第二十四講以三角函數(shù)與解三角形為背景的取值范圍問題

一、選擇題

1.已知點(diǎn)。是銳角4ABC的外心，a,b.c分別為內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊,A=J，且篝荏+

—AC=MA,則入的值為()

sinB

A.—B.--C.V2D.-V2

22

【答案】D

【解析】

A

如圖所示：。是銳角△ABC的外心，

D、E分另IJ是A8、AC的中點(diǎn)，＞OD±AB,0E1AC,

設(shè)△ABC外接圓半徑為R,貝

由圖得，。4=OD+DA,

TTT—>T—>T

貝U4B-OA=AB-{OD+DA)=AB-DA

=AB.(-)B)=~fAB2=~^\AB\2,

-T1T

同理可得，AC-0A=-||XC|2,

由*/+空后=4&得,

sinCSinB

COSB..COSCA-?.-yA7

——AB?OA+——AC?OA=WAZ,

sinCsinB

所以W?篝麻I"-H￡l晶|2=4+,

->

^cosB\AB\^+cosC\AC\^=-2A\OA\2,①

—?—>

在△樹中由正弦定理得：盤=提=2幾

—>—>

代入①得，2RcosB\AB\+2RcosC\AC\=-2AR2,

->—>_

貝ikosB|4B|+cosC\AC\=-AR,②

TT

由正弦定理得，=2RsinC,\AC\=2RsinB,

代入②得，27?sinCcosB+27?cosCsinB=-A7?；

所以2sin(C+B)=-入，即2sin—=一人，

4

解得入=一夜，故選D

2.在44BC中，內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,hc,若4aBe的面積為卜2,貝%+￡的最大

值為()

A.2B.4C.2V5D.4近

【答案】C

【解析】

由題意得，S=-absinC--c2,

28

c2=4absinC,Xc2=a2+b2—2abeosC,

a2+b2=c2+2abcosC,

?a+匕—。？+匕2_c2+2abcosC_4absinC+2abcosC

baababab

=4sinC+2cosc=2V5sin(C+(p),

則E+2的最大值為2遍，故選C

ba

3.已知函數(shù)f(x)=3sin(cox+(p)(co>O,0<(p<7t),=0,對(duì)任意xCR恒

有/⑺<，（/，且在區(qū)間臉，舁上有且只有一個(gè)XI使f（XI）=3,則8的最大值

為

【答案】c

【解析】

/——7Ta>+,(P=七,兀I(3=3-(2-fc-+-l-)

3

由題意知7r,7r,(七,七6Z),則｛k,J7r,(七也ez),

63+0=的兀+5[<P=v+；

其中Ze=k2—kr,(p=kr+

又於）在喻，|）上有且只有一個(gè)最大值，且要求3最大，則區(qū)間臉，方）包含的周期

應(yīng)最多，所以"看=|^W2T,得0<3W30,即3(2k+l)<30,所以后19.5.分類討論:

4

--a)+(p=七幾

①.當(dāng)仁19時(shí)，3=*,此時(shí)0=亨可使jl7T>(k],&E2)成_\￡,

-co+0=k27rH—

13Vz2

當(dāng)，E(卷*)時(shí)，+苧E(2.7兀,6.6"),

所以當(dāng)衛(wèi)箸+芋=4.5兀或6.5兀時(shí)，fQi)=3都成立，舍去；

44

3—-60+(0=七兀

3

②.當(dāng)上18時(shí)，3=乎，此時(shí)W=乎可使7r兀，(后也ez)成立，

44(^-(0+^>=k2TE+-

當(dāng)久e(K)時(shí),等x+午e(2.5兀,6兀)，

當(dāng)且僅當(dāng)空+千=4.5兀或6.5兀時(shí)，/(%1)=3都成立，

44

綜上可得：。的最大值為乎.

本題選擇。選項(xiàng).

4.在四邊形ABCD中，已知M是48邊上的點(diǎn)，且MA=MB=MC=MD=1,乙CMD=

120。，若點(diǎn)N在線段CD(端點(diǎn)C,D除外)上運(yùn)動(dòng)，則福?福的取值范圍是

()

21

A.[-1,0)B.[-1,1)C.[-;,0)D.[--,1)

【答案】C

【解析】

由■而=(MA-W)■(MB-WV)

=MN2-MA2=|M1V|2-1,

在/MCN中，MC=1,^.MCN=30°,

MN2=l2+NC2-2xNCxlx曰=NC2-WNC+1,

???MN2-1=NC2-43NC=(NC-曰『_2,

???N在CD上,MC=MD=l/CMD=120°,可得CD=V3,

0<NC<A/3,

3

-<MNn2-l<0,

4

即福?而的取值范圍是［-1，o),故選c.

5.已知4是函數(shù)f(久)=sin9018x+￡)+cos卜018x-小的最大值，若存在實(shí)數(shù)的,切

使得對(duì)任意實(shí)數(shù)久總有/(巧)</(%)<"&)成立，貝?1打一的最小值為

A-^―B—^―CD—^―

?2018?10091009?4036

【答案】B

【解析】

,-?/(%)=sin(2018x++cos^2018x—

V311V3

=—sin2014x+-cos2018x+-cos2018x+—sm2018x

2222

=V5s譏2018%+cos2018x

=2s譏(2018%+勺,

.?.4=/)max=2,周期T=急

又存在實(shí)數(shù)與,久2,對(duì)任意實(shí)數(shù)X總有701)</(%)</(右)成立，

fg=/'(X)max=2,/Oi)=/(X)min=一2,

2“打一的最小值為2X|T=短，故選B.

6.將函數(shù)f(x)=cos等(2sin芋-2值cos陰+W(3>0)的圖象向左平移2個(gè)單位,

得到函數(shù)y=g(x)的圖像，若y=g(x)在［0用上為增函數(shù)，則3的最大值為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

由三角函數(shù)的性質(zhì)可得：

,、a)xa)x「c3%r-

/(%)=2sin—cos———2v3cos2—+v3

r-1+COSCOXr~

=sintox—2V3x---------+V3

=sintox—V3costox

=2sin(3%—g),

其圖象向左平移2個(gè)單位所得函數(shù)的解析式為：。(久)=2sin［“x+制-外=

2sintox,

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足：2/CTT—<(x)X<2/C7T+—(fceZ),

?2kn--2kn+-,、

即n----Yx<----z(keZ),

0)3

令k=0可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為：［-z,工］,

L2(023」

y=g(x)在［。用上為增函數(shù)，貝U：W，據(jù)此可得：3W2,

則3的最大值為2.

本題選擇5選項(xiàng).

7.在ZM8C中，角4B,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,且/是B和C的等差中項(xiàng),AB-BC>0,

a=^，貝！J44BC周長(zhǎng)的取值范圍是()

A.(萼，萼)B.(依警)

C0+V32+遮)D0+V33+6)

【答案】B

【解析】

???4是B和C的等差中項(xiàng),：.2A=B+C,：.A=p

yjBBC>0,則cos(7T—B)>0,從而B>「

V3

.,a_b比=總=L/=sinB,C=sinC=si唁-B),

sinAsinB

所以/ABC的周長(zhǎng)為I=a+6+c=---+sinB+sin(——B)=V3sin(B+—)+

又扛B(拳曰<B+h浮*sin(B+標(biāo)多.??皆々(苧

故選B.

8.若函數(shù)f(x)=sin(2x—羨)與g(x)=cosx—sinx都在區(qū)間(a,b)(0<a<b<兀)上單

調(diào)遞減，貝必-a的最大值為()

A.-B.-C.-D.—

63212

【答案】B

【解析】

根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為畀2/OT,：+2kT，keZ,所以f(x)=sin(2久一今

的單調(diào)遞減區(qū)間為+2kn<2%-^<y+2kn,可解得工+kn<x<^-+kn

g(x)=cosx-sinx=V2cos(x+-),由余弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[2々兀,兀+

2kji],kEZ,所以2/CTT<x+-<7T+2k7,可解得2/CTT-巴<%<—+2kli

444

因?yàn)閒(x)與9。)在(a,b)(0<a<b<7T)上同為單調(diào)遞減函數(shù)，所以其交集為

2kn+^<x<^+2kn,所以(6—乎—居

所以選B

9.已知銳角AABC的內(nèi)角為4B,C,點(diǎn)M為4B上的一點(diǎn)，cos^ACM=^=,AC=15,

CM=3V13,貝!MB的取值范圍為()

A.(^,15V2)B.(15,15V2)C.(6V2,15)D.(?,+8)

【答案】A

【解析】

：2MMe中，由余弦定理可得，

AM2=AC2-CM2-2ACCMcos/.ACM=72,AM=6VL

44MC中，由正弦定理得，—^―MC

sinz.ACMsinz.MAC

^sin^MAC=—,AMAC=

24

當(dāng)NACB=90。時(shí)，AB=15V2,

當(dāng)N4BC=90。時(shí)，4B=?，

???44BC為銳角三角形，

—<AB<15V2,

2

48的取值范圍為(竽,15/)，故選A.

10.設(shè)函數(shù)/(%)=sin(2x+若%62<。,且/(%i)+/(%2)=0，則%-的取值范

圍為()

A.(1+8)B.(p4-00)C.嚀,+8)D.弓,+8)

【答案】B

【解析】

(特殊值法)畫出/(%)=sin卜％+§的圖象如圖所示.

結(jié)合圖象可得，當(dāng)%2=。時(shí)，f(x2)=sin^=y；當(dāng)%i=-軻，/(%i)=sin(-?+；)

=—滿足/(/)+/(>2)=。?

由此可得當(dāng)%i%2<0,且/(%1)+f(%2)=0時(shí)，\X2一111>I。一(一切=%

故選B.

11.函數(shù)/(%)=2sin(2x+8)(0<(p<兀)的圖象向左平移專個(gè)單位后得到函數(shù)y=g(%)

的圖象，若g(x)的圖象關(guān)于直線％=洲稱，則9(%)在卜晨]上的最小值是()

A.-1B.——C.-2D.—V3

2

【答案】D

【解析】

根據(jù)題意可知g(%)=2sin[2(%+勺+@]=2sin(2x+9+》因?yàn)槠鋱D像關(guān)于直線％=

￡對(duì)稱，可知3+0+g=k7i+^,kEZ,結(jié)合0的范圍，可以求得0=JTT,從而得到g(%)=

42626

2sin(2x+7r)=-2sin2x,因?yàn)椋[—囚；],則有2%￡[—巳二],從而求得sin2xE

4623

[-1,爭(zhēng)，所以有g(shù)(x)€[-百,2],所以9(久)在[-?用上的最小值是一遍，故選D.

12.若函數(shù)/'(x)=4sina>x?siM(學(xué)+^)+cosZwc—1(3>0)在[―；,自內(nèi)有且僅有一

個(gè)最大值，則3的取值范圍是()

A.[|,5)B.[1,5)C.[1,|)D.(0,|]

【答案】C

【解析】

/(x)=4sincox-sin2(等+.)+cos23%—1

1—cos(a)x+

=4sina)x------------------------+cos2cox—1

2

=2sincox(l+sincox)+1—2sin2o)x—1=2sina)x,

因?yàn)楹瘮?shù)/(%)在[冶卓?jī)?nèi)有且僅有一個(gè)最大值，

冗37r57r

—_---<--C

4，可得1V3，，

(23

即3的取值范圍是[1J),故選C.

13.已知函數(shù)fO)=2sin(3x+租)+1(3〉0,|初W5),其圖象與直線y=-1相鄰兩

個(gè)交點(diǎn)的距離為TT,若/⑺〉1對(duì)v*e(-恒成立，則隼的取值范圍是()

【答案】D

【解析】

函數(shù)/(久)=2sin(3久+9)+1(3>0,|如<勻，其圖象與直線y=-1相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的

距離為TT,

故函數(shù)的周期為四=兀，a>-2,f(x)-2sin(lx+<p)+1.

0)

若/(%)>1對(duì)V久G(一5g)恒成立，即當(dāng)％G(—"()時(shí)，sin(2x+(p)>0恒成立，，

故有2女"<2,(――)+(0<2--+(/><2kn+n,求得2/CTT+/勿+巴，kEZ,

12363

結(jié)合所給的選項(xiàng)，

故選D.

14.已知函數(shù)/(%)=2sin(6)x+9)+1(3>0,|初<辦其圖象與直線y=3相鄰兩個(gè)

交點(diǎn)的距離為n,若/(%)>2對(duì)V%G(29恒成立，則(P的取值范圍是()

【答案】D

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=2sin(3%+0)+1(a>0,5<5其圖象與直線y=3相鄰

兩個(gè)交點(diǎn)的距離為m所以函數(shù)周期為7=7T,3=2,由/(%)>2知sin(2%+^)>|,又xG

圈()時(shí)，2"+0eG|+S潦+9),且|@|等>所以,2："<5"解得VW。?故

選D.

15.AABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若5=2A,

cosAcosBcosC>0,則竺弱的取值范圍是()

彳萬

【答案】D

【解析】由cosAcosBcosC>0,可知，三角形是銳角三角形,

由題意有sinB=sin2A=2sinAcosA,

,工人丁,asinAasinA1

結(jié)合正弦定理有b=2acosA,------=--------=—tanA4,

b2QCOSA2

??Y+B+C=180°,B=2A,

C

：.3/l+C=180°,A=60°——>30°,

3

走<tanA<l,3JanA」，

u：2A<90°,：.AG(30°,45°),

3622

asinA

即nn-----的取值范圍是

b

本題選擇。選項(xiàng).

二、填空題

16.設(shè)4430(0是坐標(biāo)原點(diǎn))的重心、內(nèi)心分別是G,/,且麗〃而，若B(0,4),貝！JcosN。力B

的最小值是.

【答案】|

【解析】

因?yàn)橹匦?、?nèi)心分別是G,/,且麗〃濟(jì)，所以乙=3r,(r為2L4B。內(nèi)切圓的半徑)，

-111

又SAABO=I(明+|4。|+|0B|)r=|\0B\-xA=1\0B\-3r.且|。引=4.

解得|48|+|/。|=8.

由hl…，c”_\AB\2+\AO\\2-\OB\2_(\AB\+\AO\)2-2\AB\-\AO\-16_24」、24

所以COSAUAH--2|明.即--2\AB\-\AO\一\AB\-\A0\-1-產(chǎn)產(chǎn)1)2-

1=±

2

當(dāng)且僅當(dāng)|4B|=\A0\=4時(shí)，即44B。為等邊三角形cosNOAB有最小值點(diǎn)

17.已知％/?均為銳角，且cos(a一，)=3cos(a+/3),則tcm(a+/?)的最小值是.

【答案】2V2

【解析】

由cos(a-P)=3cos(a+B),可得cosacosp+sinasinp=3cosacosp-3sinasinP,同時(shí)除

以cosacosp,

可得：1+tanatanp=3-3tanatanp,

則tanatanB二|,Xtan(cr+夕)=(tana+tanp)>2x2A/tanatanP=2V2.

故答案為：2VI

18.若兩個(gè)銳角a,/?滿足a+6=f則tanatanp的最大值是

【答案】3-2V2

【解析】

Vtan(a+夕)=嗎=1,tana>0,tan￡>0,

tana+tan￡=1—tanatan^>2Jtanatan,,令Jtanatan^=m,

UJiJm2+2m—1<0,0<m<—1+V2,即0Vtancrtan^<3—2A/2,

當(dāng)且僅當(dāng)a=B=g時(shí)取等號(hào)，.'.tanatanS的最大值時(shí)3-2&.

8

故填：3-2a

19.在44BC中，設(shè)角4B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若&a,b,c成等差數(shù)列，則三+二的

最小值為.

【答案】2（V3+1）

【解析】

a2+c2-b2_a2+c2-(^-a+^)2

由題得2力=V2a+c,cosB=

2ac2ac

y/6—y/2

所以cosB=—

2ac2ac4:

V6+V2

所以

0<B<75°,0<sinB<4，

V2sini4+sinC1

因?yàn)?sinB=V2sin>l+sinC,&sin/+sinC<丹&—1?

2

Kl；l'l3,72f_3_j/2_,.二sinA+sinC_4內(nèi)器+鬻

sinAsinC—(sin4sinC，，+7

22

2sin/3sinC

4V2+2sinCsinX4-V2+2A/6

>=2(V3+1).

V6+V2V6+V2

~2~~-2~~

故答案為：2（V3+1）

20.不等式（acosz%—3）sinx>一3對(duì)V%GR恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

【答案】[-|,12]

【解析】

令sin=t,—l<t<l,

則原函數(shù)化為g(t)=(-at2+a-3)3

即g(t)=—at3+(a—3)3

由-dt^+(a-3)tN—3,—at(t^—1)—3(t—1)N0,

(t—1)(—cit(t+1)—3)之0及t—1〈0知,

-cit^t+1)—3W0,即。(/+t)之一3,

當(dāng)力=0,-1時(shí)(1)總成立，

對(duì)0<t41,0<12+142,口之(——)——;

+t/max2

對(duì)—1Vt<0,—<t2+t<o,d<f——)—12

4\t+〃min

從而可知—|wa<12,故答案為卜I，12].

21.已知/'(%)=sintox-cosatx(3>|),若函數(shù)/(x)圖象的任何一條對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)

的橫坐標(biāo)都不屬于區(qū)間(2兀,3兀)，則3的取值范圍是.(結(jié)果用區(qū)間表示)

【答案】

【解析】

由題意，函數(shù)/(久)=sintox—coscox=V2sin(ivx—9(3>|),

由/(%)的任何一條對(duì)稱軸與黑軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都不屬于區(qū)間(2區(qū)3TT),

貝吟=^>3TT-2TT=7T,解得w<1,BP|<iv<1,

函數(shù)/(%)=V2sin(wx-：)的對(duì)稱軸的方程為w%-=+kn,kE.Z,

亞+巴v27r

■+《3：解得各W線,

(4ww-

所以實(shí)數(shù)W的取值范圍是它勺.

o12

22.已知菱形4BCD,E為4D的中點(diǎn)，且BE=3,則菱形4BCD面積的最大值為.

【答案】12

【解析】

設(shè)AE—x,則AB=AD=2x,,；兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，；.

窗+*1工gpC2x+%>3...%6(1,3),設(shè)的E=。,在ZL4BE中,

由余弦定理可知9=(2x)2+x2—2-2%-xcos0,即cos。=、支:,

42

SABCD=2x-2x-sind=4/J]_=T/—9(x—10x+9),令t=/,貝!Jte

(1,9),則SMCD=J—9[(t—5尸一16],當(dāng)t=5時(shí)，即x=V^時(shí)，S.CD有最大值12，

故答案為12.

23.函數(shù)f(久)=s,n51+COS?詈,且3>5XGR,若/'(X)的圖像在X€(3兀，4兀)內(nèi)

與無軸無交點(diǎn)，則3的取值范同是.

【答案】玲，a

【解析】

,.,/(%)的圖像在％e(3n,4冗)內(nèi)與式軸無交點(diǎn)

?T、

.>7T

2

..、sintox-l,2a)xV2..TT、

?Jc(%)=——----Fcos"~—~sin(zco%+-)

；?—V3<1

2

由對(duì)稱中心可知3%-\--=kn

4

x=—(kji-i),keZ

?.,假設(shè)在區(qū)間(3rc,4n)內(nèi)存在交點(diǎn),可知9—2

416312

**?當(dāng)k=2,3,4時(shí)，一<3<一,一Vto<一,一<3<-

16121612164

**?以上并集在全集<3V1中做補(bǔ)集，得3E勺U用

故答案為已靠U年瑁

24.44BC的垂心”在其內(nèi)部，乙4=60°,AH=1,貝！JBH+CH的取值范圍是.

【答案】(8,2]

【解析】

在2MBe為銳角三角形，

設(shè)xBAH=6,且86(0。,60°),

所以BH=2AH-Sind=2sinaCH=2AH-sin(60°-9)=2sin(60°-6>),

所以BH+CH=2sin0+2sin(60°-0)=2(sin0+ycos0-|sin0)=2sin(0+60°),

又由8e(0°,60°),貝(I。+6006(600,1200),

所以2sin(8+60。)e(V3,2],即B”+CH的取值范圍是(W,2].

25.在448C中，角4B、C的對(duì)邊分別為a,6,c,c=2/,塊―a2=16,則角C的最大

值為:

【答案】

6

【解析】

在44BC中，由角C的余弦定理可知

22_^

。2+82“2a+b

cosC=2=生羋2g又因?yàn)閛＜c＜兀

2ab2ab4ab2

所以Gnax=g。當(dāng)且僅當(dāng)。=2&*=2①時(shí)等號(hào)成立。

6

26.已知ZMBC的三個(gè)內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c9若(a+c)(sinZ-sinC)=

b^sinA—sinB),且c=V3,則a—g的取值范圍為

【答案】(—今⑹

【解析】

由正弦定理sin4=gsinB=^,sinC=g

得(a+c)(a—c)=h(a—b)即c?=a2+b2—ab

由余弦定理c?=a2+b2—2abeosC得C=

3

Xvc=V3—=2R

-/?=1

bsinB

a-2=2R(sin4----)

27r

=2sinA—sin(———4)

3V3

=-sin/l———COST4

=V3sin(i4一》

由題可知。＜力＜等則-汴4-弓＜

???--y-＜a—^＜y/3即a的范圍（一日,V3）

27.如圖，在ZMBC中，5也等=g，點(diǎn)。在線段AC上，且40=2DC,BD=唱?jiǎng)t

ZL4BC的面積的最大值為

【答案】3近.

【解析】

Z-ABCV6

由sin等=.可得:cos----

23

Rill■Aur"n1^-ABCZ.ABC2V2

])i)]smZ-ABC=2sin—cos—=

31

由疝等彗若可知:竿<45。，則AC<90。,

由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可知：cosNABC,

設(shè)AB=x,BC=y,AC=3z(x>0,y>0,z>0),

__A^+(2Z)2—%2

在AABD中由余弦定理可得：cos^BDA=7=——，

2X]X2Z

l'+z22

在△Q5O中由余弦定理可得：3s乙BDC=T1~y,

2X延xz

3

由于NBZM+Z.BDC=180°,故cos/BEM=-cosZ.BDC,

畀3)3_*—

1：2X』Z

33

整理可得：16+6z2—x2—2y2=0.①

在△ABC中，由余弦定理可知：%2+y2-2xyx1=(3z)2,

貝!J：6z2=|x2+|y2—t%y,

22

代入①式整理計(jì)算可得：lx+iy+i%y=16,

由均值不等式的結(jié)論可得：16之2R%2x3y2+3%y=竺％y,

73399

故xy<9,當(dāng)且僅當(dāng)％=3V2,y=|近時(shí)等號(hào)成立，

據(jù)此可知AABC面積的最大值為：Smax=^x(ABxBC)maxxsinzXBC=|x9x^=

3A/2.

28.(安徽省宿州市2018屆三模)在44BC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足

asinA—4bsinC=0,A為銳角，則變史小的取值范圍為

2smi4

【答案】(乎當(dāng).

【解析】

由asiziA—4bsinC=0結(jié)合正弦定理可得：a2=4bc,且變史當(dāng)￡=把，

A為銳角，貝1J：0<cosX<l,即0<0十。J'<1,據(jù)此有:

2bc

2bc

0<b2+c2-4bc<2bc,

6bc<h2+c2+2bc<8bc,

6＜返＜8,

be

口6（匕+c）286（b+c）28

即n五＜最＜彩,/＜B＜G,

據(jù)此可得：立＜”＜],

42a2

則華半的取值范圍為（乎當(dāng).

NS171/1T,乙

29.在圓內(nèi)接四邊形A8CD中，2C=8,48=24。/艮4。=60。，則/BCD的面積的最大

值為.

【答案】6V3

【解析】

由力B=24D/BAD=60。，可知/A8C為直角三角形，其中NACB=90°,

設(shè)NBAD=e,AB=2r,則BC=8tan0,AD—r=—,

CD=磊

在中,CD_AD即

44CDsinzCADsinzACD'sin(60°-0)-sin(120°-90°)

?,?廠C門D=8-s-in-(6-O-°--0)

COS0

:.SABCD=^BC?DCsinzBCD=1673sin(6^~^sin9=16V3(ytanO-|tan20)

令t=tan0,則S^BCQ=8V3(V3t-t2)

當(dāng)"J，即tan”中時(shí)，S〃BCO的最大值為88(|一[)=6g

故答案為：6V5

30.在ZL4BC中,a,b,c成等比數(shù)列，則詈益鬻的取值范圍是

【答案】（甘，春）

【解析】

在2L4BC中,

由正弦定理得bcosC+ccosBsinBcosC+sinCcosBsin(B+C)_sinZ_a

ccosA+acosCsinCcosA+sinAcosCsin(i4+C)sinBb'

又因?yàn)閍,b,c構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)公比為q,貝帕=aq,c=aq2,

又由在AABC中，a+b>c,即a+aq>aq2,gpq2_Q_1<Q,

hTjzgV5—1Vs+lrrKiCl1_V5_1VS+1

斛得丁<9<亍，所以B=r(亍，丁)A,

31.已知四邊形4BCD中，AB=BC=CD=^~DA=1,設(shè)A4BD與/BCD面積分另lj為

Si,52，則Is/+s/的最大值為.

【答案w

【解析】

因?yàn)锳B=1,DA=?所以Sf=：AB2XAD2xsiMa=|sin2a,在AABD中，由余

弦定理可得，BD2=AB2+AD2-2ABxADXcosA=4-2限osA,作CE±BD于E,

因?yàn)锽C=CD=1,所以用=iBD2XCE2=：BD2x(BC2-|BD2)=(1-yCOsA)X

—cosA=—cosA--cos27l,所以S/+S/=三sin2a+—cosA--cos2X=--fcosA—

224124242\

2

f)+K當(dāng)cosA=?時(shí)，S/+S/的最大值為:

故答案為：：

O

32.已知2MBe的內(nèi)角C的對(duì)邊分別為a,b,c,若小=廬+2bcsinZ,0VAV$則

tanX-4tanB的最小值為.

【答案】-j

【解析】

：由余弦定理小=Z)2+c2-2bccosA及a?=ft2+2bcsin4得c?—2bccosA=2bcsinZ

即c—2bcosA=2bsin4,再由正弦定理，得sinC—2sinBcosA=2sinBsinA,即

sin(A+B)—2sinBcosA=2sinBsinA,即sinAcosB—cosAsinB=2sinBsinA,所以

tan

tan/—tanB=2tanAtanB,所以tanB=^?

4tanA2

所以tanA—4tanB=tanA—=|(2tanA+1)+

2tanA+l2tanA+l2一

2/|(2tanA+l)x^-|=-|)當(dāng)且僅當(dāng)*2tanA+1)=+，即tanZ=1時(shí)等

號(hào)成立，所以tanZ-4tanB的最小值為-：

故答案為：-科

33.在四棱錐S-ABC。中，底面A5CQ是邊長(zhǎng)為4的正方形，側(cè)面SAD是以SD為

斜邊的等腰直角三角形，若40<SC<8,則四棱錐S-A3CD的體積取值范圍為

【解析】'

由題意可得，AD±SA,AD±AB,又S4u平面SAB,二ABu平面SAB,

.?.AD，平面&LB,?.?ADu平面ABCD,.?.平面5ABJ_平面ABC。，又平面

S43c平面=過S作于。，則SO,平面A3CD,故

丫=35.8義50=?50，在八818中，54=45=4,設(shè)/543=①則有劉州。4

中,SO=4sin0,OA=4cos0,OB=4-4cos6,又在RtAOBC中，

OC2=OB2+BC2=32-32COS^+16COS26>,在RtASOC中，

SC?==48—32cos6nSC=4,3—2cos夕,又472<5C<8

4^2<4V3-2cos^<8--<cos^<—,則—,1,

22L2

16。八1664.八.326八“64.京生.「32664-

..V=—SO=—x4-smO=—SIYIO,..--------〈V<—,故答案為------,—.

33333[33

34.在AABC中，AB=^3,BC=2AC=2,滿足麗—/石心卜的實(shí)數(shù)f的

取值范圍是.

3

【答案】o,4

_2_

【解析】AABC中，AB=?BC=2AC=2,即AC=1；則

2憐。|.陷273x22A/3

.?.由|麗—/就卜石|喝得：A42-2tBA-BCcos<BA,BC>+12BC<3AC\

，3—2人28?3+4/W3；整理得：2〃—3，K0；解得0

2V32

——「31

，實(shí)數(shù)t的取值范圍是0,-.

2

3

故答案為0,-

35.點(diǎn)及，B分別是橢圓。：曰+/=1的左、右兩焦點(diǎn)，點(diǎn)N為橢圓C