易錯點(diǎn)12圓錐曲線

易錯題［oil求離心率考慮不全面致誤

(1)當(dāng)橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)可能在X軸上，也可能在y軸上時求離心率要分兩種情況分別求

解；

⑵求橢圓的離心率范圍要注意ee(O,l);

⑶求雙曲線的離心率范圍要注意ee(l,+oo),

(4)若把離心率表示成某一變量的函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)求離心率范圍，要注意自變量范圍的

限制；

(5)根據(jù)幾何圖形求離心率或離心率范圍要注意驗(yàn)證某些特殊點(diǎn)或特殊圖形是否符合條件.

易錯題1021忽略判別式致誤

根據(jù)直線與圓錐曲線有2個公共點(diǎn)求解問題，把直線方程與圓錐曲線聯(lián)立整理成關(guān)于x或〉

的一元二次方程后不要忽略A>0這一條件，若圓錐曲線為雙曲線還有保證二次項系數(shù)不能

為零.

易錯題【03】忽略橢圓中x或y的取值范圍致誤

22

求解與橢圓.+4=1(°>03>0)上的動點(diǎn)有關(guān)的距離范圍問題，或求某一式子的范圍，

ab

要注意一aV尤Va,的限制.

易錯題［04］設(shè)直線的點(diǎn)斜式或斜截式方程忽略判斷斜率是否存在

利用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求解解析幾何問題，是高考解答題中的常見題型，當(dāng)直線為

動直線時，常設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程或斜截式方程，注意在設(shè)方程式要判斷是否存在，若斜

率有可能不存在，要分2種情況討論.

另錯題偵

爐V2

雙曲線二=1(心0力>0)的兩個焦點(diǎn)為B、尸2,若P為雙曲線上一點(diǎn)，且|尸尸1|

a2b2

=2|尸尸2I,則雙曲線離心率的取值范圍為.

【警示】本題錯誤解法是：如圖，設(shè)|尸尸2尸加/尸1尸尸2=。(0<。<兀)，

由條件得|尸產(chǎn)1|=2加，Xy|Z

I尸內(nèi)|2=/+(2加)2—4加2cosd,

F\］_oF2i

且IMil-I尸產(chǎn)2I尸相=2〃.7V

2cI-------------

所以e=—=V5—4cos6.

2a

又一Ivcos興1,所以eE(l,3).

【問診】漏掉了尸在X軸上的情況，即乙3尸尸2=兀時的情況.

[答案]設(shè)下后尸m,在\PF2=0（0〈生兀），

當(dāng)點(diǎn)P在右頂點(diǎn)處時,6=71.

a2am

當(dāng)陋,由條件，得|尸碎=2也因內(nèi)|2=疥+（2口?一4機(jī)2cos3,

S.\\PF1\-\PF2\\=m=2a.

2ci------

所以e=—=J5—4cos0.

2a

又一1<COS0<1,所以ee（l,3）.

綜上,ee（l,3].

【叮囑】對圓錐曲線上點(diǎn)的特殊位置（如頂點(diǎn)）不能忽略,綜合考慮所有可能情況求離心率范

變式練習(xí)

22

1.（2022屆重慶市高三上學(xué)期質(zhì)量檢測）橢圓C:[+==1（。>6>0）的左頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)、上頂

ab

點(diǎn)分別為4b,8,若坐標(biāo)原點(diǎn)。關(guān)于直線3尸的對稱點(diǎn)恰好在直線23上，則橢圓C的離心

率ee()

A/?！?/p>

【答案】B

【解析】依題意可知8廠是乙48。的角平分線，

由角平分線性質(zhì)可知4/廿二口,代入b?=fl2_c2可得=上至

bca-cc

_LL2—合1—2e+/c3c2c1八

故---s-------石---<=>2e—2e—2e+1=0,

l-e23

構(gòu)造函數(shù)/(x)=2x3-2x2-2x+1,0<x<I,/(x)=6x2-4x-2

=2(3x2-2x-l)=2(3x+l)(x-l),所以〃x)在區(qū)間(0,l)上遞減.

l-l+l=-l<0,

24

由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理可知ee.故選B

2.（2021.山西省陽泉市高三上學(xué)期期末）兩數(shù)1.9的等差中項是等比中項是6,則曲線

22

土+匕=1的離心率為（）

ab

VTo^2V102麗＞4n屈

AA.-——或一^——Bd.--——或一C.—D.-——

555555

【答案】A

1+9I----Y2V2

【解析】由題意。=—二=5小=±，兩=±3,若6=3,曲線方程為二十乙=1,表示橢圓,

253

離心率為e=避M=巫,6=-3時，曲線方程為三—二=1,表示雙曲線，離心率為

V5553

易錯題四

V2

已知雙曲線X2—3=1,過點(diǎn)3（1,1）能否作直線加，使加與已知雙曲線交于0,02兩點(diǎn)，且B是線

段。1。2的中點(diǎn)？這樣的直線加如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由.

【警示】本題錯誤解法是：設(shè)。1（孫力）,02（必,"），

代入雙曲線方程得[

^-y=l.（D

C…口，"一歹2Qx]+x2口

①一②化簡得左=」^2-=——■——.

xi—Xiy\十

??,中點(diǎn)5（1,1）,：.xi+x2=2^i+y2=2,.-.k=2.

.??滿足題設(shè)的直線存在，且方程為y-l=2（x-l）,

即2x—y—1=0.

V2

【問診】錯解中沒有判斷直線2x—y—1=0和雙曲線x2—5=1是否相交.

【答案】設(shè)①（川,力）,02（必,"），

X?—T-=1,①

代入雙曲線方程得:

x?-y=l.②

①一②得(X1+必)01一切)=1(yi+T2)(yi-72)?

VI-V2

???5(1,1)為0102的中點(diǎn)，?次=」^=2.

Xi~X2

???直線方程為y—l=2(x—1),即2x—y—1=0.

=

(y2x一],

聯(lián)立」y1消去y得2N—4x+3=0.

/=(—4)2—4x2x3=-8<0,二所求直線不存在.

【叮囑】用點(diǎn)差法求直線方程時,只是承認(rèn)了直線與曲線相交，而事實(shí)上，存在不相交的可能，所

以在求出直線方程后，應(yīng)利用判別式判斷直線與曲線是否相交.當(dāng)然，就本題來講，也可以不用

點(diǎn)差法求解.直接設(shè)直線的方程，利用待定系數(shù)法求解.遇見直接用直線與曲線方程聯(lián)立解

方程組的問題，就比較容易聯(lián)想用判別式求解.

支式練習(xí)

(2022屆湖南省長沙市高三上學(xué)期月考)過點(diǎn)40,1)作圓/+/=；的切線，兩切線分別與x軸

交于點(diǎn)瑪(耳在B的左邊)，以耳，鳥為焦點(diǎn)的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A.

⑴求橢圓C的方程；

(2)若經(jīng)過點(diǎn)(-2,0)的直線與橢圓C交于“，N兩點(diǎn)，當(dāng)△層的面積取得最大值時，求

直線/的方程.

【解析】(1)設(shè)切線方程為了=依+1,則1。-0+1|=乎,解得％=±1,

+12

所以切線方程為歹二±x+1,它們與1軸的交點(diǎn)為(-1,0)和(1,0),

22

設(shè)橢圓方程為1+1=1,橢圓過點(diǎn)月(0』)，貝防=1,”=病17=彳方=也，

ab

2

所以橢圓方程為土r+/=1;

2

(2)由(1)知名(1,0),

直線MN斜率一定存在，設(shè)其方程為y=/x+2)且左/0,設(shè)N(Z，女),記

尸(-2,0),

顯然%同號，

yk（x+2）

由V得（1+2/）晶+8/x+2（4左2-1）-0,

—+/=1

I2'

A=64/_8（1+2k°）（4后2_1）=8（1-2F）>0,—注<無<二且左工0,

22

8k°2（4入1）

Xi+X,-彳，-z

121+2左2121+2A-2

]33______________

SXX2

HF2MN=WF2PM~\尸產(chǎn)3=5閨尸IM-力|=5卜（玉-A：2）|=-|A;|7（I+2）-4X1X2

=如/金=-叱0=3"產(chǎn)a-專,

W（l+2r）21+2/V（1+2左2）2

設(shè)廣？:2力,設(shè)1+2左2=加，貝朋€（1,2），公二",

（1+2左）2

所以昨（*1）（2-⑼-m2+3m-21八32

------；----二一（1——十1）

2m22m2mm

再設(shè)一=t,貝

mz

所以tq即人士器時，八4，

T_3A/2

所以HFMN取得最大值為3五X

2記一丁

止匕時直線方程為歹=±-^-(x+2),即y=+或＞=

易錯題E

丫2

已知點(diǎn)P是橢圓C-.~+y2=l上的動點(diǎn),N(a,O)，求1Pzi的最小值/(?).

【警示】本題錯誤解法是：設(shè)警(xj),則|尸旬=J(x_q)2+y2=，—4+4—￥

=-2ax+a1+4=—+4-4a2>^4-4a2=2yjl-a2,

所以〃a)=2，l-J

【問診】忽略—24xW2

【答案】設(shè)尸(xj)，則|尸旬=7(x-a)2+/=^(x-a)2+4-|x2

=J-^-x2-2ax+tz2+4=^(x-4(z)2+4-4a2，因?yàn)?2WxW2,所以當(dāng)

—2W4aG2,——?aW萬時x=4a時f(")=2A/1-"，當(dāng)4a〉2M〉5時x=2時

/(a)=a—2,當(dāng)4a<-2,a<—5時x=—2時/(a)=—u—2.

22

【叮囑】橢圓一j_+%~=l(a〉b〉O)中—a?x?a,-b4ySb.

變龍練習(xí)

22

1.(2021年高考全國乙卷理科)設(shè)5是橢圓。：二+勺=1(。>b>0)的上頂點(diǎn)，若。上的

ab

任意一點(diǎn)尸都滿足|田區(qū)2〃，則C的離心率的取值范圍是()

【答案】C

22

【解析】設(shè)。(%,%),由8(0/),因?yàn)轼B+4=1,a~=b2+c\所以

ab

<2\2/73\2,4

222

附『二x；+E=Q21--A+(j；0-Z?)=--j；0+—+—+a+b,

\c)c

因?yàn)橐划?dāng)一臉一6,即為2。2時，儼>2=好,即附=26,符合題

vIImax?imax

意，由/Ac?可得/?2C2,即o<e?注；

2

L3I4

當(dāng)-\>-b,即時，I尸環(huán)=4+/+/,即勺+/+62<4/,化簡得，

212

CImaxc2c

(C2-&2)2<0,顯然該不等式不成立.故選C.

2.(2022屆廣西南寧市高三12月月考)已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，短軸長為

1,離心率為

2

⑴求橢圓C的方程；

(2)若過尸(/,0)的直線/與橢圓交于相異兩點(diǎn)B,且不=2而，求實(shí)數(shù)2的范圍.

'26=1

【解析】(1)由題意知￡=坐，

a2

a2=b2+c2

122__1

解得。=1,b=~,橢圓方程為xr+7-1；

2-

4

(2)設(shè),4(再,必),由后=2而得(/-再,-%)=2(%-/,%),從而：xt=3/-2x0,

%=-2%,則A(3/-2x0,-2y0),

因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓x2+4/=1上，故(3/_2/y+4(-2%)2=1,

2

BP9/-12/XO+4(^+4^)-1=O,

a/2]

又需+4火=1,所以％=匕?，

4/241

由橢圓定義知一1</41,故74與解得/e

又由題設(shè)知22±1,故/e1-L-)U

所以實(shí)數(shù)彳的取值范圍是,L-gU1,11

多錯題四

2

xy2、后xv4\/~5

設(shè)橢圓C：不+-=l(Afc>0)的離心率？=匚,左頂點(diǎn)M到直線-+乙=1的距離4=工0為

a2b12ab5

坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線/與橢圓C相交于/產(chǎn)兩點(diǎn)，若以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),證明：點(diǎn)。到直線

的距離為定值.

解關(guān)于x的不等式ox2—(a+l)x+l<0.

【警示】本題錯誤解法是：(1)解由e=f，得c=￥°,又〃=°2—02,

所以6=』Q,即a=2b.

2

xv

由左頂點(diǎn)M（一。，0）到直線一?■-=1,

ab

即到直線bx+ay—ab=O的距離d=^^~,

lab_475

寶k5，

4爐4石

把a(bǔ)=2b代入上式，得笠==」一,解得6=1.

5

所以q=2b=2,c=Ji.

所以橢圓。的方程為?+儼=1.

（2）證明設(shè)4（修,乃）乃3,乃），

設(shè)直線45的方程為〉=云+冽，

=

（ykx~\~m^

與橢圓方程聯(lián)立有12

小L

消去乂得（1+4左2）%2+8kmx+4m2——4=0,

8km4m2—4

所以修+%2=~T,"4

1+4F1+4左2

因?yàn)橐?8為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O,

所以CM10A

所以04，。3=%1工2+為歹2=0.

所以（1+F）xi%2+km（xi+%2）+—0.

“4m2—48klm2

所以（1+F尸/77—乙/+加2=S

1+4F1+4F

整理得5/=4（后+1）,

所以點(diǎn)O到直線AB的距離4=乙生=矩.

V^+T5

綜上所述，點(diǎn)O到直線AB的距離為定值邁.

5

【問診】忽略直線AB斜率不存在的情況

【答案】⑴由e=*，得c=*a,又〃=/一o2,

所以b=Lz,即a=2b.

2

xy

由左頂點(diǎn)M(一。，0)到直線?■-=1,

ab

即到直線bx+ay-ab=O的距離d=鼻,

lab_475

“k5，

4〃4、歸

把。=26代入上式，得〒=上，解得6=1.

&b5

所以a=2b=2、c=6.

所以橢圓。的方程為9+產(chǎn)=1.

(2)證明設(shè)A(xl,yl),B(x2,y2),

①當(dāng)直線N2的斜率不存在時，由橢圓的對稱性,

可知X\=%2,V1=—Jb-

因?yàn)橐訬8為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，

故蘇加=0,

即XiX2+yiJ，2=0,也就是X?—VT=0,

X?

又點(diǎn)4在橢圓C上，所以i+M=l,

解得同=同=寺.

2后

此時點(diǎn)O到直線AB的距離"1=,1|=飛一.

②當(dāng)直線45的斜率存在時，

設(shè)直線45的方程為〉=云+加，

(y=kx-\-mf

與橢圓方程聯(lián)立有12

7+廣=1，

7肖去乂得(1+4左2)工2+8kmx+4m2——4=0,

8km4加2—4

所以修+通=一—1一，

l+4F1+4F

因?yàn)橐?5為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O,

所以O(shè)ALOB.

所以04，。3=%1必+為歹2=0.

所以(1+F)XI%2+km(xi+%2)+—0.

47M2—48klm2

所以（1+部）?斤一加2=0.

1+4F1+4

整理得5m2=4(F+l),

\m\_275

所以點(diǎn)O到直線的距離d

A―JN+]—5'

綜上所述，點(diǎn)。到直線AB的距離為定值"I

5

【叮囑】設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程或斜截式方程要先判斷斜率是否存在，若有可能不存在，要討

論.

支式練習(xí)

1.（2021年高考全國甲卷理科）拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O.焦點(diǎn)在x軸上，直線/：x=l

交C于P,。兩點(diǎn)，且OPLOQ.已知點(diǎn)M（2,0）,且0M與/相切.

（1）求C,。拉的方程；

⑵設(shè)是c上的三個點(diǎn)，直線44，44均與。拉相切.判斷直線44與0M

的位置關(guān)系，并說明理由.

【解析】（1）依題意設(shè)拋物線c：y2=2Px（p>0）,尸,

?：OPLOQ,:.OPOQ=i-yl=1-2p=0,:.2p=\,

所以拋物線C的方程為》2=X,

川（0,2）,。四與x=l相切，所以半徑為1,

所以的方程為（x-2）2+y2=1；

⑵設(shè)4（西必）,4（%,%），4（/，%）

若44斜率不存在，則4a方程為X=1或X=3,

若44方程為X=1,根據(jù)對稱性不妨設(shè)4（1,1）,

則過4與圓河相切的另一條直線方程為歹=1,

此時該直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，即不存在劣，不合題意；

若44方程為X=3，根據(jù)對稱性不妨設(shè)4（3,A/3），4（3,-V3）,

則過4與圓"相切的直線44為y—百=等（》—3），

弘一為_11=當(dāng)，:?=0，

又左44

再一七%+為6+%

x3=o,4（0,0）,此時直線44,44關(guān)于x軸對稱,

所以直線44與圓"相切；

若直線,44,44斜率均存在，

則七間乂+^2,左'兇y2+y3

i/

所以直線44方程為必=------（%—

整理得X—（必+y2）y+必為=0,

同理直線44的方程為工一（%+必）＞+必%=0,

直線44的方程為工一（必+%”+%%=。，

12+乃%|,

???44與圓.相切,1+（…11

整理得標(biāo)-1）式+2%%+3-訴=0,

44與圓V相切，同理（y；-1）用+2yly3+3—y；=o

所以歹2,%為方程3-1）/++3—=0的兩根,

2必3-jf

y+y=--,必

23Ji-iJi-i

M到直線44的距離為：

i2+^i|

|2+J2J3I'

J1+CV2+%，J1+（-含）2

二8+1:1

后可再療+1'

所以直線44與圓"相切；

綜上若直線44,44與圓河相切，則直線44與圓M相切.

V2

2.（2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷1（理））（12分）設(shè)橢圓C:—+y2=l的右焦點(diǎn)為尸，過E的

直線/與C交于48兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2,0）.

（1）當(dāng)/與x軸垂直時，求直線的方程；

⑵設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：NOMA=NOMB.

【解析】（1）由已知得/（1,0）,/的方程為x=l.

由已知可得，點(diǎn)Z的坐標(biāo)為（1,：-）或（1,-：-）.

所以的方程為；；=—半x+&或y=芋X—3.

⑵當(dāng)/與x軸重合時，ZOMA=ZOMB=0°.

當(dāng)/與x軸垂直時，（W為48的垂直平分線，所以NO肱4=/（WB.

當(dāng)/與x軸不重合也不垂直時，設(shè)/的方程為歹=左（x-1）（左/0）,4＞[,必）,8（%,%），

則石＜0,工2＜血，直線MZ，八四的斜率之和為%+&B=」一

-2x2-2

2kxi%一3左（$+々）+4左

由必=丘］—左,％=AX2—左得％+kMB=

（M-2）（%一2）

2

將y=k（x—1）代入5+j/=1得（2左2+i）x_4左2》+2p-2=0.

4后22k2-2

所以/+/=2^2+1，%1%2-2k2+1

4左3—4左一12左3+8左3+4左

則2kxix2-3左（石+%）+4左==0.

2公+1

從而兒+6必=0,故人的傾斜角互補(bǔ)，所以兒伍=/＜WB.

綜上，ZOMA=ZOMB.

易錯題通關(guān)

22

1.（2022屆華大新高考聯(lián)盟高三上學(xué)期質(zhì)量測評）已知雙曲線C京年=1（。＞0力＞0）,若雙曲

線不存在以點(diǎn)（2。,。）為中點(diǎn)的弦，則雙曲線離心率e的取值范圍是（）

【答案】B

【解析】由題意知點(diǎn)（2a,a）必在雙曲線外部，貝I]四1一式41，得”J；

a1b1a3

假設(shè)以（2a,a）為中點(diǎn)存在弦，設(shè)弦與雙曲線交于力（西，%），臺（無2,%），

K2

/M1

-F-1

則N兩式作差得，a+以腎一乜)=(必+切。飛)

--1ab

1

2a

6々(再+%)2b22b2b

即3B=21,一=F，???不存在該中點(diǎn)弦，二直線與雙曲線無交點(diǎn)，則得

a?2(“十%)aa2a

上二；綜上，可得J；又???離心率e=g=、M^,入口^嗎Q,即

a24/3a\a2V4V3

—<e<—,故選B

23

2.(2022屆陜西省西安市高三上學(xué)期月考)已知雙曲線C：W-==l(a>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)

ab

分別是片，工，若雙曲線C上存在點(diǎn)尸使得可?成=-3°2,則雙曲線C的離心率的取值范

圍為()

A.[V3,+oo)B.[2,+co)C.(1,2]D.(1,73]

【答案】B

22r2

【解析】設(shè)尸(XJ),則餐-y2=^x2-b2,|x|>a,

a2b2a2

片(-c,0),工(c,0),

PF、?PF]—(—c_x,_y).(c—無,—y)=(—c—x)(c—x)+(—y)—x2~c2+y~=無-H——x--b~-c"=

,所以/=[(一3/+/+。2)2/，所以°2上4/,e=￡>2.故選B

ca

3.(多選題)(2022屆江蘇省南京市高三上學(xué)期12月月考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知

4(1,1),￡(-1,0),月(1,0),若動點(diǎn)尸滿足歸周+|尸若|=4,則()

A.存在點(diǎn)P,使得|尸鳥|=1B.耳與面積的最大值為百

C.對任意的點(diǎn)P,都有|尸川+|尸閭>3D.有且僅有3個點(diǎn)P,使得VP/片的面積為萬

【答案】ABD

【解析】由題知，點(diǎn)尸的軌跡是。=2,c=l,焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,

則6=百，橢圓方程為工+或=1,

43

當(dāng)點(diǎn)尸為橢圓右頂點(diǎn)時，|方寫|=。-。=1,故A正確;

當(dāng)點(diǎn)P為橢圓上、下頂點(diǎn)時，△尸不居面積的取最大值，為:片名山=百，故B正確;

12

PA+PF2=PA+2a-PF}>2a-AFi=A-^(\+V)+1=4-75,

因4-石<3,故C錯誤;

3

設(shè)使得VR4月的面積為:的P點(diǎn)坐標(biāo)為（%,%）,

由46坐標(biāo)知，AF、=布,直線四的方程為x-2y+l=0,

則依「弓

解得%-2%-2=0或%-2%+4=0,

X（）-2%-2=0

聯(lián)立江+E=1，化簡得2訴-3%=0,

,T+T-

則A=9>0,因此存在兩個交點(diǎn)；

同理可得直線%-2盟+4=0與橢圓僅有一個交點(diǎn);

3

綜上，有且僅有3個點(diǎn)P,使得V取片的面積為:，故D正確;

故選ABD

2

fV

4.（2022屆山東省青島市高三上學(xué)期12月月考）已知點(diǎn)尸是橢圓"+?=1上一點(diǎn)，耳，F(xiàn)2

是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若"F工=60。,則下列說法正確的是（）

A.△耳隼的面積為迫

3

B.若點(diǎn)M是橢圓上一動點(diǎn)，則誨?近的最大值為9

C.點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為殛

6

rr

D.△片尸月內(nèi)切圓的面積為:

【答案】AD

【解析】對A,根據(jù)橢圓定義可得|「耳|+|尸閶=6,則歸胤2+歸耳『+2|尸耳卜|尸鳥|=36①，

在△耳尸鳥中，由余弦定理陽閶2=聲用2+忸閶2_21尸胤.|巴訃cos60°②,

由①②可得|巴訃|尸瑪=胃，所以△片時的面積為3mHp閭.而60?！箈型x包=地,

322323

22

故A正確；對B,設(shè)則［-+21_=i,-3<x0<3,

22

MR-MF2=^-2-x0,-y0）-（2-x0,-y0）=x0+y0-4

=葉+5一比一4=至+1,

°99

則當(dāng)%=±3時，礪?砧取得最大值為5,故B錯誤；

對C,由A,△片時的面積為W，則;x2cx|y/=2|y/=￥，解得力=±乎，故C

錯誤；對D,設(shè)△耳尸工內(nèi)切圓的半徑為人因?yàn)椤髟率拥拿娣e為短，

3

所以g（|尸片|+熙|+|片閭），=￥^,即g（6+4>r=竽^，解得廠=?,

所以△甲有內(nèi)'切圓的面積為"=|,故D正確.故選AD.

22

5.（2021屆上海市復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期質(zhì)量檢測）已知片，居是橢圓E:上+匕=1的

一42

兩個焦點(diǎn)，尸是橢圓￡上任一點(diǎn)，則不?哥的取值范圍是

【答案】[0,2]

【解析】由/=4,吩=2,解得：c2=a2-b2=2,所以c=也，不妨令耳卜后,0）,

22

馬（后,0）,因?yàn)槭菣E圓￡上任一設(shè)點(diǎn)，設(shè)亞亞）,則？+與=1,即

m2=4-2M2,其中與P6尸=（加+啦,〃）?卜”-&,"）=/-2+/=2-/,因?yàn)橐皇账?/p>

以0</<2,Q<2-n2<2,所以造?行的取值范圍是2].

6.（2022屆甘肅省金昌市高三上學(xué)期12月月考）拋物線C：j?=4x,尸是。的焦點(diǎn)，過點(diǎn)尸

的直線/與C相交于/、8兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）設(shè)/的斜率為1,求以N8為直徑的圓的方程;

⑵若總=2潴，求直線/的方程.

【解析】（1）由題意可知，尸（1,0）.

???直線I的斜率為1,?,.直線I的方程為y=x—1,

1y2=4x

聯(lián)立｛1,消去歹得％2—6x+l=0,

U=xT

設(shè)Z（xi，yi）,8（X2，V2），

-

則XI+12=6,y\+yi+x22=4,

???所求圓的圓心坐標(biāo)為（3,2）,

求得弦長|/3|=占+迎+。=8,半徑“五產(chǎn)+1=4,

所以圓的方程為（X—3）2+（y—2）2=16

（2）由題意可知直線/的斜率必存在，設(shè)為左，則直線/的方程為丁=左（%—1）.

y2=4x、

由<7/八得。2一%一4左=0.設(shè)/（xi，yi）,B（x2,>2），

y=左（%一1）

4

則下，

71^2=-4

.UUUULI.

由K4=2BF，得(xi—1,yi)=2(l—x2，一了2)，

-'-yi=-2y2>

-'-k2=8,k=+2V2，

二直線l的方程為了=±2及(x-1),

即直線方程為2岳-了-2&=0或2VLe+y-2夜=0

7.已知橢圓￡：；+V=l的右焦點(diǎn)為凡過尸作互相垂直的兩條直線分別與￡相交于4

C和瓦。四點(diǎn).

(1)四邊形N2CD能否成為平行四邊形，請說明理由；

⑵求I4CI+IB。的最小值.

【解析】⑴設(shè)點(diǎn)/(國,必),CH，%),

若四邊形/BCD是平行四邊形，則四邊形/BCD是菱形，

于是有線段AC與BD在點(diǎn)F處互相平分，而點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0),

則%+%=0，由橢圓的對稱性知，NC垂直于x軸，2D垂直于夕軸，顯然這時四邊形N8CD

不是平行四邊形，

所以四邊形ABCD不可能成為平行四邊形.

(2)當(dāng)直線/C的斜率存在且不為零時，設(shè)直線/C的方程為y=%。-1)/=0),

fV=左(x-l)

由2；2；消去了并整理得，(2左2+1)--4心+2左2-2=0,則由⑴所設(shè)坐標(biāo)得：

X+2y=2

4后2_2左2-2

2F+1'-27+1'

22/2-22后(12+1)

|AC|=J1+笈2-+x2)-4XJX=J1+左2?

2Ik2+\~1k1+\

而直線BD的斜率為,同理得，|80=2*2+D,于是得|/c|+1臺0=

kk2+1(2左2+l)(F+2)

1|-

令公+1=/>1,貝2r+/-l-.1k29-3>當(dāng)且僅當(dāng)f=2,即左=±1

—(----)d--

t24

時取“=”，

當(dāng)直線4c的斜率不存在時，|/C|=VL|50|=2五，則有|/。|+|8。|=3五，

當(dāng)直線NC的斜率為零時，|/C|=2亞，|80=血，則有|/C|+|80=3痣，而3后〉殍,

所以|NC|+|80的最小值是成.

3

221

8.已知橢圓￡:=+斗=1(。>6>0)經(jīng)過點(diǎn)/(-62),橢圓E的一個焦點(diǎn)為(6,0).

ab2

⑴求橢圓￡的方程；

⑵若直線/過點(diǎn)M(。而且與橢圓E交于43兩點(diǎn).求MB|的最大值.

【解析】(1)依題意，設(shè)橢圓E的左，右焦點(diǎn)分別為￡(-百,0),&(6,0).

2

則|尸印+1PF21=4=2a,：.a=2,c=73,:.b=l>

橢圓￡的方程為上+廿=1.

4'

(2)當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)/:y=fcc+行，省百，乂)，B(X2,%).

y=kx+也

2得(1+4左2口2+86匕+4=0.

由，X2?

—+V=1

14

由△>()得442>1.

8岳

由X]+%

1+4公

X1X2=得\AB1=Jl+左2J(±+Z)2-4X|X2=2.-6(1)2++1.

1十^T/VV1,十1十

設(shè)