數(shù)單調(diào)性即可.

【詳解】(1)由題意知：/(0)=0,即得：a=0,故函數(shù)/(x)的解析式為：/(x)=M，(-l<x<l).

(2)函數(shù)/(x)=/\在區(qū)間上為增函數(shù).理由如下：

任取再戶2€(-1,1),且花<%2，由/(西)-/(%)=17--邑■=(32：'￥，

因一1<玉<々<1,故再一々<0,1-XJX2>0,(xf+1)(X2+1)>0,即/(再)-/&)<0,

則〃x)=旨在區(qū)間(-1,1)上為增函數(shù).

13.(2024?山東濟(jì)南三模)已知函數(shù)/(xha,+ZX-Z,其中a>0且44.

⑴若/'(x)是偶函數(shù)，求。的值；

⑵若x>0時(shí)，/(%)>0,求0的取值范圍.

【答案】(1片

1

(2)”.且QW1.

【分析】(1)由題意，/(-1)=/(1),即可得解;

(2)分。=g,。>3且。片1和0<。<：三種情況討論，結(jié)合基本不等式和導(dǎo)數(shù)求解即可.

【詳解】⑴由題意，/(-1)=/(1),gpl+l-2=a+2-2,

a2

解得，。=(或。=-2(舍)，經(jīng)檢驗(yàn)4=g時(shí)，/(無(wú))是偶函數(shù)，

所以a的值為3；

(2)當(dāng).=1■時(shí)，Vx>0,/(X)=M+2<2>2，DZVuO成立；

當(dāng)且awl時(shí)，Tx>0,/(x)=ax+2X-2>W+2-2,

又I+2，-2>0已證，故此時(shí)符合題意;

當(dāng)0<a<；時(shí)，八x)=axIna+2XIn2,

因?yàn)楹瘮?shù)〉=優(yōu)lna,y=21n2都是增函數(shù)，

所以函數(shù)/'(x)在R上單調(diào)遞增，且<(0)=ln(2?)<0,

故存在%>0,使得當(dāng)xe(O,x°)時(shí)，八》)<0,從而/'(x)單調(diào)遞減,

所以，存在￡>o,使得不￡卜〃0)=0,此時(shí)不合題意.

綜上所述，a且

2

【題型二函數(shù)的周期性及其應(yīng)用】

觸類旁通函數(shù)周期性的判斷與應(yīng)用

-7-^;判斷函數(shù)的周期只需證明/(%+T)=/(%)(7

-一：W0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為丁

函數(shù)的周期性與奇偶性都具有將未知區(qū)間上

應(yīng)用一的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間的功能，利用周期性可

把自變量變大或變小

【典例1】(單選題)(23-24高三上?福建三明?期中)若偶函數(shù)/(X)滿足/(尤+2)+/(0=0,當(dāng)xe(O,l)時(shí),

【答案】C

【分析】利用函數(shù)的奇偶性與周期性計(jì)算即可.

【詳解】由已知可得/(x+2)+〃尤)=0n/(x+4)+〃x+2)=0：A/(X+4)=/(X),

即7=4是函數(shù)〃x)的一個(gè)周期，

1

所”尹/?

故選：C

■題型訓(xùn)練■

一、單選題

1.(22-23高三上?河南安陽(yáng)?階段練習(xí))已知函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,滿足/(9+x)=/(-3+x),且當(dāng)

xe[-6,6)時(shí)，/(x)=|x-2|,貝U/(2022)=()

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【分析】先得到函數(shù)的周期，從而得到“2022)=〃-6),代入求解即可.

【詳解】因?yàn)?(9+x)=/(-3+x),所以〃x)的周期為12,

因?yàn)?022=12x169-6,所以/(2022)=/(-6),

因?yàn)楫?dāng)xe[-6,6)時(shí),/(x)=|x-2|,

^/(2022)=/(-6)=|-6-2|=8,

故選:D

2.(22-23高三上?江西?階段練習(xí))已知函數(shù)/⑴滿足：對(duì)任意xeR,有〃x+l)=-〃x),當(dāng)時(shí),

/(x)=-|x|+1,則“2023)=()

A.-1B.--C.1D.0

2

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性即可求得答案.

【詳解】解：由題意得：

f(x+2)=-/(x+1)=-[-/?]=〃尤)

所以函數(shù)/(x)的最小正周期為2

故”2023)=/⑴

由當(dāng)時(shí)，“x)=-|x|+；可知：/(1)=-1+1=-1

故選：B

3.(2024?陜西渭南?二模)已知定義在R上的函數(shù)〃x)滿足〃X)+〃T)=0,/(XT)=/(X+1),當(dāng)xe(0,l)

時(shí)，/(無(wú))=4'-3,貝lj/(log480)=()

11

A.-B.-2C.2D.——

55

【答案】D

【分析】由題意可得函數(shù)/(X)是以2為周期的周期函數(shù)，且為奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的周期性可得

/(log480)=/(log480-4)=-/(4-log480)代入已知解析式即可得解.

【詳解】因?yàn)榘恕?1)=/(無(wú)+1),所以/(x)=/(x+2),

所以函數(shù)/(x)是以2為周期的周期函數(shù)，

因?yàn)?(x)+/(f)=0,所以函數(shù)“力是奇函數(shù)，

H^j3=log464<log480<log4256=4,

所以“l(fā)og,80)=/(log480-4)=-/(4-log480)

故選：D.

4.(2024?陜西銅川?三模)已知函數(shù)/(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且/卜+1)為奇函數(shù)，若/⑼+/(3)=3,

則()

A.f(x-l)=f(x+l)B./(2025)=3

C.函數(shù)〃x)的周期為2D.1(2024)=3

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性與周期性的定義即可判斷AC,再由函數(shù)/(x)的周期為4,代入計(jì)算，

即可判斷BD

【詳解】???/(x+1)為奇函數(shù)，■.f(-x+l)=-f(x+l),

又/(X)為偶函數(shù)，.??/(T+1)=/(X_1),，/(J_1)=_/(X+1),故A項(xiàng)錯(cuò)誤.

即〃力=一/(尤+2),，/■(尤+4)=-/(x+2)=/(x),.?.函數(shù)/⑺的周期為4,

即c項(xiàng)錯(cuò)誤.

由/(-x+l)=-/(尤+1),令尤=0,得/⑴=0,/(3)=/(-1)=/(1)=0,「./(2025)=/(1+506、4)=八1)=0,

即B項(xiàng)錯(cuò)誤.

又〃0)+/(3)=3,.-./(0)=3,.-.1(2024)=/(0+506x4)=/⑼=3,

所以D項(xiàng)正確.

故選:D

5.(2024?遼寧沈陽(yáng)?三模)已知是定義在R上的函數(shù)，且/(2x-l)為偶函數(shù)，〃x-2)是奇函數(shù)，當(dāng)

x?0,l］時(shí)，/(x)=2%-l,則/⑺等于()

A.—1B.—C.~D.1

22

【答案】A

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)得到/(x)=/(-X-2),再由奇函數(shù)的性質(zhì)得到〃x)=-/(x-2),從而推導(dǎo)出

f(x+4)=/(x),再由所給解析式及周期性計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)?'(2尤-1)為偶函數(shù)，所以〃-2尤-=

即仆-1)=/(*1),

所以〃X)=/(T-2),

又/。-2)是奇函數(shù),所以/(T-2)=-/(X-2),

即/(尤)=-/(廠2),所以/(尤+2)=-/(x),

貝！j/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

所以/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

又當(dāng)xe［0,l］時(shí)，/(x)=2J-l,所以〃1)=2「1=1,

則=⑴=-1，

所以〃7)=〃T)=_〃1)=T.

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于抽象函數(shù)的奇偶性，推導(dǎo)出函數(shù)的周期性，從而利用周期性求出函數(shù)值.

二、多選題

6.（23-24高三下?廣東廣州?階段練習(xí)）函數(shù)“X）和g（x）的定義域?yàn)镽,若的最小正周期為a,g（x）的

最小正周期為6,則（）

A./（x）+g（x）為周期函數(shù)B.f（x）g（x）為周期函數(shù)

C.H+g1］為周期函數(shù)D./（泡力為周期函數(shù)

【答案】CD

【分析】由周期函數(shù)的定義逐一驗(yàn)算每個(gè)選項(xiàng)即可得解.

【詳解】當(dāng)：是無(wú)理數(shù)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)周期不存在最小整數(shù)公倍數(shù)，1（x）+g（x）和/（x）g（x）可能不為周期

函數(shù)，故AB選項(xiàng)錯(cuò)誤，

但卜$ds=<M=g0的周期均為防，

因此（融］和佃+g,）均有為必的周期，CD選項(xiàng)正確.

故選：CD.

7.（2024?廣東茂名?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃x）的定義域?yàn)镽,/（x+#-/（x-y）=/（x+￡|/，+￡|,

/（0）^0,則（）

A.=°B.函數(shù)〃x）是奇函數(shù)C./⑼=-2D.〃x）的一個(gè)周期為3

【答案】AC

【分析】根據(jù)條件等式，利用賦值法，求特殊函數(shù)值，以及判斷函數(shù)的奇偶性和周期性.

【詳解】令x=y=o,則/（0）-/（0）=/2E|'所以/||）=°，A選項(xiàng)正確；

令尤=0,貝?。荨福σ?"（一>）='￡|/1+￡|=0,即/（?=〃-?,所以“X）是偶函數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

/（3）=/（-3）,令工=>=|,則/⑶一〃0）=/（3）,

令無(wú)=了=一；，則/（一3）-〃0）=尸（0）=/（3）-/儲(chǔ)，所以/2⑼=/2。），

所以（尸⑼+"0））2=尸⑼，因?yàn)?0）*0,所以/⑼=-2,/（3）=2,C選項(xiàng)正確;

令k-1，則小一升/1+|)=小+￡|〃0)=一24+￡|,

所以/[x-|)+/[x+|)=O,/C+|L/L+|Lo,所以/=+“X)的一個(gè)周期為6,

D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC.

三、填空題

8.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且對(duì)于xGR,恒有/(x+1)=—/(x),

則函數(shù)/(x)的周期為.

【答案】2

【分析】利用已知條件進(jìn)行代換即可得到答案.

【詳解】已知/'(x+l)=-/(x),用x+1替換式子中的x可得/(x+2)=-/(x+l)=[(x),由周期定義可得

函數(shù)的周期為2,

故答案為：2

9.(23-24高三上?四川綿陽(yáng)?階段練習(xí))設(shè)奇函數(shù)/(x)滿足/(x)=-/(x+2),當(dāng)OWxVl時(shí)，/(x)=『(l+x),

【答案】-43/-0.75

4

【分析】利用函數(shù)的周期性和奇偶性求函數(shù)值.

【詳解】因?yàn)?(x)=-〃x+2),所以/(x+2)=_/(x),

則有/(乂+4)=-/(工+2)=/(工)，

所以函數(shù)〃x)是以4為周期的周期函數(shù)，且為奇函數(shù),

(2-2

所以/

4,

3

故答案為：々

10.(23-24高三下?湖南岳陽(yáng)?開(kāi)學(xué)考試)已知定義在R上的偶函數(shù)“X)滿足/(2-x)+〃x)=0,八0)=6,

則7(10)等于

【答案】-V3

【分析】

由/(X)滿足〃2-x)+〃x)=0,利用函數(shù)的奇偶性，求得函數(shù)/(X)是以4為周期的周期函數(shù)，進(jìn)而可求

f(⑼的值.

【詳解】由題意，函數(shù)解x)滿足/(2T)+/(X”0,BP/(2-X)=-/(X),

???/(O)=G,⑵=-〃0)=-瓦

又由函數(shù)“X)是R上的偶函數(shù),即/(—)=/(尤)，所以/(2-力］-“T),

即〃2+x)=-〃x),尤取x+2得〃x+4)=-〃x+2)=/(x),

所以函數(shù)/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

則/(10)=〃2x4+2)=/(2)=_瓦

故答案為：Y.

【題型三函數(shù)的對(duì)稱性及其應(yīng)用】

觸類旁通函數(shù)圖象的對(duì)稱性的判斷與應(yīng)用

詞或彳6襦定/(??；6:7(7二7湎函跖底］

色叫燃圖象關(guān)于直線久=5(a+6)對(duì)稱j

r—n凄花百爰量?jī)沙?一號(hào)百豪語(yǔ)番扇砸至者焉一郅

應(yīng)用一：：

」叮：函數(shù)的周期性=

【典例1】(單選題)(2024?四川內(nèi)江?三模)已知函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有/(x+2)=-/(x)

成立，且函數(shù)〃x+l)為偶函數(shù)，/(1)=2,則/(l)+/(2)+L+/(2024)=()

A.-1B.0C.1012D.2024

【答案】B

【分析】利用抽象函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性計(jì)算即可.

【詳解】由/(x+2)=-/(x)n/(x+4)=-/(x+2)=〃x),即/(x)的一個(gè)周期為4,

由+1)為偶函數(shù)可知/(x)關(guān)于X=1軸對(duì)稱,即/⑵=/⑼，

又/(x+2)=_/(x)可知〃2)=-/(0),

所以/(2)=/(0)=0,

顯然/⑶11/(1)?-2,/(4)=/(0)=0,

2024

所以〃1)+〃2)+…+”2024)==-x[〃l)+〃2)+〃3)+〃4)]=0.

故選:B

■題型訓(xùn)練■

一、單選題

1.(2023?云南昆明?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)(xeR)的導(dǎo)函數(shù)為了'(X),且滿足/(刈-/(2-刈=0,則()

A.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)。,1)對(duì)稱B.函數(shù)/&)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱

C.函數(shù)/'(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱D.函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱

【答案】D

【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則可得/'(x)+/'(2-x)=0,結(jié)合抽象函數(shù)的對(duì)稱性即可求解.

【詳解】由〃x)-/(2-x)=0,可知函數(shù)/⑴的圖象關(guān)于直線x=^=l對(duì)稱；

對(duì)“X)-42-幻=0求導(dǎo),得f'(x)+f'(2-x)=0,

則函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，所以ABC錯(cuò)誤，D正確.

故選：D.

2.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)/(x)=：、2的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,貝壯=()

2(x—u)

A.0B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】特殊值法：由圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱可得〃0)=-〃2)代入計(jì)算求解，然后檢驗(yàn)即可.

【詳解】解：???/(無(wú))的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，

-312

"⑼+/(2)=。，即/+而不=。，

解得"i"(x)=3F

經(jīng)檢驗(yàn)知〃X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，

故選：C.

3.(2024?四川瀘州?三模)已知函數(shù)/'(x)(xeR)滿足/'(無(wú))+/(4-司=0,若函數(shù)7'(可與y=」圖象

x-2

的交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為X],4，…，xn,則()

1=1

A.4nB.2nC.〃D.0

【答案】B

【分析】依題意可得/'(2+x)=-/(2-x),即可得到函數(shù)的圖象關(guān)于(2,0)對(duì)稱，再根據(jù)對(duì)稱性計(jì)算可得結(jié)

論.

【詳解】因?yàn)椤▁)+〃4-x)=0,所以/(2+x)+/(2-x)=0,

所以函數(shù)的圖象關(guān)于(2,0)對(duì)稱，又函數(shù)＞關(guān)于(2,0)對(duì)稱,

則V=/(X)與y=」的交點(diǎn)應(yīng)為偶數(shù)個(gè)，且關(guān)于(2,0)對(duì)稱，

x-2

所以￡現(xiàn)=4xg=2〃.

z=i2

故選:B.

4.(2024?江西?二模)已知定義在R上的函數(shù)〃x)滿足〃0)=0J(3x)=4/(x)且/(I-x)+〃x)=2,則

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，可得/(x)關(guān)于'J對(duì)稱，進(jìn)一步求得/'(1)=2,結(jié)合條件求得I,j可求得了

【詳解】由/(1-尤)+/(尤)=2,可知關(guān)于對(duì)稱，又〃0)=0,貝|/。)=2,

又〃3x)=4〃x),則/(x)=；/(3x),

故選：A.

二、多選題

5.（2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（耳=仔不，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.函數(shù)“X）單調(diào)遞增

B.函數(shù)/（無(wú)）值域?yàn)椋?,2）

C.函數(shù)〃x）的圖象關(guān)于（0,1）對(duì)稱

D.函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于（1,1）對(duì)稱

【答案】ABD

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，即可判斷A,根據(jù)函數(shù)形式的變形，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域，求

解函數(shù)的值域，即可判斷B,根據(jù)對(duì)稱性的定義，［（2r）與/（尤）的關(guān)系，即可判斷CD.

【詳解】/（X）=<—=2*+2-2=2―

V'2*T+12*T+12*T+1

2

函數(shù)y=2--,t=2X-1+1,則%〉1,

t

又內(nèi)層函數(shù):2-+1在R上單調(diào)遞增，外層函數(shù)了=2-1在（1,+。）上單調(diào)遞增，

所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的法則可知，函數(shù)/（x）單調(diào)遞增，故A正確；

因?yàn)?1+1>1,所以0<2,則0<2-而有<2,所以函數(shù);'（"的值域?yàn)椋?,2）,故B正確；

f（2-x）=-^—=-±--=-l—,/（2-x）+/（x）=2,所以函數(shù)/（尤）關(guān)于點(diǎn)（1,1）對(duì)稱，故C錯(cuò)誤，D

正確.

故選：ABD

6.（2024?全國(guó)?三模）已知函數(shù)〃x）定義域?yàn)镽且不恒為零，若函數(shù)尸〃2x-l）的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)

稱，y=〃2-x）+l的圖象關(guān)于點(diǎn)（0,1）對(duì)稱，則（）

A./（x+6）=/（x）

B./（10）=0

C.尤=7是圖象的一條對(duì)稱軸

D.（56,0）是/（X）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

【答案】BCD

【分析】由條件證明直線X=1為函數(shù)/（x）的對(duì)稱軸，點(diǎn)（2,0）為函數(shù)“X）的對(duì)稱中心，結(jié)合函數(shù)的周期定

義證明/（x）為周期函數(shù)，由此判斷A,再證明/（2）=0,結(jié)合周期性判斷B,證明x=3為函數(shù)的對(duì)稱軸，

結(jié)合周期性判斷C,證明原點(diǎn)為函數(shù)的對(duì)稱中心，結(jié)合周期性判斷D.

【詳解】因?yàn)榱?/（2尤-1）的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，

所以/（2+2》-1）=/（2-2x7）,Bp/（l+2x）=/（l-2x）,

所以/（l+x）=/（I）,

所以〃可的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱.

因?yàn)榱?/（2-x）+l的圖象關(guān)于點(diǎn)（0,1）對(duì)稱，

所以/（2-x）+l+〃2+x）+l=2,即/'（2-x）+y（2+x）=0,

所以〃力的圖象關(guān)于點(diǎn)（2,0）對(duì)稱.

所以/（x）=-/（4r）.

令x=2,得"2）=0.

由+=-x）,/（2-x）+/（2+x）=0可得/（。=/（2-x）J（x）=-/（4r）,

故〃2-x）f（4-x）即/（x）f（2+x）,

所以/。+4）=-/（尤+2）=/（0,

所以函數(shù)/（x）的周期7=4,

所以/（x+6）=/。+2）=-/（%）,又/（x）不恒為零，

所以/（尤+6）=/（力錯(cuò)誤，A錯(cuò)誤，

f（10）=〃2+2x4）=/（2）=0,B正確；

因?yàn)?（x）的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，/（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（2,0）對(duì)稱，

所以/■（3+x）=/[2+（l+x）]=-〃j）=-〃l+x）=-/[2+（x-l）]=〃3-x）,

所以x=l,x=3為函數(shù)〃x）的對(duì)稱軸，

結(jié)合周期性可得，x=l+2左，左eZ為函數(shù)，(x)的圖象的對(duì)稱軸，

所以x=7是函數(shù)/(x)圖象的一條對(duì)稱軸，C正確；

因?yàn)?(l+x)=/(l-x),/(2-x)+/(2+x)=0,

所以/(-x)=/[l-(l+x)]=/(2+x)=-/(2-x)=-/(l+l-x)=-/(x),

所以原點(diǎn)為函數(shù)/'(X)的一個(gè)對(duì)稱中心，

結(jié)合函數(shù)周期性可得點(diǎn)(2+2左,0),keZ,為函數(shù)“X)圖象的對(duì)稱中心，

所以點(diǎn)(56,0)是函數(shù)/(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，D正確.

故選：BCD.

三、填空題

7.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))若函數(shù)y=g(x)的圖象與y=lnx的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，則g(x)

【答案】In(4—x)

【分析】利用對(duì)稱的定義求解即可.

【詳解】在函數(shù)y=g(x)的圖象上任取一點(diǎn)(x,y),則點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線x=2對(duì)稱的點(diǎn)為(4-x,y),

且點(diǎn)(4—x,y)在函數(shù)y=lnx的圖象上，所以y=ln(4—x),

即g(x)=ln(4-x),

故答案為：ln(4-x)

8.(2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)g(x)=W^+ln|^1+2,若g(a)=6,則g(-a)=.

【答案】-2

【分析】利用g(x)和g