空間直線、平面的垂直

【考試要求】1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系2掌握直線與平

面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，并會簡單應(yīng)用.

?落實主干知識

佚口識梳理】

1.直線與平面垂直

(1)直線和平面垂直的定義

一般地，如果直線/與平面a內(nèi)的任意二條直線都垂直，就說直線/與平面a互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

如果一條直線與一個平

1mUa

面內(nèi)的兩條相交直線垂7nUa

判定定理mAn—P=>l.La

直，那么該直線與此平I-Lm

面垂直/_L〃

ab

垂直于同一個平面的兩

7a

性質(zhì)定理:\=>a//b

條直線平行2b-La)

2.直線和平面所成的角

(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的

角.一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是皿；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi),

我們說它們所成的角是史.

71

(2)范圍：0,-

3.二面角

(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.

(2)二面角的平面角：如圖，在二面角a一/—/的棱/上任取一點。，以點。為垂足，在半平

面a和￡內(nèi)分別作垂直于棱/的射線04和OB,則射線OA和OB構(gòu)成的叫做二面角

的平面角.

(3)二面角的范圍：「0,2.

4.平面與平面垂直

(1)平面與平面垂直的定義

一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

如果一個平面過另一個

aUa[

判定定理平面的垂線,那么這兩

7a

個平面垂直6J

兩個平面垂直，如果一

個平面內(nèi)有一直線垂直a_L夕

a0P=a'I

性質(zhì)定理于這兩個平面的交線,￡

/_La

那么這條直線與另一個lup

平面垂直

【常用結(jié)論】

1.三垂線定理

平面內(nèi)的一條直線如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這

條斜線垂直.

2.三垂線定理的逆定理

平面內(nèi)的一條直線如果和穿過該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射

影垂直.

3.兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“義”)

(1)若直線/與平面a內(nèi)的兩條直線都垂直，則/_La.(X)

(2)若直線aJ_a,6J_a,貝V)

(3)若兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面.(X)

(4)若a_L￡,則a〃a.(X)

【教材改編題】

1.(多選)下列命題中不正確的是()

A.如果直線a不垂直于平面a,那么平面a內(nèi)一定不存在直線垂直于直線a

B.如果平面a垂直于平面.，那么平面a內(nèi)一定不存在直線平行于平面￡

C.如果直線。垂直于平面a,那么平面a內(nèi)一定不存在直線平行于直線。

D.如果平面a,平面人那么平面a內(nèi)所有直線都垂直于平面￡

答案ABD

解析若直線。垂直于平面a,則直線。垂直于平面a內(nèi)的所有直線，故C正確，其他選項

均不正確.

2.如圖，在正方形SGiG2G3中，E,尸分別是G1G2，G2G3的中點，。是￡尸的中點，現(xiàn)在沿

SE,即及EF把這個正方形折成一個四面體，使Gi，G2,G3三點重合，重合后的點記為G,

則在四面體S-EFG中必有()

A.SG_LZ\EFG所在平面

B.所在平面

C.所在平面

D.GD_LZkS￡尸所在平面

答案A

解析四面體S—EFG如圖所示，由SGJ_GE,SG_LGF,

GECGF=G且GE,G尸U平面EFG得SGL/\EFG所在平面.

3.已知尸。垂直于正方形/BCD所在的平面，連接尸8,PC,PA,AC,BD,則一定互相垂

直的平面有對.

答案7

解析如圖，由于尸。垂直于正方形4BCZ),故平面PZ)/_L平面4BCD,平面尸Z55_L平面

ABCD,平面PDC_L平面/BCD,平面尸D4_L平面PDC,平面P4C_L平面P/必，平面

平面P4D,平面FBC_L平面PDC,共7對.

■探究核心題型

題型一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)

例1（1）已知%是平面a外的兩條不同直線.給出下列三個論斷：

①/_L加；②加〃a；③/J_a.

以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題.

答案②③=①（或①③"②）

解析已知/,根是平面a外的兩條不同直線，由①/_1_加與②機〃a,不能推出③/_La,因為/

可以與a平行，也可以相交不垂直；由①/_!_加與③/_La能推出②力〃a；由②與③/_La

可以推出①/_1_九

⑵（2023?婁底模擬）如圖，在三棱柱ABC—42cl中，點S在底面ABC內(nèi)的射影恰好是點

C.

①若點。是/C的中點，且DA=DB,證明：AB±CCi.

②已知21cl=2,B\C=26,求△2CG的周長.

①證明：點Bi在底面ABC內(nèi)的射影是點C,

.,.2C_L平面4BC,

平面/2C,：.BiC±AB.

在△N8C中，DA=DB=DC,J.BCLAB,

'：BCr\BxC=C,BC,SCU平面BCCiS，

,平面BCCB，

：CGU平面Bec：.ABLCCX.

②解如圖，延長8c至點￡,使2C=CE,

連接Ci￡,則81cl統(tǒng)CE,四邊形31CEG為平行四邊形,

則CiE矮BC

由①知平面NBC,，CiE_L平面/8C,

??CE,8EU平面/8C,

ACXELCE,CXE±BE,

:CiE=BiC=2g,CE=BC=B￡i=2,BE=4,

.,."1=,婚+。］￡2=4,BC\=dBG+CIK2

:.ABCCi的周長為2+4+2/7=6+2々.

思維升華證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵

(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a〃6,a±a^>

6_La);③面面平行的性質(zhì)(a_La,a〃/=〃_!_￡);④面面垂直的性質(zhì).

(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).

跟蹤訓練1如圖，在正方體/BCD—4SGA中，E,尸分別是棱CD,42的中點.

(1)求證：AB}±BF；

(2)求證：AELBF-,

(3)棱CG上是否存在點尸，使平面NEP?若存在，確定點尸的位置，若不存在，說明

理由.

⑴證明如圖，連接48,則

因為4尸，平面4B81Z1,4B1U平面4BB14,

所以小尸，481，

又//n/i斤=4,

所以/為_L平面A[BF.又BFU平面A}BF,所以ABJBF.

⑵證明如圖，取棱4D的中點G,連接尸G,BG,則尸GLN瓦

因為AG=DE,/BAG=NADE,所以4BAG沿LADE,所以N4BG=/D4E.

所以NEJ_5G.又因為8GCFG=G,所以平面89G.

又8FU平面RFG,所以

(3)解存在.如圖，取棱C。的中點P,即為所求.連接￡P(guān),AP,CXD,因為￡尸〃C0,

CXD//ABX,所以￡尸〃NS.

由(1)知49i_LAF,所以跳LLEP.

又由(2)知且/EnEP=E,

所以5尸，平面4ER

題型二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)

例2(2023-桂林模擬)如圖所示，已知在四棱錐P—4BCD中，底面ABCD是矩形,平面PAD1.

底面N8CD且NB=1,PA=AD=PD=2,￡為的中點.

(1)求證：平面平面NCE；

(2)求點B到平面ACE的距離.

⑴證明由P4=NO=尸。，￡為的中點，可得

因為CD_L4D,平面尸4D_L平面48cD,平面P4DCl平面/BCD=4D,CDU平面4BCD,

所以平面P4D,

而/EU平面尸40,所以C￡>_L4E,

由CDQPD=D,則N￡_L平面PCD,

又/EU平面/CE,所以平面尸CD_L平面NCE.

⑵解如圖，連接AD,與/C交于O,則。為8。的中點，

所以點。到平面/CE的距離即為點B到平面NCE的距離.

由平面PCDJ_平面/CE,過。作。MJ_C￡,垂足為M,

則JW_L平面ACE,則DM為息D到平面ACE的距離.

由CDJ_平面PAD,可得CD±PD,

-1J2

又CD=DE=l,所以。河=-C￡=J,

22

即點8到平面/CE的距離為1

2

思維升華(1)判定面面垂直的方法

①面面垂直的定義.②面面垂直的判定定理.

(2)面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用

①面面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運用時要注意“平面內(nèi)的直

線”.②若兩個相交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面.

跟蹤訓練2(2022?邯鄲模擬)如圖，在四棱錐尸一48c。中，AB//CD,ABLAD,CD=2AB,

平面平面/BCD,PALAD,E和尸分別是CD和PC的中點，求證：

(1)P/_L平面ABCD；

⑵平面BEF〃平面PAD；

⑶平面AEF_L平面PCD.

證明(1)：平面尸平面/BCD,

且PA垂直于這兩個平面的交線AD,

⑵〈AB〃CD,CD=2AB,E是CO的中點，

J.AB//DE,SLAB=DE,

四邊形4BED是平行四邊形，：.AD//BE,

,；BEd平面R4D,NOU平面尸40,.'AE?〃平面尸40,

和尸分別是CO和尸C的中點，J.EF//PD,

?:EFQ平面PAD,P￡>U平面尸/。，，￡/〃平面尸/。，

?：BECEF=E,BE,EFU平面8￡尸，

平面8￡尸〃平面PAD.

^>Y：ABLAD,二平行四邊形4BE。是矩形,J.BELCD,ADLCD,

由①知P4_L平面/8C。，J.PALCD,

'：PAHAD=A,

；.CD_L平面尸40,：.CD±PD,

和廠分別是CO和尸C的中點，J.PD//EF,

J.CDLEF,又；BECEF=E,；.CD_L平面2EF,

「CDU平面PCD,；.平面BEF1平面PCD.

題型三垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

例3如圖，已知/BCD—481cbDi是底面為正方形的長方體，/NA4=60。，N￡?i=4,點

P是NDi上的動點.

(1)試判斷不論點P在/Di上的任何位置，是否都有平面平面4401。，并證明你的結(jié)

論；

(2)當尸為AD】的中點時，求異面直線441與BiP所成的角的余弦值；

⑶求PBi與平面AA^D所成的角的正切值的最大值.

解(1)是.平面440。，A4U平面2P4,

/.平面BPA_L平面440⑷，

,無論點P在/。1上的任何位置，都有平面平面4400.

(2)過點尸作PEL4D1，垂足為E,連接囪￡,如圖，

則PE//AAX,

/氏尸￡(或其補角)是異面直線/小與51P所成的角.

在RtA^iZJi中,

'：/皿4=60。,

/./小皿=30°,

1

=A\D\=『Z)i=2,

.?.4￡=i=l,AA產(chǎn)1D\=2退,

:.PE=、AI=6,BIE=J/1皮+/1評=6,

/.在RtA^iP^中，

B^y/BiP+PE2^^,

PE_6

cosNB]PE=

BiP2724

二異面直線叫與“所成的角的余弦值為f

(3)由(1)知，平面44。。,

/.ZBiPAi是尸與與平面AAQQ所成的角,

A\B\_2

.".tanXBiPAi

A\P~A\P

.?.當4尸最小時，tan/與尸小最大,

這時小P_L4Di，

A\DvAA\

AP=

XADi

得tanN51P4i

即尸Si與平面所成的角的正切值的最大值為空.

3

思維升華(1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)

化.

(2)對于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相

關(guān)定理、性質(zhì)進行推理論證.

跟蹤訓練3(2023?柳州模擬)如圖，在三棱錐產(chǎn)一N8C中，AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=

2^/2,。為/C的中點.

(1)證明：平面N2C；

⑵若點”在棱8c上，且與平面45C所成角的正切值為幾，求二面角M—P4—C的平

面角的余弦值.

⑴證明方法一如圖，連接。8

,；AB=BC=2,AC=2叵

.,.AB2+BC^^AC2,

即△ABC是直角三角形，

又。為/C的中點，

：.OA=OB=OC,

又；PA=PB=PC,

：.△尸CM0△尸02名△尸。C,

/./POA=NPOB=NPOC=90°.

：.PO±AC,PO±OB,

"：OBPiAC=O,OB,ACC^ABC,

.,.尸O_L平面/8C.

方法二如圖，連接02,

,:PA=PC,。為/C的中點，PA=PB=PC=AC=242,

J.POLAC,PO=n，

又,：AB=BC=2,

J.AB1BC,B0=g

：.PO2+OB2^PB2,

C.POLOB,

"：OBPiAC=O,OB,NCU平面/8C,

；.PO_L平面NBC.

(2)解由(1)知，PO_L平面NBC,

攸為PM在平面/8C上的射影,

，ZPMO為與平面45c所成角,

POa廠

'：tmZPMO=—=—=-J6,

OMOM'

0M—1,

在△N2C和△0MC中，由正弦定理可得MC=1,

為8c的中點.

如圖，作MEL4c交NC于￡,

則E為。C的中點，作EFLPA交尸/于尸，連接MF,

C.MFLPA,

二/MFE1即為所求二面角M—PN—C的平面角，ME=—,

2

6V33376

EF=-AE=-X-X2rJ2=-^

224v4

)-------：------屈

21：L

MF=y/ME+EF=^-

EF3J93

cos/MFE=----=-------

MF31

故二面角M-PA-C的平面角的余弦值為」一

課時精練

礎(chǔ)保分練

1.（多選）若平面a,4滿足a_l_￡,aCp=l,P^a,PH,則下列命題中是真命題的為（）

A.過點尸垂直于平面a的直線平行于平面6

B.過點P垂直于直線/的直線在平面a內(nèi)

C.過點P垂直于平面￡的直線在平面a內(nèi)

D.過點尸且在平面a內(nèi)垂直于/的直線必垂直于平面/

答案ACD

解析由于過點P垂直于平面a的直線必平行于平面力內(nèi)垂直于交線的直線，則直線平行于

平面人因此A正確；過點尸垂直于直線/的直線有可能垂直于平面明不一定在平面a內(nèi),

因此B不正確；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理知，選項C,D正確.

2.如圖，在四棱錐尸一/BCD中，△P48與是正三角形，平面尸/8_L平面尸8C,

AC±BD,則下列結(jié)論不一定成立的是（）

A

A.BPLACB.PD_L平面4BCD

C.ACLPDD.平面尸2。_L平面48co

答案B

解析如圖，取線段AP的中點。，連接CM,0C,易得BP，。/,BPL0C,又O4C0C=

0,所以2P_L平面OAC,所以AP_L4C,故選項A正確又ACLBD,BPCBD=B,所以/C_L

平面PAD,所以NCIPD,故選項C正確；又/CU平面/BCD,所以平面尸8。_L平面

ABCD,故選項D正確.

3.如圖，在斜三棱柱/8C—481cl中，ZBAC=90°,BCX^AC,則。在底面N8C上的射影

H必在（）

B.C

A.直線48上

B.直線3C上

C.直線NC上

D.△48C內(nèi)部

答案A

解析連接/G（圖略），由ACYBCX,AB^BCi=B,得NC_L平面：/CU平

面ABC,；.平面N8G_L平面ABC.：.Q在平面/8C上的射影”必在平面ABQ與平面ABC

的交線48上.

4.（多選）如圖，在以下四個正方體中，直線與平面CDE垂直的是（）

答案BD

解析對于A,顯然48與CE不垂直，則直線48與平面CDE不垂直；對于B,因為

ABLCE,ABLED,_0_CEQED=E,所以4B_L平面CDE；對于C,顯然42與CE不垂直,

所以直線48與平面COE不垂直；對于D,因為ED_L平面4BC,則ED_L4B,同理

CELAB,因為EOCCE=￡,所以4B_L平面COE.

5.（多選）（2022?齊齊哈爾模擬）若加，〃是兩條不同的直線，a,0,y是三個不同的平面，貝U

下列命題錯誤的是（）

A.若加U萬，a_L￡,貝!!7%J_a

B.若"z〃a,”〃a,貝!］機〃”

C.若"2_1_乃，7%〃a,則a_L//

D.若a_Ly,a_L.,則￡_Ly

答案ABD

解析由俄，"是兩條不同的直線，a,y是三個不同的平面，

在A中，若mU0,a.Lfl,則加與a相交、平行或wUa,故A錯誤；

在B中，若加〃a,n//a,則加與〃相交、平行或異面，故B錯誤；

在C中，若加m//a,則由面面垂直的判定定理得故C正確；

在D中，若a_Ly,a_L￡,則//與y相交或平行，故D錯誤.

6.（多選）在長方體/BCD—小8＜。1中，已知與。與平面/BCD和平面44歸/所成的角均

為30。，則下列說法正確的是（）

A.AB=y/2AD

B.48與平面/5C0所成的角為30。

C.AC=CBi

D.80與平面881cle所成的角為45°

答案AD

解析如圖，連接2D,易知48。氏是直線8Q與平面N8CD所成的角,

所以在RtABDBi中，ZBDBi=30。，

設(shè)ABi=l,則從。=28從=2,

BD=』BID2-BB4=6.

易知NABQ是直線BXD與平面AA{BXB所成的角，

所以在Rtz\4D3i中，N/2|D=30。.

,1

因為氏。=2,所以4D=-2Q=1,

2

ABi=qBiD2—AD2=6,

所以在RtZX/BSi中，AB==72=/1AD,所以A項正確；

易知是直線48與平面48C0所成的角，

BBiJ31

因為在RtZUABi中，sinZBABx^—

ABi32

所以N24B1W30。，所以B項錯誤；

在RtZXCBBi中，CBi=JBG+B皮="

而AC=y/AB2~\~BC2=i/3,所以C項錯誤；

易知ND8C是直線80與平面581cle所成的角，

因為在Rtz\D3c中，CBi=CD=g所以ND2iC=45。，所以D項正確.

7.如圖所示，在四棱錐尸一/3CO中，底面/BCD,且底面各邊都相等，M是PC上的

一動點,當點M滿足條件:①BMLDM,②DM工PC,③BMLPC中的時，平面MBD1.

平面PCD（只要填寫一個你認為是正確的條件序號即可）.

答案②（或③）

解析連接/C（圖略）底面/BCD,；.P/_L5D：底面各邊都相等，：.AC±BD.

,：PAHAC=A,.?.8。_1平面?。?,：.BD±PC.

當DM_LPC（或8M_LPC）時，即有PC_L平面MBD,

而尸CU平面尸C。，平面〃3。！,平面PCD

8.在矩形4BCD中，AB<BC,現(xiàn)將沿矩形的對角線3。所在的直線進行翻折，在翻

折的過程中，給出下列結(jié)論：

①存在某個位置，使得直線ZC與直線2。垂直；

②存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直；

③存在某個位置，使得直線AD與直線8C垂直.

其中正確結(jié)論的序號是.

答案②

解析①假設(shè)NC與皿垂直，過點/作于點E,連接CE,如圖所示.則黃:嗎

DL）J-ACJ

=BDJ_平面NEC,則8￡>_LCE,而在平面BCD中，CE與8。不垂直，故假設(shè)不成立，①不

正確；

②假設(shè)AB_LCD,：AB_L4。，CDCAD=。，二/臺，平面/CD,二/臺，/。，由A8<BC可知，

存在這樣的直角三角形，使故假設(shè)成立，②正確；

③假設(shè)/D_L2C,'JCDLBC,ADCCD=D,，2C_L平面/CD,：.BC±AC,即△NBC為直

角三角形，且42為斜邊，而/2<2C,故矛盾，假設(shè)不成立，③不正確.

9.如圖所示，在四棱錐「一/BCD中，底面N2CD是/'2=60。且邊長為。的菱形，側(cè)面尸40

為正三角形，其所在平面垂直于底面48cD,若G為40的中點.

⑴求證：8GJ_平面尸

（2）求證：ADLPB-,

（3）若E為8c邊的中點，能否在棱PC上找到一點尸，使平面。跖J_平面/BCD?并證明你

的結(jié)論.

⑴證明在菱形N2CD中，/D4B=60。,G為40的中點，

所以BG_L4D.

又平面P4D_L平面/BCD,平面尸4DC平面/5CD=4D,3GU平面4BCD,所以5G_L平面

PAD.

(2)證明如圖，連接尸G,因為△川〃為正三角形，G為線段的中點，

/J\'-v

//G

AB

所以PG_L4D.

由(1)知又尸GC5G=G,所以40_L平面尸GA

因為PBU平面尸G2,所以4D_LPA

(3)解能，當尸為線段PC的中點時，平面DE尸，平面/BCD證明如下：

如圖，取線段PC的中點尸，連接DE,EF,DF.

在△P8C中，F(xiàn)E//PB,在菱形N5CZ)中，GB//DE.

而FEU平面尸，O￡U平面?！晔?，EFC\DE=E,PBU平面PGB,G8U平面PG8,PBCGB

=B,所以平面DEF〃平面PGA

因為平面平面/BCD,平面P/DC平面PGU平面尸PGA.AD,所

以尸G_L平面/BCD

又PGU平面PGB,所以平面尸G8J_平面/3CZ),

所以平面DEF±平面ABCD.

10.(2023?廣州模擬)如圖，在三棱錐尸一N8C中，平面尸NC_L平面尸8C,P/_L平面/8C.

⑴求證：2c，平面P/C；

(2)若AC=BC=PA,求二面角A-PB-C的平面角的大小.

⑴證明如圖，作ADLPC交尸C于點。，

AB

C

因為平面尸/C_L平面尸8C,平面尸/cn平面P5C=PC,NDU平面p/c,

所以40,平面尸SC,

又2CU平面尸2C,所以4D_L2C,

又因為尸/_L平面NBC,2CU平面48C,

所以P/_L3C,

又PA,4DU平面PNC,PACiAD^A,

所以2C_L平面PNC.

(2)解如圖，作/OLPC交尸C于點。，DELPB交PB干裊E,連接/￡,

由⑴知平面尸8C,

因為P8U平面PBC,則ADLPB,

又/。，DEU平面ADCDE=D,

所以P8_L平面NOE,

因為/EU平面4DE,

所以PBL4E,

則N/ED即為二面角/一依一C的平面角.

又DEU平面PBC,則4D_LDE,

不妨設(shè)NC=2C=尸/=1,

lIX172

貝|JPC=VIAD=^^=J

V22

又由⑴知5C_L平面P/C,

因為/CU平面P/C,

所以2C_L4C,

所以P4_L平面4BC,

又N5U平面/2C,

l1XJ2J6

則尸/_LN8,則尸AE=——7=^-=—

聒3

Jlr

則smZAED=—=^=—

AE旦2

~T

由圖知二面角/一尸8—。的平面角為銳角,

兀

所以N4ED=-,

3

71

即二面角A—PB—C的平面角的大小為一.

3

立綜合提升練

11.如圖，正三角形P4D所在平面與正方形4BCD所在平面互相垂直，。為正方形488的

中心，M為正方形ZBCD內(nèi)一點，且滿足MP=MC,則點M的軌跡為（）

ABCD

答案A

解析如圖，取的中點E,連接PE,PC,CE.

因為△川〃為正三角形，

所以P￡_L4D,

又平面P4D_L平面/BCD,平面尸4DC平面48cz）=4D,

所以PEJ_平面45czz

從而平面尸EC,平面/8C。，分別取PC,N8的中點尸，G,連接。尸，DG,FG,

由PD=DC知DFLPC,易得DGLEC,

則DGJ_平面PEC,

又尸CU平面PEC,

所以DGLPC,

久DFCDG=D,

所以PC_L平面。回G,

又點尸是尸C的中點，

因此，線段DG上的點滿足MP=MC

12.（多選）如圖所示，一張A4紙的長、寬分別為2回,2a,A,B,C,。分別是其四條邊的

中點.現(xiàn)將其沿圖中虛線折起，使得修，尸2,2,尸4四點重合為一點尸，從而得到一個多面

體.下列關(guān)于該多面體的命題正確的是（）

P.______B_____P

A

/\

/\

/\

/\

）C

\\------//

\/

\/

P，---------D-----匕

A.該多面體是四棱錐

B.平面240_L平面2cD

C.平面B/C_L平面/CD

5.

D.該多面體外接球的表面積為不層

答案BC

解析由題意得該多面體是一個三棱錐，故A錯誤,：APVBP,APLCP,BP^CP=P,：.APV

平面BCD.

又平面8/。，；.平面氏平面BCD,故B正確；同理可證平面B/C_L平面NCD,

故C正確；通過構(gòu)造長方體可得該多面體的外接球半徑尺=四°,所以該多面體外接球的表

2

面積為5?！?,故D錯誤.

13.（多選）如圖，在正方體/2。。一45。。1中，點尸在線段81。上運動，則下列說法正確

的是（）

A.直線2￡>i_L平面小。。

B.三棱錐P—小。。的體積為定值

「兀71'

C.異面直線4P與4。所成角的取值范圍是一，-

142J

D.直線CF與平面4G。所成角的正弦值的最大值為半

答案ABD

解析A項，如圖，連接

由正方體可得/iG_L8Qi，

且.平面48C01，

又4Gu平面4181cz>1,

則班」4Cl,

因為BQGBBi=Bi，

所以4G，平面9九81,

又平面8。同，

所以4GLAD1.

同理，連接401，易證得4DLAD1，

因為NQC4G=4,AXD,4GU平面4CQ，

所以平面4cQ,故A正確；

B項，4”，

因為點P在線段5C上運動，

1、

所以=彳4Q/5,為定值，

且G到平面小池的距離即為G到平面4SCD的距離，也為定值，

故三棱錐p—4G。的體積為定值，故B正確；

71

C項，當點P與線段21c的端點重合時，4P與小。所成角取得最小值，最小值為-，故C錯

3

誤；

D項，因為直線ADi，平面4CQ,

所以若直線GP與平面4G。所成角的正弦值最大，

則直線GP與直線ADi所成角的余弦值最大，

即點P運動到8C中點處，直線。尸與直線瓦入所成角為/C/2，

設(shè)正方體棱長為1,在中，

CiBJ2J6-

cos/G3Di=——=與=匚，故LLD正確.

BDi陋3

2

14.如圖，在矩形48C。中，點、E,尸分別在線段48,ND上，AE=EB=AF=~FD=4,沿

3

直線即將△4EF翻折成△/'EF,使平面H斯_L平面2￡F，則二面角卬一如一。的平

面角的余弦值為

A'

答案￡

解析如圖，取線段EF的中點/斤的中點G,連接G,A'H,GH.

由題意，知HE=A'/及〃是所的中點,

所以HH±EF.

又因為平面H