專題06函數(shù)恒成立等綜合大題深度歸類與解析

媒內(nèi)容早知道

吐第一層鞏固提升練(8大題型)

題型一：一元二次方程中的分類討論與恒成立參數(shù)求解

題型二：恒成立條件下的對勾型參數(shù)求解

題型三：含絕對值條件的恒成立參數(shù)討論

題型四：雙曲函數(shù)中的參數(shù)求解問題

題型五：抽象函數(shù)背景下的參數(shù)求解

題型六：分式型求參：一次與二次函數(shù)的結(jié)合

題型七：指數(shù)分式型函數(shù)中的參數(shù)求解

題型八：指數(shù)函數(shù)綜合應(yīng)用中的參數(shù)求解

吐第二層能力培優(yōu)練

?■第三層拓展突破練

?第四層高考真題練

---------------------------

1、利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒(能)成立，可根據(jù)以下原則進行求解:

(1)Vxe￡>,

(2)Vxe￡),機上1mx；

(3)BxeD,機4/(%)0〃舊"％)皿；

(4)BxeD,;77>/(x)<^m>/(x)min.

2、不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：

一般地，已知函數(shù)y=/(x),xe[a,b],y=g(尤)，x&[c,d}.

CD若Vx2G[c/],有/&)<g(%2)成立，則了(力111ax<g(x)111bl；

(2)若％4a,6],3X2e[c,<7],有2a)<g(%)成立,則/⑺曰<g(x)1mx；

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⑶若叫e[a,句,叫e[c,d],有了⑷<g(無?)成立，則f(力1n<g(%)1mx；

(4)若%e[a,司,切?c,d],有/a)=g(%)成立,則〃x)的值域是g(x)的值域的子

集.

--------CM1KO-0-?--------

題型一一元二次方程中的分類討論與恒成立參數(shù)求解

1.已知關(guān)于尤的不等式(。―1)丁一加一2<0的解集為何-1<尤<2}.

⑴求實數(shù)。，6的值；

⑵若〃240,求關(guān)于x的不等式在!一+(機一。)％-120的解集；

⑶若對任意的實數(shù)工?1,2],卬加+(〃?-尤-12〃吠恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

2.已知〃x)是定義在[-2,2]上的奇函數(shù)，滿足〃-2)=Y,且當(dāng)e[-2,2],〃件”時,

有〃甸一〃一嘰0.

m—n

⑴判斷函數(shù)“X)的單調(diào)性；

⑵解不等式：/(5x-l)>/(x+l)；

⑶若/(X)W2/T+4對所有xe[-2,2],。目-2,2卜恒成立，求實數(shù)f的取值范圍.

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3.已知/(x)=x2-(?+l)x+4

⑴若當(dāng)142,4]時，/(%)>-1恒成立，求實數(shù)，的取值范圍;

⑵求關(guān)于X的不等式〃力+[1-：卜-3<0的解集.

4.已知二次函數(shù)>=以2+版+。的圖象與直線y=T有且僅有一個公共點，且不等式

ax2+Zzx+c<0的解集為.

(1)求此二次函數(shù)的解析式；

⑵關(guān)于尤的不等式依2+法+。<(9-1卜-〃7-3的解集中恰有一個正整數(shù)，求實數(shù)加的取值

范圍；

(3MVme[0,2],不等式依。+bx+c<(m—2)x恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.

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題型二恒成立條件下的對勾型參數(shù)求解

5.已知函數(shù)/(幻=尤+3+6,a,beR.

X

⑴若。=-1,判斷函數(shù)/■⑺在(0,+8)的單調(diào)性，不需要證明；

⑵若對任意xe[l,5],不等式2W/(x)W5恒成立，求匕-。的最小值.

6.已知a>0,函數(shù)f(x)=/-依+3,g(x)=x-i"--——2.

x-1

⑴求函數(shù)/(%)在區(qū)間口,3]上的最小值h{a}；

⑵若對于任意尤i?U，3],總存在%?口，3],使得fa)>g(Z)成立,求實數(shù)。的取值范圍.

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7.已知。>0,函數(shù)/(尤)=/-ax+4,g(%)=—+—

ax

⑴求在［i,3］上的最小值〃⑷；

(2)若對于任意再總存在尤2?口,引,使得ya)>g6)成立,求實數(shù)a的取值范圍.

8.已知函數(shù)〃》)=尤+，，g(x)=x2-ar+a-l.

⑴若g(x)的值域為［0,心),求a的值.

(2)證明：對任意％目1,2］,總存在％句-1,3］,使得/(%)=g(%)成立.

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題型三含絕對值條件的恒成立參數(shù)討論

9.已知關(guān)于無的函數(shù)％=f-2川和%=4/-16.

(1)若％^必，求尤的取值范圍；

⑵若關(guān)于x的不等式(其中0<K2)的解集。=[加,”],求證:

n-m4屈?

10.已知函數(shù)/(%)=MX+H+相門一1|,0<x<2,其中。，加ER.

⑴若a=0,m=l,求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵對于給定的實數(shù)。，若函數(shù)/(%)存在最大值1+。，

(i)求證：a>-l；

(ii)求實數(shù)加的取值范圍(用4表示).

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11.已知函數(shù)/(工)=%(1+。|%|)，aeR.

(1)若，<0,求函數(shù)/(%)在工2]上的最小值.

⑵若函數(shù)y=/Q)在(私力上既有最大值又有最小值，試探究加、〃分別滿足的條件(結(jié)果

用4表示).

⑶設(shè)關(guān)于X的不等式/?(x+a)</(x)的解集為A,若-gg[A,求實數(shù)。的取值范圍.

12.函數(shù)/0)=丈2+2|%_°|+0(0€￡),在xe[-2,2]上的最大值為Af(a),最小值為了⑷.

⑴求g(a)=M(a)-根(“)；

⑵設(shè)beR,若"(x)+b]2,,36對xe[-2,2]恒成立，求6的取值范圍.

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13.已知函數(shù)/(*)=K-4+,2-阿，其中

⑴當(dāng)1=6=1時,求函數(shù)y=/(x)的零點；

⑵若°=1,6=0,當(dāng)xWl時，關(guān)于x的方程『仰-1|)一"+1)(忙-1卜1)+%=0有3個

不同的實數(shù)解，求實數(shù)上的值及該方程的解；

(3)若對任意xe[0,l],都有/'(x)Wa+廿恒成立，求實數(shù)的最小值.

題型四雙曲函數(shù)中的參數(shù)求解問題

14.已知函數(shù)“無)=g-x,

⑴設(shè)x>0,解關(guān)于x的不等式〃x)>x；

⑵當(dāng)xe(O,l)時，求函數(shù)y=/(x>〃l—x)的最大值；

⑶若對任意的者B有/匿+尤["]：一32(曰恒成立，求正實數(shù)上的取值

范圍

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15.已知函數(shù)/(x)=|尤-a|,g(x)=x"(x),/7(x)=/(%)--+a(aeR).

⑴求了(尤)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若。>2,且％e[2,+8),川w[3,4],使得%(%)>g(%),求。的取值范圍.

16.已知函數(shù)/(x)=2'-￡(aeR)

2

(1)若函數(shù)/(無)為奇函數(shù)，求實數(shù)。的值；

(2)設(shè)函數(shù)8(無)=2-2'1+-^,且〃(x)=/(無)+gQ),已知/z(x)>2+3a對任意的

尤e(0,+oo)恒成立，求。的取值范圍.

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17.已知函數(shù)/（無）=2工-冬（℃/?）,將y=/a）的圖象向右平移兩個單位長度，得到函數(shù)

y=g（x）的圖象.

（1）求函數(shù)y=g（元）的解析式；

（2）若方程〃尤）=。在［0,1］上有且僅有一個實根，求。的取值范圍；

（3）若函數(shù)丫=〃（幻與y=8。）的圖象關(guān)于直線丫=1對稱，設(shè)/（x）="x）+〃（尤），已知

尸（x）>2+3q對任意的尤e（l,+oo）恒成立，求。的取值范圍.

題型五抽象函數(shù)背景下的參數(shù)求解

18.設(shè)定義在R上的函數(shù)/（無）滿足：①對Vx,yeR,都有/（x+y）=/;②x>0

時，/（元）>0；③不存在尤eR,使得1/（元）1=1.

⑴求證：“X）為奇函數(shù)；

⑵求證：/（無）在R上單調(diào)遞增；

⑶設(shè)函數(shù)g（x）=V-x-3,/⑴=；,不等式,笠嗎>彳丁?對VxeR恒成立,試

25+4/（mx）2+/（mx）

求gO）的值域.

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以設(shè)定義在R上的函數(shù)滿足：①對Vx,ycR'都有上任篇②x>°

時，/(x)>0；③不存在xeR,使得|〃刈=1.

⑴求證：〃x)為奇函數(shù)；

(2)求證：/(X)在R上單調(diào)遞增;

4+5/(/TIX)l+2/(mVx)

⑶若〃；，不等式

1)=對Vxe[0,+8)恒成立，試求"?的取值范圍.

5+47(wu)2+f[rn-Jx^

20.函數(shù)/Xx)是定義在R上的函數(shù)，對VxyeR,都有/(x+y)=/(x)+y(y)

⑴求證：/(x)是奇函數(shù)；

⑵若無<0時，/(%)<0,求證：函數(shù)/(尤)在R上單調(diào)遞增；

(3)在條件(2)下，關(guān)于x的不等式/(依2-1)+/(依+2)>0恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

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21.定義在R上的函數(shù)/(X)滿足對任意尤,yeR都有/(x+y)=/(x)+f(y).

且x<0時，/W<0,/(-l)=-2

(1)求證：/(尤)為奇函數(shù)；

(2)試問/(x)在xe[T,4]上是否有最值？若有，求出最值；若無，說明理由;

(3)若/(h3，)+/⑶-9"-2)<0對任意xeR恒成立，求實數(shù)上的取值范圍.

題型六分式型求參：一次與二次函數(shù)的結(jié)合

22.已知函數(shù)〃尤)和g(x)都是定義在R上的奇函數(shù)，=當(dāng)天>0時,

g(X)=X2+X

⑴求“X)和g(x)的解析式；

(2)判斷了(x)在區(qū)間(-2,2)上的單調(diào)性并證明；

⑶X/xe[l,2],者B有g(shù)(x2-3)+g(〃a+l)>。，求〃？的取值范圍.

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23.已知函數(shù)〃%)=三2是定義在R上的奇函數(shù)，g(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)xNO

時,g(x)-x2+x+l.

⑴求“X)和g(尤)的解析式，并判斷了(x)在區(qū)間(-2,2)上的單調(diào)性(霸罩證明)；

⑵若對Vxe[-1,2],都有g(shù)(〃x))<g(logm),求實數(shù)加的取值集合.

24.已知函數(shù)〃尤)和g(x)都是奇函數(shù)，/(x)=x+1,且43)=6,當(dāng)尤>0時,

g(x)=x2+x+l,且函數(shù)g(無)的定義域為R.

⑴求〃x)和g(尤)的解析式；

⑵用定義法判斷了(尤)在區(qū)間[3,+8)上的單調(diào)性；

(3)Vxe[l,2],都有g(shù)(x?-3)+g(小+1)>0,求加的取值范圍.

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Yh1

25.已知函數(shù)=函數(shù)〃x）為R上的奇函數(shù)，且/⑴

⑴求〃x）的解析式：

⑵判斷了（無）在區(qū)間（-1,1）上的單調(diào)性，并用定義給予證明：

⑶若“X）的定義域為時，求關(guān)于尤的不等式〃*-1）+/（2》2）＜0的解集.

26.已知函數(shù)/（x）=/g是定義在區(qū)間［-1,1］上的奇函數(shù)，且

⑴求函數(shù)〃x）的解析式；

（2）判斷函數(shù)f（力在區(qū)間［-1,1］上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明.

⑶求滿足不等式+-1）＜0的實數(shù)t的取值范圍.

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題型七指數(shù)分式型函數(shù)中的參數(shù)求解

27.已知定義域為R的函數(shù)，〃幻=滬是奇函數(shù).

2+4

⑴求。，6的值；

(2)判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性并用單調(diào)性的定義證明；

⑶若對任意的teR,不等式/(產(chǎn)-2/)+f(2/一左)>0恒成立,求上的取值范圍.

2

28.已知奇函數(shù)/(%)=〃-=二.

2+1

⑴求。的值.

(2)利用函數(shù)定義證明函數(shù)“X)單調(diào)遞增.

⑶若對任意feR,不等式/(〃/+1)+/(1一皿)>0恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

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29.已知定義域為R的函數(shù)〃X）=E是奇函數(shù)

⑴求。，b的值；

⑵若對任意的feR,不等式一幻＜0恒成立，求上的取值范圍.

h-9x

30.已知函數(shù)/（無）=臺1r（xeR力為常數(shù)）是奇函數(shù).

⑴求b的值；

（2）判斷了（無）的單調(diào)性并證明；

⑶對任意feR,關(guān)于r的不等式〃產(chǎn)-2。+/（2/一對＜。恒成立，求實數(shù)上的取值范圍.

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題型，\指數(shù)函數(shù)綜合應(yīng)用中的參數(shù)求解

31.已知函數(shù)〃x)=3—2f,g(x)=3*.

⑴當(dāng)龍目1,2]時，求函數(shù)Mx)=[/(x)+l}g(x)的值域；

⑵如果對任意的尤目1,2]不等式/⑺2m[g(x)_3]恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

32.已知函數(shù)〃x)=罐一加?/(4＞：!)是奇函數(shù)，且〃1)=|.

(1)求相和。的值，

⑵判斷并證明的單調(diào)性；

⑶若小+-4/⑴+32-G0對任意的xe[1,4恒成立，求力的取值范圍.

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33.已知函數(shù)/（X）=龍之一2打+〃+4.

⑴若函數(shù)/（另在區(qū)間[-M]上具有單調(diào)性，求實數(shù)，的取值范圍;

⑵若函數(shù)g（x）=（g],且對％目-1』，Vx2e[-l,l],不等式“6g（z）恒成立，求實數(shù)

a的取值范圍.

34.已知指數(shù)函數(shù)〃x）的圖象過點（3,27）,函數(shù)g（x）=/（尤）+〃T）

⑴求六尤）的解析式；

⑵判斷g（月在[0,內(nèi)）上的單調(diào)性，并用定義證明；

⑶若不等式g⑺-g（f+2尤+3）＜0對xeR恒成立，求f的取值范圍.

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35.已知函數(shù)〃x)=2%xeR).

(1)解不等式/(力+/(尤+4)＞/(2x+l)+8；

⑵若Vxe[-2,2],不等式/(尤2+2尤)＞加恒成立，求實數(shù)，"的取值范圍.

--------?-O-?-?-?--------

36.已知兀＞0,J＞0,且4%+丁=孫，若x+y＞加之+8機恒成立，則實數(shù)加的取值范圍為

()

B.1m|m<-31C.D.1m|-9<m<ij

37.當(dāng)時，不等式8Y|+log/恒成立，則實數(shù)〃的取值范圍是()

A-網(wǎng)B.網(wǎng)C.[JD.],3_

38.己知函數(shù)/(x)=e*+eT,g(x)=/(x-l)+(x-l)2+a,若g(/X+3)<g(無？+4)對任意

xeR恒成立，則實數(shù)f的取值范圍是.

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39.已知/⑺是定義在[-2,2]上的奇函數(shù)，滿足〃-2)=T,且當(dāng)相看”時,

有了"""().

m—n

⑴判斷函數(shù)“X)的單調(diào)性；

⑵解不等式：/(5x-l)>/(x+l)；

(3)若/(x)W2m37+4對所有xe[-2,2],。目-2,2竹亙成立，求實數(shù)t的取值范圍.

40.已知函數(shù)〃x)=log2(x+a).

⑴當(dāng)a=2時，解不等式:/(x)<log2(2x-l)；

⑵當(dāng)。>0時，若對任意的x?0,2),-g/(4x)<0恒成立，求正數(shù)。的取值范圍.

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41.若不等式(a-l)x2+2(a-l)x-4<0對一切尤eR恒成立，貝！!。的取值范圍是.

--------O-?-?-0-?--------

42.給出定義：若函數(shù)〃尤)的圖象在區(qū)間/上是連續(xù)不斷的曲線，對任意再，尤2e/，都有

(當(dāng)且僅當(dāng)X|=x)時等號成立)，則稱函數(shù)是區(qū)間/上的凸

函數(shù).若/(x)是區(qū)間/上的凸函數(shù)，則對任意不，々，七，，天和任意滿足

01+必+03++P“=1的正實數(shù)乩，〃2，夕3,…,P“，都有

f(pixl+p2x2+p3x3++pnxn)>plf(xl)+p2f(x2')+p3f(x3)++p,/(x”)當(dāng)且僅當(dāng)

%=尤2=尤3=-=尤“時等號成立，請利用上述定義和性質(zhì)完成下列問題：

(1)證明：函數(shù)〃X)=?在［0,+<?)上是凸函數(shù)；

⑵求函數(shù)g(x)=&+J2-2尤的最大值；

⑶若不等式尤4+徵？+320在(0,+8)上恒成立，求實數(shù)〃?的取值范圍.

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43.設(shè)函數(shù)/(%)=a/+b%+c(a,b,ceR,且awO).

⑴若求證：〃x)在［o,2］內(nèi)存在零點；

⑵若不等式f(x)<o的解集是(-2,-1),且xe［l,3］時，/?(2、)44,恒成立，求°的取值范圍.

44.已知定義域為全體實數(shù)的函數(shù)〃x)=ln(e2*+l)-fcv為偶函數(shù)，g(x)=In(x+m)-21nx

(1)求實數(shù)上的值；

⑵若V%eR,使得“X2)>g(xj恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

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45.已知函數(shù)/(尤)=病.

(1)證明：函數(shù)f(無)是奇函數(shù)；

(2)用定義證明：函數(shù)f(x)在(。,+8)上是增函數(shù)；

(3)若關(guān)于尤的不等式/(辦2+3依)+/(1-◎)>0對于任意實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范

圍.

46.已知f(x)是定義在。上的函數(shù)，對任意的xe。，存在常數(shù)M>0,使得恒

成立，則稱/'(X)是。上的受限函數(shù)，M為f(x)的限定值.

⑴若函數(shù)〃x)=-犬+2工+加在［0,3］上是限定值為8的受限函數(shù)，求，”的最大值.

⑵若函數(shù)/(引=曲=百+4,判斷“力是否是受限函數(shù).若是，求出的限定值M的最

小值；若不是，請說明理由.

⑶若函數(shù)小)=6+旦-尤2二在上是限定值為11的受限函數(shù)，求。的取值范圍.

xxL乙_

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8

47.已知函數(shù)/(x)=logi—log4(4/),函數(shù)g(x)=4-2加—3.

2%

⑴求函數(shù)y=g(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵求函數(shù)y=/(x)的值域；

⑶若不等式-g⑷<0對任意實數(shù)ae[1，4恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.

48.已知=

⑴求證：y=/(x)在(0,+“)上存在零點；

⑵若對任意的xe(O,y),不等式〃”)</(尤2+4)恒成立，求實數(shù)加的取值范圍.

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49.已知定義域為R的單調(diào)減函數(shù)〃x）是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，/（x）-j-2'\

⑴求〃。）的值；

（2）求〃尤）的解析式；

⑶若對任意的reR,不等式/（產(chǎn)-2。+/（2產(chǎn)-左）＜0恒成立，求實數(shù)上的取值范圍.

50.已知定義域為R的函數(shù)/（尤）=三三是奇函數(shù).

2+a

⑴求。，6的值；

⑵若對任意的teR,不等式/（/-f）+/（2產(chǎn)一幻＜0恒成立，求上的取值范圍.

第25頁共84頁

51.已知函數(shù)〃x)=2-J.

⑴若〃x)=2,求x的值；

⑵若2"(2。+可?(t)NO對于七[1,2卜恒成立，求實數(shù)加的取值范圍.

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(2007年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)(文)試題(天津卷))

52.設(shè)/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)xNO時，f(x)=x2,若對任意的xe『1+2],不

等式/(x+t)22/(x)恒成立，則實數(shù)f的取值范圍是()

A.[0,+oo)B.[2,+co)C.e,應(yīng)]

D.|^—V2,—1J^5/2,

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參考答案:

1.⑴a=2,b=；

（2）答案見解析

⑶g+1

【分析】（1）由-2樂-2=0的兩根為一1和2,代入方程即可求解;

（2）結(jié)合（1）通過m=0和m＜0,兩類情況討論即可；

（3）通過參變分離求最值即可求解.

【詳解】（1）由題意可得：（。一1）犬—2法一2=0的兩根為一1和2,

、J（a-l）+2Z＞-2=0

所以儲（a-l）-4b-2=0，

解得：a=2,b=g

（2）由（1）知：amx?+（加一可化為：

2mx2+(m—2)x—1>0,

即：（2x+l）（mx-l）N0

當(dāng)機=0,不等式為：2x+1＜0,得2，

當(dāng)機wO,（2x+l）（如-1）=。的兩根為：-；和工

當(dāng)機＜0時，

（i），即相=-2時，（2x+l）（〃zr-l）N0的解集為：1-4;

2mI2J

（ii）—,即機＜—2時，（2x+l乂⑺—1）20的解集為：—；

（iii）,即0＞切＞—2時，（2%+1）（如一1）20的解集為：,，一；

綜上：根=0時，解集為1-00,-5;

機二一2時，解集為：!一』；

用＜-2時，解集為：;

0＞"＞一2時，解集為：；

m2

第1頁共84頁

（3）若對任意的實數(shù)1K無K2,々ra：2+（m—IN如恒成立，求實數(shù)機的取值范圍

2

由（］）〃如2+（僧一〃）1_］2mx可化為：2mx-2x-l＞0?

即加之—,對任意14%42恒成立，

人1「1「

令"_￡彳J，

x\_2_

可得加之一/十/,

2

13

易知y=對稱軸為：r=-l,所以當(dāng)/=1時，ymax=-,

所以〃喝3.

所以實數(shù)機的取值范圍為|，+°°j

2.⑴函數(shù)〃x）是定義在［-2,2］上的增函數(shù).

⑵（口13'

（3）6,0

【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可得到結(jié)果.

（2）由第一問的結(jié)果增函數(shù)即可求解不等式的解集.

（3）首先將函數(shù)恒成立問題轉(zhuǎn)化［/（X）］1mxV2〃3T+4成立，就是關(guān)于r的不等式求解，再

構(gòu)造函數(shù)進而求出實數(shù)f的取值范圍.

【詳解】（1）由于函數(shù)〃尤）是定義在［-2,2］上的奇函數(shù)，所以

f（-加）=-/（^）,/（-?）=-/（?）-

設(shè)-2＜租＜〃＜2則由正止小L。得到3±迫＜0,

m-nm-n

即-嘰0,由函數(shù)單調(diào)性的定義易得函數(shù)/?"）是定義在［-2,2］上的增函數(shù).

n—m

（2）由⑴知函數(shù)〃尤）是定義在［-2,2］上的增函數(shù)，＜/（5%-1）＞/（%+1）?

5x-l＞x+1

131_3

貝I］有一2V5X-1W2,解得所以不等式的解集為

2,5

-2Wx+1W2

(3)因為〃-2)=-4,所以"2)=4,若2m3T+4對所有xe[-2,2],

第2頁共84頁

。目一2,2卜恒成立，則"(x)]1mxV2j7+4成立，且[〃X)L、=〃2)=4,

所以4V2a/一f+4對“?—2,2]恒成立,gp2at3-t>0,。4-2,21恒成立，

t<Q

/?(-2)>0-4t3-t>0

^■h(^a)—2at3—t=2t3a—t,貝!]，即，解得]]，故實數(shù)f的

/z(2)>04?3-/>0

——<t<0或t>—

I22

取值范圍為-1，0

(2)答案見解析

【分析】(1)將問題轉(zhuǎn)化為“xe[2,4]時，?+1<|%+-|”，利用基本不等式求解出最小值,

\X/mm

由此可求。的范圍；

(2)先化簡不等式，然后根據(jù)。與±1的關(guān)系進行分類討論，由此求解出不等式的解集.

【詳解】(1)因為xe[2,4]時，F(xiàn)(x)>-1恒成立，所以xe[2,4]時，土至>。+1恒成立,

X

所以％E[2,4]時，?+1<Jx+—J即可，

\Mmin

因為尤當(dāng)且僅當(dāng)苫=石時取等號，

X\X

所以a+l<2如，所以。<2石-1,

所以“的取值范圍是卜-26-1).

(2)/(x)+(l)x-3<0%2—[aH—]x+1<0(x—尤)<0(aW0),

當(dāng)a=),即a=±l時，此時不等式為(x-l)2<0和(x+l)2<0,解集為0；

當(dāng)a<—l或0<a<l時，此時工>a,(x-a)[x-]<0的解集為]a,J；

當(dāng)一l<a<0或a>l時，此時:<a,(x-a)[x-；]<0的解集為

綜上所述，。=±1時，解集為0;

時，解集為(a,1]；

ae(-1,0)51,+8)時，解集為

4.(1)y=x2-2x-3

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⑵（2,3]

⑶卜1,⑹

【分析】（1）根據(jù)給定條件，可得a＞0,-1,3是方程62+云+°=0的兩個根，寫出解析式，

再結(jié)合頂點坐標(biāo)求解即得.

（2）由（1）的結(jié)論，分類求解不等式，進而確定，”的范圍.

（3）依題意可得對\/7"€[0,2],不等式〃a-彳2+3＞0恒成立,令8（〃2）=如-尤2+3,we[0,2],

則1%；；,解得即可.

【詳解】⑴由不等式/+區(qū)+cwo的解集為[-1,3],得且T,3是關(guān)于x的方程

or?+6x+c=0的兩個根，

因止匕ax2+bx+c=a（尤+1）（%-3）,

所以函數(shù)＞=以2+版+。的圖象開口向上，其對稱軸為x=l,

而該圖象與直線》=T有且僅有一個公共點，則＞=a（x+1）（彳-3）圖象的頂點為（LT）,

于是T=—4。，解得o=l,

所以此二次函數(shù)的表達式為＞=（x+1）（尤-3）,即尸尤2一2彳-3.

（2）由（1）知不等式”-l）x—加一3為尤2-2x-3＜（?t-l）尤一根一3,

整理得無？一（機+1）彳+%＜0,即（無一1）（無一根）＜0,

依題意，不等式（尤-1）。-〃2）＜。的解集中恰有一個正整數(shù)，則加中1,

當(dāng)機＜1時，解得加＜x＜l,即不等式的解集為此時解集中不含正整數(shù)，故舍去；

當(dāng)〃2＞1時，解得不等式的解集為（1,〃。，要使解集中恰有一個正整數(shù)，

則2＜zn43,

所以實數(shù)〃?的取值范圍是（2,3].

（3）對Vme[0,2],不等式依2+fov+c＜（m-2）x恒成立，

即對V/Me[0,2],不等式-爐+3＞0恒成立，

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A/、9rig(0)=—爐+3>0L

令g(m)=mr—x+3,me［0,2］,貝葉,,解得一1<尤<6，

g=2x-x+3>0

即實數(shù)尤的取值范圍為卜1,6).

5.(1)單調(diào)遞增

⑵_4一4右

【分析】(1)易知。=-1時/(無)=尤—+6,由解析式可直接判斷得出在(。,+功的單調(diào)遞增；

(2)對參數(shù)。進行分類討論得出函數(shù)Ax)的單調(diào)性，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為

火龍)?x-/(xU|<3,分別求得最值表達式解不等式即可得”的取值范圍，再由

于網(wǎng)=26+622并利用二次函數(shù)性質(zhì)即可得出匕-。的最小值.

【詳解】(1)當(dāng)a=-1時，可得了(%)=尤-1+6在(0,+e)的單調(diào)遞增；

(2)當(dāng)a<0時，y=:和y=x+6在［1,5］都為增函數(shù)，所以，(無)在［L5］上單調(diào)遞增；

當(dāng)。=0時，顯然/(元)在［1,5］上單調(diào)遞增；

當(dāng)0<a<l時，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，/(尤)在［后,+可上單調(diào)遞增,所以在［L5］上單調(diào)遞增；

當(dāng)1<。<25時，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，/(x)在［1,司上單調(diào)遞減，在［&,5］上單調(diào)遞增;

當(dāng)。上25時，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，/(尤)在(0,6］單調(diào)遞減，所以在［1,5］上單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)aVI時，/(尤)在［1,5］上單調(diào)遞增，

要使不等式2<f(x)<5恒成立，必有24/(I)</(5)<5,

即2Wl+a+b45+q+b<5,m-<a<5,不合題意；

54

當(dāng)aN25時，〃x)在［1,5］上單調(diào)遞減，

此時需滿足2V5+］+6Vl+a+b<5,此時。無解；

當(dāng)l<aW5時，/(D-/(5)=y-4<0,所以/(x)111ax=”5),/⑴血=/(&),由

24/的=26+6</(5)=5+■|+b<5,解得5-厲4行45+后，

所以后4君；

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當(dāng)5<。<25時，/(l)-/(5)=y-4>0,所以⑴，”x)1111n=/(6),

由2"(⑹=2后+々⑴=l+“+6W5,解得1-必新41+5

所以出C&W1+百.

綜上可得5_亦V&《]+55

因為/(6)=2&+622,所以622-26,

以b-a22-2y/~^-ci=-+1)+3,

由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)5-疥〈夜<1+6時，函數(shù)>=-(夜+1『+3單調(diào)遞減；

所以Ymin=一(6+2)+3=-4-46，止匕時夜=1+3，b—a取得最小值為一4-46；

=1y[a=1+>b=-2A/§'時，滿足l<a<5,

此時函數(shù)“同一+小善-2石的最大值

7(x：Lx=/(5)=5+^^■一2A=^^?2,5]'

最小值/(X)1mli=/(&)=7(1+道)=2,滿足題意；

所以6-a的最小值為-4-46；

4一。,0<QW2,

2

6.(1)h(a)=<——+3,2<a<6,

12-3a,a>6.

(2)0<0<2應(yīng)

【分析】(1)討論對稱軸的范圍，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可求；

(2)題目等價于/(x)〃>g(x)111ta,求出g(x)的最小值,再根據(jù)⑴結(jié)論可列式求解.

【詳解】(1)因為a>0,所以函數(shù)〃"=幺-訴+3圖象的對稱軸方程x=^>。.

若0<合1,即0<處2,則信)在口，引上單調(diào)遞增，/2(a)=/Q)=4-a；

若1<￡<3,即2<a<6,則於)在［1,1)上單調(diào)遞減，在(1,3］上單調(diào)遞增,h(a)=/(-j)=-y+3；

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若即位6,則/（%）在［1,3］上單調(diào)遞減，/?（〃）=#3）=12-3”.

4一。,0<。<2,

a2

綜上，h（a）=<——+3,2<〃<6,

12-3a,a>6.

（2）由題意知，原不等式等價于在［1,3］內(nèi),〃尤）*>8（尤）.成立?

8（%）=1+占一1川（無一1>占一1二1，

當(dāng)且僅當(dāng)即x=2時等號成立，所

X-L

以g(￡L=i，

0<。02時，4-，>lnav3,得0<。32；

2

2V6時，----F3>1=>—2^/2<〃<2y2<Q<2^/2;

4

位6時，12-3。>1=>〃<以,此時無解.

3

所以0vav2應(yīng).

5-a,0<a<2

2

7.（1）%（。）=<4——,2<tz<6

13-3^,42>6

⑵（沼叵,2回

【分析】（1）根據(jù)對稱軸與區(qū)間關(guān)系分類討論求解,

（2）轉(zhuǎn)化為最值問題分類討論求解，

【詳解】(1)/(》)=/-辦+4的對稱軸為x=],

①當(dāng)■jAl即0<。<2時，最小值6(。)=/'⑴=5-。，

2

②當(dāng)即2<a<6時，最小值h(a)=/(-1)=4--^-,

③當(dāng)葭23即aN6時，最小值/I(Q)=/(3)=13—3Q,,

5-a,0<a<2

2

綜上，Ka)=\4---,2<a<6

4

13-3a,a>6

（2）由題意得了（XiMn>g（Z）min，

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XZ7

〃〉0,由一=—得九=a,故g(x)在(0,〃)單調(diào)遞減，在3,+°°)單調(diào)遞增，

ax

a

同理得g(x)在［1,3］上的最小值p(〃)=<2,1<〃<3

3a、c

—+—,a>3

［a3

解不等式飄”)>P(。)，

①當(dāng)OVQ<1時，5-a>-+a9即2〃—5a+lvO,解得§一歷

a4

②當(dāng)l<a<2時，5-。>2,解得l<aW2,

2_

③當(dāng)2<a<3時，4-—>2,解得2<a<2后，

4

④當(dāng)34a<6時，此時4-式<2,-+->2,故4一無解，

43a43a

⑤當(dāng)時，同理得13-3°>幺+3無解，

3a

綜上，。的取值范圍為(上叵,20)

4

8.(1)2

(2)證明見解析

【分析】(1)由題意，可得A=0,從而即可求解；

(2)利用對勾函數(shù)單調(diào)性求出在工2］上的值域，再分三種情況討論二次函數(shù)g(x)在

閉區(qū)間［-1,3］上的值域，然后證明“X)的值域是g(x)值域的子集恒成立即可得證.

【詳解】(1)解:因為g(尤)的值域為［。，―)，所以公=。2-4(4-1)=4-4。+4=(。-2丫=0,

解得。=2.

(2)證明：由題意，根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性可得/(%)=%+,在［L2］上單調(diào)遞增，所以

玉

“xje2,|.

設(shè)g(x)=X2一依+。-1在［一1,3］上的值域為M,

當(dāng)即4,-2時，g(x)在［-1,3］上單調(diào)遞增，因為g(%=g(3)=8-2a.i2,

g(尤)min=g(T)=2d,-4,所以2,1CM；

當(dāng)即a.6時，g(x)在［-1,3］上單調(diào)遞減，因為8(%=g(T)=2a.」2,

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g(x)min=g⑶=8-24，-4,所以2,|CM;

當(dāng)_]<萬<3,即_2<4<6時，g(x)mM=g°-1=一^①一2)2e(―4,0],

g(x)max=max{2a,8-2a}e[4,12)，所以2,1cM.

綜上，2,|恒成立，即"X)在[1,2]上的值域是g(x)在[-1,3]上值域的子集恒成立，

所以對任意占e口,2]總存在ae[-1,3],使得/(占)=g伉)成立.

9.⑴[-2,2]

(2)證明見解析

【分析】⑴轉(zhuǎn)化為3/+2慟-1640求解；

⑵討論r=l,l<t<2,求解判斷“-加〈后是否成立.

【詳解】(1)%2%可得％2-2兇24%2-16,BP3X2+2|X|-16<0,

即(國一2乂3國+8)<0,即-|引龍區(qū)2,則—2V無42,

則實數(shù)x的取值范圍是[-2,2]；

(2)因為yR(2t-2)尤-*2%，所以％卜出，

由(1)知xe[-2,2],所以￡>=[%,“]a[-2,2]

(i)0<t<l時，

當(dāng)xe[0,2]時，3—[(2t—2)龍一廠]=》2—2元一(2/—2)x+廠=廠-2fx+廣=(x—t)20,

所以當(dāng)尤e[0,2]時，%N2f-2)x恒成立，

當(dāng)xe[-2,0)時，令8(力=%一[(2”2卜一產(chǎn)]

—九2+2x—(2t—2)%+=%?+(4—2t)X+，2

y=g(%)對稱軸x=t-2<-i,故y=g(%)在[-1,0)上為增函數(shù),

又g(—l)=l+2r—4+產(chǎn)=1+1)2—4<0,g(0)=r>0,

所以存在/e(-1,0)使得g(x())=0

故g(x)20的解集為[尤o,O],

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所以當(dāng)xe［-2,2］時，的解集為伉,2］,其中飛?—1,0）

所以D=卜％”仁（一1,2］,則“一加〈3〈后;

（ii）當(dāng)t=l時,yx>-\>y2,

因為％=f-2W=（國一1）2-1,所以％11恒成立，

由題意知TN%的解集為D=［m,n］,所以機,〃是方程-1=4x2-16的兩根，

所以〃=翅5,機=一翅5,所以及

22

（iii）當(dāng)l<tW2時，

當(dāng)xe［0,2］時，由（i）知％—［（2f—2）x—廠］=（無一f）>0,

當(dāng)xe［—2,0）時，令％-［（2/—2）尤_,］=尤2+（4_2。尤+/=（彳+2_"2+4?_1）>0

%?（2?—2）%—廣在［-2,2］恒成立，

故只需要考慮（2/-2卜-/在［-2,2］的解集即可.

由（2f—2）x—廠2%,可得4x~—（2/—2）%+廣一16W0,

由題意相，〃是4f—（2，—2）尤+/—16=0的兩根,

令°（X）=4X2—⑵—2）x+r-16,其對稱軸為x=?e［o,；］,

e（2）=16-2⑵-2）+產(chǎn)-16=〃_書+4=（7-2）2>0,

*2）=16+2⑵-2）+/—16=/+4-4=（7+2）2-8>0,

所以〃4〃e[—2,2],

J-3產(chǎn)-2f+65

n-m=Q(m+幾『-4mn=

2

又/"）=-3/—2f+65在1</42為單調(diào)減函數(shù)，

=n-m<=,

綜上，n-m<\ll5-

【點睛】方法點睛：根據(jù)二次不等式的解集確定參數(shù):

第10頁共84頁

①根據(jù)不等號的方向與解集的形式(［加,川,(F,河，［〃,—))可確定開口方向；

②解集的端點值為對應(yīng)二次方程的根；

③若解集為R,0,則考慮開口方向與A.

10.⑴〃尤)的增區(qū)間為［2］,減區(qū)間為

⑵(i)證明見解析，(ii)m<-3-a.

【分析】(1)由題意，寫出分段函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案;

(2)根據(jù)絕對值的定義，分類討論研究，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.

【詳解】(1)a=0,根=1時，/(x)=x|x|+|x-l|,

當(dāng)OKxKl,/(x)=x2-x+l,對稱軸為X=E，

單調(diào)增區(qū)間為gj,減區(qū)間為,,￡|；

當(dāng)1<%W2時，/(x)=x2+x-l,對稱軸為尤=-